Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
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Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais


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x < L
u(0, t) = 0, u(L, t) = 0
Como dissemos antes a soluc¸a\u2dco deste problema e´ a soma das soluc¸o\u2dces dos problemas
com apenas uma das func¸o\u2dces f(x) e g(x) na\u2dco nulas, ou seja,
u(x, t) = u(f)(x, t) + u(g)(x, t).
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
42 2 EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Exemplo 10. Vamos considerar uma corda de 40 cm de comprimento, presa nos lados,
com coeficiente a = 2, com deslocamento inicial f(x) e com uma velocidade inicial g(x)
dados por
f(x) = g(x) =
{
x, se 0 \u2264 x < 20
40\u2212 x, se 20 \u2264 x \u2264 40
Temos que resolver o problema\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202t2
= 4
\u22022u
\u2202x2
u(x, 0) = f(x),
\u2202u
\u2202t
(x, 0) = g(x), 0 < x < 40
u(0, t) = 0, u(40, t) = 0
A soluc¸a\u2dco e´ enta\u2dco
u(x, t) =
\u221e\u2211
n=1
cn sen
npix
40
cos
npit
20
+
\u221e\u2211
n=1
dn sen
npix
40
sen
npit
20
em que cn e
npi
20
dn sa\u2dco os coeficientes da se´rie de senos de f(x) e de g(x), respectivamente,
ou seja,
cn =
1
20
\u222b 40
0
f(x) sen
npix
40
dx
=
160 sen npi
2
n2pi2
, n = 1, 2, 3 . . .
npi
20
dn =
1
20
\u222b 40
0
g(x) sen
npix
40
dx
=
160 sen npi
2
n2pi2
n = 1, 2, 3 . . .
dn =
3200 sen npi
2
n3pi3
, n = 1, 2, 3 . . .
Portanto a soluc¸a\u2dco e´ dada por
u(x, t) =
160
pi2
\u221e\u2211
n=1
sen npi
2
n2
sen
npix
40
cos
npit
20
+
3200
pi3
\u221e\u2211
n=1
sen npi
2
n3
sen
npix
40
sen
npit
20
=
160
pi2
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n + 1)2
sen
(2n + 1)pix
40
cos
(2n + 1)pit
20
+
3200
pi3
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n + 1)3
sen
(2n + 1)pix
40
sen
(2n + 1)pit
20
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
2.3 Equac¸a\u2dco de Laplace num Reta\u2c6ngulo 43
2.3 Equac¸a\u2dco de Laplace num Reta\u2c6ngulo
Vamos considerar o problema de valor de contorno em um reta\u2c6ngulo gerado pela
equac¸a\u2dco de Laplace \uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0
u(x, 0) = f(x), u(x, b) = g(x), 0 < x < a
u(0, y) = h(y), u(a, y) = k(y), 0 < y < b
Este problema e´ chamado problema de Dirichlet. A soluc¸a\u2dco deste problema e´ a
soma das soluc¸o\u2dces dos problemas com apenas uma das func¸o\u2dces f(x), g(x), h(y) e k(y) na\u2dco
nulas.
x
y
 f(x)
 g(x)
 a
 h(y) k(y)
 b
Figura 22: Regia\u2dco onde e´ resolvido o problema de Dirichlet
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
44 2 EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS PARCIAIS
2.3.1 Apenas k(y) Na\u2dco Nula
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0,
u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, 0 < x < a
u(0, y) = 0, u(a, y) = k(y), 0 < y < b
Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de x por uma
func¸a\u2dco de t, ou seja,
u(x, y) = X(x)Y (y)
Derivando e substituindo-se na equac¸a\u2dco obtemos
X \u2032\u2032(x)Y (y) + X(x)Y \u2032\u2032(y) = 0
que pode ser reescrita como
X \u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212Y
\u2032\u2032(y)
Y (y)
O primeiro membro depende apenas de x, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto
so´ e´ poss´\u131vel se eles forem iguais a uma constante
X \u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212Y
\u2032\u2032(t)
Y (y)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias{
X \u2032\u2032(x)\u2212 \u3bbX(x) = 0, X(0) = 0
Y \u2032\u2032(y) + \u3bbY (y) = 0, Y (0) = 0, Y (b) = 0
A segunda equac¸a\u2dco com as condic¸o\u2dces de fronteira tem soluc¸a\u2dco somente se \u3bb = n
2pi2
b2
, para
n = 1, 2, 3, . . . e neste caso a soluc¸a\u2dco e´ da forma
Y (y) = C1 sen
npiy
b
, n = 1, 2, 3, . . .
A primeira equac¸a\u2dco diferencial com a condic¸a\u2dco X(0) = 0 tem soluc¸a\u2dco
X(x) = C2(e
npi
b
x \u2212 e\u2212npib x) = C\u2dc2 senh npix
b
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e as condic¸o\u2dces de fronteira tem
soluc¸o\u2dces da forma
un(x, y) = X(x)Y (y) = cn sen
npiy
b
senh
npix
b
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
2.3 Equac¸a\u2dco de Laplace num Reta\u2c6ngulo 45
Ale´m disso, pode-se provar que tambe´m se´ries
u(x, y) =
\u221e\u2211
n=1
un(x, y) =
\u221e\u2211
n=1
cn sen
npiy
b
senh
npix
b
sa\u2dco soluc¸o\u2dces.
Mas para satisfazer a condic¸a\u2dco inicial u(a, y) = k(y), temos que ter
k(y) = u(a, y) =
\u221e\u2211
n=1
cn sen
npiy
b
senh
npia
b
=
\u221e\u2211
n=1
[
cn senh
npia
b
]
sen
npiy
b
.
