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Disciplina:Álgebra Linear II693 materiais7.563 seguidores
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(−1,−4, 2)〉; (b) 〈(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)〉;
(c) 〈(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)〉; (d) 〈(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)〉.
Solução: (a) O espaço gerado é a reta passando pela origem paralela ao vetor (1/2, 2,−1)
(ou (−1,−4, 2), que é a mesma reta). Neste caso o espaço gerado possui dimensão 1.
Portanto, 〈(1/2, 2,−1), (−1,−4, 2)〉 = 〈(1/2, 2,−1)〉 = 〈(−1,−4, 2)〉 .
(b) O espaço gerado é igual a todo o R3 pois dado (a, b, c) ∈ R3, (a, b, c) = a(1, 0, 0) +

b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1). A dimensão é 3.
(c) Como, (1, 1, 1) = (1, 0, 1)+(0, 1, 0), 〈(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)〉 = 〈(1, 0, 1), (0, 1, 0)〉.
Assim a dimensão é 2.
(d) Pode-se verificar que o conjunto é LI pois fazendo uma combinação linear deles obtemos

(0, a, b, c) = (0, 0, 0, 0). A única forma disto ocorrer é se a = b = c = 0. Logo a dimensão é
3, igual a um subespaço de dimensão 3 do R4 perpendicular ao eixo x.

Exemplo 1.43 Considere três vetores u,v,w no R3. Se eles forem LIs, eles gerarão um
subespaço de dimensão 3 que será necessariamente igual a todo o R3. Se um for combinação
linear (LDs) dos outros, digamos quew = αu+βv, ele será redundante; desta forma 〈u,v,w〉
será igual a 〈u,v〉. Agora, conforme análise anterior, o espaço gerado será reduzido a um
plano, reta ou ponto.

1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 19

Observação 1.17 (localizando pontos) Pontos numa reta fixa em R2 ou R3 podem ser
localizados por um único parâmetro. Isto também é verdade para curvas. Assim localizamos

um ponto em uma certa estrada (que é uma curva em R3) pelo seu quilômetro. Já pontos
num plano, ou de forma mais geral numa superfície, são localizados por dois parâmetros.

Na superfície da terra por latitude e longitude por exemplo. O número de parâmetros

necessários será chamado de dimensão. Assim dizemos que uma reta ou curva possui

dimensão 1 e um plano ou superfície dimensão 2.

O espaço gerado é, geometricamente, reta, plano e generalizações passando pela origem.

Mais precisamente, se u 6= 0 e v não é múltiplo de u, 〈u〉 é uma reta passando pela
origem e 〈u,v〉 é um plano passando pela origem. O espaço gerado transladado é,
geometricamente, reta, plano e generalizações passando pelo ponto de translação. Assim

dado um vetor w qualquer, w + 〈u〉 é uma reta e w + 〈u,v〉 é um plano, ambos passando
por w. Vimos isto em R2 e R3 na Seção 1.2 da p.5. Vamos generalizar agora.

1.3.2 Espaço Gerado por 1 Vetor e Retas em Rn

Vimos (na p.7) que dado u 6= 0 e um vetor w qualquer a equação w + tu é uma reta.
Utilizando a notação de espaço gerado, a equação paramétrica da reta em Rn é dada por
r = w + 〈u〉, onde u é uma direção paralela à reta e w o vetor translação.
Vimos (na p.12) que em R3 precisamos de um sistema com pelo menos 2 equações
cartesianas para determinar uma reta. O caso geral de equações cartesianas de reta em Rn
será visto no Capítulo Sistema Linear (p.27), onde se entenderá porque retas em R4, por
exemplo, são determinadas por um sistema com pelo menos 3 equações.

Exemplo 1.44 Determine equações paramétricas para a reta (em R4):
(a) que contém o ponto (2, 3, 4, 5) e é paralela ao vetor (−1, 1,−1, 1);
(b) que contém os pontos (1, 2, 1, 2) e (3, 4, 3, 4);

(c) (x, y, z, w) ∈ R4 tais que


x− w = 2
y − z = 3

z − 2w = 1
Solução: (a) A reta é (2, 3, 4, 5) + t(−1, 1,−1, 1).
(b) Calculando u = (3, 4, 3, 4)− (1, 2, 1, 2) = (2, 2, 2, 2), paralelo à reta. Assim a reta é

(1, 2, 1, 2) + t(2, 2, 2, 2). Note que poderíamos ter calculado u = (1, 2, 1, 2) − (3, 4, 3, 4) =
(−2,−2,−2,−2) e obteríamos a mesma reta, embora com representação distinta,
(1, 2, 1, 2) + t(−2,−2,−2,−2). Utilizamos w = (1, 2, 1, 2) mas poderíamos ter tomado
(3, 4, 3, 4). Assim, fazendo todas as combinações, representam ainda a mesma reta,
(3, 4, 3, 4) + t(−2,−2,−2,−2) e (3, 4, 3, 4) + t(2, 2, 2, 2).
(c) Tomando w = t, obtemos que z = 2t + 1, y = z + 3 = t + 4, x = w + 2 = t + 2.
Assim a reta (x, y, z, w) = (2, 4, 1, 0) + t(1, 1, 2, 1).

