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z \u2208 R3 e k \u2208 R:
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191ku + z
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb = k det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191z
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
kv + z
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb = k det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
z
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb
e
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
kw + z
\u2193
\uf8f9\uf8fb = k det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
z
\u2193
\uf8f9\uf8fb
Propriedade 2: Determinante é zero se vetores são LDs.
Se os vetores são linearmente dependentes (LDs) o paralelogramo será degenerado num
segmento de reta ou ponto, que possui área zero. Em R3, se os 3 vetores coluna da matriz
forem LDs o paralelepípedo vai se degenerar num paralelogramo ou segmento de reta ou
ponto, que possui volume zero. Portanto, se os vetores são LDs o determinante é zero.
Propriedade 3: Determinante da matriz identidade é 1.
A área e volume devem ter uma unidade de medida. Como um quadrado de lado 1 possui
área 1, det
[
1 0
0 1
]
= det
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
\u2191
e2
\u2193
\uf8f9\uf8fb = det I = 1 Do mesmo modo o um cubo de lado 1
possui volume 1, det
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1 0
0 0 1
\uf8f9\uf8fb = det
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
\u2191
e2
\u2193
\u2191
e3
\u2193
\uf8f9\uf8fb = det I = 1.
6.2 De\ufb01nição e Propriedades Básicas
A de\ufb01nição de determinante é baseada num fato surpreendente expresso no próximo teorema:
existe uma única função com as propriedades da função área e volume apresentadas na seção
anterior.
Teorema 6.3 (caracterização algébrica do determinante) Considere o conjunto
Mn×n das matrizes reais1 quadradas n × n. Existe uma única função det : Mn×n \u2192 R
com as seguintes propriedades:
Propriedade 1: é linear em cada coluna;
Propriedade 2: é zero se as colunas são LDs;
2
Propriedade 3: det(I) = 1.
172 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
Prova: Consulte [7].
De\ufb01nição 6.4 (determinante) O determinante de uma matriz quadrada A é a função
dada pelo teorema acima. O determinante de uma transformação linear T : Rn \u2192 Rn é
igual ao determinante da matriz A (dada pelo Lema 4.5 da p.94) que representa T .
Observação 6.2 Embora completa, a de\ufb01nição acima não apresenta (diretamente) uma
fórmula para calcular o determinante. Deixo para re\ufb02exão do leitor o que disse Klaus Jänich
(veja [8]):
\ufffdSe você ainda acha que a informação mais importante acerca de um objeto
matemático é uma fórmula para calcular o seu valor, certamente você
compartilha o pensamento da maioria das pessoas medianamente educadas,
mas com conhecimentos apenas super\ufb01ciais de matemática.\ufffd
Observação 6.3 A Propriedade 1 (linearidade) não signi\ufb01ca que det(A+B) = det(A)+
det(B). Por exemplo, det
([
1 0
0 1
]
+
[
1 0
0 1
])
= det
[
2 0
0 2
]
= 4 6= det
[
1 0
0 1
]
+
det
[
1 0
0 1
]
= 1 + 1 = 2.
Podemos chegar ao resultado correto usando linearidade da seguinte forma:
det(2I) = det
\uf8ee\uf8f0 \u21912e1
\u2193
\u2191
2e2
\u2193
\uf8f9\uf8fb = (linearidade na primeira coluna) 2 det
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
\u2191
2e2
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
(linearidade na segunda coluna) 2 · 2 det
\uf8ee\uf8f0 \u2191e1
\u2193
\u2191
e2
\u2193
\uf8f9\uf8fb = 4.
Exemplo 6.1 Calcule:
(a) det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
3u\u2212 5v
\u2193
\uf8f9\uf8fb
; (b) det(2I) se I é a matriz identidade n× n.
Solução: (a) Como w = 3u\u22125v é múltiplo dos outros dois, isto é, pertence ao plano \u3008u,v\u3009,
o paralelepípedo é degenerado, possuindo volume igual a 0. Logo, det = 0.
(b) Por linearidade retiramos um 2 de cada vez: det(2I) = det[2e12e2 · · · 2en] =
= 2 det[e12e2 · · · 2en] = 22 det[e1e2 · · · 2en] = 2n det[e1e2 · · · en] = 2n det I = 2n.
Lema 6.5 Propriedade 4: Se trocarmos duas colunas o determinante troca de sinal.
Prova: Vamos provar no caso 2 × 2. O caso geral é provado de forma similar com mais
colunas. Pela linearidade (Propriedade 1),
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u + v
\u2193
\u2191
u + v
\u2193
\uf8f9\uf8fb = det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
u + v
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
u + v
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
1
De forma geral (veja De\ufb01nição 2.2 da p.30) det :Mn×n(K)\u2192 K, com K = R,C,Q, etc.
2
São equivalentes assumir que determinante: (a) é zero se colunas são LDs + Prop 1; ou (b) é zero se
duas colunas são iguais + Prop 1; ou (c) troca de sinal se trocarmos duas colunas + Prop 1.
