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que a reta é paralela ao plano.
(c) Como x = 2 \u2212 s e y = 3 + 2t, x\u2212 y = 2 = \u22121\u2212 s\u2212 2t = 0. Assim, s = \u22123\u2212 2t.
Substituindo na equação do plano obtemos (2, 3, 0) + (\u22123\u2212 2t)(\u22121, 0, 1) + t(0, 2, 0). Logo
a interseção é a reta (5, 3,\u22123) + t(2, 2,\u22122).
(d) Queremos saber se existem s, t, u, v \u2208 R (note que trocamos os parâmetros do se-
gundo plano) tais que (2, 3, 0) + s(\u22121, 0, 1) + t(0, 2, 0) = (1,\u22122, 0) + u(1, 1, 0) + v(0, 1, 0).
Precisamos resolver o sistema (3 equações, 4 variáveis):
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2\u2212 s+ 0t = 1 + u+ 0v
3 + 0s+ 2t = \u22122 + u+ v
0 + s+ 0t = 0 + 0u+ 0v
. Da
última equação, s = 0. Da primeira, 2 \u2212 s = 1 + u e portanto u = 1. Da segunda,
3+2t = \u22122+u+v = \u22122+1+v. Logo v = 2t+4. Logo a solução é a reta (u = 1, v = 2t+4)
(1,\u22122, 0) + 1(1, 1, 0) + (2t+ 4)(0, 1, 0). Simpli\ufb01cando, (2, 3, 0) + t(0, 2, 0).
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
(e) O eixo z é caracterizado pelos pontos (0, 0, z). Assim queremos determinar s, t \u2208 R
tais que x = 2\u2212 s = 0 e y = 3 + 2t = 0. Concluímos que s = 2 e t = \u22123/2. Logo o ponto
é (2, 3, 0) + 2(\u22121, 0, 1) +\u22123/2(0, 2, 0) = (0, 0, 2).
Equação Cartesiana do plano \u2192 Paramétrica em R3
Para passar de equação cartesiana para paramétrica de plano em R3: Coloque duas das
variáveis como os dois parâmetros e determine a terceira variável em função dos parâmetros.
Exemplo 1.24 Determine a equação paramétrica do plano:
(a) 2x\u2212 3y + 10z = 16; (b) 3y + 2z = 6.
Solução: (a) Coloque y = s e z = t. Então x = 8 + 3/2y \u2212 5z = 8 + 3/2s \u2212 5t. Logo o
plano é (x, y, z) = (8 + 3/2s\u2212 5t, s, t) = (8, 0, 0) + s(3/2, 1, 0) + t(\u22125, 0, 1).
(b) Como x não aparece na equação, colocamos x = s (um dos parâmetros). Colocando
y = t obtemos que z = 3\u2212 3/2y = 3\u2212 3/2t. Logo o plano é (x, y, z) = (s, t, 3\u2212 3/2t) =
(0, 0, 3) + s(1, 0, 0) + t(0, 1,\u22123/2).
Equação Paramétrica do plano \u2192 Cartesiana em R3
Para passar de equação paramétrica para cartesiana de plano em R3: Determine valor
dos dois parâmetros em função de duas variáveis (resolvendo sistema linear com duas das
equações) e substitua na outra equação.
Observação 1.12 A conversão paramétrica \u2190\u2192 cartesiana envolve resolver sistema li-
near. A generalização e sistematização da resolução de sistemas lineares para um número
maior de equações e variáveis é feita pelo chamado escalonamento, apresentado no Ca-
pítulo Sistema Linear (p.27).
Exemplo 1.25 Determine a equação cartesiana do plano:
{(2, 1, 0) + s(\u22121, 1,\u22121) + t(1,\u22122, 3)| s, t \u2208 R}.
Solução: Como x = 2 \u2212 s + t e y = 1 + s \u2212 2t, obtemos resolvendo o sistema (obtendo
s, t em função de x, y) que t = \u2212y \u2212 x + 3 e s = \u2212y \u2212 2x + 5. Como z = \u2212s + 3t,
z = \u2212(\u2212y \u2212 2x + 5) + 3(\u2212y \u2212 x + 3) = \u22122y \u2212 x + 4. Assim a equação cartesiana é
x+ 2y + z = 4.
Observação 1.13 (Software Algébrico) Com auxílio do Software Maxima (que pode
ser obtido livremente na Internet) podemos resolver o sistema acima com o comando
linsolve([x=2-s+t,y=1+s-2*t],[t,s]);.
Equações Cartesianas (sistemas) de Reta em R3
Como determinar com equações cartesianas uma reta em R3? Uma equação cartesiana ax+
by+cz = d determina um plano. Assim podemos determinar uma reta em R3 pela interseção
de dois planos não-paralelos, ou seja, por um sistema com duas equações que tenha como
solução uma reta.
Equações Cartesianas (sistemas) da reta \u2192 Paramétrica em R3
Para passar de equações cartesianas para paramétrica de reta em R3: Coloque uma das
variáveis como o parâmetro e determine as outras variáveis em função do parâmetro.
1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 13
Exemplo 1.26 Determine equações paramétricas para as retas
(a)
{
2x\u2212 2y + z = 2
y \u2212 z = 1 ; (b)
{
x\u2212 z = 1
x = 2
;
Determine se cada dos pontos abaixo pertence à reta do item (a):
(c) (1, 2, 4); (d) (1,\u22121,\u22122).
