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DisciplinaÁlgebra Linear II915 materiais8.018 seguidores
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(\u22121,\u22124, 2)\u3009; (b) \u3008(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)\u3009;
(c) \u3008(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)\u3009; (d) \u3008(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)\u3009.
Solução: (a) O espaço gerado é a reta passando pela origem paralela ao vetor (1/2, 2,\u22121)
(ou (\u22121,\u22124, 2), que é a mesma reta). Neste caso o espaço gerado possui dimensão 1.
Portanto, \u3008(1/2, 2,\u22121), (\u22121,\u22124, 2)\u3009 = \u3008(1/2, 2,\u22121)\u3009 = \u3008(\u22121,\u22124, 2)\u3009 .
(b) O espaço gerado é igual a todo o R3 pois dado (a, b, c) \u2208 R3, (a, b, c) = a(1, 0, 0) +
b(0, 1, 0) + c(0, 0, 1). A dimensão é 3.
(c) Como, (1, 1, 1) = (1, 0, 1)+(0, 1, 0), \u3008(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 1, 0)\u3009 = \u3008(1, 0, 1), (0, 1, 0)\u3009.
Assim a dimensão é 2.
(d) Pode-se veri\ufb01car que o conjunto é LI pois fazendo uma combinação linear deles obtemos
(0, a, b, c) = (0, 0, 0, 0). A única forma disto ocorrer é se a = b = c = 0. Logo a dimensão é
3, igual a um subespaço de dimensão 3 do R4 perpendicular ao eixo x.
Exemplo 1.43 Considere três vetores u,v,w no R3. Se eles forem LIs, eles gerarão um
subespaço de dimensão 3 que será necessariamente igual a todo o R3. Se um for combinação
linear (LDs) dos outros, digamos quew = \u3b1u+\u3b2v, ele será redundante; desta forma \u3008u,v,w\u3009
será igual a \u3008u,v\u3009. Agora, conforme análise anterior, o espaço gerado será reduzido a um
plano, reta ou ponto.
1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 19
Observação 1.17 (localizando pontos) Pontos numa reta \ufb01xa em R2 ou R3 podem ser
localizados por um único parâmetro. Isto também é verdade para curvas. Assim localizamos
um ponto em uma certa estrada (que é uma curva em R3) pelo seu quilômetro. Já pontos
num plano, ou de forma mais geral numa superfície, são localizados por dois parâmetros.
Na superfície da terra por latitude e longitude por exemplo. O número de parâmetros
necessários será chamado de dimensão. Assim dizemos que uma reta ou curva possui
dimensão 1 e um plano ou superfície dimensão 2.
O espaço gerado é, geometricamente, reta, plano e generalizações passando pela origem.
Mais precisamente, se u 6= 0 e v não é múltiplo de u, \u3008u\u3009 é uma reta passando pela
origem e \u3008u,v\u3009 é um plano passando pela origem. O espaço gerado transladado é,
geometricamente, reta, plano e generalizações passando pelo ponto de translação. Assim
dado um vetor w qualquer, w + \u3008u\u3009 é uma reta e w + \u3008u,v\u3009 é um plano, ambos passando
por w. Vimos isto em R2 e R3 na Seção 1.2 da p.5. Vamos generalizar agora.
1.3.2 Espaço Gerado por 1 Vetor e Retas em Rn
Vimos (na p.7) que dado u 6= 0 e um vetor w qualquer a equação w + tu é uma reta.
Utilizando a notação de espaço gerado, a equação paramétrica da reta em Rn é dada por
r = w + \u3008u\u3009, onde u é uma direção paralela à reta e w o vetor translação.
Vimos (na p.12) que em R3 precisamos de um sistema com pelo menos 2 equações
cartesianas para determinar uma reta. O caso geral de equações cartesianas de reta em Rn
será visto no Capítulo Sistema Linear (p.27), onde se entenderá porque retas em R4, por
exemplo, são determinadas por um sistema com pelo menos 3 equações.
