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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.026 seguidores
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outra equação.
Exemplo 1.13 Determine uma equação cartesiana para a reta:
(a) {(2, 3) + t(1, 2)| t \u2208 R}; (b) {(5, 3) + t(0,\u22121)| t \u2208 R}.
Solução: (a) Como x = 2 + 1t, t = x\u2212 2. Da segunda equação, y = 3 + 2t = 3 + 2(x\u2212 2).
Logo y \u2212 2x = \u22121.
(b) Como x = 5 e y = 3 \u2212 t, y pode assumir qualquer valor e x é sempre constante.
Assim a equação cartesiana é x = 5.
Exemplo 1.14 Determine a interseção da reta {(1, 0) + t(2, 1)| t \u2208 R} com cada uma das
retas abaixo, caso exista, e determine se são paralelas ou coincidentes:
(a) 2x\u2212 3y = 4; (b) x\u2212 2y = 1; (c) {(0, 1) + t(0, 2)| t \u2208 R}.
Solução: (a) Como x = 1 + 2t, y = t, substituindo na outra equação 2(1 + 2t) \u2212 3t = 4.
Assim t = 2 e as retas se interceptam em (5, 2).
(b) Substituindo, (1 + 2t)\u2212 2t = 1 é equivalente a 1 = 1: sempre verdade! Logo as retas
são coincidentes, pois é verdade para todo t.
(c) Queremos saber se existem t, s \u2208 R tais que (1, 0)+t(2, 1) = (0, 1)+s(0, 2) (note que
trocamos o segundo t por s). Precisamos resolver o sistema
{
1 + 2t = 0 + 0s
0 + t = 1 + 2s
, cuja solução
única é t = \u22121/2, s = \u22123/4. Assim o ponto de interseção é (1, 0)\u2212 1/2(2, 1) = (0,\u22121/2).
Exemplo 1.15 Determine a interseção da reta {(\u22122,\u22123) + t(2, 5)| t \u2208 R} com o eixo x e
com o eixo y.
Solução: A interseção com o eixo x ocorrerá quando y = 0. Como y = \u22123+5t, queremos que
y = 0 = \u22123 + 5t. Logo interseção ocorrerá quando t = 3/5. Logo x = \u22122 + 2(3/5) = \u22122/5
e concluímos que a interseção é no ponto (\u22122/5, 0). A interseção com o eixo y será quando
x = 0. Como x = \u22122 + 2t, queremos que x = 0 = \u22122 + 2t e portanto t = 1. Logo
y = \u22123 + 5(1) = 2 e concluímos que a interseção é no ponto (0, 2).
1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 9
1.2.2 Retas e Planos no R3
Equação Cartesiana do Plano em R3
De\ufb01nição 1.9 (eq. cartesiana do plano em R3) Dados a, b, c, d \u2208 R com a 6= 0 ou
b 6= 0 ou c 6= 0, chamamos de equação cartesiana do plano a equação ax+ by + cz = d,
que representa o conjunto (o plano):{
(x, y, z) \u2208 R3| ax+ by + cz = d} .
Exemplo 1.16 Determine a interseção do plano 2x\u2212 y + 3z = 2 com os eixos x, y e z.
Solução: O eixo x corresponde aos pontos (x, 0, 0). Assim tomando y = z = 0 obtemos
que 2x = 2 e x = 1. Logo a interseção com o eixo x é (1, 0, 0). De forma análoga (faça)
obtemos que a interseção com o eixo y é (0,\u22122, 0) e com o eixo z é (0, 0, 2/3).
Exemplo 1.17 Determine a equação cartesiana do plano que passa por (1, 0, 2), (\u22121, 0, 2)
e (3, 2, 1).
Solução: Temos que resolver o sistema\uf8f1\uf8f2\uf8f3
1a+ 0b+ 2c = d,
\u22121a+ 0b+ 2c = d,
3a+ 2b+ c = d.
Somando as 2 primeiras equações obtemos que c = d/2. Da primeira obtemos que a =
d\u22122c = d\u2212d = 0. Da terceira obtemos que b = (d\u22123a\u2212c)/2 = (d\u22123(0)\u2212d/2)/2 = 1/4d.
