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Centro Estadual de Educação Continuada – CESEC Betim APOSTILA DE MATEMÁTICA MÓDULO II Ensino: Médio Professor: Alan Gouveia ATENÇÃO Não escreva nada nesta apostila, fazer os exercícios em folha separada e entregar junto com esta apostila ao professor. No site indicado abaixo, tem exemplos e respostas de alguns exercícios deste módulo, qualquer dúvida pode consultar o site ou o professor no CESEC. INTERNET: http://cesecmatematica.blogspot.com.br/ Olá estudante! Neste segundo módulo de matemática estudaremos um pouco de Princípio Multiplicativo, Probabilidade e Teorema de Tales, qualquer dúvida vocês podem consultar esta apostila, qualquer livro de matemática ou a internet, se mesmo assim persistir a dúvida procure o professor no CESEC. Bons Estudos; Professor: Alan Gouveia INTERNET: http://cesecmatematica.blogspot.com.br/ PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO Através da leitura deste tutorial acreditamos que você poderá compreender o conceito da Contagem. A simulação Princípio Multiplicativo, trata questões com enfoque na introdução do Princípio Fundamental da Contagem a partir da análise de diagramas. Esperamos que este texto possa auxiliá-lo no entendimento do cálculo das probabilidades. Princípio Fundamental da Contagem é um método algébrico para determinar o número de possibilidades de escolha, sem precisar descrever todas as possibilidades. Se um acontecimento (ou escolha) pode ocorrer por várias etapas independentes, de tal modo que: p1 é o número de possibilidades da 1ª etapa (ou escolha) p2 é o número de possibilidades da 2ª etapa (ou escolha) ... pk é o número de possibilidades da k-ésima etapa Então: p1 . p2 . ... pk é o número de possibilidades (ou escolha) total Ou seja, podemos calcular todas as possibilidades (ou escolhas) através da multiplicação de todas as etapas, que podemos também avaliar através da análise dos diagramas de possibilidades. Vejamos alguns exemplos: 1) Uma moeda é lançada por três vezes seguidas, vamos avaliar todos os resultados possíveis, sendo C (cara) e K (Coroa): Através da análise do diagrama, podemos concluir que temos 8 opções diferentes de resultados para os três lançamentos. Sendo: {(C,C,C,), (C,C,K), (C,K,C), (C,K,K,) (K,C,C), (K,C,K), (K,K,C), (K,K,K)} 2) Marina tem 3 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas? 3 x 2 = 6 Ela pode se vestir de 6 modos diferentes. 3) De quantos modos 3 anéis podem ser colocados nos dedos (um anel em cada dedo) de uma só mão? Resposta: ____ ____ ____ ____ ____ Opções: 3 . 2 . 1 = 6 3 . 2 . 1 = 6 3 . 2 . 1 = 6 1 . 3 . 2 = 6 2 . 1 3 = 6 Logo: 6 . 5 = 30 Começando da esquerda para direita temos 30 modos e se começarmos da direita para esquerda teremos mais 30 modos. Então: 30 + 30 = 60 São 60 modos. 4) Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal? Resposta: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, ........................... 90, 92, 94, 96, 98 9 x 5 = 45 São 45 números. 1 6 = 0, 16 =16 1 4 =0, 25= 25 3 6 = 0,5 =50 PROBABILIDADE Probabilidade é o estudo das chances de obtenção de cada resultado de um experimento aleatório. A essas chances são atribuídos os números reais do intervalo entre 0 e 1. Resultados mais próximos de 1 têm mais chances de ocorrer. Além disso, a probabilidade também pode ser apresentada na forma percentual. As probabilidades são calculadas dividindo-se o número de resultados favoráveis(o que eu quero que ocorra) pelo número de resultados possíveis (total de resultados possíveis), ou seja: P = resultados favoráveis resultados possíveis Exemplos: 1) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado? Resposta: Temos uma chance em seis, Então: A probabilidade é de 16% 2) Lançando uma moeda duas vezes para cima, qual a probabilidade de obter COROA na face voltada para cima nos dois lançamentos? Resposta: cara cara, cara coroa, coroa cara, coroa coroa, Temos uma chance em quatro possibilidades, Então: A probabilidade é de 25% 3) Qual a probabilidade de se obter um número ímpar no lançamento de um dado? Resposta: Temos três chances em seis, Então: A probabilidade é de 50% http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/chances-um-evento-acontecer.htm http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/experimento-aleatorio-espaco-amostral.htm http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/porcentagem.htm 2 4 = 3 x 2x = 4 . 