Solução: (a) Fixe z = t e determine y = 1+z = 1+ t e x = (2+2y\u2212z)/2 = 1+y\u2212z/2 =
1 + 1 + t\u2212 t/2 = 2 + t/2. Logo é a reta (2, 1, 0) + t(1/2, 1, 1).
(b) Note que y não aparece no sistema e pode assumir qualquer valor. Como x = 2,
z = x\u2212 1 = 1. Assim y = t. Logo a reta é (2, t, 1) = (2, 0, 1) + t(0, 1, 0).
(c) O ponto satisfaz a primeira equação mas não satisfaz a segunda. Logo não pertence
à reta.
(d) Satisfaz as duas equações; logo pertence à reta.
Observação 1.14 No exemplo anterior item (a) podemos colocar y = s e resolver
(tente!). A resposta será um pouco diferente da obtida acima.
Se colocarmos z = t no exemplo anterior item (b) teremos um problema (tente fazer isso!).
Veja caso similar na Observação 1.10 da p.7.
Equação Paramétrica da reta \u2192 Cartesiana em R3
Para passar de equação paramétrica para cartesiana de reta em R3: Determine o parâmetro
em função de uma das variáveis e substitua nas outras equações.
Exemplo 1.27 Determine equações cartesianas para a reta: (1, 3, 1) + t(2,\u22121, 1).
Solução: Como x = 1 + 2t, y = 3 \u2212 t e z = 1 + t, temos que t = 3 \u2212 y. Assim obtemos
duas equações cartesianas x = 1 + 2(3\u2212 y) e z = 1 + (3\u2212 y). Logo
{
x+ 2y = 7
y + z = 4
.
Exemplo 1.28 Determine a interseção da reta
{
x\u2212 2z = 1
x+ y + z = 0
com o plano
{(1, 2, 2) + t(1, 0,\u22121) + s(1, 0, 0)| t, s \u2208 R}.
Solução: Da equação paramétrica do plano temos que x = 1+ t+s, y = 2, z = 2\u2212 t. Subs-
tituindo obtemos o sistema (em s, t):
{
1 + t+ s\u2212 2(2\u2212 t) = 1
1 + t+ s+ 2 + 2\u2212 t = 0 , ou seja,
{
3t+ s = 4
s = \u22125 .
Assim s = \u22125, t = 3. Assim a interseção é no ponto (1, 2, 2) + 3(1, 0,\u22121) + (\u22125)(1, 0, 0) =
(\u22121, 2,\u22121).
1.3 Combinações Lineares e Espaços Gerados
Generalizamos planos e retas para Rn em equações cartesianas e paramétricas. Para isto pre-
cisamos antes de\ufb01nir combinações lineares, espaços gerados, independência linear e dimensão.
14 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
1.3.1 De\ufb01nições
Vamos introduzir o conceito de combinações lineares motivando-o através da conexão entre
resolução de sistemas lineares e vetores. Faremos isto através de exemplos. Remetemos o
leitor para o Capítulo Sistema Linear (p.27) para a teoria completa.
Considere o sistema
{
x\u2212 2y = 1
\u22123x+ 5y = 4 . O sistema pode ser escrito vetorialmente como
(x \u2212 2y,\u22123x + 5y) = (1, 4). Assim (x,\u22123x) + (\u22122y, 5y) = (1, 4). Colocando x e y em
evidência, obtemos que x(1,\u22123) + y(\u22122, 5) = (1, 4). De\ufb01nindo v1 = (1,\u22123), v2 = (\u22122, 5)
e b = (1, 4), queremos determinar x, y \u2208 R tais que xv1 + yv2 = b. Logo resolver o sistema
acima equivale a perguntar se o vetor b pode ser escrito como a soma de múltiplos dos vetores
v1 e v2. Dizemos que queremos determinar se b pode ser escrito como uma combinação
linear (veja De\ufb01nição 1.11) de v1 e v2.
O sistema sem solução (porque?)
{
x\u2212 2y = 1
x\u2212 2y = 4 pode ser interpretado como o problema
de determinar x, y \u2208 R tais que x(1, 1) + y(\u22122,\u22122) = (1, 4). Como os vetores (1, 1) e
(\u22122,\u22122) são múltiplos um do outro, somas de múltiplos deles resultarão em múltiplos. Como
(1, 4) NÃO é múltiplo de (1, 1) (porque?), o problema não tem solução.
Um vetor ser múltiplo de outro é generalizado pela de\ufb01nição abaixo.
De\ufb01nição 1.11 (combinação linear) Dizemos que v é combinação linear (CL) de
v1,v2, . . . ,vp se existem \u3b11, \u3b12, . . . , \u3b1p \u2208 R tais que
v = \u3b11v1 + \u3b12v2 + · · ·+ \u3b1pvp =
p\u2211
i=1
\u3b1ivi.
Da de\ufb01nição segue de forma imediata que se v é múltiplo de v1 então v é combinação
linear (CL) de v1. Assim dois vetores numa mesma reta passando pela origem serão múltiplos
entre si e um será combinação linear do outro.
Vimos que a combinação linear de dois vetores não paralelos gera um plano (Figura 1.7
da p.10). Assim w = su + tv signi\ufb01ca que w pertence a este plano se, e somente se, w
é combinação linear de u e v. Assim se o vetor b não pertence a este plano ele não é
combinação linear de u e v.
Exemplo 1.29 Determinar a solução do sistema
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ y \u2212 2z + w = 1
x\u2212 y + w = \u22122
z + w = 1
equivale a um
problema de combinações lineares. Explique.
Solução: Resolver este sistema equivale a saber se existem x, y, z, w \u2208 R tais que x(1, 1, 0)+
y(1,\u22121,