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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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+ c2 = 1 é: a2(1− cos θ) + cos θ ab(1− cos θ)− c sen θ ac(1− cos θ) + b sen θab(1− cos θ) + c sen θ b2(1− cos θ) + cos θ bc(1− cos θ)− a sen θ

ac(1− cos θ)− b sen θ bc(1− cos θ) + a sen θ c2(1− cos θ) + cos θ

 .
Conclua que se A é matriz de rotação, o ângulo θ de rotação satisfaz cos θ = (traço(A)−

1)/2.
Dica: Mude base levando o eixo-z em (a, b, c) e utilize matriz de rotação no plano xy.

Des 5.12: Suponha que R é uma rotação em R3 em torno de um eixo fixo.

(a) prove que existe uma base β do R3 tal que [R]β =

 1 0 00 cos θ − sen θ
0 sen θ cos θ


;

(b) Prove que

6

se w ∈ R3 é um vetor não-nulo que não pertença ao plano de rotação
então v = Rw +RTw + (I − traço(R))w determina o eixo de rotação de R.

6

Veja [1].

166 CAPÍTULO 5. PRODUTO INTERNO

Capı´tulo 6
Determinante
Vamos responder as seguintes perguntas sobre o determinante:

(a) O que é?

(b) Quais são suas propriedades?

(c) Como se calcula (Qual é a fórmula ou algoritmo para o cálculo)?

(d) Qual a utilidade?

Note que saber o que é não é o mesmo que saber como se calcula.

O que é o determinante?

O determinante é uma função que associa a cada matriz real quadrada A um número
denotado por det(A). Desta forma, det : {matrizes quadradas} → R. O determinante é
uma generalização de área e volume.

Nosso plano é deduzir propriedades (linearidade por exemplo) do determinante por ser

área (e volume) no R2 e em Rn inverter o procedimento, definindo o determinante através
destas propriedades. Depois disso apresentamos um algoritmo para o cálculo do determinante.

Qual a utilidade do determinante?

(a) caracterizar matrizes não-invertíveis (isto é, as matrizes singulares) � fundamental para

o Capítulo de Autovalores e Autovetores;

(b) determinar os chamados autovalores de uma matriz, tema do próximo capítulo;

(c) relacionar áreas/volumes de regiões do plano/espaço após aplicação de uma função �

fundamental em mudança de variáveis de integral múltipla;

(d) obter fórmula de solução de sistema linear (regra de Cramer);

(e) obter fórmula da matriz inversa (veja Wikipedia: Matriz inversa).

6.1 Motivação Geométrica

O determinante de uma matriz quadrada é uma generalização de área e volume. Em R2, dada

matriz A =

 ↑u
↓

↑
v
↓

 = [ a c
b d

]
, associe o paralelogramo P com vértices na extremidade

dos vetores 0,u,v,u + v, conforme indicado na Figura 6.1.

1

Versão 28.jun.2012 16h

167

168 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE

u

0

v
u + v

Figura 6.1: Paralelogramo Gerado por u e v

O determinante de A será definido como a área1 de P . Vamos deduzir uma fórmula da
área do paralelogramo P . Para isto sejam u = (a, b) e v = (c, d). A área de P é igual a área
do retângulo (a+ c)(b+ d) menos a soma das áreas T1, T2, T3, T4 dos triângulos e trapézios
indicados na Figura 6.2. Calculando as áreas:

T1 = ab/2, T2 = c(2b+ d)/2, T3 = b(2c+ a)/2, T4 = cd/2.

Efetuando, área(P ) = (a+ c)(b+ d)− [ab/2 + c(b+ d/2) + b(c+ a/2) + cd/2] = ad− bc.

x

y

u

v

b

c a a+ c

d

b+ d

T1 T2

T3

T4 P

Figura 6.2: Dedução da Área do Paralelogramo Gerado por u e v

Isto motiva a seguinte definição.

Definição 6.1 (determinante de matriz 2× 2) Considere a matriz
[
a c
b d

]
.

Definimos o determinante (det) da matriz por:

det

([
a c
b d

])
= ad− bc.

1

Na verdade área com sinal de P : Leia Observação 6.1 e a Seção 6.7 da p.185. Vamos supor que u e v
estão na configuração da Figura 6.2 pois senão (se u estiver no 2o quadrante por exemplo) poderíamos obter
bc− ad ao invés de ad− bc.

6.1. MOTIVAÇÃO GEOMÉTRICA 169

Observação 6.1 (área com sinal) Note que det

([
1 0
0 1

])
= 1 =

− det
([

0 1
1 0

])
= −(−1): trocando duas colunas o sinal do determinante se in-
verte. De fato a área é o módulo do determinante. Assim é mais preciso dizer que o

determinante generaliza área com sinal.