Exemplo 1.44 Determine equações paramétricas para a reta (em R4):
(a) que contém o ponto (2, 3, 4, 5) e é paralela ao vetor (\u22121, 1,\u22121, 1);
(b) que contém os pontos (1, 2, 1, 2) e (3, 4, 3, 4);
(c) (x, y, z, w) \u2208 R4 tais que
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x\u2212 w = 2
y \u2212 z = 3
z \u2212 2w = 1
Solução: (a) A reta é (2, 3, 4, 5) + t(\u22121, 1,\u22121, 1).
(b) Calculando u = (3, 4, 3, 4)\u2212 (1, 2, 1, 2) = (2, 2, 2, 2), paralelo à reta. Assim a reta é
(1, 2, 1, 2) + t(2, 2, 2, 2). Note que poderíamos ter calculado u = (1, 2, 1, 2) \u2212 (3, 4, 3, 4) =
(\u22122,\u22122,\u22122,\u22122) e obteríamos a mesma reta, embora com representação distinta,
(1, 2, 1, 2) + t(\u22122,\u22122,\u22122,\u22122). Utilizamos w = (1, 2, 1, 2) mas poderíamos ter tomado
(3, 4, 3, 4). Assim, fazendo todas as combinações, representam ainda a mesma reta,
(3, 4, 3, 4) + t(\u22122,\u22122,\u22122,\u22122) e (3, 4, 3, 4) + t(2, 2, 2, 2).
(c) Tomando w = t, obtemos que z = 2t + 1, y = z + 3 = t + 4, x = w + 2 = t + 2.
Assim a reta (x, y, z, w) = (2, 4, 1, 0) + t(1, 1, 2, 1).
Exemplo 1.45 (a) Determine se o ponto (1, 1, 1, 2) pertence à reta (1, 0,\u22121, 0)+\u3008(2, 1, 2, 1)\u3009.
(b) Determine se (1, 2, 1) + \u3008(2,\u22126, 4)\u3009 = (0, 5,\u22121) + \u3008(\u22121, 3,\u22122)\u3009.
Solução: (a) Queremos saber se existe t \u2208 R tal que (1, 1, 1, 2) = (1, 0,\u22121, 0)+ t(2, 1, 2, 1).
Isto determina o sistema \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
1 + 2t = 1
t = 1
\u22121 + 2t = 1
t = 2
.
20 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Como ele não possui solução (t = 1 e t = 2?), o ponto não pertence à reta.
(b) Queremos saber se para um s dado, existe t tal que (1, 2, 1)+s(2,\u22126, 4) = (0, 5,\u22121)+
t(\u22121, 3,\u22122). Isto determina o sistema linear\uf8f1\uf8f2\uf8f3
\u2212t = 1 + 2s
3t = \u22123\u2212 6s
\u22122t = 2 + 4s
.
Da primeira equação obtemos que t = \u22121 \u2212 2s. Veri\ufb01que que isto satisfaz as outras duas
equações. Portanto é a mesma reta.
Uma solução mais geométrica é observar que ambas são translação da reta \u3008(\u22121, 3,\u22122)\u3009
pois (2,\u22126, 4) = \u22122(\u22121, 3,\u22122). Além disso o ponto (1, 2, 1) \u2208 (0, 5,\u22121) + \u3008(\u22121, 3,\u22122)\u3009
(veri\ufb01que isso!).
Exemplo 1.46 Determine equações cartesianas para a reta (em R4) (1, 0, 1, 0)+t(2,\u22121, 1, 3).
Solução: Como x = 1 + 2t, y = \u2212t, z = t e w = 3t, temos (\ufb01xe t = z):\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x\u2212 2z = 1
y + z = 0
\u22123z + w = 0
.
