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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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por 1 preserva-
mos o vetor (e o tamanho), por 2 duplicamos seu tamanho, por 3 triplicamos seu tamanho.
Por outro lado, multiplicando por 1/2 reduzimos seu tamanho pela metade. De forma geral,
multiplicando por valor positivo com módulo maior que 1 obtemos um vetor com mesmo

1

Embora seja útil para a intuição, nada do que fazemos depende desta interpretação geométrica.

1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 5

sentido mas com tamanho maior; multiplicando por valor positivo com módulo menor que 1
obtemos um vetor com mesmo sentido mas com tamanho menor. Multiplicando por valor

negativo obtemos vetor com sentido invertido e com tamanho maior ou menor de acordo com

módulo ser maior ou menor que 1. Veja o vetor u = (3, 2) e a representação de 1u, 1, 5u,
0, 5u e −u da Figura 1.5.

Figura 1.5: Vetores 1u, 3
2
u, 1

2
u e −u

Portanto, variando o valor do escalar e multiplicando-o por um vetor fixo u 6= 0 obtemos
uma reta passando pela origem. Assim {tu| t ∈ R} é uma reta e a equação tu é chamada
de equação paramétrica da reta que passa pela origem com direção u. A motivação
geométrica vem quando u ∈ R2 ou R3, mas continuamos chamando de reta com u ∈ Rn.
Observação 1.6 O que é, de fato, um vetor?

A visão geométrica (Definição 1.6 da p.3), embora mais intuitiva, é limitante pois não

conseguimos visualizar mais do que três dimensões. É formalizada como segmentos orien-

tados equivalentes. Este caminho é bom para certas generalizações em Matemática (no

contexto da Geometria Diferencial por exemplo), para a visualização de vetores no plano

e no espaço tridimensional e para interpretação Física (forças). São chamados em alguns

livros de vetores geométricos.

Por contraste, a visão algébrica (Definição 1.1 da p.1) é bem mais simples mas não apre-

senta nenhuma motivação geométrica. Como não dependemos de intuição geométrica,

trabalhamos com a mesma facilidade em R2 como em R30. São chamados em alguns livros
de vetores algébricos.

Faremos com frequência a passagem da visão algébrica para geométrica e vice-versa.

1.2 Equações Cartesianas e Paramétricas

1.2.1 Retas no R2

Equação Cartesiana da Reta em R2

Definição 1.7 (eq. cartesiana da reta em R2) Dados a, b, c ∈ R com a 6= 0 ou b 6= 0,
chamamos de equação cartesiana da reta a equação ax + by = c, que representa o
conjunto (a reta); {

(x, y) ∈ R2| ax+ by = c} .
Observação 1.7 Note que equações diferentes podem representar a mesma reta. Por

exemplo, 7x− 3y = 2 e −14x+ 6y = −4 representam a mesma reta (porque?). Dizemos
que as equações são equivalentes.

6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Exemplo 1.7 Determine a equação cartesiana da reta que passa por:

(a) (1, 2) e (−2, 3); (b) (1, 3) e (1, 7).

Solução: (a) Temos que resolver o sistema{
1a+ 2b = c,
−2a+ 3b = c.
Multiplicando a primeira equação por 2 e somando com a segunda obtemos 7b = 3c. Logo
b = 3/7c. Da primeira equação, a = c−2b = c−6/7c = c/7. Agora tomando c = 7 obtemos
que a = 1 e b = 3. Logo é a reta x + 3y = 7. Agora verifique a resposta substituindo os
pontos: 1 + 3× 2 = 7 e −2 + 3× 3 = 7. Poderia se fixar c = 1 ou outra constante não-nula
qualquer (faça isso!) e obter equações equivalentes.

(b) Temos que resolver o sistema{
1a+ 3b = c,
1a+ 7b = c.

Subtraindo da segunda equação, a primeira: 4b = 0. Assim b = 0. Logo a = c. Fixando
c = 1 (outros valores gerarão equações equivalentes) obtemos a reta x = 1.

Exemplo 1.8 Determine a interseção da reta 2y − 7x = −3 com os eixos x e y.

Solução: Tomando x = 0 (é eixo y! Porque?) obtemos y = −3/2 e a interseção com eixo
y é (0, −3/2). Tomando y = 0 (é eixo x! Porque?) obtemos x = 3/7 e a interseção com
eixo y é (3/7, 0).

Equações Paramétricas da Reta em R2

Pela definição do produto escalar-vetor (ver Figura 1.5 da p.5), dado u 6= 0 a equação tu é
uma reta passando pela origem na direção u. Somando um vetor w a cada elemento deste
conjunto transladamos a reta tu que passa pela origem e obtemos a reta w + tu, conforme
indicado na Figura 1.6.

Definição 1.8 (eq. paramétrica da reta) Dados u 6= 0 e w chamamos {w + tu| t ∈ R}
(ver Figura 1.6) de equação paramétrica da reta paralela ao vetor u passando por w. O
t é chamado de parâmetro.

