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+ c2 = 1 é:\uf8ee\uf8f0 a2(1\u2212 cos \u3b8) + cos \u3b8 ab(1\u2212 cos \u3b8)\u2212 c sen \u3b8 ac(1\u2212 cos \u3b8) + b sen \u3b8ab(1\u2212 cos \u3b8) + c sen \u3b8 b2(1\u2212 cos \u3b8) + cos \u3b8 bc(1\u2212 cos \u3b8)\u2212 a sen \u3b8
ac(1\u2212 cos \u3b8)\u2212 b sen \u3b8 bc(1\u2212 cos \u3b8) + a sen \u3b8 c2(1\u2212 cos \u3b8) + cos \u3b8
\uf8f9\uf8fb .
Conclua que se A é matriz de rotação, o ângulo \u3b8 de rotação satisfaz cos \u3b8 = (traço(A)\u2212
1)/2.
Dica: Mude base levando o eixo-z em (a, b, c) e utilize matriz de rotação no plano xy.
Des 5.12: Suponha que R é uma rotação em R3 em torno de um eixo \ufb01xo.
(a) prove que existe uma base \u3b2 do R3 tal que [R]\u3b2 =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 cos \u3b8 \u2212 sen \u3b8
0 sen \u3b8 cos \u3b8
\uf8f9\uf8fb
;
(b) Prove que
6
se w \u2208 R3 é um vetor não-nulo que não pertença ao plano de rotação
então v = Rw +RTw + (I \u2212 traço(R))w determina o eixo de rotação de R.
6
Veja [1].
166 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO
Cap\u131´tulo 6
Determinante
Vamos responder as seguintes perguntas sobre o determinante:
(a) O que é?
(b) Quais são suas propriedades?
(c) Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)?
(d) Qual a utilidade?
Note que saber o que é não é o mesmo que saber como se calcula.
O que é o determinante?
O determinante é uma função que associa a cada matriz real quadrada A um número
denotado por det(A). Desta forma, det : {matrizes quadradas} \u2192 R. O determinante é
uma generalização de área e volume.
Nosso plano é deduzir propriedades (linearidade por exemplo) do determinante por ser
área (e volume) no R2 e em Rn inverter o procedimento, de\ufb01nindo o determinante através
destas propriedades. Depois disso apresentamos um algoritmo para o cálculo do determinante.
Qual a utilidade do determinante?
(a) caracterizar matrizes não-invertíveis (isto é, as matrizes singulares) \ufffd fundamental para
o Capítulo de Autovalores e Autovetores;
(b) determinar os chamados autovalores de uma matriz, tema do próximo capítulo;
(c) relacionar áreas/volumes de regiões do plano/espaço após aplicação de uma função \ufffd
fundamental em mudança de variáveis de integral múltipla;
(d) obter fórmula de solução de sistema linear (regra de Cramer);
(e) obter fórmula da matriz inversa (veja Wikipedia: Matriz inversa).
6.1 Motivação Geométrica
O determinante de uma matriz quadrada é uma generalização de área e volume. Em R2, dada
matriz A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb = [ a c
b d
]
, associe o paralelogramo P com vértices na extremidade
dos vetores 0,u,v,u + v, conforme indicado na Figura 6.1.
1
Versão 28.jun.2012 16h
167
168 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
u
0
v
u + v
Figura 6.1: Paralelogramo Gerado por u e v
O determinante de A será de\ufb01nido como a área1 de P . Vamos deduzir uma fórmula da
área do paralelogramo P . Para isto sejam u = (a, b) e v = (c, d). A área de P é igual a área
do retângulo (a+ c)(b+ d) menos a soma das áreas T1, T2, T3, T4 dos triângulos e trapézios
indicados na Figura 6.2. Calculando as áreas:
T1 = ab/2, T2 = c(2b+ d)/2, T3 = b(2c+ a)/2, T4 = cd/2.
Efetuando, área(P ) = (a+ c)(b+ d)\u2212 [ab/2 + c(b+ d/2) + b(c+ a/2) + cd/2] = ad\u2212 bc.
x
y
u
v
b
c a a+ c
d
b+ d
T1 T2
T3
T4 P
Figura 6.2: Dedução da Área do Paralelogramo Gerado por u e v
Isto motiva a seguinte de\ufb01nição.
De\ufb01nição 6.1 (determinante de matriz 2× 2) Considere a matriz
[
a c
b d
]
.
De\ufb01nimos o determinante (det) da matriz por:
det
([
a c
b d
])
= ad\u2212 bc.
1
Na verdade área com sinal de P : Leia Observação 6.1 e a Seção 6.7 da p.185. Vamos supor que u e v
estão na con\ufb01guração da Figura 6.2 pois senão (se u estiver no 2o quadrante por exemplo) poderíamos obter
bc\u2212 ad ao invés de ad\u2212 bc.
