Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares
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Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares


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Se´ries de Fourier de Senos e de Cossenos de
I´ndices I´mpares
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
26 de setembro de 2010
2
Ana´logo ao caso de integrac¸a\u2dco de func¸o\u2dces \u131´mpares no intervalo [\u2212L, L], se
h : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (t, y) = (L, 0), ou seja, se e´ tal que
h(2L\u2212 t) = \u2212h(t), para todo t \u2208 [0, L],
enta\u2dco (verifique!) \u222b 2L
0
h(t)dt = 0.
Tambe´m ana´logo ao caso de integrac¸a\u2dco de func¸o\u2dces pares no intervalo [\u2212L, L], se
h : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L, ou seja, se e´ tal que
h(2L\u2212 t) = h(t), para todo t \u2208 [0, 2L],
enta\u2dco (verifique!) \u222b 2L
0
h(t)dt = 2
\u222b L
0
h(t)dt.
L 2L
t
y
L 2L
t
y
Figura 1: Prolongamentos com simetria em relac¸a\u2dco a` reta t = L e em relac¸a\u2dco ao ponto
(t, y) = (L, 0) de uma func¸a\u2dco definida inicialmente somente no intervalo [0, L]
Ja´ vimos que se uma func¸a\u2dco f : [0, 2L] \u2192 R e´ cont\u131´nua por partes com derivada
f \u2032 tambe´m cont\u131´nua por partes, enta\u2dco pelo Corola´rio 5.2 ela pode ser representada por
sua se´rie de Fourier de senos
f (t) =
\u221e
\u2211
n=1
bn sen
npit
2L
.
3
2L
t
y
L 2L
t
y
2L/3 4L/3 2L
t
y
L/2 L 3L/2 2L
t
y
Figura 2: sen
npit
2L
, para n = 1, 2, 3, 4
com os coeficientes dados por
bn =
1
L
\u222b 2L
0
f (t) sen
npit
2L
dt para n = 1, 2, . . .
Se a func¸a\u2dco f e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L, isto e´, se
f (2L\u2212 t) = f (t), para todo t \u2208 [0, L],
enta\u2dco f (t) sen
2kpit
2L
e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (t, y) = (L, 0) e f (t) sen
(2k+ 1)pit
2L
e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L (verifique!). Separando os coeficientes em de \u131´ndice
par e de \u131´ndice \u131´mpar, obtemos que:
b2k = 0
b2k+1 =
2
L
\u222b L
0
f (t) sen
(2k+ 1)pit
2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .
4
E assim
f (t) =
\u221e
\u2211
k=0
b2k+1 sen
(2k+ 1)pit
2L
, para t \u2208 (0, 2L)
Ou seja, se uma func¸a\u2dco f : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L, a sua
se´rie de Fourier de senos tem somente os termos de \u131´ndice \u131´mpar.
Para as func¸o\u2dces f que sa\u2dco definidas apenas em [0, L] podemos prolonga´-las ao in-
tervalo [0, 2L] de forma que elas sejam sime´tricas em relac¸a\u2dco a` reta t = L:
f\u2dc (t) =
{
f (t), se 0 \u2264 t < L
f (2L\u2212 t), se L \u2264 t < 2L
e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L
Corola´rio 1. Seja L um nu´mero real maior que zero. Para toda func¸a\u2dco f : [0, L] \u2192 R cont\u131´nua
por partes tal que a sua derivada f \u2032 tambe´m seja cont\u131´nua por partes. A se´rie de Fourier de
senos de \u131´ndice \u131´mpar de f
\u221e
\u2211
k=0
b2k+1 sen
(2k+ 1)pit
2L
,
em que
b2k+1 =
2
L
\u222b L
0
f (t) sen
(2k+ 1)pit
2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .
converge para f nos pontos do intervalo (0, L) em que f e´ cont\u131´nua. Ou seja, podemos repre-
sentar f por sua se´rie de senos de Fourier de \u131´ndice \u131´mpar:
f (t) =
\u221e
\u2211
k=0
b2k+1 sen
(2k+ 1)pit
2L
, para t \u2208 (0, L).