Tomando d = 4 obtemos que a = 0, b = 1, c = 2. Logo a equação do plano é y + 2z = 4.
Tomando d = 2 obtemos y/2 + z = 2, etc. (equação NÃO é única).
Equações Paramétricas de Retas em R3
Equações paramétricas de retas em R3 são iguais as de reta em R2 e utilizaremos sem maiores
comentários.
Exemplo 1.18 Determine a eq. paramétrica da reta que passa por (1, 2, 1) e (3,\u22122,\u22121).
Solução: O vetor paralelo à reta é v = (1, 2, 1) \u2212 (3,\u22122,\u22121) = (\u22122, 4, 2) (pode ser
v = (3,\u22122,\u22121) \u2212 (1, 2, 1) = (2,\u22124,\u22122)). Tomando w = (1, 2, 1) (pode ser também
w = (3,\u22122, 1)) r = {(1, 2, 1) + t(\u22122, 4, 2)| t \u2208 R}. Outras opções: (3,\u22122, 1) + t(\u22122, 4, 2),
(1, 2, 1) + t(2,\u22124,\u22122), (3,\u22122, 1) + t(2,\u22124,\u22122).
Exemplo 1.19 Determine se o ponto (\u22122, 1,\u22121) pertence à reta (1, 2, 1) + t(3, 1, 1).
Solução: Devemos ter \u22122 = 1 + 3t, 1 = 2 + t, \u22121 = 1 + t. Da 1a equação, t = \u22121, que
satisfaz a segunda equação mas não satisfaz a terceira. Assim o ponto não pertence à reta.
Exemplo 1.20 Determine o(s) ponto(s) de interseção de cada par de conjuntos abaixo, caso
exista:
(a) dos planos 4x\u2212 2y + 3z = 2 e x\u2212 z = 1;
(b) de {(2, 3, 0) + t(1, 2, 3)| t \u2208 R} e x\u2212 2y + z = 2;
(c) de {(2, 3, 0) + t(1, 2, 3)| t \u2208 R} e \u2212x+ 2y \u2212 z = 8;
10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Solução: (a) Resolvendo o sistema
{
4x\u2212 2y + 3z = 2
x\u2212 z = 1 obtemos, colocando z = t: x =
1+t, y = 1+7/2t. Assim a interseção destes 2 planos é a reta {(1, 1, 0) + t(1, 7/2, 1)| t \u2208 R}
(b) Como x = 2 + t, y = 3 + 2t e z = 3t, (2 + t)\u2212 2(3 + 2t) + 3t = 2. Assim \u22128 = 2!.
Como é sem solução concluímos que a reta é paralela ao plano (interseção vazia).
(c) Fazendo contas similares ao (b) concluímos que a reta pertence ao plano pois é verdade
para todo t \u2208 R. Assim a interseção é a própria reta: {(2, 3, 0) + t(1, 2, 3)| t \u2208 R}.
Equações Paramétricas de Planos em R3
Pela regra do triângulo ou paralelogramo (ver Figura 1.3 da p.4), dados dois vetores u e v
não nulos e não paralelos (De\ufb01nição 1.5 da p.3), a equação tu + sv, com s, t \u2208 R é um
plano passando pela origem. Este plano contém o paralelogramo formado pelos pontos 0, u,
v e u + v. Dizemos que o plano é gerado pelos vetores u e v. Somando um vetor w a cada
elemento deste conjunto transladamos este plano. Na Figura 1.7 mostramos o plano tu + sv
que passa pela origem e sua translação w + tu + sv.
De\ufb01nição 1.10 (eq. paramétrica do plano) Dados u e v não nulos e não paralelos e
w chamamos \u3a0 = {w + tu + sv| s, t \u2208 R} (ver Figura 1.7) de equação paramétrica do
plano paralelo ao gerado pelos vetores u e v passando por w. Dizemos que t e s são
parâmetros.
