Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
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Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais


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Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
22 de novembro de 2007
Suma´rio
1 Se´ries de Fourier 2
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 25
2.1 Equac¸a\u2dco do Calor em uma Barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Extremidades a Temperaturas Fixas . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Barra Isolada nos Extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2 Corda Ela´stica Com Extremidades Presas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.1 Com Velocidade Inicial Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.2 Com Deslocamento Inicial Nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3 Equac¸a\u2dco de Laplace num Reta\u2c6ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3.1 Apenas k(y) Na\u2dco Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.3.2 Apenas h(y) Na\u2dco Nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.3 Caso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Respostas dos Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1
2 1 SE´RIES DE FOURIER
1 Se´ries de Fourier
Os conceitos de produto escalar e norma no Rn podem ser estendidos a certos espac¸os de
func¸o\u2dces.
Definic¸a\u2dco 1. Seja CP [a, b] o conjunto das func¸o\u2dces reais cont´\u131nuas por partes
f : [a, b] \u2192 R,
considerando ide\u2c6nticas duas func¸o\u2dces que diferem uma da outra apenas em um nu´mero
finito de pontos.
(a) Definimos o produto escalar ou interno das func¸o\u2dces f e g pertencentes a CP [a, b],
como
\u3008f, g\u3009 =
\u222b b
a
f(t)g(t)dt.
(b) Para todo vetor f \u2208 CP [a, b], definimos a norma de f denotada por ||f || como
sendo
||f || =
\u221a
\u3008f, f\u3009.
Por exemplo, se f(t) = t, g(t) = et \u2208 C0[0, 1], enta\u2dco
\u3008f, g\u3009 =
\u222b 1
0
tetdt = tet
\u2223\u2223\u22231
0
\u2212
\u222b 1
0
etdt = 1.
Ale´m disso, ||f ||2 = \u3008f, f\u3009 = \u222b 1
0
t2dt = t
3
3
\u2223\u2223\u22231
0
= 1/3. Assim, ||f || =\u221a\u3008f, f\u3009 = \u221a3/3.
O produto interno satisfaz as seguintes propriedades, que sa\u2dco ana´logas a`s do produto
escalar em Rn:
Proposic¸a\u2dco 1. (a) Para todos os f, g \u2208 CP[a, b], \u3008f, g\u3009 = \u3008g, f\u3009.
(b) Para todos os f1, f2, g \u2208 CP [a, b], \u3008f1 + f2, g\u3009 = \u3008f1, g\u3009+ \u3008f2, g\u3009;
(c) Para todos os f, g \u2208 CP[a, b] e todo escalar \u3b1, \u3008\u3b1f, g\u3009 = \u3b1 \u3008f, g\u3009;
(d) Para todo f \u2208 CP [a, b], ||f || \u2265 0 e f = 0 se, e somente se, ||f || = 0.
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
3
(e) Para todo vetor f \u2208 CP[a, b] e para todo escalar \u3b1, ||\u3b1f || = |\u3b1| ||f ||;
(f) Para todos os vetores f, g \u2208 CP [a, b], | \u3008f, g\u3009 | \u2264 ||f || ||g|| (Desigualdade de Cauchy-
Schwarz);
(g) Para todos os vetores f, g \u2208 CP [a, b], ||f+g|| \u2264 ||f ||+||g|| (Desigualdade triangular);
Demonstrac¸a\u2dco. (a) \u3008f, g\u3009 = \u222b b
a
f(t)g(t)dt =
\u222b b
a
g(t)f(t)dt = \u3008g, f\u3009.
(b) \u3008f + g, h\u3009 = \u222b b
a
(f(t) + g(t))h(t)dt =
\u222b b
a
f(t)h(t)dt +
\u222b b
a
g(t)h(t)dt = \u3008f, h\u3009+ \u3008g, h\u3009.
(c) \u3008\u3b1f, g\u3009 = \u222b b
a
\u3b1f(t)g(t)dt = \u3b1
\u222b b
a
f(t)g(t)dt = \u3b1 \u3008f, g\u3009.
(d) Se f 6= 0¯, enta\u2dco existe um subintervalo de [a, b], onde f 2 e´ limitada inferiormente
por um nu´mero maior do que zero. Assim, \u3008f, f\u3009 = \u222b b
a
(f(t))2dt > 0.
(e) ||\u3b1f || =\u221a\u3008\u3b1f, \u3b1f\u3009 = \u221a\u3b12 \u3008f, f\u3009 = |\u3b1|\u221a\u3008f, f\u3009 = |\u3b1| ||f ||.
(f) A norma de f + \u3bbg e´ maior ou igual a zero, para qualquer escalar \u3bb. Assim,
0 \u2264 ||f + \u3bbg||2 = \u3008f + \u3bbg, f + \u3bbg\u3009 = ||f ||2 + 2\u3bb \u3008f, g\u3009+ \u3bb2||g||2 = p(\u3bb).
Temos um polino\u2c6mio do segundo grau que e´ maior ou igual a zero para todo \u3bb. Isto
implica que
\u2206 = 4(\u3008f, g\u3009)2 \u2212 4||f ||2||g||2 \u2264 0.
