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MAT0147 \u2014 CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PARA ECONOMIA
LISTA DE EXERCI´CIOS 3
PROFESSOR: PAOLO PICCIONE
MONITOR: LEANDRO AUGUSTO LICHTENFELZ
Exerc\u131´cio 1: Prove que cada uma das func¸o\u2dces dadas e´ diferencia´vel em todo ponto
de seu dom\u131´nio.
(1) f(x, y) = x+ y2
(2) f(x, y) = 2xy
(3) f(x, y) = ln(xy)
(4) f(x, y) = cos(x) + y
(5) f(x, y) = x2y
Exerc\u131´cio 2: Determine, justificando, quais das func¸o\u2dces abaixo sa\u2dco diferencia´veis
em (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
2xy2
x2 + y4
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x3
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3(x2 + y2)sen(
1
x2 + y2
), se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3
x4
x2 + y2
, se (x, y) 6= (0, 0)
0, se (x, y) = (0, 0).
Date: 17 de Setembro de 2010.
1
2 P. PICCIONE, L. A. LICHTENFELZ
f(x, y) =
\uf8f1\uf8f2\uf8f3e
(
1
x2+y2\u22121
)
, se x2 + y2 < 1
0, se x2 + y2 \u2265 1.
Exerc\u131´cio 3: Para cada func¸a\u2dco abaixo, determine a equac¸a\u2dco do plano tangente e o
vetor normal a ele, no ponto p correspondente.
(1) f(x, y) = x2 + y2, p = (0, 1, f(0, 1)).
(2) f(x, y) = sen(x\u2212 y), p = (pi, 0, f(pi, 0)).
(3) f(x, y) = xex
2\u2212y2 , p = (2, 2, f(2, 2)).
(4) f(x, y) = arctg(x+ y), p = (0, 1, f(0, 1)).
(5) f(x, y) = (x\u2212 y)2, p = (0, 0, f(0, 0)).
(6) f(x, y) = (x\u2212 y)2, p = (1, 1, f(1, 1)).
Exerc\u131´cio 4: Seja \u3c6 : R \u2192 R uma func¸a\u2dco diferencia´vel. Defina f : R2 \u2192 R
pela expressa\u2dco f(x, y) = x\u3c6(x2 \u2212 y2). Mostre que, para qualquer a \u2208 R, o plano
tangente ao gra´fico de f no ponto (a, a, f(a, a)) passa pela origem.
Exerc\u131´cio 5: Seja f : R2 \u2192 R uma func¸a\u2dco diferencia´vel num ponto (x0, y0) \u2208
R2. Defina S : R2 \u2192 R por S(x, y) = a(x\u2212 x0) + b(y \u2212 y0) + c. Suponha que
a seguinte condic¸a\u2dco e´ satisfeita:
lim
(x,y)\u2192(x0,y0)
(
f(x, y)\u2212 S(x, y)
\u2016(x, y)\u2212 (x0, y0)\u2016
)
= 0.
Prove que a = \u2202f\u2202x (x0, y0), b =
\u2202f
\u2202y (x0, y0) e c = f(x0, y0). Este resultado mostra
que quando f e´ diferencia´vel em (x0, y0), so´ existe um plano passando por este
ponto com a propriedade de que a diferenc¸a entre a func¸a\u2dco e o plano tende a zero
mais rapidamente que a norma \u2016(x, y)\u2212 (x0, y0)\u2016.
Exerc\u131´cio 6: Seja \u3a0 o plano tangente ao gra´fico da func¸a\u2dco f(x, y) = 2 + x2 + y2
no ponto (a, b, f(a, b)). Suponha que \u3a0 tambe´m e´ tangente ao gra´fico de g(x, y) =
\u2212x2 \u2212 y2 (em outro ponto). Mostre que, neste caso, a2 + b2 = 1.
Exerc\u131´cio 7: Considere a func¸a\u2dco f : D \u2286 R2 \u2192 R, onde D = {(x, y) \u2208
R2 : x2 + y2 < 1}, dada por f(x, y) =
\u221a
1\u2212 x2 \u2212 y2. Determine a equac¸a\u2dco do
plano tangente em cada ponto de D. Verifique que o vetor normal em cada ponto
(a, b) \u2208 D tem a mesma direc¸a\u2dco do vetor (a, b, f(a, b)). Interprete geometrica-
mente.
Exerc\u131´cio 8: Se f : R2 \u2192 R e´ uma func¸a\u2dco da forma f(x, y) = x\u3c6(xy ), onde
\u3c6 : R \u2192 R e´ uma func¸a\u2dco diferencia´vel, mostre que todos os planos tangentes ao
gra´fico de f passam pela origem.