Esta e´ a se´rie de Fourier de senos de k(y). Assim pelo Corola´rio 6 na pa´gina 11 se a
func¸a\u2dco k(y) pertencente ao espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes, CP [0, L], enta\u2dco os
coeficientes sa\u2dco dados por
cn senh
npia
b
=
2
b
\u222b b
0
k(y) sen
npiy
b
dy, n = 1, 2, 3 . . .
y
z
x
Figura 23: Soluc¸a\u2dco da equac¸a\u2dco de Laplace do Exemplo 11 tomando apenas 3 termos na\u2dco
nulos da se´rie
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
46 2 EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Exemplo 11. Vamos considerar a equac¸a\u2dco de Laplace num reta\u2c6ngulo\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0
u(x, 0) = 0, u(x, 2) = 0, 0 < x < 3
u(0, y) = 0, u(3, y) = k(y), 0 < y < 2
com
k(y) =
{
y, se 0 \u2264 y \u2264 1
2\u2212 y, se 1 \u2264 y \u2264 2
A soluc¸a\u2dco e´ enta\u2dco
u(x, y) =
\u221e\u2211
n=1
cn sen
npiy
2
senh
npix
2
em que cn senh(
3npi
2
) sa\u2dco os coeficientes da se´rie de cossenos de k(y), ou seja,
cn senh
3npi
2
=
\u222b 2
0
k(y) sen
npiy
2
dx
=
8 sen npi
2
n2pi2
, n = 1, 2, 3 . . .
cn =
8 sen npi
2
n2pi2 senh 3npi
2
, n = 1, 2, 3 . . .
Portanto a soluc¸a\u2dco e´ dada por
u(x, y) =
8
pi2
\u221e\u2211
n=1
sen npi
2
n2 senh 3npi
2
sen
npiy
2
senh
npix
2
=
8
pi2
\u221e\u2211
n=0
(\u22121)n
(2n + 1)2 senh 3(2n+1)pi
2
sen
(2n + 1)piy
2
senh
(2n + 1)pix
2
2.3.2 Apenas h(y) Na\u2dco Nula
\uf8f1\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f4\uf8f4\uf8f3
\u22022u
\u2202x2
+
\u22022u
\u2202y2
= 0
u(x, 0) = 0, u(x, b) = 0, 0 < x < 3
u(0, y) = h(y), u(a, y) = 0, 0 < y < 2
Se´ries de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007
2.3 Equac¸a\u2dco de Laplace num Reta\u2c6ngulo 47
Vamos procurar uma soluc¸a\u2dco na forma de um produto de uma func¸a\u2dco de x por uma
func¸a\u2dco de t, ou seja,
u(x, y) = X(x)Y (y)
Derivando e substituindo-se na equac¸a\u2dco obtemos
X \u2032\u2032(x)Y (y) + X(x)Y \u2032\u2032(y) = 0
que pode ser reescrita como
X \u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212Y
\u2032\u2032(y)
Y (y)
O primeiro membro depende apenas de x, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto
so´ e´ poss´\u131vel se eles forem iguais a uma constante
X \u2032\u2032(x)
X(x)
= \u2212Y
\u2032\u2032(t)
Y (y)
= \u3bb.
Obtemos enta\u2dco duas equac¸o\u2dces diferenciais ordina´rias{
X \u2032\u2032(x)\u2212 \u3bbX(x) = 0, X(a) = 0
Y \u2032\u2032(y) + \u3bbY (y) = 0, Y (0) = 0, Y (b) = 0
A segunda equac¸a\u2dco com as condic¸o\u2dces de fronteira tem soluc¸a\u2dco somente se \u3bb = n
2pi2
b2
, para
n = 1, 2, 3, . . . e neste caso a soluc¸a\u2dco e´ da forma
Y (y) = C1 sen
npiy
b
, n = 1, 2, 3, . . .
A primeira equac¸a\u2dco diferencial com a condic¸a\u2dco X(a) = 0 tem soluc¸a\u2dco
X(x) = C2(e
npi
b
(x\u2212a) \u2212 e\u2212npib (x\u2212a)) = C\u2dc2 senh(npi
b
(x\u2212 a))
Logo o problema formado pela equac¸a\u2dco diferencial parcial e as condic¸o\u2dces de fronteira tem
soluc¸o\u2dces da forma
un(x, y) = X(x)Y (y) = cn sen
npiy
b
senh(
npi
b
(x\u2212 a))
Ale´m disso, pode-se provar que tambe´m se´ries
u(x, y) =
\u221e\u2211
n=1
un(x, y) =
\u221e\u2211
n=1
cn sen
npiy
b
senh(
npi
b
(x\u2212 a))
sa\u2dco soluc¸o\u2dces.
22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos
48 2 EQUAC¸O\u2dcES DIFERENCIAIS PARCIAIS
Mas para satisfazer a condic¸a\u2dco inicial u(0, y) = h(y), temos que ter
h(y) = u(0, y) = \u2212
\u221e\u2211
n=1
cn sen
npiy
b
senh
npia
b
= \u2212
\u221e\u2211
n=1
[
cn senh
npia
b
]
sen
npiy
b
.
Esta e´ a se´rie de Fourier de senos de h(y). Assim pelo Corola´rio 6 na pa´gina 11 se a
func¸a\u2dco h(y) pertencente ao espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes, CP[0, L], enta\u2dco os
coeficientes sa\u2dco dados por
\u2212cn senh npia
b
=
2
b
\u222b b
0
h(y) sen
npiy
b
dy, n = 1, 2, 3 . . .
Podemos evitar o sinal de menos se escrevemos
u(x, y) =
\u221e\u2211
n=1
un(x, y)
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