De fato pode-se escolher Prop 1 + (b) ou Prop 1 + (c) ao invés de nossa escolha por Prop 1 + (a).
6.3. CALCULANDO DETERMINANTE 173
= det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
u
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
u
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb .
Pela Propriedade 2 (determinante é zero se colunas são LDs)
det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u + v
\u2193
\u2191
u + v
\u2193
\uf8f9\uf8fb = det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
u
\u2193
\uf8f9\uf8fb = det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb = 0.
Logo det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb+ det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
u
\u2193
\uf8f9\uf8fb = 0, isto é, det
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb = \u2212 det
\uf8ee\uf8f0 \u2191v
\u2193
\u2191
u
\u2193
\uf8f9\uf8fb
.
6.3 Calculando Determinante
6.3.1 Fórmula do Determinante em R2 e R3: Regra de Sarrus
Vamos deduzir as fórmulas (bem conhecidas) do determinante de uma matriz 2 × 2 e 3 × 3
utilizando o as propriedades do Teorema 6.3 da p.171. O objetivo é mostrar como poderíamos
fazer para deduzir a fórmula para uma matriz n× n para qualquer n \u2208 N.
Fórmula do determinante de matriz 2× 2
Considere A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\uf8f9\uf8fb = [ a c
b d
]
. Como u = ae1 + be2, pela linearidade (1a coluna),
det(A) = a det
[
e1 v
]
+ b det
[
e2 v
]
. Como v = ce1 + de2, pela linearidade (2a
coluna),
det(A) = a
(
c det
[
e1 e1
]
+ d det
[
e1 e2
])
+ b
(
c det
[
e2 e1
]
+ d det
[
e2 e2
])
.
Como o determinante se anula se as colunas são iguais (LDs) obtemos
det(A) = ad det
[
e1 e2
]
+ bc det
[
e2 e1
]
.
Trocando coluna (Lema 6.5) e pela Propriedade 3, det(A) = ad · 1 + bc(\u2d9\u2212 1) = ad\u2212 bc.
Fórmula do determinante de matriz 3× 3
Antes de deduzir a fórmula, é importante o leitor estudar o exemplo abaixo.
Exemplo 6.2 Determine o valor dos determinantes de cada matriz:
(a)
[
e2 e1 e3
]
; (b)
[
e3 e2 e1
]
; (c)
[
e3 e2 e3
]
; (d)
[
e2 e3 e1
]
.
Solução: (a) É uma troca (1a com 2a coluna) para obter a matriz I: det = \u22121.
(b) É uma troca (1a com 3a coluna) para obter a matriz I: det = \u22121.
(c) Como possui duas colunas iguais, det = 0
(d) São 2 trocas (1a com 2a, 2a com 3a) para obter I: det = 1.
Considere A =
\uf8ee\uf8f0 \u2191u
\u2193
\u2191
v
\u2193
\u2191
w
\u2193
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 a d gb e h
c f i
\uf8f9\uf8fb
. Como u = ae1+be2+ce3, pela linearidade
(1a coluna), det(A) = a det
[
e1 v w
]
+b det
[
e2 v w
]
+c det
[
e3 v w
]
. Vamos
174 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
prosseguir com o primeiro dos três termos. Como v = de1 + ee2 + fe3, pela linearidade (2a
coluna),
a det
[
e1 v w
]
= a
(
d det
[
e1 e1 w
]
+ e det
[
e1 e2 w
]
+ f det
[
e1 e3 w
])
.
O primeiro termo vale zero pois têm duas colunas iguais. Assim,
a det
[
e1 v w
]
= a
(
e det
[
e1 e2 w
]
+ f det
[
e1 e3 w
])
.
Vamos prosseguir com o primeiro dos dois termos. Como w = ge1+he2+ie3, pela linearidade
(3a coluna), obtemos que
e det
[
e1 e2 w
]
= e
(
g det
[
e1 e2 e1
]
+ h det
[
e1 e2 e2
]
+ i det
[
e1 e2 e3
]
.
)
.
O único termo não-nulo é o último. Assim, e det
[
e1 e2 w
]
= ei. Retornando ao início
concluímos que um termo do detA é aei. Todos os termos vão envolver det
[
ei ej ek
]
,
que valerão 1 ou \u22121 ou 0 dependendo da permutação dos vetores. Convidamos o leitor a
expandir até o \ufb01nal e obter que det(A) = aei\u2212 ahf + dhc\u2212 dbi+ gbf \u2212 gec.
As fórmulas do det para matriz 2 × 2 e 3 × 3 podem ser representados pela chamada
regra de Sarrus apresentada na Figura 6.6.
[
a c
b d
]
+\u2212
\uf8ee\uf8f0a d gb e h
c f i
\uf8f9\uf8fb a db e
c f
+\u2212 +\u2212 +\u2212
Figura 6.6: Regra de Sarrus: Determinante de Matriz 2× 2 e 3× 3.
Observação 6.4 (regra de Sarrus) A regra de Sarrus não generaliza para dimensão
maior que 3: Não existe procedimento semelhante a este para matrizes 4× 4.
A Fórmula de Leibniz (veja