A se´rie acima e´ a se´rie de Fourier da func¸a\u2dco f\u2dc : R\u2192 R definida por
f\u2dc (t) =
{
f (t), se 0 \u2264 t < L,
f (2L\u2212 t), se L \u2264 t < 2L,
f\u2dc (t) = \u2212 f\u2dc (\u2212t), se \u22122L \u2264 t < 0, f\u2dc (t+ 4L) = f\u2dc (t).
5
L 2L
t
y
L/2 3L/2 2L
t
y
2L/6 L 5L/3 2L
t
y
L/4 3L/4 5L/4 7L/4 2L
t
y
Figura 3: cos
npit
2L
, para n = 1, 2, 3, 4
Ja´ vimos que se uma func¸a\u2dco f : [0, 2L] \u2192 R e´ cont\u131´nua por partes com derivada
f \u2032 tambe´m cont\u131´nua por partes, enta\u2dco pelo Corola´rio 5.2 ela pode ser representada por
sua se´rie de Fourier de cossenos
f (t) =
\u221e
\u2211
n=1
bn cos
npit
2L
.
com os coeficientes dados por
an =
1
L
\u222b 2L
0
f (t) cos
npit
2L
dt para n = 0, 1, 2, . . .
Se a func¸a\u2dco f e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (L, 0), isto e´,
f (2L\u2212 t) = \u2212 f (t), para todo t \u2208 [0, L],
6
enta\u2dco f (t) cos
2kpit
2L
e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (t, y) = (L, 0) e f (t) cos
(2k+ 1)pit
2L
e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L (verifique!). Separando os coeficientes em de \u131´ndice
par e de \u131´ndice \u131´mpar, obtemos que (verifique!):
a2k = 0
a2k+1 =
2
L
\u222b L
0
f (t) cos
(2k+ 1)pit
2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .
E assim
f (t) =
\u221e
\u2211
k=0
a2k+1 cos
(2k+ 1)pit
2L
, para t \u2208 (0, 2L)
Ou seja, se uma func¸a\u2dco f : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (L, 0), a sua
se´rie de Fourier de cossenos tem somente os termos de \u131´ndice \u131´mpar.
Para as func¸o\u2dces f que sa\u2dco definidas apenas em [0, L] podemos prolonga´-las ao in-
tervalo [0, 2L] de forma que elas sejam sime´tricas em relac¸a\u2dco ao ponto (L, 0):
f\u2dc (t) =
{
f (t), se 0 \u2264 t < L
\u2212 f (2L\u2212 t), se L \u2264 t < 2L
sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (L, 0).
E assim temos o seguinte resultado.
Corola´rio 2. Seja L um nu´mero real maior que zero. Para toda func¸a\u2dco f : [0, L] \u2192 R cont\u131´nua
por partes tal que a sua derivada f \u2032 tambe´m seja cont\u131´nua por partes. A se´rie de Fourier de
cossenos de \u131´ndice \u131´mpar de f
\u221e
\u2211
k=0
a2k+1 cos
(2k+ 1)pit
2L
,
em que
a2k+1 =
2
L
\u222b L
0
f (t) cos
(2k+ 1)pit
2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .
converge para f nos pontos do intervalo (0, L) em que f e´ cont\u131´nua. Ou seja, podemos repre-
sentar f por sua se´rie de cossenos de Fourier de \u131´ndice \u131´mpar:
f (t) =
\u221e
\u2211
k=0
a2k+1 cos
(2k+ 1)pit
2L
, para t \u2208 (0, L).
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A se´rie acima e´ a se´rie de Fourier da func¸a\u2dco f\u2dc : R\u2192 R definida por
f\u2dc (t) =
{
f (t), se 0 \u2264 t < L,
\u2212 f (2L\u2212 t), se L \u2264 t < 2L,
f\u2dc (t) = f\u2dc (\u2212t), se \u22122L \u2264 t < 0, f\u2dc (t+ 4L) = f\u2dc (t).
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Exerc\u131´cios
1. (a) Mostre que se uma func¸a\u2dco h : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto
(t, y) = (L, 0), ou seja, se
h(2L\u2212 t) = \u2212h(t), para t \u2208 [0, L],
enta\u2dco \u222b 2L
0
h(t) dt = 0.