6.1. MOTIVAÇÃO GEOMÉTRICA 169
Observação 6.1 (área com sinal) Note que det
([
1 0
0 1
])
= 1 =
\u2212 det
([
0 1
1 0
])
= \u2212(\u22121): trocando duas colunas o sinal do determinante se in-
verte. De fato a área é o módulo do determinante. Assim é mais preciso dizer que o
determinante generaliza área com sinal.
Área com sinal aparece no cálculo, quando a integral de uma função é associada a área
(com sinal) entre a curva e o eixo-x: área acima do eixo é considerada positiva e abaixo
é considerada negativa. Se a integral fosse simplesmente a área,
\u222b 1
0
x2 dx e
\u222b 1
0
\u2212x2 dx
seriam ambas estritamente positivas e portanto
\u222b 1
0
x2 dx+
\u222b 1
0
\u2212x2 dx 6= \u222b 1
0
(x2\u2212 x2) dx =\u222b 1
0
0 dx = 0. Com isto a integral não seria linear com relação a soma (integral da soma
de duas funções é igual a soma das integrais). Por razões análogas o determinante é área
com sinal (para ser linear).
Em R3 (a fórmula vai aparecer em breve!), podemos de\ufb01nir o determinante da seguinte
forma.
De\ufb01nição 6.2 (determinante de matriz 3× 3) Considere a matriz A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
,
com u,v,w \u2208 R3. Associamos a esta matriz o paralelepípedo P gerado por u,v,w, conforme
indicado na Figura 6.3. De\ufb01nimos o determinante de A como o volume (com sinal) do
paralelepípedo P .
0
w uv
Figura 6.3: Paralelepípedo Gerado por u,v e w
Antes de de\ufb01nir o determinante para matrizes n×n vamos veri\ufb01car algumas propriedades
da área no R2. Convidamos o leitor a veri\ufb01car propriedades similares do volume em R3. As
\ufb01guras que seguem não representam todos os casos possíveis e são de caráter motivacional.
Retomamos o rigor matemático a partir do Teorema 6.3 da p.171.
Propriedade 1a: Multiplicação por escalar
(1a) det
\uf8ee\uf8f0 \u2191ku
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb = k det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
(se multiplicarmos uma coluna por k o determi-
nante será multiplicado por k).
Conforme sugerido pela Figura 6.4, se multiplicamos o vetor u por 2 duplicamos a área, por
3 triplicamos a área e assim por diante. O mesmo ocorre com frações, como por exemplo mul-
170 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
tiplicando u por 3, 5. Em R3, se multiplicamos uma aresta por k o volume do paralelepípedo
é multiplicado por k.
0
v
u
2u
3u
3, 5u
w
0
v
u
2u
3u
3, 5u
Figura 6.4: Produto por Escalar e Mudança de Área e Volume
Propriedade 1b: Soma de vetores
(1b) det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u + v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb = det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
(determinante da soma de dois
vetores é igual a soma dos determinantes).
0 w
u
v
u + v
u1
v1
u1 + v1
Figura 6.5: Soma de Vetores e Mudança de Área
Vamos motivar
1
este resultado através da Figura 6.5. Queremos provar que a soma das
área do paralelogramo gerado por u e w com a área do paralelogramo gerado por v e w é
igual a área do paralelogramo gerado por u + v e w. Observe que os três paralelogramos
possuem a aresta da base w em comum. Como a área é base vezes altura, basta comparar
as alturas. As alturas são as projeções ortogonais de u = (u1, u2) e v = (v1, v2) na direção
perpendicular a w, ou seja u1 e v1. Como u + v = (u1 + v1, u2 + v2), a projeção ortogonal
de u + v é u1 + v1. Logo a altura do paralelogramo maior é igual a soma das alturas dos
menores e concluímos o resultado.
Em R3 podemos fazer algo análogo com paralelepípedos. Deixamos os detalhes para o
leitor (ou para o professor).
Propriedade 1 (resumo): Determinante é Linear em cada coluna.
Juntando as Propriedades 1(a) e 1(b) e observando que o raciocínio vale para segunda
coluna da matriz também. Concluímos que o determinante é linear na primeira ou na segunda
1
Note que estamos colocando os vetores em uma posição particular, com w paralelo ao eixo x por exemplo.
Mas a Figura 6.5 é somente uma ilustração da relação entre a Propriedade 1b e área.
6.2. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES BÁSICAS 171
coluna. Assim dados u,v,w \u2208 R2 e k \u2208 R:
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191ku + v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb = k det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
kv + w
\u2193
\uf8f9\uf8fb = k det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
De forma análoga em R3 o determinante é linear na primeira, segunda ou terceira coluna.
Assim dados u,v,w,