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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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(a) projeção ortogonal no eixo y, P (x, y, z) = ( , , );
(b) projeção ortogonal no plano xy, P (x, y, z) = ( , , );
(c) reflexão em torno do plano xz, P (x, y, z) = ( , , ).

5.9.2 Problemas

Prob 5.1:Determine se os conjuntos abaixo são ortogonais:

(a)


 −14
−3

 ,
 52

1

 ,
 3−4
−7

; (b)



3
−2

1
3

 ,

−1

3
−3

4

 ,


3
8
7
0



Prob 5.2:Calcule a distância entre os vetores

 43
−3


e

 −3−1
2


.

Prob 5.3:Encontre uma base de H⊥, onde
(a) H é a reta em R2 dada por 2x+ 3y = 0;
(b) H é o plano em R3 dado por x− y + z = 0;
(c) H = 〈(1, 3, 1), (3, 1, 2), (2, −2, 1)〉 ⊂ R3;

(d) H = span




0
−2
−2

1
−1

 ,


0
1
1
0
2

 ,


0
2
2
−3
−5


 ⊂ R

5.

Prob 5.4: Seja P : R4 → R4 a projeção ortogonal na reta gerada por (1, 0, −1, 0). Calcule
(a) P (x, y, z, w); (b) P 100(x, y, z, w).
Dica: Não tente calcular P 100 explicitamente!

Prob 5.5:Encontre as matrizes das TLs T : Rn → Rn:
(a) n = 2, projeção ortogonal na reta {(2t,−t) ∈ R2; para t ∈ R};
(b) n = 3, projeção ortogonal sobre o plano x = z.

Prob 5.6: Seja T : R3 → R3 uma rotação em relação ao eixo (1, 0, 1). Sabe-se que
T (0, 1, 0) = (−1/√2, 0, −1/√2). Determine o ângulo de rotação.
Dica: pense no plano perpendicular ao eixo de rotação.

Prob 5.7:

3

Use mínimos quadrados para julgar se a moeda deste experimento é honesta.

jogadas 8 16 24 32 40

caras 4 9 13 17 20

3

Adaptado de [6].

162 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Prob 5.8: Sejam H =

〈
1
3
0
1

 ,


3
3
−1
−1

 ,


3
0
3
−3


〉
e v =


7
1
3
1

 . Calcule PHv.

Prob 5.9:Encontre a melhor aproximação de


3
−7

2
3

 por vetores da forma

a


2
−1
−3

1

+ b


1
1
0
−1

 , com a, b ∈ R.

Prob 5.10: Seja A =


1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1

 e b =


1
3
8
2

.
(a) Encontre o conjunto-solução do problema de mínimos quadrados associado ao sistema

linear Ax = b;
(b) Use o item anterior para calcular P
Im(A)

b. (Dica: você pode usar qualquer solução

do problema de mínimos quadrados.)

5.9.3 Extras

Ext 5.1:Encontre uma base para H⊥ se:
(a) H = 〈(1, −3, 1, 2), (2, −1, 2, 0), (−4, −3, −4, 4)〉 ⊂ R4;
(b) H = 〈(1, 0, 1, 3), (1, 2, 0, 1)〉 ⊂ R4;
(c) H é a interseção dos planos x− y − z = 0 e 2x− y + z = 0;
(d) H é a reta em R3 parametrizada por (x(t), y(t), z(t)) = (2t, −t, 3t);
Ext 5.2: Seja v ∈ V um vetor não nulo. Prove que a matriz de projeção ortogonal na direção
v é dada por

P〈v〉 =
vvT

‖v‖ .

Ext 5.3:Encontre as matrizes das TLs T : Rn → Rn:
(a) n = 2, projeção ortogonal na reta 2x− 4y = 0;
(b) n = 2, projeção ortogonal na reta 〈(0, −2)〉;
(c) n = 2, reflexão em torno da reta 2x− 4y = 0;
(d) n = 2, reflexão em torno da reta y = 3x.
(e) n = 2, projeção ortogonal na reta y = x seguida de rotação de 45◦;

(f) n = 4, projeção ortogonal sobre o plano

{
x− w = 0
y = z = 0
(g) n = 3, rotação de 45◦ em torno do eixo (1, 1, 1) (deixe indicado como produto de
matrizes, não precisa explicitar o produto).

Ext 5.4: Seja H subespaço vetorial. Mostre que H ∩H⊥ = {0}.
Ext 5.5:Em cada item dê um exemplo de uma TL satisfazendo as condições dadas:

(a) R : R2 → R2 uma reflexão com R(0, 1) = (0, −1),

5.9. EXERCÍCIOS DE PRODUTO INTERNO 163

(b) P : R2 → R2 uma projeção ortogonal numa reta com P (1, 1) = (1, 1);
(c) T : R3 → R3 uma reflexão tal que T (2, 2, 2) = (0, 0, 1).
(d) T : R3 → R3 uma projeção ortogonal tal que T (2, 1, 2) = (2, 3/2, 3/2).
Ext 5.6: Seja Rθ uma rotação do plano de �ângulo θ. Sabendo que Rθ(

√
3, −1) = (2, 0) e

Rθ(
√

3, 1) = (1,
√

3), determine θ.

Ext 5.7: Seja R uma reflexão em torno da reta 3x + 5y = 0 e P uma projeção ortogonal
nesta reta.

