Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares
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Séries de Fourier de Senos e de Cossenos de Índices Ímpares

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sen

(
2kpit

2L

)
= −h(t)

Assim segue da aplicac¸a˜o do item (a) que b2k = 0.

Para h(t) = f (t) sen (2k+1)pit2L temos que

h(2L− t) = f (2L− t) sen
(2k+ 1)pi(2L− t)

2L
= f (t) sen

(
(2k+ 1)pi −

(2k+ 1)pit

2L

)

= f (t) sen

(
pi −

(2k+ 1)pit

2L

)
= f (t) sen

(
(2k+ 1)pit

2L

)
= h(t)

Assim segue da aplicac¸a˜o do item (b) que

b2k+1 =
2

L

∫ L
0

f (t) sen
(2k+ 1)pit

2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .

(d) Para h(t) = f (t) cos 2kpit2L temos que

h(2L− t) = f (2L− t) cos
2kpi(2L− t)

2L
= − f (t) cos

(
2kpi −

2kpit

2L

)
= − f (t) cos

(
−
2kpit

2L

)

= − f (t) cos

(
2kpit

2L

)
= −h(t)

Assim segue da aplicac¸a˜o do item (a) que a2k = 0.

Para h(t) = f (t) cos (2k+1)pit2L temos que

h(2L− t) = f (2L− t) cos
(2k+ 1)pi(2L− t)

2L
= − f (t) cos

(
(2k+ 1)pi −

(2k+ 1)pit

2L

)

= − f (t) cos

(
pi −

(2k+ 1)pit

2L

)
= f (t) cos

(
((2k+ 1)pit

2L

)
= h(t)

Assim segue da aplicac¸a˜o do item (b) que

a2k+1 =
2

L

∫ L
0

f (t) cos
(2k+ 1)pit

2L
dt para k = 0, 1, 2, . . .

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2. Lembrando que a integrac¸a˜o deve ser feita no intervalo [0, 2L]:

a2k+1 =
L

2
a2k+1( f

(0)

0, 14
)− a2k+1( f

(1)

0, 14
)

=
L

2
· 4 ·

1

(2k+ 1)pi
sen s

∣∣∣
(2k+1)pi

4

0
− 4 ·

2L

(2k+ 1)2pi2
(s sen s+ cos s)

∣∣∣
(2k+1)pi

4

0

=
8L

(2k+ 1)2pi2

(
1− cos

(2k+ 1)pi

4

)

f (t) =
8L

pi
2

∞

∑
k=0

1− cos
(2k+1)pi

4

(2k+ 1)2
cos

(2k+ 1)pit

2L

b2k+1 =
L

2
b2k+1( f

(0)

0, 14
)− b2k+1( f

(1)

0, 14
)

=
L

2
· 4 ·

−1

(2k+ 1)pi
cos s

∣∣∣
(2k+1)pi

4

0
− 4 ·

2L

(2k+ 1)2pi2
(−s cos s+ sen s)

∣∣∣
(2k+1)pi

4

0

=
2L

(2k+ 1)2pi2

(
(2k+ 1)pi − 4 sen

(2k+ 1)pi

4

)

f (t) =
2L

pi
2

∞

∑
k=0

(2k+ 1)pi − 4 sen (2k+1)pi4
(2k+ 1)2

sen
(2k+ 1)pit

2L