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Pelo Lema 4.15 da p.104 (posto linha = posto coluna), as
colunas de A são LDs e portanto o sistema Av = 0 possui uma solução v 6= 0.
O tema central do próximo capítulo (autovalores e autovetores) será determinar todos
\u3bb tais que o sistema Av = \u3bbv possua solução não-trivial. Estudamos isto introduzindo a
matriz identidade I e buscando solução não-trivial de Av = \u3bbIv ou (A \u2212 \u3bbI)v = 0. Pelo
Teorema 6.11 devemos determinar \u3bb tais que det(A\u2212 \u3bbI) = 0.
Exemplo 6.5 Determine todos \u3bb tais que o sistema Av = \u3bbv possua solução não-trivial
para a matriz:
(a) A =
[
1 2
2 1
]
; (b) A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a
b
c
d
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Solução: (a) Calculando det(A\u2212 \u3bbI) = det
[
1\u2212 \u3bb 2
2 1\u2212 \u3bb
]
= (1\u2212 \u3bb)2 \u2212 4. Para anular
determinante tomamos \u3bb = 3 ou \u3bb = \u22121.
(b) Precisamos resolver det(A\u2212 \u3bbI) = 0. Como a matriz (também) diagonal A\u2212 \u3bbI =\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8f0
a\u2212 \u3bb
b\u2212 \u3bb
c\u2212 \u3bb
d\u2212 \u3bb
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fb, det(A\u2212 \u3bbI) = (a\u2212 \u3bb)(b\u2212 \u3bb)(c\u2212 \u3bb)(d\u2212 \u3bb). Para anular
determinante tomamos \u3bb igual a a ou b ou c ou d. Um erro comum cometido pelos alunos é
expandir a expressão (a\u2212 \u3bb)(b\u2212 \u3bb)(c\u2212 \u3bb)(d\u2212 \u3bb) = 0, ao invés de obter raízes diretamente,
e tentar calcular raízes de \u3bb4\u2212\u3bb3(a+ b+ c+ d) +\u3bb2(ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd)\u2212\u3bb(abc+
abd+ bcd+ acd) + abcd = 0.
A propriedade do produto caracteriza o determinante da matriz inversa e proporciona a
interpretação do determinante como mudança de área/volume.
Teorema 6.12 (determinante do produto)
Propriedade 9: Sejam A,B matrizes quadradas da mesma ordem. Então det(AB) =
det(A) det(B).
Prova:
1
Se det(A) 6= 0, de\ufb01na f : Mn×n \u2192 R por f(B) = det(AB)/ det(A). Vamos
provar que f possui as propriedades da de\ufb01nição (Teorema 6.3 da p.171) do determinante:
Propriedade 1 (linearidade em cada coluna): se B =
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u + kv
\u2193
· · ·
\u2191
w
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb
, então
det(AB) = det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191A(u + kv)
\u2193
· · ·
\u2191
Aw
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb
(por linearidade de A) = det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191Au + kAv
\u2193
· · ·
\u2191
Aw
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb
(por linearidade do deter-
minante) = det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191Au
\u2193
· · ·
\u2191
Aw
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb+ k det
\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191Av
\u2193
· · ·
\u2191
Aw
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb
. Dividindo
1
Pode ser omitida numa 1a leitura.
6.4. MAIS PROPRIEDADES 179
por det(A) obtemos que
f(B) = f
\uf8eb\uf8ed\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u + kv
\u2193
· · ·
\u2191
w
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb\uf8f6\uf8f8 =
= f
\uf8eb\uf8ed\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191u
\u2193
· · ·
\u2191
w
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb\uf8f6\uf8f8+ kf
\uf8eb\uf8ed\uf8ee\uf8f0 · · · \u2191v
\u2193
· · ·
\u2191
w
\u2193
· · ·
\uf8f9\uf8fb\uf8f6\uf8f8 .
Portanto f é linear por colunas.
Propriedade 2: se colunas de B são LDs então colunas de AB serão LDs também pois
produto matriz-matriz equivale a aplicar A em cada coluna de B (ver Lema 4.24 da p.110).
Logo det(AB) = 0 pela Propriedade 2 do determinante. Portanto f(B) = 0.
Propriedade 3: f(I) = det(AI)/ det(A) = det(A)/ det(A) = 1.
Pelo Teorema 6.3 da p.171 (unicidade do determinante), f(B) = det(B). Dai segue o
resultado.
Se detA = 0 pelo Teorema 6.11 da p.177 as colunas de A são LDs. Logo o posto coluna
(dimensão do espaço gerado pelas colunas) de A é menor que n. Pela interpretação do
produto matriz-matriz (ver Lema 4.25 da p.110 item (a)) as colunas de AB são combinações
lineares das colunas de A. Logo o espaço gerado pelas colunas de AB está contido no espaço
gerado pelas colunas de A. Portanto posto coluna de AB é menor que n. Portanto colunas de
AB são LDs, o que implica pela propriedade 2 que det(AB) = 0. Logo, neste caso também
det(AB) = 0 = 0 · det(B) = det(A) det(B).
Exemplo 6.6 Sabendo que det(A) = 5 determine det(A\u22121).
Solução: Como AA\u22121 = I, pela propriedade do determinante do produto
det(I) = 1 = det(AA\u22121) = det(A) det(A\u22121).
Logo det(A\u22121) = 1/ det(A) = 1/5.
A aplicação sucessiva do próximo lema permite reduzir a ordem do determinante a cada
aplicação. Para entender esta parte reveja operações em matrizes divididas em blocos na
Seção 4.6 da p.118.
Lema 6.13 (determinante de matriz bloco-triangular) Suponha que M =
[
A B
0 D
]
ou M =
[
A 0
C D
]
, com A e D matrizes quadradas. Então det(M) = det(A) det(D).