(a) Determine um vetor v 6= 0 tal que Pv = v;
(b) Determine um vetor v 6= 0 tal que Rv = −v;
(c) Calcule o núcleo de P .
(d) Calcule o núcleo de R.
Dica: não precisa calcular nem P nem R explicitamente.

Ext 5.8: Seja {v1,v2, . . . ,vn} uma base de V e w ∈ V tal que 〈vi,w〉 = 0 para todo
i = 1, . . . , n. Prove que w = 0.

Ext 5.9: (Teorema de Pitágoras generalizado) Sejam v1,v2, . . . ,vn vetores ortogonais dois a
dois, isto é, 〈vi,vj〉 = 0 se i 6= j. Prove que

‖v1 + · · ·+ vn���2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vn‖2.

Ext 5.10:

(a) Encontre a equação y = ax + b da reta que melhor ajusta os pontos (0, 1), (1, 1),
(2, 2) e (3, 2).
(b) Esboce um gráfico ilustrando o item anterior.

(c) Use sua resposta ao item (a) para encontrar a projeção ortogonal de


1
1
2
2

 sobre
〈

1
1
1
1

 ,


0
1
2
3


〉
.

Ext 5.11:A força aplicada numa mola e sua distenção estão relacionadas por uma relação

linear. Para determinar esta relação para uma certa mola fizemos medidas de distensões e

obtemos a seguinte tabela:

força aplicada y (N) distenção x (cm)

0,5 0,6

1,0 0,9

1,5 1,7

2,0 2,1

2,5 2,4

Monte o sistema (sobredeterminado) que determina a, b da reta y = ax+ b e resolva por
mínimos quadráticos.

Ext 5.12:Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos: (0, 1.1), (1, 2.1) e
(2, 3.0).

164 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Ext 5.13:Dado que β =


 10

1

 ,
 −14

1

 ,
 21
−2

 é base ortogonal de R3, expresse
[v]β, onde v =

 8−4
−3


.

Dica: Não resolva nenhum sistema linear!

Ext 5.14:Defina em C([0, 1];R) o produto interno 〈f, g〉 =
∫ 1
0

f(s)g(s) ds. Calcule:

(a) 〈x, x2〉; (b) 〈x2, x3〉; (c) ‖1− x‖.

5.9.4 Desafios

Des 5.1:

4

Uma TL P : Rn → Rn é dita projeção (não é necessariamente ortogonal!) se
P 2 = P .
(a) Mostre que uma projeção ortogonal possui esta propriedade;

(b) Mostre que existe uma base tal que P (vi) = vi para i < k e P (vi) = 0 para i ≥ k.
(c) Mostre que nesta base P é da forma em blocos

[
I 0
0 0

]
.

Des 5.2: Seja V espaço vetorial com produto interno e {û1, û2, û3, û4, û5} base ortonormal
de V . Seja

H = 〈û2 + 2û3 + û4 + û5, −2û2 − 4û3 − 2û4 − 4û5, û2 + 2û3 + 2û4 + 3û5〉 .

Encontre uma base para H⊥.

Des 5.3: Sejam A,B ∈ Mn×n. Defina 〈A,B〉 = traço(ABT ) (Veja definição no Ext 7.4.3
da p.212).

(a) prove que é um produto interno;

(b) se A =

 ↑v1
↓
· · ·

↑
vn
↓


, prove que ‖A‖ (norma de A) induzida pelo produto interno

satisfaz:

‖A‖2 = ‖v1‖2 + · · ·+ ‖vn‖2.
(c)

5

encontre o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais.

Des 5.4: Seja D ∈ Mn×n uma matriz diagonal tal que todos elementos da diagonal são
positivos não-nulos. Mostre que 〈u,v〉 = vTDu é um produto interno para u,v ∈ Rn.
Des 5.5:Mostre que em R2 toda matriz de:

(a) projeção ortogonal possui a forma

[
a b
b c

]
;

(b) reflexão possui a forma

[
a b
b −a

]
.

Des 5.6:Mostre que se H,W são subespaços de um espaço vetorial então:
(a) H⊥ ∩W⊥ ⊂ (H ∩W )⊥; (b) (H⊥)⊥ = H.
Des 5.7:Mostre dada matriz invertível A existem S auto-adjunta (ST = S) e Q ortogonal
(QT = Q−1) tais que A = SQ. Esta é chamada de decomposição polar de A, em analogia

4

Adaptado de [6].

5

Veja [7] p.289, sec. 8.2 #10.

5.9. EXERCÍCIOS DE PRODUTO INTERNO 165

com complexos: S é o módulo (esticamento) e Q a parte angular (rotação). Prove que ela é
única.

Des 5.8:Encontre o polinômio p(x) = xn + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ a0 para o qual a integral∫ 1
−1
p2(x) dx

é o menor valor possível.

Des 5.9:Dado T ∈ L(V ;W ), defina ‖T‖ = max
‖u‖V =1

‖T (u)‖W . Prove que isto define uma
norma nos espaço das TLs.

Des 5.10: Interprete o algoritmo de Gram-Schmidt como uma decomposição A = QR, com
Q ortogonal e R triangular superior.

Des 5.11: Prove que a matriz de rotação anti-horária por um ângulo θ em torno do eixo
(a, b, c) ∈ R3, com a2 + b2