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DisciplinaÁlgebra Linear II918 materiais8.046 seguidores
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0) + z(\u22122, 0, 1) + w(1, 1, 1) = (1,\u22122, 1), isto é queremos saber se (1,\u22122, 1) é
combinação linear de (1, 1, 0), (1,\u22121, 0), (\u22122, 0, 1) e (1, 1, 1).
Exemplo 1.30 Considere u = (1, 0, 0) e v = (0, 1, 0) em R3. Qualquer outro vetor no plano
z = 0 será combinação destes dois.
Solução: De fato (a, b, 0) = a(1, 0, 0) + b(0, 1, 0). Ou seja, por exemplo, o vetor w =
(3,\u22122, 0) é combinação linear de u e v. O signi\ufb01cado geométrico é que w está no plano
passando pela origem determinado por u e v.
1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 15
Exemplo 1.31 O mesmo vetor é combinação linear de uma in\ufb01nidade de vetores distintos.
Por exemplo (3, 3) = 3(1, 1) + 0(\u22122,\u22122) = 1(1, 1)\u2212 2(\u22122,\u22122).
Por outro lado alguns vetores não podem ser obtidos como combinação linear de certos
vetores. Por exemplo o vetor (3, 4) não é combinação linear de (1, 1) e (2, 2) pois (3, 4) 6=
\u3b1(1, 1)+\u3b2(2, 2) para todo \u3b1, \u3b2 \u2208 R. De fato, igualando componente a componente, obtemos
o sistema {
\u3b1 + 2\u3b2 = 3
\u3b1 + 2\u3b2 = 4
que é claramente (como \u3b1 + 2\u3b2 pode ser 3 e 4 ao mesmo tempo?) sem solução.
Exemplo 1.32 Determine se:
(a) u = (2, 3, 4) é combinação linear de v = (1, 0, 0) e w = (1, 0, 1).
(b) u = (1, 3, 4) é combinação linear de v = (1, 1, 0) e w = (1, 0, 1).
Solução: (a) Precisamos determinar \u3b1, \u3b2 \u2208 R tais que (2, 3, 4) = \u3b1(1, 0, 0) + \u3b2(1, 0, 1).
Para isto precisamos resolver o sistema\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\u3b1 + \u3b2 = 2
0 = 3
\u3b2 = 4
.
Como o sistema é claramente (como podemos ter 0 = 3?) sem solução, concluímos que u
não é combinação linear de v e w.
(b) Precisamos determinar \u3b1, \u3b2 \u2208 R tais que (1, 3, 4) = \u3b1(1, 1, 0) + \u3b2(1, 0, 1). Para isto
precisamos resolver o sistema \uf8f1\uf8f2\uf8f3
\u3b1 + \u3b2 = 1
\u2212\u3b1 = 3
\u3b2 = 4
.
O sistema possui solução única com \u3b1 = \u22123 e \u3b2 = 4. Portanto, u = \u22123v + 4w.
Observação 1.15 (Combinações Lineares e Sistemas) Os exemplos anteriores mos-
tram que para determinar se um vetor é combinação linear de outros vetores (ou não)
precisamos resolver um sistema linear.
De\ufb01nição 1.12 (espaço gerado) O espaço gerado pelo conjunto de vetores
{v1,v2, . . . ,vp}, denotado por \u3008v1,v2, . . . ,vp\u3009 ou ainda (em inglês e em diversos livros)
por span {v1,v2, . . . ,vp}, é o conjunto de todas as combinações lineares de v1,v2, . . . ,vp.
Portanto,
\u3008v1,v2, . . . ,vp\u3009 = span {v1,v2, . . . ,vp} =
{
p\u2211
i=1
tivi
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223 ti \u2208 R, i = 1, 2, . . . , p
}
.
De\ufb01nição 1.13 (conjunto gerador) O conjunto ordenado
1 {v1,v2, . . . ,vp} gera (é
conjunto gerador de) W se W = \u3008v1,v2, . . . ,vp\u3009.
1
Veja nota na p.72.