Prova: Vamos provar inicialmente que se M =
[
I 0
0 D
]
, então detM = detD. De fato,
aplicando o Algoritmo 6.10 da p.176, a sequência de operações que escalona M é igual à
sequência que escalona D pois parte de M já está escalonada. Logo detM = detD. De
forma análoga provamos que det
[
A 0
0 I
]
= detA.
Vamos supor que M =
[
A B
0 D
]
pois o caso M =
[
A 0
B D
]
é análogo.
Se detA = 0 então (Teorema 6.11 da p.177) colunas de A são LDs. Como M possui
somente zeros abaixo de A, colunas de M são LDs. Logo detM = 0. Se detD = 0 então,
de forma análoga, detM = 0.
180 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE
Supondo que detA e detD são não-nulos, veri\ufb01que que:
M =
[
A 0
0 I
] [
I A\u22121BD\u22121
0 I
] [
I 0
0 D
]
.
Utilizando Teorema 6.12 (determinante do produto), basta calcular o determinante de cada
uma destas três matrizes. Pelos resultados acima, o primeiro determinante é detA e o último
é detD. O do meio, por ser matriz triangular superior com 1's na diagonal, vale 1 pelo
Lema 6.9 da p.175. Concluímos o resultado.
Corolário 6.14 (determinante de matriz bloco-triangular) Suponha que M seja uma
matriz triangular superior por blocos, ou seja, M =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A11 A12 · · · A1n
0 A22 · · · ...
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 · · · 0 Ann
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb, com Ajj
matrizes quadradas. Então det(M) = det(A11) · · · det(Ann), o produto do determinante das
matrizes na diagonal de M (resultado análogo se M for triangular inferior).
Prova: Deixamos para o leitor provar por indução usando o Lema6.13.
Observação 6.7 Considere M =
[
A B
C D
]
, com A,B,C e D matrizes quadradas. De
forma geral, det(M) 6= det(A) det(D)\u2212det(B) det(C). Você consegue gerar um exemplo?
Exemplo 6.7 Calcule os valores de \u3bb tais que o determinante da matriz abaixo se anula:
M =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
2\u2212 \u3bb 1 3 \u22121 1
1 \u3bb 2 1 \u22122
0 0 \u3bb 1 1
0 0 1 \u3bb 2
0 0 0 0 3 + \u3bb
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Solução: Observe que ela é bloco-triangular (mas não é triangular!). De\ufb01nindo
M1 =
[
2\u2212 \u3bb 1
1 \u3bb
]
, M2 =
[
\u3bb 1
1 \u3bb
]
, M3 = 3 + \u3bb, temos que M =
\uf8ee\uf8f0 M1 \u2217 \u22170 M2 \u2217
0 0 M3
\uf8f9\uf8fb
.
Logo,
det(M) = det(M1) det(M2) det(M3) = \u2212(\u3bb\u2212 1)2(\u3bb2 \u2212 1)(3 + \u3bb).
As raízes são obtidas diretamente desta fatoração: 1,\u22121,\u22123.
Observação 6.8 Se no exemplo anterior tivéssemos multiplicado os termos em \u2212(\u3bb \u2212
1)2(\u3bb2 \u2212 1)(3 + \u3bb) = 0 obteríamos que detM = \u2212\u3bb5 \u2212 \u3bb4 + 6\u3bb3 \u2212 2\u3bb2 \u2212 5\u3bb + 3 = 0.
Como você encontraria as raízes deste polinômio?
Este erro comum \ufffd multiplicar todos os termos ao invés de utilizar a estrutura fatorada
\ufffd foi visto também no Exemplo 6.5 da p.178.
Note que a fatoração decorre (e deve ser mantida) naturalmente do determinante de matriz
triangular ou bloco-triangular.
Cálculo E\ufb01ciente do determinante
6.4. MAIS PROPRIEDADES 181
\u2022 Se a matriz for triangular aplique o Lema 6.9.
\u2022 Explore estrutura de blocos (linhas ou colunas com maior número de zeros) para obter
submatriz triangular.
\u2022 Para matriz 2×2 e 3×3 em geral (não triangular) aplique a regra de Sarrus (Figura 6.6
da p.174).
\u2022 Para uma matriz n× n com n > 3 em geral (não triangular) aplique o Algoritmo 6.10
da p.176.
Exemplo 6.8 Calcule detA trocando linhas ou colunas para \ufb01car bloco-triangular:
(a) A =
\uf8ee\uf8f0 \u22121 0 21 0 3
1 2 1
\uf8f9\uf8fb
; (b) A =
\uf8ee\uf8f0 0 1 21 1 3
1 0 0
\uf8f9\uf8fb
; (c) A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
4 11 \u22127 \u22121 \u22123
\u22122 2 1 0 3
2 7 0 0 0
0 3 0 0 0
3 \u22121 6 0 5
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb.
Solução: (a) Embora a matriz A não possua estrutura especial, trocando 2a com 3a coluna
obtemos a matriz bloco-triangular inferior:
\uf8ee\uf8f0 \u22121 2 01 3 0
1 1 2
\uf8f9\uf8fb
.
Assim detA = \u2212 det
[ \u22121 2
1 3
]
· 2 = \u2212(\u22125) · 2 = 10.
(b) Embora a matriz A não possua estrutura especial, trocando 1a com 3a coluna obtemos
a matriz bloco-triangular superior:
\uf8ee\uf8f0 2 1 03 1 1
0 0 1
\uf8f9\uf8fb
. Assim detA = \u2212 det
[
2 1
3 1
]
·1 = \u2212(\u22121)·
1 = 1
(c) Vamos tentar sistematizar. As melhores escolhas são a 4a coluna ou a 4a linha pois
ambas