Exemplo 1.45 (a) Determine se o ponto (1, 1, 1, 2) pertence à reta (1, 0,−1, 0)+〈(2, 1, 2, 1)〉.
(b) Determine se (1, 2, 1) + 〈(2,−6, 4)〉 = (0, 5,−1) + 〈(−1, 3,−2)〉.
Solução: (a) Queremos saber se existe t ∈ R tal que (1, 1, 1, 2) = (1, 0,−1, 0)+ t(2, 1, 2, 1).
Isto determina o sistema 

1 + 2t = 1
t = 1

−1 + 2t = 1
t = 2

.

20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR

Como ele não possui solução (t = 1 e t = 2?), o ponto não pertence à reta.

(b) Queremos saber se para um s dado, existe t tal que (1, 2, 1)+s(2,−6, 4) = (0, 5,−1)+
t(−1, 3,−2). Isto determina o sistema linear

−t = 1 + 2s
3t = −3− 6s
−2t = 2 + 4s

.

Da primeira equação obtemos que t = −1 − 2s. Verifique que isto satisfaz as outras duas
equações. Portanto é a mesma reta.

Uma solução mais geométrica é observar que ambas são translação da reta 〈(−1, 3,−2)〉
pois (2,−6, 4) = −2(−1, 3,−2). Além disso o ponto (1, 2, 1) ∈ (0, 5,−1) + 〈(−1, 3,−2)〉
(verifique isso!).

Exemplo 1.46 Determine equações cartesianas para a reta (em R4) (1, 0, 1, 0)+t(2,−1, 1, 3).

Solução: Como x = 1 + 2t, y = −t, z = t e w = 3t, temos (fixe t = z):
x− 2z = 1
y + z = 0

−3z + w = 0
.

Observação 1.18 A caracterização de reta através de equações paramétricas independe

da dimensão do espaço ambiente. Desta forma uma reta em R2, R3, R4, etc. é sempre
da forma w + tv. Por contraste, precisamos de uma equação cartesiana para caracterizar
uma reta em R2, 2 equações em R3, 3 equações em R4, etc.

Observação 1.19 A forma paramétrica não é única.

Dada reta r = {w + tu; t ∈ R} podemos substituir u por um múltiplo não-nulo qualquer
v = 3u ou v = −6u e obter a mesma reta r = {w + sv; s ∈ R}. Por outro lado, dado
z ∈ r qualquer, como z−w é paralelo ao vetor u (faça um desenho), r = {z+ tu; t ∈ R}
(podemos substituir w ∈ r por outro vetor qualquer que pertença à reta.

1.3.3 Espaço Gerado por 2 Vetores e Planos no Rn

Vimos (na p.10) que dados dois vetores u e v não nulos e não paralelos (Definição 1.5 da p.3),
e um vetor translação w qualquer a equação w + tu + sv é um plano. Utilizando a notação
de espaço gerado, a equação paramétrica do plano em Rn é dada por Π = w + 〈u,v〉.
Vimos (na p.9) que uma equação cartesiana determina um plano em R3. Vamos ver através
de exemplos que em R4 precisamos de um sistema com pelo menos 2 equações cartesianas
para determinar um plano. O caso geral de planos em Rn será visto no Capítulo Sistema
Linear (p.27) onde se entenderá porque planos em R5, por exemplo, são determinadas por
um sistema com pelo menos 3 equações.

Exemplo 1.47 Determine pontos do plano cuja equação paramétrica é

(1, 1, 2, 0) + t(−1, 2,−1, 1) + s(1, 1, 1, 1).

1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 21

Solução: Colocamos t = s = 0 para obter o ponto (1, 1, 2, 0). Colocando t = 0, s = 1
obtemos (1, 1, 2, 0) + (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 3, 1). Colocando t = 1, s = 0 obtemos (1, 1, 2, 0) +
(−1, 2,−1, 1) = (0, 3, 1, 1). Colocando t = 1, s = −1 obtemos (1, 1, 2, 0) + (−1, 2,−1, 1)−
(1, 1, 1, 1) = (−1, 2, 0, 0).

Exemplo 1.48 Considere u = (1,−2, 1, 1, 1),v = (2, 2, 0, 1, 1). Verifique se (1, 2, 3, 4, 5) +
〈u,v〉 é um plano em R5.

Solução: Os vetores u e v não são múltiplos entre si. Podemos verificar isto comparando
as primeiras entradas: uma teria que ser o dobro do outro. Mas as outras entradas não são

o dobro entre si. Logo é um plano.

Exemplo 1.49 Determine se o ponto (1, 1, 1, 1) pertence ao plano
(2, 2, 2, 2) + 〈(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)〉.

Solução: Queremos saber se existem s, t ∈ R tal que (1, 3, 1, 3) = (2, 2, 2, 2)+s(1, 0, 1, 0)+
t(0, 1, 0, 1). Isto determina o sistema

2 + s = 1
2 + t = 3
2 + s = 1
2 + t = 3

.

A solução é s = −1 e t = 1. Portanto o ponto pertence ao plano.

Exemplo 1.50 Determine equações paramétricas para o plano (em R4):
(a) que contém o ponto (1, 2, 3, 4) e é simultaneamente paralelo aos vetores (2, 3, 5, 7) e

(0, 1, 0, 1) .
(b) que contém os pontos (2, 2, 2, 2), (3, 3,