16 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Exemplo 1.33 O espaço gerado por (1, 0) e (0, 1) são todos os elementos de R2 pois dado
(a, b) \u2208 R2, (a, b) = a(1, 0)+b(0, 1). Escrevemos que \u3008(1, 0), (0, 1)\u3009 = R2. De forma análoga
\u3008(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\u3009 = R3.
Exemplo 1.34 O espaço gerado por {(1, 1, 1), (\u22121,\u22121,\u22121)} é igual ao gerado por {(1, 1, 1)},
a reta passando pela origem com direção (1, 1, 1). Neste caso dizemos que o vetor (\u22121,\u22121,\u22121)
é redundante (não acrescenta nada) ao conjunto gerador {(1, 1, 1), (\u22121,\u22121,\u22121)}. Utili-
zando a notação temos que \u3008(1, 1, 1), (\u22121,\u22121,\u22121)\u3009 = \u3008(1, 1, 1)\u3009 = \u3008(\u22121,\u22121,\u22121)\u3009.
Exemplo 1.35 Mostre que são iguais ao plano x = 0 em R3:
(a) \u3008(0, 0, 1), (0, 1, 0)\u3009; (b) \u3008(0, 1, 1), (0, 1, 0)\u3009.
Solução: Um ponto qualquer deste plano é da forma (0, a, b).
(a) É verdade pois (0, a, b) = a(0, 1, 0) + b(0, 0, 1).
(b) É verdade pois (0, a, b) = a(0, 1, 1) + (b\u2212 a)(0, 0, 1).
Exemplo 1.36 Considere os vetores u,v e w. Suponha que v = 2w \u2212 3u. Prove que
\u3008u,v,w\u3009 = \u3008u,w\u3009.
Solução: É claro que se b \u2208 \u3008u,w\u3009 então b \u2208 \u3008u,v,w\u3009 (porque?).
Mas se b \u2208 \u3008u,v,w\u3009, b = au+bv+cw. Como v = 2w\u22123u, b = au+b(2w\u22123u)+cw =
(a\u2212 3)u + (2b+ c)w, ou seja, b \u2208 \u3008u,w\u3009.
Vamos motivar o conceito de (in)dependência linear com 2 exemplos geométricos.
Exemplo 1.37 Vamos ilustrar três casos típicos de conjuntos gerados por 1, 2 e 3 vetores,
que geram, respectivamente, uma reta, um plano e um espaço tridimensional:
1 vetor 2 vetores 3 vetores
Exemplo 1.38 Pode ocorrer, no entanto, de um dos vetores ser \ufffdredundante\ufffd (desnecessá-
rio), e o espaço gerado por 2 vetores ser uma reta ou por 3 vetores ser um plano:
2 vetores 3 vetores
Lema 1.14 Dados vetores v1,v2, . . . ,vp, com p > 1, existe um vetor que é combinação
linear dos outros se, e somente se, existem t1, . . . , tp \u2208 R com pelo menos um deles não-nulo
e
p\u2211
i=1
tivi = 0.
1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 17
Prova: Vamos provar para p = 3 para facilitar notação. Se, digamos, v2 = av1 + bv3,
então 0 = av1 \u2212 1v2 + bv3.
Se existem t1, t2, t3 \u2208 R com, digamos, t3 6= 0, 0 = t1v2 + t2v2 + t3v3 e portanto
v3 = \u2212t1/t3v2 \u2212 t2/t3v3.
Este lema mostra que 0 pode ser expresso como CL não-trivial dos vi's. se, e somente
se, um dos vetores é combinação linear dos outros, isto é, se e somente se um dos vetores
v1,v2, . . . ,vp é \ufffdredundante\ufffd (pode ser eliminado da lista).
De\ufb01nição 1.15 (linearmente dependente/independente) Os vetores v1,v2, . . . ,vp
são ditos linearmente dependentes (abreviamos por LD) se existem t1, . . . , tp \u2208 R com
pelo menos um deles não-nulo e
p\u2211
i=1
tivi = 0.
Pelo Lema 1.14, v1,v2, . . . ,vp com p > 1 será LD se, e só se, um dos vetores é combinação
linear dos demais.