(b) Mostre que se uma func¸a\u2dco h : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L,
ou seja, se
h(2L\u2212 t) = h(t), para t \u2208 [0, L],
enta\u2dco \u222b 2L
0
h(t) dt = 2
\u222b L
0
h(t) dt.
(c) Mostre que se f : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco a` reta t = L, ou seja, tal
que
f (t) = f (2L\u2212 t), para t \u2208 [0, L],
enta\u2dco os coeficientes de \u131´ndice par da se´rie de senos de Fourier sa\u2dco nulos, ou
seja, b2k = 0, para k = 1, 2, 3 . . . e os coeficientes de \u131´ndice \u131´mpar sa\u2dco dados
por
b2k+1 =
2
L
\u222b L
0
f (t) sen
(2k+ 1)pit
2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .
(Sugesta\u2dco: use os itens (a) e (b).)
(d) Mostre que se f : [0, 2L] \u2192 R e´ sime´trica em relac¸a\u2dco ao ponto (t, y) = (L, 0),
ou seja, tal que
f (t) = \u2212 f (2L\u2212 t), para t \u2208 [0, L],
enta\u2dco os coeficientes de \u131´ndice par da se´rie de cossenos de Fourier sa\u2dco nulos,
a2k = 0, para k = 0, 1, 2. . . . e os coeficientes de \u131´ndice \u131´mpar sa\u2dco dados por
a2k+1 =
2
L
\u222b L
0
f (t) cos
(2k+ 1)pit
2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .
(Sugesta\u2dco: use os itens (a) e (b).)
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2. Determine as representac¸o\u2dces da func¸a\u2dco f : [0, L] \u2192 R em termos das se´ries de
Fourier de senos e de cossenos de \u131´ndices \u131´mpares:
f (t) =
{
L/2\u2212 t, se 0 \u2264 t < L/2,
0, se L/2 \u2264 t < L.
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
Figura 4: A func¸a\u2dco f : [0, L] \u2192 R definida por f (t) = L/2 \u2212 t, se t \u2208 [0, L/2] e
f (t) = 0, caso contra´rio e as somas parciais da sua se´rie de Fourier de cossenos de
\u131´ndices \u131´mpares, para N = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
10
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
t
y
Figura 5: A func¸a\u2dco f : [0, L] \u2192 R definida por f (t) = L/2\u2212 t, se t \u2208 [0, L/2] e f (t) = 0,
caso contra´rio e as somas parciais da sua se´rie de Fourier de senos de \u131´ndices \u131´mpares,
para N = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Respostas dos Exerc\u131´cios
1. (a) Dividindo a integral em duas partes, fazendo a mudanc¸a de varia´veis t = 2L\u2212 s na segunda parte e usando o fato
de que
h(2L\u2212 t) = \u2212h(t), para t \u2208 [0, L]
obtemos
\u222b 2L
0
h(t) dt =
\u222b L
0
h(t) dt+
\u222b 2L
L
h(t) dt
=
\u222b L
0
h(t) dt+
\u222b 0
L
h(2L\u2212 s) (\u2212ds)
=
\u222b L
0
h(t) dt+
\u222b 0
L
h(s) ds = 0
(b) Dividindo a integral em duas partes, fazendo a mudanc¸a de varia´veis t = 2L\u2212 s na segunda parte e usando o fato
de que
h(2L\u2212 t) = h(t), para t \u2208 [0, L]
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obtemos
\u222b 2L
0
h(t) dt =
\u222b L
0
h(t) dt+
\u222b 2L
L
h(t) dt
=
\u222b L
0
h(t) dt+
\u222b 0
L
h(2L\u2212 s) (\u2212ds)
=
\u222b L
0
h(t) dt\u2212
\u222b 0
L
h(s) ds = 2
\u222b L
0
h(t) dt
(c) Para h(t) = f (t) sen 2kpit2L temos que
h(2L\u2212 t) = f (2L\u2212 t) sen
2kpi(2L\u2212 t)
2L
= f (t) sen
(
2kpi \u2212
2kpit
2L
)
= f (t) sen
(
\u2212
2kpit
2L
)
= \u2212 f (t)