Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
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Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais


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\u2212 g|| = 0 o que implica que f = g a menos de um
nu´mero finito de pontos.
Proposic¸a\u2dco 3. (a) Se uma sequ¨e\u2c6ncia de func¸o\u2dces {fm} de CP [a, b] converge para uma
func¸a\u2dco f de V, enta\u2dco para todo vetor g de V a sequ¨e\u2c6ncia de nu´meros reais {\u3008fm, g\u3009}
converge para \u3008f, g\u3009. Ou seja, se lim
m\u2192\u221e
fm = f , enta\u2dco
lim
m\u2192\u221e
\u3008fm, g\u3009 =
\u2329
lim
m\u2192\u221e
fm, g
\u232a
.
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
8 1 SE´RIES DE FOURIER
(b) Se uma se´rie de func¸o\u2dces
\u221e\u2211
m=0
fm de CP[a, b] converge para uma func¸a\u2dco f de CP [a, b],
enta\u2dco, para toda func¸a\u2dco g de CP [a, b],
\u221e\u2211
m=0
\u3008fm, g\u3009 =
\u2329 \u221e\u2211
m=0
fm, g
\u232a
.
Demonstrac¸a\u2dco. (a) Seja f = lim
m\u2192\u221e
fm. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (Pro-
posic¸a\u2dco 1 na pa´gina 2), temos que
| \u3008fm, g\u3009 \u2212 \u3008f, g\u3009 | = | \u3008fm \u2212 f, g\u3009 | \u2264 ||fm \u2212 f ||||g||.
Passando ao limite obtemos que lim
m\u2192\u221e
| \u3008fm, g\u3009 \u2212 \u3008f, g\u3009 | = 0. O que implica que
lim
m\u2192\u221e
= \u3008f, g\u3009.
(b) E´ uma consequ¨e\u2c6ncia imediata do item anterior.
Proposic¸a\u2dco 4. Seja CP [a, b], o espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes no intervalo
[a, b]. Seja {g0, g1, g2, . . . , gn, . . .} um subconjunto de V de vetores ortogonais na\u2dco nulos.
Se
f =
\u221e\u2211
m=0
cmgm,
enta\u2dco
cm =
\u3008f, gm\u3009
||gm||2 , para m = 0, 1, 2, . . .
Demonstrac¸a\u2dco. Seja f =
\u221e\u2211
m=0
cmgm. Fazendo o produto escalar de f com gn, para
n = 0, 1, 2 . . ., obtemos que
\u3008f, gn\u3009 =
\u2329 \u221e\u2211
m=0
cmgm, gn
\u232a
=
\u221e\u2211
m=0
cm \u3008gm, gn\u3009 = cn||gn||2,
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
9
pois como os vetores gm sa\u2dco ortogonais \u3008gm, gn\u3009 = 0, se m 6= n. Assim,
cn =
\u3008f, gn\u3009
||gn||2 , para n = 0, 1, 2 . . .
Exemplo 2. Seja L um nu´mero real maior que zero. Seja CP [\u2212L, L] o conjunto das
func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes do intervalo [\u2212L, L] em R com o produto interno definido
por
\u3008f, g\u3009 =
\u222b L
\u2212L
f(t)g(t)dt.
Ja´ mostramos no Exemplo 1 que o conjunto
{1, cos pit
L
, sen
pit
L
, cos
2pit
L
, sen
2pit
L
, . . . , cos
npit
L
, sen
npit
L
, . . .}
e´ ortogonal.
Vamos aplicar a Proposic¸a\u2dco 4 a este conjunto. Para isto vamos calcular as normas dos
seus elementos.
\u30081, 1\u3009 =
\u222b L
\u2212L
dt = 2L\u2329
cos
npit
L
, cos
npit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
cos2
npit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
cos2 nsds =
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[1 + cos 2ns]ds = L\u2329
sen
npit
L
, sen
npit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
sen2
npit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
sen2nsds =
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[1\u2212 cos 2ns]ds = L
Assim, para toda func¸a\u2dco f \u2208 CP [\u2212L, L] que possa ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
, (1)
teremos que os coeficientes da se´rie sera\u2dco dados por
am =
\u2329
f, cos mpit
L
\u232a
|| cos mpit
L
||2 =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt, para m = 0, 1, 2, . . . (2)
bm =
\u2329
f, sen mpit
L
\u232a
|| sen mpit
L
||2 =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . . (3)
A se´rie (1) com os coeficientes dados acima e´ chamada Se´ries de Fourier.
