Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
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Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais


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L
.
Observe que a se´rie de Fourier de cossenos da func¸a\u2dco constante igual a 1, f
(0)
0,1 , tem somente
o primeiro termo diferente de zero que e´ igual a 1.
Para a se´rie de senos temos que para m = 1, 2, . . .,
bm =
2
L
\u222b dL
cL
f(t) sen
mpit
L
dt =
2
L
\u222b dL
cL
sen
mpit
L
dt = \u2212 2
mpi
cos s
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
Assim, a se´rie de Fourier de senos de f
(0)
c,d e´ dada por
f
(0)
c,d (t) =
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
=
2
pi
\u221e\u2211
m=1
cos mpic\u2212 cos mpid
m
sen
mpit
L
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
14 1 SE´RIES DE FOURIER
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
1.5
x
y
Figura 5: A func¸a\u2dco f(t) = 1 em [0, 1] e as somas parciais da se´rie de Fourier de senos de
f , para n = 1, 3, 5, 7, 9, 11
Observe que para a func¸a\u2dco constante igual a 1, f
(0)
0,1 os termos de \u131´ndice par sa\u2dco iguais a
zero e neste caso a se´rie de senos de f
(0)
0,1 e´ dada por
f
(0)
0,1 (t) =
4
pi
\u221e\u2211
m=1
1
2m\u2212 1 sen
(2m\u2212 1)pit
L
Exemplo 4. Considere a func¸a\u2dco f
(1)
c,d : [0, L] \u2192 R dada por
f
(1)
c,d (t) =
{
t, se cL \u2264 t \u2264 dL,
0, caso contra´rio,
para c e d fixos satisfazendo 0 \u2264 c < d \u2264 1.
Vamos calcular as se´ries de Fourier de senos e de cossenos de f
(1)
cd . Para a se´rie de cossenos
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
15
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 6: A func¸a\u2dco f(t) = t em [0, 1] e somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos
para n = 0, 1, 3
temos que
a0 =
2
L
\u222b dL
cL
f(t)dt =
2
L
\u222b dL
cL
t dt = L(d2 \u2212 c2)
am =
2
L
\u222b dL
cL
f(t) cos
mpit
L
dt =
2
L
\u222b dL
cL
t cos
mpit
L
dt =
2L
m2pi2
\u222b mpid
mpic
s cos sds
=
2L
m2pi2
(s sen s + cos s)
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
Assim a se´rie de Fourier de cossenos de f e´
f
(1)
c,d (t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
=
L(d2 \u2212 c2)
2
+
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
(s sen s + cos s)
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
m2
cos
mpit
L
Observe que para a func¸a\u2dco f
(1)
c,d (t) = t, para 0 \u2264 t \u2264 1, f (1)0,1 , temos que
am =
2L
m2pi2
((\u22121)m \u2212 1).
Assim os termos de \u131´ndice par sa\u2dco iguais a zero e neste caso a se´rie de cossenos de f
(1)
0,1 e´
dada por
f
(1)
0,1 (t) =
L
2
\u2212 4L
pi2
\u221e\u2211
m=1
1
(2m\u2212 1)2 cos
(2m\u2212 1)pit
L
,
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
16 1 SE´RIES DE FOURIER
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
Figura 7: A func¸a\u2dco f(t) = t em [0, 1] e as somas parciais da se´rie de Fourier de senos de
f , para n = 1, . . . , 6
Para a se´rie de senos temos que para m = 1, 2, . . .,
bm =
2
L
\u222b dL
cL
f(t) sen
mpit
L
dt =
2
L
\u222b dL
cL
t sen
mpit
L
dt =
2L
m2pi2
\u222b mpid
mpic
s sen sds
=
2L
m2pi2
(\u2212s cos s + sen s)
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
Assim, a se´rie de Fourier de senos de f
(1)
c,d e´ dada por
f
(1)
c,d (t) =
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
=
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
(\u2212s cos s + sen s)
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
m
sen
mpit
L
Observe que para a func¸a\u2dco f(t) = t, para 0 \u2264 t \u2264 1, f (1)01 , temos que
bm =
2L
mpi
(\u2212 cos mpi) = (\u22121)
m+12L
mpi
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
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e neste caso a se´rie de senos de f
(1)
0,1 e´ dada por
f
(1)
0,1 (t) =
\u221e\u2211
m=1
bm sen
mpit
L
=
2L
pi
\u221e\u2211
m=1
(\u22121)m+1
m
sen
mpit
L
Com os coeficientes das func¸o\u2dces destes dois exemplos podemos determinar as se´ries de
Fourier de va´rias func¸o\u2dces que sa\u2dco combinac¸o\u2dces lineares delas. Isto por que os coeficientes
das se´ries dependem linearmente das func¸o\u2dces, ou seja,
am(\u3b1f + \u3b2g) = \u3b1am(f) + \u3b2am(g) e am(\u3b1f + \u3b2g) = \u3b1am(f) + \u3b2am(g).