Observação 1.18 A caracterização de reta através de equações paramétricas independe
da dimensão do espaço ambiente. Desta forma uma reta em R2, R3, R4, etc. é sempre
da forma w + tv. Por contraste, precisamos de uma equação cartesiana para caracterizar
uma reta em R2, 2 equações em R3, 3 equações em R4, etc.
Observação 1.19 A forma paramétrica não é única.
Dada reta r = {w + tu; t \u2208 R} podemos substituir u por um múltiplo não-nulo qualquer
v = 3u ou v = \u22126u e obter a mesma reta r = {w + sv; s \u2208 R}. Por outro lado, dado
z \u2208 r qualquer, como z\u2212w é paralelo ao vetor u (faça um desenho), r = {z+ tu; t \u2208 R}
(podemos substituir w \u2208 r por outro vetor qualquer que pertença à reta.
1.3.3 Espaço Gerado por 2 Vetores e Planos no Rn
Vimos (na p.10) que dados dois vetores u e v não nulos e não paralelos (De\ufb01nição 1.5 da p.3),
e um vetor translação w qualquer a equação w + tu + sv é um plano. Utilizando a notação
de espaço gerado, a equação paramétrica do plano em Rn é dada por \u3a0 = w + \u3008u,v\u3009.
Vimos (na p.9) que uma equação cartesiana determina um plano em R3. Vamos ver através
de exemplos que em R4 precisamos de um sistema com pelo menos 2 equações cartesianas
para determinar um plano. O caso geral de planos em Rn será visto no Capítulo Sistema
Linear (p.27) onde se entenderá porque planos em R5, por exemplo, são determinadas por
um sistema com pelo menos 3 equações.
Exemplo 1.47 Determine pontos do plano cuja equação paramétrica é
(1, 1, 2, 0) + t(\u22121, 2,\u22121, 1) + s(1, 1, 1, 1).
1.3. COMBINAÇÕES LINEARES E ESPAÇOS GERADOS 21
Solução: Colocamos t = s = 0 para obter o ponto (1, 1, 2, 0). Colocando t = 0, s = 1
obtemos (1, 1, 2, 0) + (1, 1, 1, 1) = (2, 2, 3, 1). Colocando t = 1, s = 0 obtemos (1, 1, 2, 0) +
(\u22121, 2,\u22121, 1) = (0, 3, 1, 1). Colocando t = 1, s = \u22121 obtemos (1, 1, 2, 0) + (\u22121, 2,\u22121, 1)\u2212
(1, 1, 1, 1) = (\u22121, 2, 0, 0).
Exemplo 1.48 Considere u = (1,\u22122, 1, 1, 1),v = (2, 2, 0, 1, 1). Veri\ufb01que se (1, 2, 3, 4, 5) +
\u3008u,v\u3009 é um plano em R5.
Solução: Os vetores u e v não são múltiplos entre si. Podemos veri\ufb01car isto comparando
as primeiras entradas: uma teria que ser o dobro do outro. Mas as outras entradas não são
o dobro entre si. Logo é um plano.
Exemplo 1.49 Determine se o ponto (1, 1, 1, 1) pertence ao plano
(2, 2, 2, 2) + \u3008(1, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 1)\u3009.
Solução: Queremos saber se existem s, t \u2208 R tal que (1, 3, 1, 3) = (2, 2, 2, 2)+s(1, 0, 1, 0)+
t(0, 1, 0, 1). Isto determina o sistema\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f4\uf8f3
2 + s = 1
2 + t = 3
2 + s = 1
2 + t = 3
.
A solução é s = \u22121 e t = 1. Portanto o ponto pertence ao plano.
Exemplo 1.50 Determine equações paramétricas para o plano (em R4):
(a) que contém o ponto (1, 2, 3, 4) e é simultaneamente paralelo aos vetores (2, 3, 5, 7) e
(0, 1, 0, 1) .
(b) que contém os pontos (2, 2, 2, 2), (3, 3,