Observação 1.8 (vetor é ponto?) Na Figura 1.6 apresentamos três interpretações ge-

ométricas de vetor simultaneamente: como seta começando na origem (o vetor w), como
seta começando em ponto qualquer (os vetores 1u, 2u,−1u,−2u) e como pontos (os
pontos da reta w + 1u,w + 2u, etc.).

Observação 1.9 Se uma reta r passa pelos pontos p1 e p2, um vetor paralelo à r é
u = p2 − p1. Faça uma figura se convencendo disso. Assim sua equação paramétrica é
p1 + tu.

Exemplo 1.9 Considere a reta r = {(1, 2) + t(4, 6)| t ∈ R}.
(a) Determine pontos de r; (b) Verifique se (−5, 2) ∈ r.

1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 7

r

2u

−u

−2u

0

w + 0u = w

w + 1u

w + 2u

w − 1u

w − 2u

u

Figura 1.6: Reta r = {w + tu; t ∈ R}

Solução: (a) Colocando t = 0 obtemos o ponto (1, 2) ∈ r. Colocando t = 1 obtemos o
ponto (1, 2) + 1(4, 6) = (5, 8) ∈ r. Colocando t = 0, 5 obtemos o ponto (1, 2) + 0, 5(4, 6) =
(3, 5) ∈ r. Colocando t = −1 obtemos o ponto (1, 2)− 1(4, 6) = (−3,−4) ∈ r. Colocando
t = −0, 5 obtemos o ponto (1, 2)− 0, 5(4, 6) = (−1,−1) ∈ r.
(b) Temos que ver se existe t ∈ R tal que (1, 2) + t(4, 6) = (−5, 2) resolvendo o sistema{

1 + 4t = −5
2 + 6t = 2
. Da primeira equação t = −3/2, da segunda t = 0! O sistema é sem
solução. Portante (−5, 2) 6∈ r.
Exemplo 1.10 A mesma reta pode ser gerada por vetores distintos, basta que eles sejam

paralelos entre si. Por exemplo os conjuntos {t(1, 1)| t ∈ R} e {m(4, 4)| m ∈ R} representam
a mesma reta. De fato o vetor (t, t) pode ser escrito como t/4(4, 4). Tomando m = t/4
observamos que formam o mesmo conjunto.

Equação Cartesiana da reta→ Paramétrica em R2 Para passar de equação cartesiana
para paramétrica de reta em R2: Coloque uma das variáveis como o parâmetro e determine
a outra variável em função do parâmetro.

Exemplo 1.11 Determine uma equação paramétrica para a reta:

(a) 2x− 3y = 6; (b) y = 7; (c) que passa por (1, 2) e (−2, 1).
Solução: (a) Coloque y = t. Agora x = 3+3/2y = 3+3/2t. Assim (x, y) = (3+3/2t, t) =
(3, 0) + t(3/2, 1). Logo, {(3, 0) + t(3/2, 1)| t ∈ R}.
(b) Coloque x = t, y = 7. Logo (x, y) = (0, 7) + t(1, 0).
(c) O vetor u = (1, 2)− (−2, 1) = (3, 1) é paralelo à reta. Logo {(1, 2) + t(3, 1)| t ∈ R}
= {(−2, 1) + t(3, 1)| t ∈ R}. Outra possibilidade é tomar u = (−2, 1)− (1, 2) = (−3,−11):
{(1, 2) + t(−3,−1)| t ∈ R}.
Observação 1.10 Se colocarmos y = t no exemplo anterior item (b) obteremos que
t = 7 e não teremos valor para x! A escolha de quem vai ser o parâmetro é importante.
Aprenderemos a fazer a escolha certa de forma sistemática no (próximo) Capítulo Sistema

Linear (p.27). Veja caso similar na Observação 1.14 da p.13.

8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Exemplo 1.12 A mesma reta possui diversas representações paramétricas (veja solução do

último exemplo (c)). Verifique quais retas são iguais à reta {(1,−2) + t(3,−2)| t ∈ R}:
(a) {(−2, 0) + t(−3, 2)| t ∈ R}; (b) {(−1, 2) + t(3,−2)| t ∈ R}.

Solução: (a) Temos que ver se existem s, t ∈ R tais que (1,−2) + t(3,−2) = (−2, 0) +
s(−3, 2). Isto resulta no sistema

{
1 + 3t = −2− 3s
−2− 2t = 0 + 2s . Resolvendo vemos que as duas
equações são equivalentes a t+ s = 1. Assim a solução é t = 1− s: as retas são idênticas.
(b) Temos que ver se existem s, t ∈ R tais que (1,−2) + t(3,−2) = (−1, 2) + s(3,−2).
Isto resulta no sistema

{
1 + 3t = −1 + 3s
−2− 2t = 2− 2s . O sistema é sem solução pois devemos ter

t − s = −2/3 = −1! Logo não é a mesma reta e elas são paralelas entre si (não possuem
interseção).

Equação Paramétrica da reta → Cartesiana em R2
Para passar de equação paramétrica para cartesiana de reta em R2: Determine o parâmetro
em função de uma das variáveis e substitua na