MAT147_Lista2
4 pág.

MAT147_Lista2


DisciplinaCálculo II24.507 materiais704.791 seguidores
Pré-visualização1 página
MAT0147 \u2014 CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PARA ECONOMIA
LISTA DE EXERCI´CIOS 2
PROFESSOR: PAOLO PICCIONE
MONITOR: LEANDRO AUGUSTO LICHTENFELZ
Exerc\u131´cio 1: Encontre todos os nu´meros reais x e y de modo que os vetores u =
(x2, y) e v = (1, 2x+ y) sejam ortogonais.
Exerc\u131´cio 2: Sejam u, v \u2208 R2. Verifique que os vetores w1 = \u2016u\u2016v + \u2016v\u2016u e
w2 = \u2016u\u2016v \u2212 \u2016v\u2016u sa\u2dco ortogonais, ou seja, que \u3008w1, w2\u3009 = 0. Interprete geomet-
ricamente.
Exerc\u131´cio 3: Seja u \u2208 R2 um vetor qualquer. Verifique que se \u3008u, v\u3009 = 0, para
todo v \u2208 R2, enta\u2dco u = 0. Em outras palavras, o u´nico vetor ortogonal a todos os
vetores e´ o vetor nulo.
Exerc\u131´cio 4: Mostre que, dados u, v \u2208 R2, se u e´ ortogonal a v enta\u2dco \u2016u+ v\u20162 =
\u2016u\u20162 + \u2016v\u20162.
Exerc\u131´cio 5: Sejam u, v, w \u2208 R2 vetores quaisquer. Prove que vale a igualdade
\u2016w \u2212 u\u20162 + \u2016w \u2212 v\u20162 = 12\u2016u\u2212 v\u20162 + 2
\u2225\u2225w \u2212 12(u+ v)\u2225\u22252 ,
conhecida como identidade de Apolo\u2c6nio.
Exerc\u131´cio 6: Mostre que para quaisquer vetores u, v \u2208 R2, vale a chamada lei do
Paralelogramo:
\u2016u+ v\u20162 + \u2016u\u2212 v\u20162 = 2\u2016u\u20162 + 2\u2016v\u20162.
Interprete geometricamente.
Exerc\u131´cio 7: Calcule a ordem de infinite´simo das seguintes func¸o\u2dces f no ponto x0
dado:
(1) f(x) = sin3 x\u2212 sin(x3), x0 = 0.
(2) f(x) = (sinx\u2212 cosx)2, x0 = pi4 .
(3) f(x) = 1\u2212 cos(x3), x0 = 0.
(4) f(x) = \u2212x
2
x2+1
+ x2, x0 = 0.
(5) f(x) = ex
2 \u2212 1\u2212 x2, x0 = 0.
Date: 7 de Setembro de 2010.
2 P. PICCIONE, L. A. LICHTENFELZ
Exerc\u131´cio 8: Para cada uma das func¸o\u2dces abaixo, fac¸a um desenho das curvas de
n\u131´vel, ou seja, das soluc¸o\u2dces da equac¸a\u2dco f(x, y) = c, para cada valor de c dado.
Feito isso, tente esboc¸ar o gra´fico da func¸a\u2dco.
(1) f(x, y) = x2 + y2, c = 0, 1, 4 e 9.
(2) f(x, y) =
\u221a
x2 + y2, c = 0, 1, 2 e 3.
(3) f(x, y) = sen(x+ y), c = \u22121,\u2212
\u221a
2
2 , 0,
\u221a
2
2 e 1.
(4) f(x, y) = sen(x\u2212 y), c = \u22121,\u2212
\u221a
2
2 , 0,
\u221a
2
2 e 1.
(5) f(x, y) =
1
1 + x2 + y2
, c = 1, 12 ,
1
5 e
1
10 .
(6) f(x, y) = (x\u2212 y)2, c = 0, 1 e 2.
Exerc\u131´cio 9: Calcule, se existirem, os seguintes limites:
(1) lim
(x,y)\u2192(0,0)
ln(1 + x2 + y2)
x2 + y2
(2) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x3 \u2212 y3
x2 + 2y2
(3) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2 \u2212 y
x2 + 2y2
(4) lim
(x,y)\u2192(0,0)
sen(xy)y2
x2 + y2
(5) lim
(x,y)\u2192(0,0)
sen(x)\u2212 cos(y)sen(x)
xy
(6) lim
(x,y)\u2192(0,0)
ex \u2212 ey
x+ y
(7) lim
(x,y)\u2192(0,0)
xy
x2 + y2
(8) lim
(x,y)\u2192(0,0)
2x3y2
x4 + y4
(9) lim
(x,y)\u2192(0,0)
x2\u221a
x2 + y2
(10) lim
(x,y)\u2192(0,0)
xy(x\u2212 y)
x4 + y4
Exerc\u131´cio 10: Para qual valor de \u3b1 \u2208 R a func¸a\u2dco f e´ cont\u131´nua no ponto (0, 0)?
