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DisciplinaÁlgebra Linear II897 materiais7.977 seguidores
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(a) projeção ortogonal no eixo y, P (x, y, z) = ( , , );
(b) projeção ortogonal no plano xy, P (x, y, z) = ( , , );
(c) re\ufb02exão em torno do plano xz, P (x, y, z) = ( , , ).
5.9.2 Problemas
Prob 5.1:Determine se os conjuntos abaixo são ortogonais:
(a)
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 \u221214
\u22123
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 52
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 3\u22124
\u22127
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe; (b)
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
\u22122
1
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u22121
3
\u22123
4
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
8
7
0
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8fe
Prob 5.2:Calcule a distância entre os vetores
\uf8ee\uf8f0 43
\u22123
\uf8f9\uf8fb
e
\uf8ee\uf8f0 \u22123\u22121
2
\uf8f9\uf8fb
.
Prob 5.3:Encontre uma base de H\u22a5, onde
(a) H é a reta em R2 dada por 2x+ 3y = 0;
(b) H é o plano em R3 dado por x\u2212 y + z = 0;
(c) H = \u3008(1, 3, 1), (3, 1, 2), (2, \u22122, 1)\u3009 \u2282 R3;
(d) H = span
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
\u22122
\u22122
1
\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
1
1
0
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
2
2
\u22123
\u22125
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\uf8fc\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fd\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8fe \u2282 R
5.
Prob 5.4: Seja P : R4 \u2192 R4 a projeção ortogonal na reta gerada por (1, 0, \u22121, 0). Calcule
(a) P (x, y, z, w); (b) P 100(x, y, z, w).
Dica: Não tente calcular P 100 explicitamente!
Prob 5.5:Encontre as matrizes das TLs T : Rn \u2192 Rn:
(a) n = 2, projeção ortogonal na reta {(2t,\u2212t) \u2208 R2; para t \u2208 R};
(b) n = 3, projeção ortogonal sobre o plano x = z.
Prob 5.6: Seja T : R3 \u2192 R3 uma rotação em relação ao eixo (1, 0, 1). Sabe-se que
T (0, 1, 0) = (\u22121/\u221a2, 0, \u22121/\u221a2). Determine o ângulo de rotação.
Dica: pense no plano perpendicular ao eixo de rotação.
Prob 5.7:
3
Use mínimos quadrados para julgar se a moeda deste experimento é honesta.
jogadas 8 16 24 32 40
caras 4 9 13 17 20
3
Adaptado de [6].
162 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Prob 5.8: Sejam H =
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
3
0
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
3
\u22121
\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
0
3
\u22123
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
e v =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
7
1
3
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb . Calcule PHv.
Prob 5.9:Encontre a melhor aproximação de
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
3
\u22127
2
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb por vetores da forma
a
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2
\u22121
\u22123
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb+ b
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
0
\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb , com a, b \u2208 R.
Prob 5.10: Seja A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1 1 0
1 1 0
1 0 1
1 0 1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb e b =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
3
8
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
(a) Encontre o conjunto-solução do problema de mínimos quadrados associado ao sistema
linear Ax = b;
(b) Use o item anterior para calcular P
Im(A)
b. (Dica: você pode usar qualquer solução
do problema de mínimos quadrados.)
5.9.3 Extras
Ext 5.1:Encontre uma base para H\u22a5 se:
(a) H = \u3008(1, \u22123, 1, 2), (2, \u22121, 2, 0), (\u22124, \u22123, \u22124, 4)\u3009 \u2282 R4;
(b) H = \u3008(1, 0, 1, 3), (1, 2, 0, 1)\u3009 \u2282 R4;
(c) H é a interseção dos planos x\u2212 y \u2212 z = 0 e 2x\u2212 y + z = 0;
(d) H é a reta em R3 parametrizada por (x(t), y(t), z(t)) = (2t, \u2212t, 3t);
Ext 5.2: Seja v \u2208 V um vetor não nulo. Prove que a matriz de projeção ortogonal na direção
v é dada por
P\u3008v\u3009 =
vvT
\u2016v\u2016 .
