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outra equação.

Exemplo 1.13 Determine uma equação cartesiana para a reta:

(a) {(2, 3) + t(1, 2)| t ∈ R}; (b) {(5, 3) + t(0,−1)| t ∈ R}.

Solução: (a) Como x = 2 + 1t, t = x− 2. Da segunda equação, y = 3 + 2t = 3 + 2(x− 2).
Logo y − 2x = −1.
(b) Como x = 5 e y = 3 − t, y pode assumir qualquer valor e x é sempre constante.
Assim a equação cartesiana é x = 5.

Exemplo 1.14 Determine a interseção da reta {(1, 0) + t(2, 1)| t ∈ R} com cada uma das
retas abaixo, caso exista, e determine se são paralelas ou coincidentes:

(a) 2x− 3y = 4; (b) x− 2y = 1; (c) {(0, 1) + t(0, 2)| t ∈ R}.

Solução: (a) Como x = 1 + 2t, y = t, substituindo na outra equação 2(1 + 2t) − 3t = 4.
Assim t = 2 e as retas se interceptam em (5, 2).
(b) Substituindo, (1 + 2t)− 2t = 1 é equivalente a 1 = 1: sempre verdade! Logo as retas
são coincidentes, pois é verdade para todo t.
(c) Queremos saber se existem t, s ∈ R tais que (1, 0)+t(2, 1) = (0, 1)+s(0, 2) (note que
trocamos o segundo t por s). Precisamos resolver o sistema

{
1 + 2t = 0 + 0s
0 + t = 1 + 2s
, cuja solução

única é t = −1/2, s = −3/4. Assim o ponto de interseção é (1, 0)− 1/2(2, 1) = (0,−1/2).

Exemplo 1.15 Determine a interseção da reta {(−2,−3) + t(2, 5)| t ∈ R} com o eixo x e
com o eixo y.

Solução: A interseção com o eixo x ocorrerá quando y = 0. Como y = −3+5t, queremos que
y = 0 = −3 + 5t. Logo interseção ocorrerá quando t = 3/5. Logo x = −2 + 2(3/5) = −2/5
e concluímos que a interseção é no ponto (−2/5, 0). A interseção com o eixo y será quando
x = 0. Como x = −2 + 2t, queremos que x = 0 = −2 + 2t e portanto t = 1. Logo
y = −3 + 5(1) = 2 e concluímos que a interseção é no ponto (0, 2).

1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 9

1.2.2 Retas e Planos no R3

Equação Cartesiana do Plano em R3

Definição 1.9 (eq. cartesiana do plano em R3) Dados a, b, c, d ∈ R com a 6= 0 ou
b 6= 0 ou c 6= 0, chamamos de equação cartesiana do plano a equação ax+ by + cz = d,
que representa o conjunto (o plano):{

(x, y, z) ∈ R3| ax+ by + cz = d} .
Exemplo 1.16 Determine a interseção do plano 2x− y + 3z = 2 com os eixos x, y e z.
Solução: O eixo x corresponde aos pontos (x, 0, 0). Assim tomando y = z = 0 obtemos
que 2x = 2 e x = 1. Logo a interseção com o eixo x é (1, 0, 0). De forma análoga (faça)
obtemos que a interseção com o eixo y é (0,−2, 0) e com o eixo z é (0, 0, 2/3).
Exemplo 1.17 Determine a equação cartesiana do plano que passa por (1, 0, 2), (−1, 0, 2)
e (3, 2, 1).

Solução: Temos que resolver o sistema
1a+ 0b+ 2c = d,
−1a+ 0b+ 2c = d,

3a+ 2b+ c = d.

Somando as 2 primeiras equações obtemos que c = d/2. Da primeira obtemos que a =
d−2c = d−d = 0. Da terceira obtemos que b = (d−3a−c)/2 = (d−3(0)−d/2)/2 = 1/4d.
Tomando d = 4 obtemos que a = 0, b = 1, c = 2. Logo a equação do plano é y + 2z = 4.
Tomando d = 2 obtemos y/2 + z = 2, etc. (equação NÃO é única).

Equações Paramétricas de Retas em R3

Equações paramétricas de retas em R3 são iguais as de reta em R2 e utilizaremos sem maiores
comentários.

Exemplo 1.18 Determine a eq. paramétrica da reta que passa por (1, 2, 1) e (3,−2,−1).
Solução: O vetor paralelo à reta é v = (1, 2, 1) − (3,−2,−1) = (−2, 4, 2) (pode ser
v = (3,−2,−1) − (1, 2, 1) = (2,−4,−2)). Tomando w = (1, 2, 1) (pode ser também
w = (3,−2, 1)) r = {(1, 2, 1) + t(−2, 4, 2)| t ∈ R}. Outras opções: (3,−2, 1) + t(−2, 4, 2),
(1, 2, 1) + t(2,−4,−2), (3,−2, 1) + t(2,−4,−2).
Exemplo 1.19 Determine se o ponto (−2, 1,−1) pertence à reta (1, 2, 1) + t(3, 1, 1).
Solução: Devemos ter −2 = 1 + 3t, 1 = 2 + t, −1 = 1 + t. Da 1a equação, t = −1, que
satisfaz a segunda equação mas não satisfaz a terceira. Assim o ponto não pertence à reta.