\u3a0
0
v
sv
u
tu
tu + sv
w
w + tu + sv
Figura 1.7: Plano \u3a0 = {w + tu + sv; s, t \u2208 R}
Exemplo 1.21 Considere o plano \u3a0 = {(2, 3, 0) + s(\u22121, 0,\u22121) + t(0, 2, 3)| s, t \u2208 R}. De-
termine se (1, 2, 2) \u2208 \u3a0.
Solução: Temos que resolver o sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2\u2212 s+ 0t = 1
3 + 0s+ 2t = 2
0\u2212 s+ 3t = 2
. Das 2 primeiras equações
obtemos que t = \u22121 e s = 1. Mas isto não satisfaz a terceira. Logo o ponto não pertence
ao plano.
1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 11
Observação 1.11 Se o plano \u3a0 passa pelos pontos p1, p2, e p3, de\ufb01nindo u = p2 \u2212 p1
e v = p3\u2212 p1, o plano gerado por u e v é paralelo à \u3a0. Faça uma \ufb01gura se convencendo
disso. Assim sua equação paramétrica é p1 + tu + sv.
Exemplo 1.22 Determine a equação paramétrica do plano que passa por (0, 1, 0), (1, 1, 1),
e (1, 0, 2).
Solução: Fixamos w = (0, 1, 0) o vetor translação e calculamos dois vetores paralelos ao
plano: u = (1, 1, 1) \u2212 (0, 1, 0) = (1, 0, 1) e v = (1, 0, 2) \u2212 (0, 1, 0) = (1,\u22121, 2). Assim o
plano é (0, 1, 0) + t(1, 0, 1) + s(1,\u22121, 2).
Podemos \ufb01xar w = (1, 1, 1) e calcular os vetores paralelos ao plano u = (0, 1, 0) \u2212
(1, 1, 1) = (\u22121, 0,\u22121) e v = (1, 0, 2)\u2212 (1, 1, 1) = (0,\u22121, 1). Assim outra equação paramé-
trica para o plano é (1, 1, 1) + t(\u22121, 0,\u22121) + s(0,\u22121, 1).
Exemplo 1.23 Considere o plano \u3a0 = {(2, 3, 0) + s(\u22121, 0, 1) + t(0, 2, 0)| s, t \u2208 R}. Deter-
mine o(s) ponto(s) de interseção de \u3a0 com cada um dos conjuntos abaixo, caso exista:
(a) reta {(\u22121, 0, 1) + t(0, 1, 1)| t \u2208 R}.
(b) reta {t(1, 0, 1)| t \u2208 R}.
(c) plano x\u2212 y = 2.
(d) plano {(1,\u22122, 0) + s(1, 1, 0) + t(0, 1, 0)| s, t \u2208 R};
(e) com o eixo z.
Solução: (a) Queremos saber se existem s, t, u \u2208 R (note que trocamos o parâmetro da
reta) tais que (2, 3, 0) + s(\u22121, 0, 1) + t(0, 2, 0) = (\u22121, 0, 1) + u(0, 1, 1). Precisamos resolver
o sistema (3 equações, 3 variáveis):
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2\u2212 s+ 0t = \u22121
3 + 0s+ 2t = u
0 + s+ 0t = 1 + u
. Da primeira equação, s = 3.
Da terceira, como s = 1 + u, u = 2. Da segunda, como 3 + 2t = u, t = \u22121/2. Assim o
ponto de interseção é (1, 0, 1) + u(0, 1, 1) = (1, 0, 1) + 2(0, 1, 1) = (1, 2, 3). Veri\ufb01que que
obtemos o mesmo ponto substituindo s = 3 e t = \u22121/2 em (2, 3, 0) + s(\u22121, 0, 1) + t(0, 2, 0).
(b) Queremos saber se existem s, t, u \u2208 R (note que trocamos o parâmetro da reta)
tais que (2, 3, 0) + s(\u22121, 0, 1) + t(0, 2, 0) = u(1, 0, 1). Precisamos resolver o sistema (3
equações, 3 variáveis):
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2\u2212 s+ 0t = u
3 + 0s+ 2t = 0
0 + s+ 0t = u
. Da segunda equação, t = \u22123/2, mas existe
uma contradição entre a primeira e terceira: u = 2\u2212 s = s! Assim o sistema é sem solução
a concluímos