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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.584 seguidores
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que a reta é paralela ao plano.

(c) Como x = 2 − s e y = 3 + 2t, x− y = 2 = −1− s− 2t = 0. Assim, s = −3− 2t.
Substituindo na equação do plano obtemos (2, 3, 0) + (−3− 2t)(−1, 0, 1) + t(0, 2, 0). Logo
a interseção é a reta (5, 3,−3) + t(2, 2,−2).
(d) Queremos saber se existem s, t, u, v ∈ R (note que trocamos os parâmetros do se-
gundo plano) tais que (2, 3, 0) + s(−1, 0, 1) + t(0, 2, 0) = (1,−2, 0) + u(1, 1, 0) + v(0, 1, 0).

Precisamos resolver o sistema (3 equações, 4 variáveis):


2− s+ 0t = 1 + u+ 0v

3 + 0s+ 2t = −2 + u+ v
0 + s+ 0t = 0 + 0u+ 0v
. Da

última equação, s = 0. Da primeira, 2 − s = 1 + u e portanto u = 1. Da segunda,
3+2t = −2+u+v = −2+1+v. Logo v = 2t+4. Logo a solução é a reta (u = 1, v = 2t+4)
(1,−2, 0) + 1(1, 1, 0) + (2t+ 4)(0, 1, 0). Simplificando, (2, 3, 0) + t(0, 2, 0).

12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

(e) O eixo z é caracterizado pelos pontos (0, 0, z). Assim queremos determinar s, t ∈ R
tais que x = 2− s = 0 e y = 3 + 2t = 0. Concluímos que s = 2 e t = −3/2. Logo o ponto
é (2, 3, 0) + 2(−1, 0, 1) +−3/2(0, 2, 0) = (0, 0, 2).
Equação Cartesiana do plano → Paramétrica em R3
Para passar de equação cartesiana para paramétrica de plano em R3: Coloque duas das
variáveis como os dois parâmetros e determine a terceira variável em função dos parâmetros.

Exemplo 1.24 Determine a equação paramétrica do plano:

(a) 2x− 3y + 10z = 16; (b) 3y + 2z = 6.
Solução: (a) Coloque y = s e z = t. Então x = 8 + 3/2y − 5z = 8 + 3/2s − 5t. Logo o
plano é (x, y, z) = (8 + 3/2s− 5t, s, t) = (8, 0, 0) + s(3/2, 1, 0) + t(−5, 0, 1).
(b) Como x não aparece na equação, colocamos x = s (um dos parâmetros). Colocando

y = t obtemos que z = 3− 3/2y = 3− 3/2t. Logo o plano é (x, y, z) = (s, t, 3− 3/2t) =
(0, 0, 3) + s(1, 0, 0) + t(0, 1,−3/2).
Equação Paramétrica do plano → Cartesiana em R3
Para passar de equação paramétrica para cartesiana de plano em R3: Determine valor
dos dois parâmetros em função de duas variáveis (resolvendo sistema linear com duas das

equações) e substitua na outra equação.

Observação 1.12 A conversão paramétrica ←→ cartesiana envolve resolver sistema li-
near. A generalização e sistematização da resolução de sistemas lineares para um número

maior de equações e variáveis é feita pelo chamado escalonamento, apresentado no Ca-

pítulo Sistema Linear (p.27).

Exemplo 1.25 Determine a equação cartesiana do plano:

{(2, 1, 0) + s(−1, 1,−1) + t(1,−2, 3)| s, t ∈ R}.
Solução: Como x = 2 − s + t e y = 1 + s − 2t, obtemos resolvendo o sistema (obtendo
s, t em função de x, y) que t = −y − x + 3 e s = −y − 2x + 5. Como z = −s + 3t,
z = −(−y − 2x + 5) + 3(−y − x + 3) = −2y − x + 4. Assim a equação cartesiana é
x+ 2y + z = 4.

Observação 1.13 (Software Algébrico) Com auxílio do Software Maxima (que pode

ser obtido livremente na Internet) podemos resolver o sistema acima com o comando

linsolve([x=2-s+t,y=1+s-2*t],[t,s]);.

Equações Cartesianas (sistemas) de Reta em R3

Como determinar com equações cartesianas uma reta em R3? Uma equação cartesiana ax+
by+cz = d determina um plano. Assim podemos determinar uma reta em R3 pela interseção
de dois planos não-paralelos, ou seja, por um sistema com duas equações que tenha como

solução uma reta.

Equações Cartesianas (sistemas) da reta → Paramétrica em R3
Para passar de equações cartesianas para paramétrica de reta em R3: Coloque uma das
variáveis como o parâmetro e determine as outras variáveis em função do parâmetro.

1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 13

Exemplo 1.26 Determine equações paramétricas para as retas

(a)

{
2x− 2y + z = 2

y − z = 1 ; (b)
{
x− z = 1

x = 2
;

Determine se cada dos pontos abaixo pertence à reta do item (a):

(c) (1, 2, 4); (d) (1,−1,−2).