Ext 5.3:Encontre as matrizes das TLs T : Rn \u2192 Rn:
(a) n = 2, projeção ortogonal na reta 2x\u2212 4y = 0;
(b) n = 2, projeção ortogonal na reta \u3008(0, \u22122)\u3009;
(c) n = 2, re\ufb02exão em torno da reta 2x\u2212 4y = 0;
(d) n = 2, re\ufb02exão em torno da reta y = 3x.
(e) n = 2, projeção ortogonal na reta y = x seguida de rotação de 45\u25e6;
(f) n = 4, projeção ortogonal sobre o plano
{
x\u2212 w = 0
y = z = 0
(g) n = 3, rotação de 45\u25e6 em torno do eixo (1, 1, 1) (deixe indicado como produto de
matrizes, não precisa explicitar o produto).
Ext 5.4: Seja H subespaço vetorial. Mostre que H \u2229H\u22a5 = {0}.
Ext 5.5:Em cada item dê um exemplo de uma TL satisfazendo as condições dadas:
(a) R : R2 \u2192 R2 uma re\ufb02exão com R(0, 1) = (0, \u22121),
5.9. EXERCÍCIOS DE PRODUTO INTERNO 163
(b) P : R2 \u2192 R2 uma projeção ortogonal numa reta com P (1, 1) = (1, 1);
(c) T : R3 \u2192 R3 uma re\ufb02exão tal que T (2, 2, 2) = (0, 0, 1).
(d) T : R3 \u2192 R3 uma projeção ortogonal tal que T (2, 1, 2) = (2, 3/2, 3/2).
Ext 5.6: Seja R\u3b8 uma rotação do plano de \ufffdângulo \u3b8. Sabendo que R\u3b8(
\u221a
3, \u22121) = (2, 0) e
R\u3b8(
\u221a
3, 1) = (1,
\u221a
3), determine \u3b8.
Ext 5.7: Seja R uma re\ufb02exão em torno da reta 3x + 5y = 0 e P uma projeção ortogonal
nesta reta.
(a) Determine um vetor v 6= 0 tal que Pv = v;
(b) Determine um vetor v 6= 0 tal que Rv = \u2212v;
(c) Calcule o núcleo de P .
(d) Calcule o núcleo de R.
Dica: não precisa calcular nem P nem R explicitamente.
Ext 5.8: Seja {v1,v2, . . . ,vn} uma base de V e w \u2208 V tal que \u3008vi,w\u3009 = 0 para todo
i = 1, . . . , n. Prove que w = 0.
Ext 5.9: (Teorema de Pitágoras generalizado) Sejam v1,v2, . . . ,vn vetores ortogonais dois a
dois, isto é, \u3008vi,vj\u3009 = 0 se i 6= j. Prove que
\u2016v1 + · · ·+ vn\u20162 = \u2016v1\u20162 + · · ·+ \u2016vn\u20162.
Ext 5.10:
(a) Encontre a equação y = ax + b da reta que melhor ajusta os pontos (0, 1), (1, 1),
(2, 2) e (3, 2).
(b) Esboce um grá\ufb01co ilustrando o item anterior.
(c) Use sua resposta ao item (a) para encontrar a projeção ortogonal de
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
2
2
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb sobre
\u2329\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
1
1
1
1
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0
1
2
3
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb
\u232a
.
Ext 5.11:A força aplicada numa mola e sua distenção estão relacionadas por uma relação
linear. Para determinar esta relação para uma certa mola \ufb01zemos medidas de distensões e
obtemos a seguinte tabela:
força aplicada y (N) distenção x (cm)
0,5 0,6
1,0 0,9
1,5 1,7
2,0 2,1
2,5 2,4
Monte o sistema (sobredeterminado) que determina a, b da reta y = ax+ b e resolva por
mínimos quadráticos.
Ext 5.12:Determine a reta que melhor se ajusta aos seguintes pontos: (0, 1.1), (1, 2.1) e
(2, 3.0).
164 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Ext 5.13:Dado que \u3b2 =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\uf8ee\uf8f0 10
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 \u221214
1
\uf8f9\uf8fb ,
\uf8ee\uf8f0 21
\u22122
\uf8f9\uf8fb\uf8fc\uf8fd\uf8fe é base ortogonal de R3, expresse
[v]\u3b2, onde v =
\uf8ee\uf8f0 8\u22124
\u22123
\uf8f9\uf8fb
.
