MAT147_Lista5
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MAT0147 \u2014 CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
PARA ECONOMIA
LISTA DE EXERCI´CIOS 5
PROFESSOR: PAOLO PICCIONE
MONITOR: LEANDRO AUGUSTO LICHTENFELZ
Exerc\u131´cio 1: Seja f(x, y) = ln(x + y). Prove que para todo x, y, s, t > 1 vale a
seguinte desigualdade:\u2223\u2223f(x, y)\u2212 f(s, t)\u2223\u2223 \u2264 \u2225\u2225(x, y)\u2212 (s, t)\u2225\u2225.
Exerc\u131´cio 2: Determine o polino\u2c6mio de Taylor de ordem 1 da func¸a\u2dco f(x, y) dada,
centrado no ponto (x0, y0) dado.
(a) f(x, y) = ex+5y, (x0, y0) = (0, 0);
(b) f(x, y) = x3 + y3 \u2212 x2 + 4y, (x0, y0) = (1, 1);
(c) f(x, y) = sen(x+ y), (x0, y0) = (pi4 ,
pi
4 );
(d) f(x, y) = ex+5y, (x0, y0) = (0, 0);
(e) f(x, y) = ln(1 + x+ y), (x0, y0) = (0, 0).
Exerc\u131´cio 3: Determine o polino\u2c6mio de Taylor de ordem 2 da func¸a\u2dco f(x, y) dada,
centrado no ponto (x0, y0) dado.
(a) f(x, y) = x sen(y), (x0, y0) = (0, 0);
(b) f(x, y) = x3 + 2x2y + 3y3 + x\u2212 y, (x0, y0) = (1, 1);
(c) f(x, y) = exy, (x0, y0) = (0, 1);
(d) f(x, y) = ex \u2212 e\u2212y, (x0, y0) = (1, 1);
(e) f(x, y) = cos(x+ y), (x0, y0) = (pi2 ,
pi
2 ).
Exerc\u131´cio 4: Determine os pontos cr\u131´ticos da func¸a\u2dco f(x, y) dada:
(a) f(x, y) = 2x2 + y2 \u2212 2xy + x\u2212 y;
(b) f(x, y) = x3 + y3 \u2212 xy;
(c) f(x, y) = x4 + y4 + 4x+ 4y;
(d) f(x, y) = sen(x) + sen(y);
(e) f(x, y) = e(sen(x)+sen(y));
Date: 27 de Outubro de 2010.
2 P. PICCIONE, L. A. LICHTENFELZ
(f) f(x, y) = esen(x) + esen(y);
(g) f(x, y) =
yx3
3
+ x2y + x+ 1.
Exerc\u131´cio 5: Seja \u3b3 : R\u2192 R2 uma curva diferencia´vel que na\u2dco passa pela origem,
ou seja, \u3b3(t) 6= (0, 0), para todo t \u2208 R. Mostre que o conjunto de todos os pontos
cr\u131´ticos da func¸a\u2dco f : R\u2192 R dada por f(t) = \u2016\u3b3(t)\u2016 e´ o conjunto dos t \u2208 R para
os quais \u3b3(t) e´ ortogonal a \u3b3\u2032(t).
Exerc\u131´cio 6: Estude com relac¸a\u2dco a ma´ximos e m\u131´nimos locais a func¸a\u2dco f(x, y)
dada:
(a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 \u2212 6x+ 2y;
(b) f(x, y) = \u2212x2 + y2 + 2xy + 4x\u2212 2y;
(c) f(x, y) = x4 + xy + y2 \u2212 6x\u2212 5y;
(d) f(x, y) = 1
x2
+ 1y + xy, x > 0 e y > 0;
(e) f(x, y) =
\u221a
x2 + 2xy + 4y2;
(f) f(x, y) = esen(x) + esen(y).
Exerc\u131´cio 7: Deseja-se construir uma caixa (com tampa) no formato de um prisma
retangular1 de dimenso\u2dces x, y e z, de maneira que o seu volume total seja de
10m3. Dentre todos os poss\u131´veis valores de x, y e z para esta construc¸a\u2dco, quais
deles fornecem as caixas com menor a´rea de superf\u131´cie poss\u131´vel?
Exerc\u131´cio 8: A dista\u2c6ncia de um ponto p = (a, b, c) \u2208 R3 a um plano \u3a0 que
na\u2dco conte´m p e´ o menor valor poss\u131´vel (isto e´, o m\u131´nimo global) de \u2016(a, b, c) \u2212
(x, y, z)\u2016, com (x, y, z) pertencente ao plano \u3a0. Com esta definic¸a\u2dco, calcule a
dista\u2c6ncia do ponto (1, 1, 1) ao plano cuja equac¸a\u2dco e´ x+ y \u2212 z = 0.
1Lembrando que um prisma e´ um so´lido tridimensional formado pela regia\u2dco entre duas figuras
planas paralelas congruentes; neste caso, dois reta\u2c6ngulos.