Exemplo 1.20 Determine o(s) ponto(s) de interseção de cada par de conjuntos abaixo, caso

exista:

(a) dos planos 4x− 2y + 3z = 2 e x− z = 1;
(b) de {(2, 3, 0) + t(1, 2, 3)| t ∈ R} e x− 2y + z = 2;
(c) de {(2, 3, 0) + t(1, 2, 3)| t ∈ R} e −x+ 2y − z = 8;

10 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Solução: (a) Resolvendo o sistema

{
4x− 2y + 3z = 2

x− z = 1 obtemos, colocando z = t: x =
1+t, y = 1+7/2t. Assim a interseção destes 2 planos é a reta {(1, 1, 0) + t(1, 7/2, 1)| t ∈ R}
(b) Como x = 2 + t, y = 3 + 2t e z = 3t, (2 + t)− 2(3 + 2t) + 3t = 2. Assim −8 = 2!.
Como é sem solução concluímos que a reta é paralela ao plano (interseção vazia).

(c) Fazendo contas similares ao (b) concluímos que a reta pertence ao plano pois é verdade

para todo t ∈ R. Assim a interseção é a própria reta: {(2, 3, 0) + t(1, 2, 3)| t ∈ R}.

Equações Paramétricas de Planos em R3

Pela regra do triângulo ou paralelogramo (ver Figura 1.3 da p.4), dados dois vetores u e v
não nulos e não paralelos (Definição 1.5 da p.3), a equação tu + sv, com s, t ∈ R é um
plano passando pela origem. Este plano contém o paralelogramo formado pelos pontos 0, u,
v e u + v. Dizemos que o plano é gerado pelos vetores u e v. Somando um vetor w a cada
elemento deste conjunto transladamos este plano. Na Figura 1.7 mostramos o plano tu + sv
que passa pela origem e sua translação w + tu + sv.

Definição 1.10 (eq. paramétrica do plano) Dados u e v não nulos e não paralelos e
w chamamos Π = {w + tu + sv| s, t ∈ R} (ver Figura 1.7) de equação paramétrica do
plano paralelo ao gerado pelos vetores u e v passando por w. Dizemos que t e s são
parâmetros.

Π

0
v

sv

u

tu
tu + sv

w

w + tu + sv

Figura 1.7: Plano Π = {w + tu + sv; s, t ∈ R}

Exemplo 1.21 Considere o plano Π = {(2, 3, 0) + s(−1, 0,−1) + t(0, 2, 3)| s, t ∈ R}. De-
termine se (1, 2, 2) ∈ Π.

Solução: Temos que resolver o sistema


2− s+ 0t = 1

3 + 0s+ 2t = 2
0− s+ 3t = 2
. Das 2 primeiras equações

obtemos que t = −1 e s = 1. Mas isto não satisfaz a terceira. Logo o ponto não pertence
ao plano.

1.2. EQUAÇÕES CARTESIANAS E PARAMÉTRICAS 11

Observação 1.11 Se o plano Π passa pelos pontos p1, p2, e p3, definindo u = p2 − p1
e v = p3− p1, o plano gerado por u e v é paralelo à Π. Faça uma figura se convencendo
disso. Assim sua equação paramétrica é p1 + tu + sv.

Exemplo 1.22 Determine a equação paramétrica do plano que passa por (0, 1, 0), (1, 1, 1),
e (1, 0, 2).

Solução: Fixamos w = (0, 1, 0) o vetor translação e calculamos dois vetores paralelos ao
plano: u = (1, 1, 1) − (0, 1, 0) = (1, 0, 1) e v = (1, 0, 2) − (0, 1, 0) = (1,−1, 2). Assim o
plano é (0, 1, 0) + t(1, 0, 1) + s(1,−1, 2).
Podemos fixar w = (1, 1, 1) e calcular os vetores paralelos ao plano u = (0, 1, 0) −

(1, 1, 1) = (−1, 0,−1) e v = (1, 0, 2)− (1, 1, 1) = (0,−1, 1). Assim outra equação paramé-
trica para o plano é (1, 1, 1) + t(−1, 0,−1) + s(0,−1, 1).

Exemplo 1.23 Considere o plano Π = {(2, 3, 0) + s(−1, 0, 1) + t(0, 2, 0)| s, t ∈ R}. Deter-
mine o(s) ponto(s) de interseção de Π com cada um dos conjuntos abaixo, caso exista:
(a) reta {(−1, 0, 1) + t(0, 1, 1)| t ∈ R}.
(b) reta {t(1, 0, 1)| t ∈ R}.
(c) plano x− y = 2.
(d) plano {(1,−2, 0) + s(1, 1, 0) + t(0, 1, 0)| s, t ∈ R};
(e) com o eixo z.

Solução: (a) Queremos saber se existem s, t, u ∈ R (note que trocamos o parâmetro da
reta) tais que (2, 3, 0) + s(−1, 0, 1) + t(0, 2, 0) = (−1, 0, 1) + u(0, 1, 1). Precisamos resolver

o sistema (3 equações, 3 variáveis):


2− s+ 0t = −1
3 + 0s+ 2t = u

0 + s+ 0t = 1 + u
. Da primeira equação, s = 3.

Da terceira, como s = 1 + u, u = 2. Da segunda, como 3 + 2t = u, t = −1/2. Assim o
ponto de interseção é (1, 0, 1) + u(0, 1, 1) = (1, 0, 1) + 2(0, 1, 1) = (1, 2, 3). Verifique que
obtemos o mesmo ponto substituindo s = 3 e t = −1/2 em (2, 3, 0) + s(−1, 0, 1) + t(0, 2, 0).
(b) Queremos saber se existem s, t, u ∈ R (note que trocamos o parâmetro da reta)
tais que (2, 3, 0) + s(−1, 0, 1) + t(0, 2, 0) = u(1, 0, 1). Precisamos resolver o sistema (3

equações, 3 variáveis):


2− s+ 0t = u

3 + 0s+ 2t = 0
0 + s+ 0t = u
. Da segunda equação, t = −3/2, mas existe

uma contradição entre a primeira e terceira: u = 2− s = s! Assim o sistema é sem solução
a concluímos