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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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Pelo Lema 4.15 da p.104 (posto linha = posto coluna), as
colunas de A são LDs e portanto o sistema Av = 0 possui uma solução v 6= 0.
O tema central do próximo capítulo (autovalores e autovetores) será determinar todos

λ tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial. Estudamos isto introduzindo a
matriz identidade I e buscando solução não-trivial de Av = λIv ou (A − λI)v = 0. Pelo
Teorema 6.11 devemos determinar λ tais que det(A− λI) = 0.
Exemplo 6.5 Determine todos λ tais que o sistema Av = λv possua solução não-trivial
para a matriz:

(a) A =

[
1 2
2 1

]
; (b) A =


a

b
c
d

.
Solução: (a) Calculando det(A− λI) = det

[
1− λ 2

2 1− λ
]

= (1− λ)2 − 4. Para anular
determinante tomamos λ = 3 ou λ = −1.
(b) Precisamos resolver det(A− λI) = 0. Como a matriz (também) diagonal A− λI =
a− λ

b− λ
c− λ

d− λ

, det(A− λI) = (a− λ)(b− λ)(c− λ)(d− λ). Para anular
determinante tomamos λ igual a a ou b ou c ou d. Um erro comum cometido pelos alunos é
expandir a expressão (a− λ)(b− λ)(c− λ)(d− λ) = 0, ao invés de obter raízes diretamente,
e tentar calcular raízes de λ4−λ3(a+ b+ c+ d) +λ2(ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd)−λ(abc+
abd+ bcd+ acd) + abcd = 0.
A propriedade do produto caracteriza o determinante da matriz inversa e proporciona a

interpretação do determinante como mudança de área/volume.

Teorema 6.12 (determinante do produto)

Propriedade 9: Sejam A,B matrizes quadradas da mesma ordem. Então det(AB) =
det(A) det(B).

Prova:

1

Se det(A) 6= 0, defina f : Mn×n → R por f(B) = det(AB)/ det(A). Vamos
provar que f possui as propriedades da definição (Teorema 6.3 da p.171) do determinante:

Propriedade 1 (linearidade em cada coluna): se B =

 · · · ↑u + kv
↓

· · ·
↑
w
↓
· · ·

, então

det(AB) = det

 · · · ↑A(u + kv)
↓

· · ·
↑
Aw
↓
· · ·


(por linearidade de A) = det

 · · · ↑Au + kAv
↓

· · ·
↑
Aw
↓
· · ·

(por linearidade do deter-

minante) = det

 · · · ↑Au
↓
· · ·

↑
Aw
↓
· · ·
+ k det

 · · · ↑Av
↓
· · ·

↑
Aw
↓
· · ·

. Dividindo

1

Pode ser omitida numa 1a leitura.

6.4. MAIS PROPRIEDADES 179

por det(A) obtemos que

f(B) = f

 · · · ↑u + kv
↓

· · ·
↑
w
↓
· · ·
 =

= f

 · · · ↑u
↓
· · ·

↑
w
↓
· · ·
+ kf

 · · · ↑v
↓
· · ·

↑
w
↓
· · ·
 .
Portanto f é linear por colunas.
Propriedade 2: se colunas de B são LDs então colunas de AB serão LDs também pois
produto matriz-matriz equivale a aplicar A em cada coluna de B (ver Lema 4.24 da p.110).
Logo det(AB) = 0 pela Propriedade 2 do determinante. Portanto f(B) = 0.
Propriedade 3: f(I) = det(AI)/ det(A) = det(A)/ det(A) = 1.
Pelo Teorema 6.3 da p.171 (unicidade do determinante), f(B) = det(B). Dai segue o
resultado.

Se detA = 0 pelo Teorema 6.11 da p.177 as colunas de A são LDs. Logo o posto coluna
(dimensão do espaço gerado pelas colunas) de A é menor que n. Pela interpretação do
produto matriz-matriz (ver Lema 4.25 da p.110 item (a)) as colunas de AB são combinações
lineares das colunas de A. Logo o espaço gerado pelas colunas de AB está contido no espaço
gerado pelas colunas de A. Portanto posto coluna de AB é menor que n. Portanto colunas de
AB são LDs, o que implica pela propriedade 2 que det(AB) = 0. Logo, neste caso também
det(AB) = 0 = 0 · det(B) = det(A) det(B).

Exemplo 6.6 Sabendo que det(A) = 5 determine det(A−1).

Solução: Como AA−1 = I, pela propriedade do determinante do produto

det(I) = 1 = det(AA−1) = det(A) det(A−1).

Logo det(A−1) = 1/ det(A) = 1/5.
A aplicação sucessiva do próximo lema permite reduzir a ordem do determinante a cada

aplicação. Para entender esta parte reveja operações em matrizes divididas em blocos na

Seção 4.6 da p.118.

Lema 6.13 (determinante de matriz bloco-triangular) Suponha que M =

[
A B
0 D

]
ou M =

[
A 0
C D

]
, com A e D matrizes quadradas. Então det(M) = det(A) det(D).

