infinitesimos
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Ca´lculo de limite com o me´todo dos infinite´simos
Calculemos o limite:
lim
x\u21920
sin(x3)\u2212 tan3x
(1\u2212 ex)(1\u2212 cosx)2
Temos:
sinx = x\u2212 16x3 + o(x4) para x\u2192 0,
da´\u131:
sin(x3) = x3 \u2212 16x9 + o(x12) = x3 + o(x8) para x\u2192 0.
O Polino\u2c6mio de Taylor de ordem 4 da tangente, centrado em 0, e´:
tan(x) = x+ 13x
3 + o
(
x4
)
para x\u2192 0,
segue:
tan3x =
[
x+
1
3
x3 + o
(
x4
)]3
= x3 + x5 + o(x6) para x\u2192 0,
e portanto:
sin(x3)\u2212 tan3x = \u2212x5 + o(x6) para x\u2192 0.
Analogamente:
1\u2212 ex = \u2212x+ o(x) para x\u2192 0,
e:
1\u2212 cosx = 12x2 + o(x3) para x\u2192 0,
(1\u2212 cosx)2 = ( 12x2 + o(x3)) = 14x4 + o(x4) para x\u2192 0,
(1\u2212 ex)(1\u2212 cosx)2 = \u221214x5 + o(x5) para x\u2192 0.
Finalmente:
lim
x\u21920
sin(x3)\u2212 tan3x
(1\u2212 ex)(1\u2212 cosx)2 = limx\u21920
\u2212x5 + o(x6)
\u2212 14x5 + o(x5)
= 4.