Solução: (a) Fixe z = t e determine y = 1+z = 1+ t e x = (2+2y−z)/2 = 1+y−z/2 =
1 + 1 + t− t/2 = 2 + t/2. Logo é a reta (2, 1, 0) + t(1/2, 1, 1).
(b) Note que y não aparece no sistema e pode assumir qualquer valor. Como x = 2,

z = x− 1 = 1. Assim y = t. Logo a reta é (2, t, 1) = (2, 0, 1) + t(0, 1, 0).
(c) O ponto satisfaz a primeira equação mas não satisfaz a segunda. Logo não pertence

à reta.

(d) Satisfaz as duas equações; logo pertence à reta.

Observação 1.14 No exemplo anterior item (a) podemos colocar y = s e resolver
(tente!). A resposta será um pouco diferente da obtida acima.

Se colocarmos z = t no exemplo anterior item (b) teremos um problema (tente fazer isso!).
Veja caso similar na Observação 1.10 da p.7.

Equação Paramétrica da reta → Cartesiana em R3
Para passar de equação paramétrica para cartesiana de reta em R3: Determine o parâmetro
em função de uma das variáveis e substitua nas outras equações.

Exemplo 1.27 Determine equações cartesianas para a reta: (1, 3, 1) + t(2,−1, 1).

Solução: Como x = 1 + 2t, y = 3 − t e z = 1 + t, temos que t = 3 − y. Assim obtemos
duas equações cartesianas x = 1 + 2(3− y) e z = 1 + (3− y). Logo

{
x+ 2y = 7
y + z = 4
.

Exemplo 1.28 Determine a interseção da reta

{
x− 2z = 1

x+ y + z = 0
com o plano

{(1, 2, 2) + t(1, 0,−1) + s(1, 0, 0)| t, s ∈ R}.

Solução: Da equação paramétrica do plano temos que x = 1+ t+s, y = 2, z = 2− t. Subs-
tituindo obtemos o sistema (em s, t):

{
1 + t+ s− 2(2− t) = 1

1 + t+ s+ 2 + 2− t = 0 , ou seja,
{

3t+ s = 4
s = −5 .
Assim s = −5, t = 3. Assim a interseção é no ponto (1, 2, 2) + 3(1, 0,−1) + (−5)(1, 0, 0) =
(−1, 2,−1).

1.3 Combinações Lineares e Espaços Gerados

Generalizamos planos e retas para Rn em equações cartesianas e paramétricas. Para isto pre-
cisamos antes definir combinações lineares, espaços gerados, independência linear e dimensão.

14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

1.3.1 Definições

Vamos introduzir o conceito de combinações lineares motivando-o através da conexão entre

resolução de sistemas lineares e vetores. Faremos isto através de exemplos. Remetemos o

leitor para o Capítulo Sistema Linear (p.27) para a teoria completa.

Considere o sistema

{
x− 2y = 1

−3x+ 5y = 4 . O sistema pode ser escrito vetorialmente como
(x − 2y,−3x + 5y) = (1, 4). Assim (x,−3x) + (−2y, 5y) = (1, 4). Colocando x e y em
evidência, obtemos que x(1,−3) + y(−2, 5) = (1, 4). Definindo v1 = (1,−3), v2 = (−2, 5)
e b = (1, 4), queremos determinar x, y ∈ R tais que xv1 + yv2 = b. Logo resolver o sistema
acima equivale a perguntar se o vetor b pode ser escrito como a soma de múltiplos dos vetores
v1 e v2. Dizemos que queremos determinar se b pode ser escrito como uma combinação
linear (veja Definição 1.11) de v1 e v2.

O sistema sem solução (porque?)

{
x− 2y = 1
x− 2y = 4 pode ser interpretado como o problema
de determinar x, y ∈ R tais que x(1, 1) + y(−2,−2) = (1, 4). Como os vetores (1, 1) e
(−2,−2) são múltiplos um do outro, somas de múltiplos deles resultarão em múltiplos. Como
(1, 4) NÃO é múltiplo de (1, 1) (porque?), o problema não tem solução.
Um vetor ser múltiplo de outro é generalizado pela definição abaixo.

Definição 1.11 (combinação linear) Dizemos que v é combinação linear (CL) de
v1,v2, . . . ,vp se existem α1, α2, . . . , αp ∈ R tais que

v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αpvp =
p∑
i=1

αivi.

Da definição segue de forma imediata que se v é múltiplo de v1 então v é combinação
linear (CL) de v1. Assim dois vetores numa mesma reta passando pela origem serão múltiplos
entre si e um será combinação linear do outro.

Vimos que a combinação linear de dois vetores não paralelos gera um plano (Figura 1.7

da p.10). Assim w = su + tv significa que w pertence a este plano se, e somente se, w
é combinação linear de u e v. Assim se o vetor b não pertence a este plano ele não é
combinação linear de u e v.

Exemplo 1.29 Determinar a solução do sistema


x+ y − 2z + w = 1

x− y + w = −2
z + w = 1
equivale a um

problema de combinações lineares. Explique.

Solução: Resolver este sistema equivale a saber se existem x, y, z, w ∈ R tais que x(1, 1, 0)+
y(1,−1,