Logo, | \u3008f, g\u3009 | \u2264 ||f || ||g||.
(g) Pelo item anterior temos que
||f + g||2 = \u3008f + g, f + g\u3009 = \u3008f, f\u3009+ \u3008f, g\u3009+ \u3008g, f\u3009+ \u3008g, g\u3009
= ||f ||2 + 2 \u3008f, g\u3009+ ||g||2
\u2264 ||f ||2 + 2| \u3008f, g\u3009 |+ ||g||2
\u2264 ||f ||2 + 2||f || ||g||+ ||g||2
\u2264 (||f ||+ ||g||)2;
Tomando a raiz quadrada, segue o resultado.
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
4 1 SE´RIES DE FOURIER
Vamos, agora, estender ao espac¸o CP[a, b] o conceito de ortogonalidade.
Definic¸a\u2dco 2. Seja CP[a, b]. Dizemos que um subconjunto na\u2dco vazio X de CP[a, b] e´
ortogonal se para todo par f e g de elementos distintos de X , \u3008f, g\u3009 = 0. Neste caso
dizemos que os elementos de X sa\u2dco ortogonais.
Exemplo 1. Seja L um nu´mero real maior que zero. Seja CP [\u2212L, L] o conjunto das
func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes do intervalo [\u2212L, L] em R com o produto interno definido
por
\u3008f, g\u3009 =
\u222b L
\u2212L
f(t)g(t)dt.
Vamos mostrar que o conjunto
{1, cos pit
L
, sen
pit
L
, cos
2pit
L
, sen
2pit
L
, . . . , cos
npit
L
, sen
npit
L
, . . .}
e´ ortogonal. Como as func¸o\u2dces do conjunto, exceto a primeira, sa\u2dco func¸o\u2dces cujas primitivas
sa\u2dco perio´dicas de per´\u131odo igual a 2L/n, enta\u2dco a integral de \u2212L a L destas func¸o\u2dces e´ igual
a zero e portanto elas sa\u2dco ortogonais a` func¸a\u2dco constante 1.
\u2329
cos
npit
L
, sen
mpit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
cos
npit
L
sen
mpit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
cos ns sen msds
=
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[sen(m + n)s + sen(m\u2212 n)s]ds = 0
Para m 6= n temos que\u2329
cos
npit
L
, cos
mpit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
cos
npit
L
cos
mpit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
cos ns cos msds
=
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[cos(m + n)s + cos(m\u2212 n)s]ds
=
L
2pi(m + n)
sen(m + n)s
\u2223\u2223\u2223pi
\u2212pi
+
L
2pi(m\u2212 n) sen(m\u2212 n)s
\u2223\u2223\u2223pi
\u2212pi
= 0,\u2329
sen
npit
L
, sen
mpit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
sen
npit
L
sen
mpit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
sen ns sen msds
=
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[\u2212 cos(m + n)s + cos(m\u2212 n)s]ds = 0
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
5
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
Figura 1: Gra´ficos de 1, cos pit
L
, cos 2pit
L
, cos 3pit
L
, cos 4pit
L
, cos 5pit
L
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
6 1 SE´RIES DE FOURIER
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
\u2212L 0 L
\u22121
\u22120.5
0
0.5
1
x
y
Figura 2: Gra´ficos de sen pit
L
, sen 2pit
L
, sen 3pit
L
, sen 4pit
L
, sen 5pit
L
, sen 6pit
L
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
7
Podemos estender a CP [a, b] o conceito de converge\u2c6ncia de sequ¨e\u2c6ncia de nu´meros reais.
Definic¸a\u2dco 3. (a) Uma sequ¨e\u2c6ncia de func¸o\u2dces {fm} = {f0, f1, f2, . . . , fm, . . .} de CP [a, b]
converge para uma func¸a\u2dco f de CP [a, b] se
lim
m\u2192\u221e
||fm \u2212 f || = 0.
Neste caso escrevemos lim
m\u2192\u221e
fm = f .
(b) Uma se´rie de func¸o\u2dces
\u221e\u2211
m=0
fm de CP [a, b] converge para uma func¸a\u2dco f de CP [a, b]
se o limite da sequ¨e\u2c6ncia das somas parciais converge para f , ou seja,
lim
m\u2192\u221e
m\u2211
n=0
fn = f.
Proposic¸a\u2dco 2. Se uma sequ¨e\u2c6ncia de func¸o\u2dces {fm} de CP [a, b] converge para uma func¸a\u2dco
f de CP [a, b], enta\u2dco esta func¸a\u2dco e´ u´nica a menos dos seus valores em um nu´mero finito
de pontos.
Demonstrac¸a\u2dco. Vamos supor que lim
m\u2192\u221e
fm = f e lim
m\u2192\u221e
fm = g, enta\u2dco pela desigualdade
triangular (Proposic¸a\u2dco 1 na pa´gina 2) temos que
||f \u2212 g|| \u2264 ||f \u2212 fm||+ ||g \u2212 fm||.
Passando ao limite obtemos que ||f
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