Prova: Vamos provar inicialmente que se M =

[
I 0
0 D

]
, então detM = detD. De fato,

aplicando o Algoritmo 6.10 da p.176, a sequência de operações que escalona M é igual à
sequência que escalona D pois parte de M já está escalonada. Logo detM = detD. De

forma análoga provamos que det

[
A 0
0 I

]
= detA.

Vamos supor que M =

[
A B
0 D

]
pois o caso M =

[
A 0
B D

]
é análogo.

Se detA = 0 então (Teorema 6.11 da p.177) colunas de A são LDs. Como M possui
somente zeros abaixo de A, colunas de M são LDs. Logo detM = 0. Se detD = 0 então,
de forma análoga, detM = 0.

180 CAPÍTULO 6. DETERMINANTE

Supondo que detA e detD são não-nulos, verifique que:

M =

[
A 0
0 I

] [
I A−1BD−1

0 I

] [
I 0
0 D

]
.

Utilizando Teorema 6.12 (determinante do produto), basta calcular o determinante de cada

uma destas três matrizes. Pelos resultados acima, o primeiro determinante é detA e o último
é detD. O do meio, por ser matriz triangular superior com 1's na diagonal, vale 1 pelo
Lema 6.9 da p.175. Concluímos o resultado.

Corolário 6.14 (determinante de matriz bloco-triangular) Suponha que M seja uma

matriz triangular superior por blocos, ou seja, M =


A11 A12 · · · A1n
0 A22 · · · ...
.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 · · · 0 Ann

, com Ajj
matrizes quadradas. Então det(M) = det(A11) · · · det(Ann), o produto do determinante das
matrizes na diagonal de M (resultado análogo se M for triangular inferior).

Prova: Deixamos para o leitor provar por indução usando o Lema6.13.

Observação 6.7 Considere M =

[
A B
C D

]
, com A,B,C e D matrizes quadradas. De

forma geral, det(M) 6= det(A) det(D)−det(B) det(C). Você consegue gerar um exemplo?

Exemplo 6.7 Calcule os valores de λ tais que o determinante da matriz abaixo se anula:

M =


2− λ 1 3 −1 1

1 λ 2 1 −2
0 0 λ 1 1
0 0 1 λ 2
0 0 0 0 3 + λ

 .
Solução: Observe que ela é bloco-triangular (mas não é triangular!). Definindo

M1 =

[
2− λ 1

1 λ

]
, M2 =

[
λ 1
1 λ

]
, M3 = 3 + λ, temos que M =

 M1 ∗ ∗0 M2 ∗
0 0 M3


.

Logo,

det(M) = det(M1) det(M2) det(M3) = −(λ− 1)2(λ2 − 1)(3 + λ).
As raízes são obtidas diretamente desta fatoração: 1,−1,−3.
Observação 6.8 Se no exemplo anterior tivéssemos multiplicado os termos em −(λ −
1)2(λ2 − 1)(3 + λ) = 0 obteríamos que detM = −λ5 − λ4 + 6λ3 − 2λ2 − 5λ + 3 = 0.
Como você encontraria as raízes deste polinômio?

Este erro comum � multiplicar todos os termos ao invés de utilizar a estrutura fatorada

� foi visto também no Exemplo 6.5 da p.178.

Note que a fatoração decorre (e deve ser mantida) naturalmente do determinante de matriz

triangular ou bloco-triangular.

Cálculo Eficiente do determinante

6.4. MAIS PROPRIEDADES 181

• Se a matriz for triangular aplique o Lema 6.9.
• Explore estrutura de blocos (linhas ou colunas com maior número de zeros) para obter
submatriz triangular.

• Para matriz 2×2 e 3×3 em geral (não triangular) aplique a regra de Sarrus (Figura 6.6
da p.174).

• Para uma matriz n× n com n > 3 em geral (não triangular) aplique o Algoritmo 6.10
da p.176.

Exemplo 6.8 Calcule detA trocando linhas ou colunas para ficar bloco-triangular:

(a) A =

 −1 0 21 0 3
1 2 1


; (b) A =

 0 1 21 1 3
1 0 0


; (c) A =


4 11 −7 −1 −3
−2 2 1 0 3

2 7 0 0 0
0 3 0 0 0
3 −1 6 0 5

.

Solução: (a) Embora a matriz A não possua estrutura especial, trocando 2a com 3a coluna

obtemos a matriz bloco-triangular inferior:

 −1 2 01 3 0
1 1 2


.

Assim detA = − det
[ −1 2

1 3

]
· 2 = −(−5) · 2 = 10.
(b) Embora a matriz A não possua estrutura especial, trocando 1a com 3a coluna obtemos

a matriz bloco-triangular superior:

 2 1 03 1 1
0 0 1


. Assim detA = − det

[
2 1
3 1

]
·1 = −(−1)·

1 = 1
(c) Vamos tentar sistematizar. As melhores escolhas são a 4a coluna ou a 4a linha pois

ambas