3 2x = 12 x = 12 2 x = 6 TEOREMA DE TALES O teorema de Tales, cuja tradição atribui este teorema ao filósofo grego Tales de Mileto, afirma que quando duas retas transversais cortam um feixe de retas paralelas, as medidas dos segmentos delimitados nas transversais são proporcionais. Exemplo: 1) Sabendo que a//b//c, determine o valor de X usando o Teorema de Tales. Resposta: 2) Vamos encontrar o valor de x (o segmento desconhecido): Resposta: https://pt.wikipedia.org/wiki/Tales_de_Mileto https://pt.wikipedia.org/wiki/Reta https://pt.wikipedia.org/wiki/Transversal https://pt.wikipedia.org/wiki/Retas_paralelas ATENÇÃO: não escreva nada nesta folha, fazer os exercícios em folha separada e entregar junto com esta folha ao professor. INTERNET: http://cesecmatematica.blogspot.com.br/ ATIVIDADES DE MATEMÁTICA – MÓDULO II 1) Responda em uma folha separada: a) Uma hora tem quantos segundos? b) Um dia tem quantos segundos? c) Uma semana tem quantas horas? d) Quantos minutos são 3h45min? e) Uma década tem quantos anos? f) Quantos minutos 5h05min? g) Quantos minutos se passaram das 9h50min até às 10h35min? h) Quantos segundos tem 35min? 2) Marina tem 5 blusas e 2 saias. De quantos modos diferentes ela pode se vestir com essas roupas? 3) Em um baile há 12 moças e 8 rapazes. Quantos casais podem ser formados? 4) Renato vai a um clube no qual existem 4 portas de entrada que dão acesso a 2 elevadores. Ele pretende ir ao 6º andar. De quantas maneiras diferentes poderá fazê-lo? 5) Quantos números pares de 2 algarismos podem ser formados no sistema decimal? 6) Uma pessoa possui 10 envelopes diferentes e 8 selos diferentes. De quantos modos essa pessoa pode enviar uma carta utilizando 1 envelope e 1 selo? 7) Sabendo que números de telefone não começam com 0 nem com1, calcule quantos diferentes números de telefone podem ser formados com 7 algarismos. 8) Dispomos de quatro cores diferentes entre si, todas elas devem ser usadas para pintar as 5 letras da palavra FATEC, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor. De quantos modos pode ser feito isso? 9) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Entre eles, são divisíveis por 5? 10) Uma loja de revenda de automóveis possui 4 marcas diferentes, nas cores: azul, vermelho e branco. Quantas são as diferentes possibilidades de comprar um automóvel? 11) Qual a probabilidade de ocorrer o número 5 no lançamento de um dado? 12) Qual a probabilidade de se obter um número par no lançamento de um dado? 13) Em uma urnacontém 4 bolas brancas e 5 vermelhas, qual e a probabilidade de retirar 1 bola branca? 14) Lançando uma moeda para cima, qual a probabilidade de obter CARA na face voltada para cima? 15) Lançando uma moeda duas vezes para cima, qual a probabilidade de obter COROA na face voltada para cima nos dois lançamentos? 16) De acordo com o Teorema de Tales, determine o valor de X, sendo r//s//t. 17) Sabendo que a//b//c, determine o valor de X usando o Teorema de Tales. 18) Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura. Obs.: os fios da rede central são paralelos. 19) De quantas formas diferentes três pessoas podem se sentar em um sofá de cinco lugares? 20) Quantos números naturais de dois algarismos diferentes podem ser formados utilizando-se os algarismos 3, 7, 8 e 9? 21) Quantos e quais números naturais, de dois algarismos, podem ser formados utilizando-se os algarismos 3, 7, 8 e 9? 22) Quantas diagonais podem ser traçadas em um heptágono convexo? 23) Quantos números naturais pares de três algarismos diferentes podem ser formados utilizando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? 24) Em uma escola foi realizada a venda de 85 bilhetes de uma rifa. Os bilhetes eram numerados de 1 a 85 e um dos alunos comprou todos os bilhetes cujos números eram múltiplos de 4. Quantos bilhetes ele comprou? Qual a probabilidade de ele ganhar o prêmio? 25) Dois irmãos compraram bilhetes de duas rifas diferentes. O mais velho comprou 3 bilhetes de uma rifa com 60 números e o mais novo comprou 8 bilhetes de uma rifa com 140 números. Qual e a probabilidade de cada um ganhar? Qual deles tem maior chance de ganhar? Por que? 26) Um feixe de paralelas é cortado por duas transversais. Calcule o valor de x a partir das medidas indicadas na figura. 27) Um feixe de paralelas é cortado por duas transversais. Calcule o valor de x a partir das medidas indicadas na figura. 28) (Fafi-MG) Sabendo que DC = 2, AE = 3, EB = 4 e que CB é paralelo a DE, conforme a figura ao lado, é possível dizer que o valor de AD é: (Sugestão: trace, passando pelo ponto A, um segmento paralelo ao segmento DE e monte o esquema das três paralelas cortadas por transversais.) 29) Calcule o valor de x e, a partir dele, as medidas dos segmentos dados pela figura formada por três paralelas cortadas por duas transversais. 30) O gráfico mostra o tempo gasto para uma pessoa ir de sua casa ao local de trabalho e o tempo de volta, durante os cinco dias da semana. Observe que neste gráfico é utilizada a noção de tempo com o uso de dois-pontos separando a hora dos minutos. Por exemplo, a notação 4:55 significa 4 horas e 55 minutos. Agora, responda ao que se pede: a) Qual é o total de tempo gasto nas viagens de ida durante a semana? b) Qual é o total de tempo gasto nas viagens de volta durante a semana? c) Quanto tempo foi gasto nas duas viagens de quinta-feira? d) Calcule a média aritmética das cinco viagens de ida. e) Calcule a média aritmética das cinco viagens de volta. f) Calcule a média aritmética das dez viagens da semana.
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