Área com sinal aparece no cálculo, quando a integral de uma função é associada a área

(com sinal) entre a curva e o eixo-x: área acima do eixo é considerada positiva e abaixo

é considerada negativa. Se a integral fosse simplesmente a área,

∫ 1
0
x2 dx e

∫ 1
0
−x2 dx
seriam ambas estritamente positivas e portanto

∫ 1
0
x2 dx+

∫ 1
0
−x2 dx 6= ∫ 1

0
(x2− x2) dx =∫ 1

0
0 dx = 0. Com isto a integral não seria linear com relação a soma (integral da soma
de duas funções é igual a soma das integrais). Por razões análogas o determinante é área

com sinal (para ser linear).

Em R3 (a fórmula vai aparecer em breve!), podemos definir o determinante da seguinte
forma.

Definição 6.2 (determinante de matriz 3× 3) Considere a matriz A =
 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
w
↓


,

com u,v,w ∈ R3. Associamos a esta matriz o paralelepípedo P gerado por u,v,w, conforme
indicado na Figura 6.3. Definimos o determinante de A como o volume (com sinal) do
paralelepípedo P .

0

w uv

Figura 6.3: Paralelepípedo Gerado por u,v e w

Antes de definir o determinante para matrizes n×n vamos verificar algumas propriedades
da área no R2. Convidamos o leitor a verificar propriedades similares do volume em R3. As
figuras que seguem não representam todos os casos possíveis e são de caráter motivacional.

Retomamos o rigor matemático a partir do Teorema 6.3 da p.171.

Propriedade 1a: Multiplicação por escalar

(1a) det

 ↑ku
↓

↑
w
↓

 = k det
 ↑u
↓

↑
w
↓


(se multiplicarmos uma coluna por k o determi-

nante será multiplicado por k).
Conforme sugerido pela Figura 6.4, se multiplicamos o vetor u por 2 duplicamos a área, por

3 triplicamos a área e assim por diante. O mesmo ocorre com frações, como por exemplo mul-

170 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE

tiplicando u por 3, 5. Em R3, se multiplicamos uma aresta por k o volume do paralelepípedo
é multiplicado por k.

0

v

u
2u

3u

3, 5u

w

0

v

u
2u

3u

3, 5u

Figura 6.4: Produto por Escalar e Mudança de Área e Volume

Propriedade 1b: Soma de vetores

(1b) det

 ↑u + v
↓

↑
w
↓

 = det
 ↑u
↓

↑
w
↓

+ det
 ↑v
↓

↑
w
↓


(determinante da soma de dois

vetores é igual a soma dos determinantes).

0 w

u

v

u + v

u1
v1

u1 + v1

Figura 6.5: Soma de Vetores e Mudança de Área

Vamos motivar

1

este resultado através da Figura 6.5. Queremos provar que a soma das

área do paralelogramo gerado por u e w com a área do paralelogramo gerado por v e w é
igual a área do paralelogramo gerado por u + v e w. Observe que os três paralelogramos
possuem a aresta da base w em comum. Como a área é base vezes altura, basta comparar
as alturas. As alturas são as projeções ortogonais de u = (u1, u2) e v = (v1, v2) na direção
perpendicular a w, ou seja u1 e v1. Como u + v = (u1 + v1, u2 + v2), a projeção ortogonal
de u + v é u1 + v1. Logo a altura do paralelogramo maior é igual a soma das alturas dos
menores e concluímos o resultado.

Em R3 podemos fazer algo análogo com paralelepípedos. Deixamos os detalhes para o
leitor (ou para o professor).

Propriedade 1 (resumo): Determinante é Linear em cada coluna.

Juntando as Propriedades 1(a) e 1(b) e observando que o raciocínio vale para segunda

coluna da matriz também. Concluímos que o determinante é linear na primeira ou na segunda

1

Note que estamos colocando os vetores em uma posição particular, com w paralelo ao eixo x por exemplo.
Mas a Figura 6.5 é somente uma ilustração da relação entre a Propriedade 1b e área.

6.2. DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES BÁSICAS 171

coluna. Assim dados u,v,w ∈ R2 e k ∈ R:

det

 ↑ku + v
↓

↑
w
↓

 = k det
 ↑u
↓

↑
w
↓

+ det
 ↑v
↓

↑
w
↓


e

det

 ↑u
↓

↑
kv + w
↓

 = k det
 ↑u
↓

↑
v
↓

+ det
 ↑u
↓

↑
w
↓


De forma análoga em R3 o determinante é linear na primeira, segunda ou terceira coluna.
Assim dados u,v,w,