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
10 1 SE´RIES DE FOURIER
Na Proposic¸a\u2dco 4 fizemos a suposic¸a\u2dco de que a se´rie
\u221e\u2211
m=0
cmgm convergia para a func¸a\u2dco
f . Vamos considerar o problema inverso. Dada uma func¸a\u2dco f \u2208 CP[\u2212L, L] podemos
calcular os coeficientes am e bm usando (2) e (3) e nos perguntar se a se´rie obtida converge
ou na\u2dco. O teorema seguinte, cuja demonstrac¸a\u2dco pode ser encontrada por exemplo em [3],
afirma que para toda func¸a\u2dco f cont´\u131nua por partes em [\u2212L, L], a se´rie de Fourier de f
converge.
Teorema 5. Seja L um nu´mero real maior que zero. Para toda func¸a\u2dco f pertencente ao
espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes, CP [\u2212L, L], a se´rie de Fourier de f
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
,
em que
am =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . .
converge para f na norma ||f || =
(\u222b L
\u2212L(f(t))
2dt
) 1
2
. Ou seja, podemos escrever
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
Se uma func¸a\u2dco f \u2208 CP [\u2212L, L] e´ par, isto e´, f(\u2212t) = f(t), para todo t \u2208 [\u2212L, L], e
pode ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
,
enta\u2dco os coeficientes obtidos no Exemplo 2 sa\u2dco dados por:
am =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt =
2
L
\u222b L
0
f(t) cos
mpit
L
dt, para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) sen
mpit
L
dt = 0 para m = 1, 2, . . .
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
11
Analogamente, se uma func¸a\u2dco f \u2208 CP [\u2212L, L] e´ \u131´mpar, isto e´, f(\u2212t) = \u2212f(t), para
todo t \u2208 [\u2212L, L], e pode ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
,
enta\u2dco os coeficientes obtidos no Exemplo 2 sa\u2dco dados por:
am =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt = 0 para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) sen
mpit
L
dt =
2
L
\u222b L
0
f(t) sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . .
Para as func¸o\u2dces f que sa\u2dco cont´\u131nuas por partes em [0, L] podemos prolonga´-las de
forma que elas se tornem par ou \u131´mpar no intervalo [\u2212L, L] (verifique!).
Corola´rio 6. Seja L um nu´mero real maior que zero. Para toda func¸a\u2dco f pertencente
ao espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes, CP [0, L],
a se´rie de Fourier de cossenos de f
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
,
e a se´rie de Fourier de senos de f
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
,
em que
am =
2
L
\u222b L
0
f(t) cos
mpit
L
dt para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
2
L
\u222b L
0
f(t) sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . .
convergem para f na norma ||f || =
(\u222b L
0
(f(t))2dt
) 1
2
. Ou seja, podemos escrever
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
=
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
.
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
12 1 SE´RIES DE FOURIER
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
Figura 3: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = 1, se t \u2208 [1/4, 3/4] e f(t) = 0, caso
contra´rio e as somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos de f , para n = 0, 2, 6, 10, 14, 18
Exemplo 3. Seja L um nu´mero real maior que zero. Considere a func¸a\u2dco f
(0)
c,d : [0, L] \u2192 R
dada por
f
(0)
c,d (t) =
{
1, se cL \u2264 t \u2264 dL,
0, caso contra´rio,
para c e d fixos satisfazendo 0 \u2264 c < d \u2264 1.
Vamos calcular as se´ries de Fourier de senos e de cossenos de f
(0)
c,d . Para a se´rie de cossenos
temos que
a0 =
2
L
\u222b dL
cL
f(t)dt =
2
L
\u222b dL
cL
dt = 2(d\u2212 c),
am =
2
L
\u222b dL
cL
f(t) cos
mpit
L
dt =
2
L
\u222b dL
cL
cos
mpit
L
dt =
2
mpi
sen s
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
, para m = 1, 2, . . .
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
13
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
Figura 4: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = 1, se t \u2208 [1/4, 3/4] e f(t) = 0, caso
contra´rio e as somas parciais da se´rie de Fourier de senos de f , para n = 1, . . . , 6
Assim a se´rie de Fourier de cossenos de f e´
f
(0)
c,d (t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
= (d\u2212 c) + 2
pi
\u221e\u2211
m=1
sen mpid\u2212 sen mpic
m
cos
mpit
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