Por exemplo, a func¸a\u2dco
f(t) =
{
t, se 0 \u2264 t \u2264 L/2
L\u2212 t, se L/2 < t \u2264 L
pode ser escrita como
f = f
(1)
0,1/2 + Lf
(0)
1/2,1 \u2212 f (1)1/2,1.
Assim os coeficientes am e bm podem ser calculados como
am(f) = am(f
(1)
0,1/2) + Lam(f
(0)
1/2,1)\u2212 am(f (1)1/2,1)
bm(f) = bm(f
(1)
0,1/2) + Lbm(f
(0)
1/2,1)\u2212 bm(f (1)1/2,1)
Coeficientes das Se´ries de Fourier de Func¸o\u2dces Elementares
f : [0, L] \u2192 R am = 2
L
\u222b L
0
f(t) cos
mpit
L
dt bm =
2
L
\u222b L
0
f(t) sen
mpit
L
dt
f
(0)
c,d (t) =
{
1, se cL \u2264 t \u2264 dL
0, caso contra´rio
a0 = 2(d\u2212 c)
am =
2
mpi
sen s
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
bm = \u2212 2mpi cos s
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
f
(1)
c,d (t) =
{
t, se cL \u2264 t \u2264 dL
0, caso contra´rio
a0 = L(d
2 \u2212 c2)
am =
2L
m2pi2
(s sen s + cos s)
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
bm =
2L
m2pi2
(\u2212s cos s + sen s)
\u2223\u2223\u2223mpid
mpic
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
18 1 SE´RIES DE FOURIER
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 8: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R, dada por f(t) = t se t \u2208 [0, 1/2] e f(t) = 1 \u2212 t se
t \u2208 [1/2, 1] e somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos para n = 0, 2, 6
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 9: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R, dada por f(t) = t se t \u2208 [0, 1/2] e f(t) = 1 \u2212 t se
t \u2208 [1/2, 1] e somas parciais da se´rie de Fourier de senos para n = 1, 3, 5
Exerc´\u131cios (respostas na pa´gina 56)
Ache as se´ries de Fourier de senos e de cossenos das func¸o\u2dces dadas:
1.1. f(x) =
{
0, se 0 \u2264 x < L/2,
1, se L/2 \u2264 x \u2264 L,
1.2. f(x) =
{
1, se L/4 \u2264 x < 3L/4,
0, caso contra´rio,
1.3. f(x) =
{
0, se 0 \u2264 x < L/2,
x, se L/2 \u2264 x < L,
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
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1.4. f(x) =
{
x, se 0 \u2264 x < L/2
L\u2212 x, se L/2 \u2264 x \u2264 L
1.5. f(x) =
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x, se 0 \u2264 x < L/4
L/4, se L/4 \u2264 x < 3L/4
L\u2212 x, se 3L/4 < x \u2264 L
Comandos do Matlabr:
>> V(i)=[] elimina a componente i do vetor V.
>> syms t diz ao Matlabr que a varia´vel t e´ uma varia´vel simbo´lica.
>> f=expr define uma func¸a\u2dco atrave´s da expr que deve ser uma expressa\u2dco na varia´vel
simbo´lica t definida anteriormente.
Comandos do pacote GAAL:
>>proj(g,f,a,b) calcula
\u3008f, g\u3009
||g||2 g(t) =
(
1\u222b b
a
(g(t))2dt
\u222b b
a
f(t)g(t)dt
)
g(t).
Por exemplo: >>proj(cos(5*pi*t),f,-pi,pi) calcula(
1\u222b pi
\u2212pi(cos(5pit))
2dt
\u222b pi
\u2212pi
cos(5pit)f(t)dt
)
cos(5pit) =
=
(
1
2pi
\u222b pi
\u2212pi
cos(5pit)f(t)dt
)
cos(5pit)
= a5 cos(5pit).
>>plotfproj(f,proj,a,b) desenha as func¸o\u2dces f e proj(k), para k variando de 1 ate´ o
tamanho do vetor proj, no intervalo [a,b].
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
20 1 SE´RIES DE FOURIER
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 10: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = t, se t \u2208 [0, 1/4], f(t) = 1/4, se
t \u2208 [1/4, 3/4] e f(t) = 1\u2212 t, se t \u2208 [3/4, 1] e somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos
para n = 0, 1, 2
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 11:
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