AD1 Q4 2017 2 Gabarito _ Passei Direto

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Fundação Centro de Cîencias e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questão 4 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2017-2
Questão 4 (2,5 pontos) Um aumento de % em um valor representa uma multiplicação deste pora
1 + a
100 
, i .e. o valor final é o valor inicial multiplicado por 1 + a
100 
. Por exemplo, um aumento de
30% sobre R$ 120,00 transforma este valor em
120, 00 ·

1 +
30
100 

= 120 ·
130
100 
=
15600
100 
= 156 00,
A partir disto, responda:
(a) Um aumento de 12% sobre R$ 131,00 resulta em que valor?
(b) Dois aumentos consecutivos de 12% sobre R$ 131,00 resulta em que valor?
(c) Dois aumentos consecutivos de a% sobre o preço resulta em que valor?P
(d) O preço de um produto sofreu dois reajustes sucessivos de mesmo percentual 11%, e tornou-se
R$ 133,10. Qual era o preço inicial?
(e) Após dois aumentos consecutivos de %, um produto que custava R$ 210,00 passou a custara
R$ 302,40. Qual o valor de ?a
(f ) Um valor V sofreu um aumento de 15% e depois 3 aumentos sucessivos de 12%. Dê a expressão
do valor final em função do valor V inicial.
Solução:
(a) De acordo com a observação, um aumento de % em um valor representa uma multiplicação12
deste por 1 + 12
100 
. Portanto, um aumento de 12% sobre 131, 00 transforma este valor em
131, 00 ·

1 +
12
100 

= 131, 00 ·
112
100 
=
14672
100 
= 146, 72.
(b) Conforme visto no item (a), após o primeiro aumento de % sobre R$ 131,00, o novo valor,12
que chamaremos de V1, passa a ser
V1 = 131, 00 ·

1 +
12
100 

= 131, 00 ·
112
100 
=
14672
100 
= 146, 72.
Um segundo aumento de %, também representa uma multiplicação por 12 1 + 12
100 
sobre o valor
anterior, que é igual a . Sendo assim ,temos queV1
V V2 = 1 ·

1 +
12
100 

= 131, 00 ·

1 +
12
100 

·

1 +
12
100 

= 131, 00 ·

1 +
12
100 
2
= 131, 00 ·

112
100 
2
= 131, 00 ·
12 544.
10000 
≈ 164 33,
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 2
(c) Após o primeiro aumento de % sobre um valor , o novo valor, que chamaremos de a P P1, passa
a ser
P1 = P ·

1 +
a
100 

.
Um segundo aumento de %, também representa uma multiplicação por a 1 + a
100 
sobre o valor
anterior, que é igual a , resultando emP1
P P2 = 1 ·

1 +
a
100 

= P ·

1 +
a
100 

·

1 +
a
100 

= P ·

1 +
a
100 
2
.
(d) Após o primeiro aumento de % sobre um valor 11 P , o novo valor, que chamaremos de P1, passa
a ser
P1 = P ·

1 +
11
100 

= P ·
111
100 
.
Um segundo aumento de %, também representa uma multiplicação por 11 1 + 11
100 
sobre o valor
anterior, que é igual a , resultando emP1
P P2 = 1 ·

1 +
11
100 

= P ·

1 +
11
100 

·

1 +
11
100 

= P ·

1 +
11
100 
2
= P ·

111
100 
2
= P ·
12 321.
10000 
.
Se P2 = 133, 10, para descobrirmos , precisamos resolver a equaçãoP
133, 10 = P ·
12 321.
10000 
.
Desta forma, temos que
P = 133, 10 ·
10000
12.321 
=
1 331 000. .
12.321 
≈ 108 03, .
(e) Pelo item (c), após dois aumentos de , o preço de um produto com preço inicial a% P será dado
p or
P2 = P ·

1 +
a
100 
2
.
Sendo P = 210, 00 e P2 = 302, 40, para descobrirmos , precisamos resolver a equaçãoa
302, 40 = 210, 00 ·

1 +
a
100 
2
.
Desta forma, temos que

1 +
a
100 
2
=
302 40,
210, 00 
= 1, 44.
⇒

1 +
a
100 

=
p
1, 44 = 1 2,
⇒
a
100 
= 1 2, ,2 − 1 = 0
⇒ a = 0, 2 · 100 = 20
Cada aumento foi, portanto, de 20%.
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Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 4 da AD 1 3
(f) Vamos esquematizar os aumentos a seguir.
• Valor inicial: valor .V
• Primeiro aumento: 15%.
O primeiro aumento, que é de % sobre o valor , representa uma multiplicação por15 V
1 + 15
100 
, sobre o valor inicial . O novo valor, após este aumento, que chamaremos de ,V V1
passa a ser então
V1 = V ·

1 +
15
100 

= V ·
115
100 
.
• Segundo aumento: 12%.
Um segundo aumento, de %, representa agora uma multiplicação por 12 1 + 12
100 
, sobre o
valor anterior, que é igual a , resultando emV1
V2 = V1 ·

1 +
12
100 

= V ·

1 +
15
100 

·

1 +
12
100 

= V ·
115
100 
·
112
100 
= V ·
115
100 
·
112
100 
.
• Terceiro aumento: 12%.
Um terceiro aumento de 12%, também representa uma multiplicação por 1 + 12
100 
sobre o
valor anterior, que é igual a , resultando emV2
V3 = V2 ·

1 +
12
100 

= V ·

1 +
15
100 

·

1 +
12
100 

·

1 +
12
100 

= V ·

1 +
15
100 

·

1 +
12
100 
2
= V ·

115
100 

·

112
100 
2
.
• Quarto aumento: 12%.
Um quarto aumento de %, também representa uma multiplicação por 12 1 + 12
100 
, sobre o
valor anterior, que é igual a , resultando emV3
V V4 = 3 ·

1 +
12
100 

= V ·

1 +
15
100 

·

1 +
12
100 
2
·

1 +
12
100 

= V ·

1 +
15
100 

·

1 +
12
100 
3
= V ·

115
100 

·

112
100 
3
.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