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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.584 seguidores
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z ∈ R3 e k ∈ R:

det

 ↑ku + z
↓

↑
v
↓

↑
w
↓

 = k det
 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
w
↓

+ det
 ↑z
↓

↑
v
↓

↑
w
↓


e

det

 ↑u
↓

↑
kv + z
↓

↑
w
↓

 = k det
 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
w
↓

+ det
 ↑u
↓

↑
z
↓

↑
w
↓


e

det

 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
kw + z
↓

 = k det
 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
w
↓

+ det
 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
z
↓


Propriedade 2: Determinante é zero se vetores são LDs.

Se os vetores são linearmente dependentes (LDs) o paralelogramo será degenerado num

segmento de reta ou ponto, que possui área zero. Em R3, se os 3 vetores coluna da matriz
forem LDs o paralelepípedo vai se degenerar num paralelogramo ou segmento de reta ou

ponto, que possui volume zero. Portanto, se os vetores são LDs o determinante é zero.

Propriedade 3: Determinante da matriz identidade é 1.

A área e volume devem ter uma unidade de medida. Como um quadrado de lado 1 possui

área 1, det

[
1 0
0 1

]
= det

 ↑e1
↓

↑
e2
↓

 = det I = 1 Do mesmo modo o um cubo de lado 1
possui volume 1, det

 1 0 00 1 0
0 0 1

 = det
 ↑e1
↓

↑
e2
↓

↑
e3
↓

 = det I = 1.

6.2 Definição e Propriedades Básicas

A definição de determinante é baseada num fato surpreendente expresso no próximo teorema:

existe uma única função com as propriedades da função área e volume apresentadas na seção

anterior.

Teorema 6.3 (caracterização algébrica do determinante) Considere o conjunto

Mn×n das matrizes reais1 quadradas n × n. Existe uma única função det : Mn×n → R
com as seguintes propriedades:

Propriedade 1: é linear em cada coluna;

Propriedade 2: é zero se as colunas são LDs;

2

Propriedade 3: det(I) = 1.

172 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE

Prova: Consulte [7].

Definição 6.4 (determinante) O determinante de uma matriz quadrada A é a função
dada pelo teorema acima. O determinante de uma transformação linear T : Rn → Rn é
igual ao determinante da matriz A (dada pelo Lema 4.5 da p.94) que representa T .

Observação 6.2 Embora completa, a definição acima não apresenta (diretamente) uma

fórmula para calcular o determinante. Deixo para reflexão do leitor o que disse Klaus Jänich

(veja [8]):

�Se você ainda acha que a informação mais importante acerca de um objeto

matemático é uma fórmula para calcular o seu valor, certamente você

compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas,

mas com conhecimentos apenas superficiais de matemática.�

Observação 6.3 A Propriedade 1 (linearidade) não significa que det(A+B) = det(A)+

det(B). Por exemplo, det

([
1 0
0 1

]
+

[
1 0
0 1

])
= det

[
2 0
0 2

]
= 4 6= det

[
1 0
0 1

]
+

det

[
1 0
0 1

]
= 1 + 1 = 2.

Podemos chegar ao resultado correto usando linearidade da seguinte forma:

det(2I) = det

 ↑2e1
↓

↑
2e2
↓

 = (linearidade na primeira coluna) 2 det
 ↑e1
↓

↑
2e2
↓

 =
(linearidade na segunda coluna) 2 · 2 det

 ↑e1
↓

↑
e2
↓

 = 4.

Exemplo 6.1 Calcule:

(a) det

 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
3u− 5v
↓


; (b) det(2I) se I é a matriz identidade n× n.

Solução: (a) Como w = 3u−5v é múltiplo dos outros dois, isto é, pertence ao plano 〈u,v〉,
o paralelepípedo é degenerado, possuindo volume igual a 0. Logo, det = 0.
(b) Por linearidade retiramos um 2 de cada vez: det(2I) = det[2e12e2 · · · 2en] =

= 2 det[e12e2 · · · 2en] = 22 det[e1e2 · · · 2en] = 2n det[e1e2 · · · en] = 2n det I = 2n.
Lema 6.5 Propriedade 4: Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal.

Prova: Vamos provar no caso 2 × 2. O caso geral é provado de forma similar com mais
colunas. Pela linearidade (Propriedade 1),

det

 ↑u + v
↓

↑
u + v
↓

 = det
 ↑u
↓

↑
u + v
↓

+ det
 ↑v
↓

↑
u + v
↓

 =
1

De forma geral (veja Definição 2.2 da p.30) det :Mn×n(K)→ K, com K = R,C,Q, etc.
2

São equivalentes assumir que determinante: (a) é zero se colunas são LDs + Prop 1; ou (b) é zero se

duas colunas são iguais + Prop 1; ou (c) troca de sinal se trocarmos duas colunas + Prop 1.

De fato pode-se escolher Prop 1 + (b) ou Prop 1 + (c) ao invés de nossa escolha por Prop 1 + (a).