Dica: Não resolva nenhum sistema linear!
Ext 5.14:De\ufb01na em C([0, 1];R) o produto interno \u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
0
f(s)g(s) ds. Calcule:
(a) \u3008x, x2\u3009; (b) \u3008x2, x3\u3009; (c) \u20161\u2212 x\u2016.
5.9.4 Desa\ufb01os
Des 5.1:
4
Uma TL P : Rn \u2192 Rn é dita projeção (não é necessariamente ortogonal!) se
P 2 = P .
(a) Mostre que uma projeção ortogonal possui esta propriedade;
(b) Mostre que existe uma base tal que P (vi) = vi para i < k e P (vi) = 0 para i \u2265 k.
(c) Mostre que nesta base P é da forma em blocos
[
I 0
0 0
]
.
Des 5.2: Seja V espaço vetorial com produto interno e {u\u3021, u\u3022, u\u3023, u\u3024, u\u3025} base ortonormal
de V . Seja
H = \u3008u\u3022 + 2u\u3023 + u\u3024 + u\u3025, \u22122u\u3022 \u2212 4u\u3023 \u2212 2u\u3024 \u2212 4u\u3025, u\u3022 + 2u\u3023 + 2u\u3024 + 3u\u3025\u3009 .
Encontre uma base para H\u22a5.
Des 5.3: Sejam A,B \u2208 Mn×n. De\ufb01na \u3008A,B\u3009 = traço(ABT ) (Veja de\ufb01nição no Ext 7.4.3
da p.212).
(a) prove que é um produto interno;
(b) se A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191v1
\u2193
· · ·
\u2191
vn
\u2193
\uf8f9\uf8fb
, prove que \u2016A\u2016 (norma de A) induzida pelo produto interno
satisfaz:
\u2016A\u20162 = \u2016v1\u20162 + · · ·+ \u2016vn\u20162.
(c)
5
encontre o complemento ortogonal do subespaço das matrizes diagonais.
Des 5.4: Seja D \u2208 Mn×n uma matriz diagonal tal que todos elementos da diagonal são
positivos não-nulos. Mostre que \u3008u,v\u3009 = vTDu é um produto interno para u,v \u2208 Rn.
Des 5.5:Mostre que em R2 toda matriz de:
(a) projeção ortogonal possui a forma
[
a b
b c
]
;
(b) re\ufb02exão possui a forma
[
a b
b \u2212a
]
.
Des 5.6:Mostre que se H,W são subespaços de um espaço vetorial então:
(a) H\u22a5 \u2229W\u22a5 \u2282 (H \u2229W )\u22a5; (b) (H\u22a5)\u22a5 = H.
Des 5.7:Mostre dada matriz invertível A existem S auto-adjunta (ST = S) e Q ortogonal
(QT = Q\u22121) tais que A = SQ. Esta é chamada de decomposição polar de A, em analogia
4
Adaptado de [6].
5
Veja [7] p.289, sec. 8.2 #10.
5.9. EXERCÍCIOS DE PRODUTO INTERNO 165
com complexos: S é o módulo (esticamento) e Q a parte angular (rotação). Prove que ela é
única.
Des 5.8:Encontre o polinômio p(x) = xn + an\u22121xn\u22121 + · · ·+ a1x+ a0 para o qual a integral\u222b 1
\u22121
p2(x) dx
é o menor valor possível.
Des 5.9:Dado T \u2208 L(V ;W ), de\ufb01na \u2016T\u2016 = max
\u2016u\u2016V =1
\u2016T (u)\u2016W . Prove que isto de\ufb01ne uma
norma nos espaço das TLs.
Des 5.10: Interprete o algoritmo de Gram-Schmidt como uma decomposição A = QR, com
Q ortogonal e R triangular superior.
Des 5.11: Prove que a matriz de rotação anti-horária por um ângulo \u3b8 em torno do eixo
(a, b, c) \u2208 R3, com a2 + b2