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f2\uf8f4\uf8f3
1\u2212 cos (\u221ax2 + y2)
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
\u3b1, se (x, y) = (0, 0).
MAT0147 \u2014 LISTA DE EXERCI´CIOS 2 3
Exerc\u131´cio 11: Calcule as derivadas parciais \u2202f\u2202x (0, 0) e
\u2202f
\u2202y (0, 0) de cada umas das
func¸o\u2dces abaixo:
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3exy +
sin(xy)
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
1, se (x, y) = (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x+ y4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3e
(
1
x2+y2\u22121
)
, se x2 + y2 < 1
0, se x2 + y2 \u2265 1.
Exerc\u131´cio 12: Seja f : R\u2192 R uma func¸a\u2dco real de uma varia´vel, diferencia´vel em
todos os pontos. Defina H : R2 \u2192 R por H(x, y) = f(x2 \u2212 y2). Verifique que
\u3008 \u2207H(a, b), (a, b) \u3009 = 0,
qualquer que seja (a, b) \u2208 R2.
Exerc\u131´cio 13: Verifique quais dos conjuntos abaixos sa\u2dco abertos ou fechados:
(1)
{
(x, y) \u2208 R2 : x2 + y2 \u2265 1}
(2)
{
(x, y) \u2208 R2 : x e y sa\u2dco nu´meros racionais}
(3)
{
(x, y) \u2208 R2 : \u22121 < y < 2}
(4)
{
(x, y) \u2208 R2 : \u22122 < x \u2264 2}
(5)
{
(x, y) \u2208 R2 : ln(2 + x2 + y2) \u2265 1, x2 + y2 > 1}
Exerc\u131´cio 14: Determine os pontos de acumulac¸a\u2dco dos conjuntos no Exerc\u131´cio 13.
Exerc\u131´cio 15: Calcule as derivadas parciais \u2202f\u2202x e
\u2202f
\u2202y das seguintes func¸o\u2dces:
(1) f(x, y) = cos(x2 \u2212 y2)
(2) f(x, y) = ln
(
sin(3x\u2212 xy))
(3) f(x, y) =
\u221a
x2 + y2
(4) f(x, y) = cos(ysen(x))
4 P. PICCIONE, L. A. LICHTENFELZ
(5) f(x, y) = ex\u2212y
(6) f(x, y) = ex cos(y)sen(x)
(7) f(x, y) =
\u221a
x2 + y
x+ y
(8) f(x, y) = Ax\u3b1y\u3b2 , onde A,\u3b1 e \u3b2 sa\u2dco constantes positivas.
Exerc\u131´cio 16: Determine e desenhe o dom\u131´nio das seguintes func¸o\u2dces:
(1) f(x, y) = ln(1\u2212 x\u2212 y)
(2) f(x, y) = tan(x+ y)
(3) f(x, y) =
\u221a
4\u2212 x2 \u2212 y2 + ln(x2 + y2 \u2212 1)
(4) f(x, y) =
1
xsen(y)
(5) f(x, y) =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2 +
\u221a
x2 + y2 \u2212 1
(6) f(x, y) =
\u221a
1\u2212
\u221a
2\u2212 x2 \u2212 y2
(7) f(x, y) =
1
e(x2+y2\u22121) \u2212 1
(8) f(x, y) =
\u221a
x2 + y
x+ y
Exerc\u131´cio 17: Determine o conjunto dos pontos cr\u131´ticos (lembrando que estes sa\u2dco
os pontos (x, y) tais que\u2207f(x, y) = (0, 0)) de cada uma das func¸o\u2dces abaixo. Cal-
culando a matriz Hessiana determine tambe´m, quando poss\u131´vel, quais sa\u2dco ma´ximos
ou m\u131´nimos locais.
(1) f(x, y) = x2 + y2.
(2) f(x, y) = x3 + y3.
(3) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 \u2212 6x+ 2y.
(4) f(x, y) = x4 + y4 \u2212 2x2 \u2212 2y2.
(5) f(x, y) = sen(x) + sen(y).