6.3. CALCULANDO DETERMINANTE 173

= det

 ↑u
↓

↑
u
↓

+ det
 ↑u
↓

↑
v
↓

+ det
 ↑v
↓

↑
u
↓

+ det
 ↑v
↓

↑
v
↓

 .
Pela Propriedade 2 (determinante é zero se colunas são LDs)

det

 ↑u + v
↓

↑
u + v
↓

 = det
 ↑u
↓

↑
u
↓

 = det
 ↑v
↓

↑
v
↓

 = 0.
Logo det

 ↑u
↓

↑
v
↓

+ det
 ↑v
↓

↑
u
↓

 = 0, isto é, det
 ↑u
↓

↑
v
↓

 = − det
 ↑v
↓

↑
u
↓


.

6.3 Calculando Determinante

6.3.1 Fórmula do Determinante em R2 e R3: Regra de Sarrus
Vamos deduzir as fórmulas (bem conhecidas) do determinante de uma matriz 2 × 2 e 3 × 3
utilizando o as propriedades do Teorema 6.3 da p.171. O objetivo é mostrar como poderíamos

fazer para deduzir a fórmula para uma matriz n× n para qualquer n ∈ N.
Fórmula do determinante de matriz 2× 2

Considere A =

 ↑u
↓

↑
v
↓

 = [ a c
b d

]
. Como u = ae1 + be2, pela linearidade (1a coluna),

det(A) = a det
[

e1 v
]

+ b det
[

e2 v
]
. Como v = ce1 + de2, pela linearidade (2a
coluna),

det(A) = a
(
c det

[
e1 e1

]
+ d det

[
e1 e2

])
+ b
(
c det

[
e2 e1

]
+ d det

[
e2 e2

])
.

Como o determinante se anula se as colunas são iguais (LDs) obtemos

det(A) = ad det
[

e1 e2
]

+ bc det
[

e2 e1
]
.

Trocando coluna (Lema 6.5) e pela Propriedade 3, det(A) = ad · 1 + bc(˙− 1) = ad− bc.
Fórmula do determinante de matriz 3× 3
Antes de deduzir a fórmula, é importante o leitor estudar o exemplo abaixo.

Exemplo 6.2 Determine o valor dos determinantes de cada matriz:

(a)

[
e2 e1 e3

]
; (b)

[
e3 e2 e1

]
; (c)

[
e3 e2 e3

]
; (d)

[
e2 e3 e1

]
.

Solução: (a) É uma troca (1a com 2a coluna) para obter a matriz I: det = −1.
(b) É uma troca (1a com 3a coluna) para obter a matriz I: det = −1.
(c) Como possui duas colunas iguais, det = 0
(d) São 2 trocas (1a com 2a, 2a com 3a) para obter I: det = 1.

Considere A =

 ↑u
↓

↑
v
↓

↑
w
↓

 =
 a d gb e h
c f i


. Como u = ae1+be2+ce3, pela linearidade

(1a coluna), det(A) = a det
[

e1 v w
]
+b det

[
e2 v w

]
+c det

[
e3 v w

]
. Vamos

174 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE

prosseguir com o primeiro dos três termos. Como v = de1 + ee2 + fe3, pela linearidade (2a
coluna),

a det
[

e1 v w
]

= a
(
d det

[
e1 e1 w

]
+ e det

[
e1 e2 w

]
+ f det

[
e1 e3 w

])
.

O primeiro termo vale zero pois têm duas colunas iguais. Assim,

a det
[

e1 v w
]

= a
(
e det

[
e1 e2 w

]
+ f det

[
e1 e3 w

])
.

Vamos prosseguir com o primeiro dos dois termos. Como w = ge1+he2+ie3, pela linearidade
(3a coluna), obtemos que

e det
[

e1 e2 w
]

= e
(
g det

[
e1 e2 e1

]
+ h det

[
e1 e2 e2

]
+ i det

[
e1 e2 e3

]
.
)
.

O único termo não-nulo é o último. Assim, e det
[

e1 e2 w
]

= ei. Retornando ao início
concluímos que um termo do detA é aei. Todos os termos vão envolver det

[
ei ej ek

]
,

que valerão 1 ou −1 ou 0 dependendo da permutação dos vetores. Convidamos o leitor a
expandir até o final e obter que det(A) = aei− ahf + dhc− dbi+ gbf − gec.
As fórmulas do det para matriz 2 × 2 e 3 × 3 podem ser representados pela chamada
regra de Sarrus apresentada na Figura 6.6.

[
a c
b d

]
+−

a d gb e h
c f i

 a db e
c f

+− +− +−

Figura 6.6: Regra de Sarrus: Determinante de Matriz 2× 2 e 3× 3.

Observação 6.4 (regra de Sarrus) A regra de Sarrus não generaliza para dimensão

maior que 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4× 4.

A Fórmula de Leibniz (veja