Caso contrário, dizemos que o conjunto é linearmente independente (abreviamos por
LI). Mais explicitamente, se
p\u2211
i=1
tivi = 0 então t1 = t2 = · · · = tp = 0.
Assim (exemplo anterior) se, por exemplo, v = 2w\u2212 3u, então como 0 = \u22123u\u2212v + 2w
o conjunto {u,v,w} é LD.
Exemplo 1.39 Determine condições para que seja LI:
(a) o conjunto unitário {u}; (b) o conjunto {u,v}
Solução: (a) Para ser LD devemos ter tu = 0 com t 6= 0. Isto é possível se, e somente se,
u = 0. Assim basta que u 6= 0.
(b) Para ser LD devemos ter su + tv = 0 com t ou s diferentes de zero. Supondo t 6= 0
(caso contrário o raciocínio é análogo), v = \u2212(s/t)u, ou seja, v é múltiplo de u. Assim
basta que não sejam múltiplos entre si para que o conjunto seja LI.
Se um vetor v \u2208 \u3b2 é combinação linear dos demais vetores de \u3b2, então o espaço gerado
por \u3b2 e por \u3b2 \u2212 {v} (conjunto \u3b2 sem o vetor v) é o mesmo. Ou seja, o vetor v é
redundante em \u3b2 pois não acrescenta nada ao espaço gerado por \u3b2. Pelo Lema 1.14 da
p.16 o conjunto \u3b2 é LD.
Exemplo 1.40 Mostre que o conjunto {(1,\u22122, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)} é LD.
Solução: O conjunto é linearmente dependente pois (1,\u22122, 1) = 3(1, 0, 1)\u22122(1, 1, 1). Assim
(1,\u22122, 1) é redundante. Desta forma \u3008(1,\u22122, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)\u3009 = \u3008(1, 0, 1), (1, 1, 1)\u3009.
Neste mesmo conjunto, o vetor (1, 1, 1) é redundante pois (1, 1, 1) = \u22121/2(1,\u22122, 1) +
3/2(1, 0, 1). Portanto, \u3008(1,\u22122, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 1)\u3009 = \u3008(1,\u22122, 1), (1, 0, 1)\u3009.
Exemplo 1.41 Considere a caixa retangular e os vetores u,v,w,x,y, z, representados na
Figura 1.8. Determine se são LIs ou LDs os conjuntos:
(a) {u,v,w}; (b) {w, z}; (c) {v,y, z}; (d) {v, z}; (e) {u,y};
(f) {v,x,y}; (g) {v,w, z}; (h) {u,v,y}; (i) {u,v,w,x}.
18 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
u
v w
x
y
z
Figura 1.8: Vetores em um Cubo
Solução:
São LIs os conjuntos (a) {u,v,w}, (b) {w, z}, (c) {v,y, z}, (d) {v, z}.
São LDs os conjuntos (e) {u,y} pois u = \u22122y, (f) {v,x,y} pois x + v = 2y, (g) {v,w, z}
pois w + 2z = v, (h) {u,v,y} pois u = \u22122y, (i) {u,v,w,x} pois v + u + x = 0.
De\ufb01nição 1.16 (dimensão) Dizemos que o espaço gerado H = \u3008v1,v2, . . . ,vp\u3009 possui
dimensão p se o conjunto {v1,v2, . . . ,vp} é LI.
Observação 1.16 Uma questão sem resposta aqui é se isto de\ufb01ne, de fato, um único
número. Ou seja, será que sempre que H = \u3008v1,v2, . . . ,vp\u3009 = \u3008u1,u2, . . . ,uq\u3009 com
{v1,v2, . . . ,vp} e {u1,u2, . . . ,uq} LIs, temos que p = q? Veja prova que sim no Corolá-
rio 3.23 da p.83.
Para se determinar a dimensão do espaço gerado deve-se eliminar os vetores dependentes
(redundantes) do conjunto de vetores.
Exemplo 1.42 Determine a dimensão de:
(a) \u3008(1/2, 2,\u22121),