Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais
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Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais

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pi

∞∑
m=0

(−1)m
2m + 1

cos
(2m + 1)pix

L
.

f(x) =
2

pi

∞∑
m=1

cos mpi
2
− (−1)m
m

sen
mpix

L
=

=
2

pi

∞∑
m=1

(−1)m − 1
2m

sen
2mpix

L
+

2

pi

∞∑
m=0

1

2m + 1
sen

(2m + 1)pix

L
=

= − 2
pi

∞∑
m=0

1

2m + 1
sen

(4m + 2)pix

L
+

2

pi

∞∑
m=0

1

2m + 1
sen

(2m + 1)pix

L

1.2. f(x) =
1

2
+

2

pi

∞∑
m=1

sen 3mpi
4
− sen mpi

4

m
cos

mpix

L
.

f(x) =
2

pi

∞∑
m=1

cos mpi
4
− cos 3mpi

4

m
sen

mpix

L

1.3. f(x) =
3L

8
+

2L

pi2

∞∑
m=1

cos mpi − cos mpi
2
− mpi

2
sen mpi

2

m2
cos

mpix

L
.

f(x) =
2L

pi2

∞∑
m=1

mpi
2

cos mpi
2
−mpi cos mpi − sen mpi

2

m2
sen

mpix

L

1.4. f(x) =
L

4
+

2L

pi2

∞∑
m=1

2 cos mpi
2
− 1− (−1)m
m2

cos
mpix

L

=
L

4
+

2L

pi2

∞∑
m=1

2(−1)m − 2
4m2

cos
2mpix

L

=
L

4
− 2L

pi2

∞∑
m=0

1

(2m + 1)2
cos

(4m + 2)pix

L
.

f(x) =
4L

pi2

∞∑
m=1

sen mpi
2

m2
sen

mpix

L
=

4L

pi2

∞∑
m=1

(−1)m
(2m + 1)2

sen
(2m + 1)pix

L

1.5. f(x) =
3L

16
+

2L

pi2

∞∑
m=1

cos mpi
4

+ cos 3mpi
4
− 1− (−1)m

m2
cos

mpix

L
.

f(x) =
2L

pi2

∞∑
m=1

sen mpi
4

+ sen 3mpi
4

m2
sen

mpix

L

Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007

2.3 Equac¸a˜o de Laplace num Retaˆngulo 57

2. Equac¸o˜es Parciais (pa´gina 52)

2.1. Temos que resolver o problema


∂u

∂t
=

∂2u

∂x2

u(x, 0) = f(x), 0 < x < 40

u(0, t) = 0, u(40, t) = 0

A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, t) =
∞∑

n=1

cn sen
npix

40
e−

n
2

pi
2

1600
t

em que cn sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de f(x), ou seja,

cn =
1

20

∫ 40
0

f(x) sen(
npix

40
)dx

= 20cn(f
(0)
0,1 )

= −20 2
npi

cos s
∣∣∣npi
0

=
40

npi
(1− cos(npi))

=
40

npi
(1− (−1)n), n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, t) =
40

pi

∞∑
n=1

1− (−1)n
n

sen
npix

40
e−

n
2

pi
2

1600
t

=
80

pi

∞∑
n=0

1

2n + 1
sen(

(2n + 1)pi

40
x)e−

(2n+1)2pi2

1600
t

2.2. Temos que resolver o problema


∂u

∂t
=

∂2u

∂x2

u(x, 0) = f(x), 0 < x < 40

u(0, t) = 0, u(40, t) = 60

22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos

58 2 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS PARCIAIS

A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, t) =
3x

2
+

∞∑
n=1

cn sen
npix

40
e−

n
2

pi
2

1600
t

em que cn sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de

f(x)− 3x
2

= 20− 3x
2

ou seja,

cn = 20cn(f
(0)
0,1 )−

3

2
cn(f

(1)
0,1 )

=
40

npi
cos s

∣∣∣npi
0
− 120

n2pi2
(−s cos s + sen s)

∣∣∣npi
0

=
40

npi
(cos(npi)− 1)− 120

n2pi2
(−npi cos(npi))

=
160((−1)n − 1/4)

npi
, n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, t) =
3x

2
+

160

pi

∞∑
n=1

(−1)n − 1/4
n

sen
npix

40
e−

n
2

pi
2

1600
t

Quando t tende a mais infinito a soluc¸a˜o tende a soluc¸a˜o estaciona´ria v(x, t) =
3x

2
.

2.3. (i) Temos que resolver o problema




∂u

∂t
=

∂2u

∂x2

u(x, 0) = f(x), 0 < x < 40

∂u

∂t
(0, t) = 0,

∂u

∂t
(40, t) = 0

A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, t) =
∞∑

n=0

cn cos
npix

40
e−

n
2

pi
2

1600
t

Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007

2.3 Equac¸a˜o de Laplace num Retaˆngulo 59

em que cn sa˜o os coeficientes da se´rie de cossenos de f(x), ou seja,

c0 =
1

40

∫ 40
0

f(x)dx = 30,

cn =
1

20

∫ 40
0

f(x) cos(
npix

40
)dx

= 80
(−1)n − 1

n2pi2
, n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, t) = 30 +
80

pi2

∞∑
n=1

(−1)n − 1
n2

cos
npix

40
e−

n
2

pi
2

1600
t

= 30− 160
pi2

∞∑
n=0

1

(2n + 1)2
cos(

(2n + 1)pi

40
x)e−

(2n+1)2pi2

1600
t

(ii) A soluc¸a˜o tende a v(x, t) = 30, quando t tende a mais infinito.

2.4. Temos que resolver o problema


∂2u

∂t2
= 4

∂2u

∂x2

u(x, 0) = f(x),
∂u

∂t
(x, 0) = 0, 0 < x < 40

u(0, t) = 0, u(40, t) = 0

A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, t) =

∞∑
n=1

cn sen
npix

40
cos

npit

20

em que cn sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de f(x), ou seja,

cn =
1

20

∫ 40
0

f(x) sen(
npix

40
)dx

=
80

pi2
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n2
, n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, t) =
80

pi2

∞∑
n=1

sen npi
4

+ sen 3npi
4

n2
sen

npix

40
cos

npit

20

22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos

60 2 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS PARCIAIS

2.5.

u(x, t) = sen(
pi

20
x) cos(

pi

10
t)

2.6. Temos que resolver o problema


∂2u

∂t2
= 4

∂2u

∂x2

u(x, 0) = 0,
∂u

∂t
(x, 0) = g(x), 0 < x < 40

u(0, t) = 0, u(40, t) = 0

A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, t) =
∞∑

n=1

cn sen
npix

40
sen

npit

20

em que npi
20

cn sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de g(x), ou seja,

npi

20
cn =

1

20

∫ 40
0

g(x) sen(
npix

40
)dx

=
80

pi2
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n2
n = 1, 2, 3 . . .

cn =
1600

pi3
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n3
, n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, t) =
1600

pi3

∞∑
n=1

sen npi
4

+ sen 3npi
4

n3
sen

npix

40
sen

npit

20

2.7.

u(x, t) =
10

pi
sen(

pi

20
x) sen(

pi

10
t)

2.8. Temos que resolver o problema


∂2u

∂t2
= 4

∂2u

∂x2

u(x, 0) = f(x),
∂u

∂t
(x, 0) = g(x), 0 < x < 40

u(0, t) = 0, u(40, t) = 0

Se´ries de Fourier e Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 22 de novembro de 2007

2.3 Equac¸a˜o de Laplace num Retaˆngulo 61

A soluc¸a˜o e´ a soma das soluc¸o˜es dos problemas com apenas uma das func¸o˜es f(x)
e g(x) na˜o nulas.

u(x, t) =

∞∑
n=1

cn sen
npix

L
cos

anpit

L
+

∞∑
n=1

dn sen
npix

L
sen

anpit

L

em que cn e
npi
20

dn sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de f(x) e de g(x), respectiva-
mente, ou seja,

cn =
1

20

∫ 40
0

f(x) sen(
npix

40
)dx

=
80

pi2
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n2
, n = 1, 2, 3 . . .

npi

20
dn =

1

20

∫ 40
0

g(x) sen(
npix

40
)dx

=
80

pi2
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n2
n = 1, 2, 3 . . .

dn =
1600

pi3
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n3
, n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, t) =
80

pi2

∞∑
n=1

sen npi
4

+ sen 3npi
4

n2
sen

npix

40
cos

npit

20
+

1600

pi3

∞∑
n=1

sen npi
4

+ sen 3npi
4

n3
sen

npix

40
sen

npit

20

2.9. A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, y) =

∞∑
n=1

cn sen
npiy

2
senh

npix

3

em que cn senh(
3npi
2

) sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de k(y), ou seja,

cn senh(
3npi

2
) =

∫ 2
0

k(y) sen(
npiy

2
)dx

=
4

pi2
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n2
, n = 1, 2, 3 . . .

22 de novembro de 2007 Reginaldo J. Santos

62 2 EQUAC¸O˜ES DIFERENCIAIS PARCIAIS

cn =
4

pi2
sen npi

4
+ sen 3npi

4

n2 senh(3npi
2

)
, n = 1, 2, 3 . . .

Portanto a soluc¸a˜o e´ dada por

u(x, y) =
4

pi2

∞∑
n=1

sen npi
4

+ sen 3npi
4

n2 senh(3npi
2

)
sen

npiy

2
senh

npix

3

=
8

pi2

∞∑
n=0

(−1)n
senh(3(2n+1)pi

2
)(2n + 1)2

sen
(2n + 1)piy

2
senh

(2n + 1)pix

3

2.10. A soluc¸a˜o e´ enta˜o

u(x, y) =
∞∑

n=1

cn sen
npiy

2
senh(

npi

3
(3− x))

em que cn senh(
3npi
2

) sa˜o os coeficientes da se´rie de senos de h(y), ou seja,

cn senh(
3npi

2
) =
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