Séries de Fourier
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Séries de Fourier


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seus valores em um nu´mero finito
de pontos.
Demonstrac¸a\u2dco. Vamos supor que lim
m\u2192\u221e
fm = f e lim
m\u2192\u221e
fm = g, enta\u2dco pela desigualdade
triangular (Proposic¸a\u2dco 1 na pa´gina 3) temos que
||f \u2212 g|| \u2264 ||f \u2212 fm||+ ||g \u2212 fm||.
Passando ao limite obtemos que ||f \u2212 g|| = 0 o que implica que f = g a menos de um
nu´mero finito de pontos.
6
Proposic¸a\u2dco 3. Se uma sequ¨e\u2c6ncia de vetores {fm} de V = CP0[a, b] converge para uma
func¸a\u2dco f de V, enta\u2dco para todo vetor g de V a sequ¨e\u2c6ncia de nu´meros reais {\u3008fm, g\u3009}
converge para \u3008f, g\u3009. Ou seja, se lim
m\u2192\u221e
fm = f , enta\u2dco
lim
m\u2192\u221e
\u3008fm, g\u3009 =
\u2329
lim
m\u2192\u221e
fm, g
\u232a
.
Demonstrac¸a\u2dco. Seja f = lim
m\u2192\u221e
fm. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (Proposic¸a\u2dco
1 na pa´gina 3), temos que
| \u3008fm, g\u3009 \u2212 \u3008f, g\u3009 | = | \u3008fm \u2212 f, g\u3009 | \u2264 ||fm \u2212 f ||||g||.
Passando ao limite obtemos que lim
m\u2192\u221e
| \u3008fm, g\u3009 \u2212 \u3008f, g\u3009 | = 0. O que implica que lim
m\u2192\u221e
=
\u3008f, g\u3009.
Definic¸a\u2dco 4. Uma se´rie de vetores
\u221e\u2211
m=0
fm de V = CP0[a, b] converge para uma func¸a\u2dco
f de V se o limite da sequ¨e\u2c6ncia das somas parciais converge para f , ou seja,
lim
m\u2192\u221e
m\u2211
n=0
fn = f.
O seguinte resultado e´ uma consequ¨e\u2c6ncia imediata da Proposic¸a\u2dco 2.
Corola´rio 4. Se uma se´rie de vetores
\u221e\u2211
m=0
fm de V = CP0[a, b] converge para uma func¸a\u2dco
f de V, enta\u2dco, para toda func¸a\u2dco g de V,
\u221e\u2211
m=0
\u3008fm, g\u3009 =
\u2329
\u221e\u2211
m=0
fm, g
\u232a
.
7
Proposic¸a\u2dco 5. Seja V = CP0[a, b], o espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes no inter-
valo [a, b]. Seja {g0, g1, g2, . . . , gn, . . .} um subconjunto de V de vetores ortogonais na\u2dco
nulos. Se
f =
\u221e\u2211
m=0
cmgm,
enta\u2dco
cm =
\u3008f, gm\u3009
||gm||2 , para m = 0, 1, 2, . . .
Demonstrac¸a\u2dco. Seja f =
\u221e\u2211
m=0
cmgm. Fazendo o produto escalar de f com gn, para
n = 0, 1, 2 . . ., obtemos que
\u3008f, gn\u3009 =
\u2329
\u221e\u2211
m=0
cmgm, gn
\u232a
=
\u221e\u2211
m=0
cm \u3008gm, gn\u3009 = cn||gn||2,
pois como os vetores gm sa\u2dco ortogonais \u3008gm, gn\u3009 = 0, se m 6= n. Assim,
cn =
\u3008f, gn\u3009
||gn||2 , para n = 0, 1, 2 . . .
4 Se´ries de Fourier
Exemplo 4. Seja L um nu´mero real maior que zero. Seja V = CP0[0, L] o conjunto das
func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes do intervalo [0, L] em R com o produto interno definido por
\u3008f, g\u3009 =
\u222b L
0
f(t)g(t)dt.
Ja´ mostramos no Exemplo 3 que o conjunto
{1, cos pit
L
, cos
2pit
L
, . . . , cos
npit
L
, . . .}
8
e´ ortogonal. Vamos calcular as normas dos seus elementos.
\u30081, 1\u3009 =
\u222b L
0
dt = L\u2329
cos
npit
L
, cos
npit
L
\u232a
=
\u222b L
0
cos2
npit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
0
cos2 nsds =
L
2pi
\u222b pi
0
[1 + cos 2ns]ds = L/2
Assim, para toda func¸a\u2dco f \u2208 CP0[0, L] que possa ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
,
teremos que os coeficientes da se´rie sera\u2dco dados por
am =
\u2329
f, cos mpit
L
\u232a
|| cos mpit
L
||2 =
2
L
\u222b L
0
f(t) cos
mpit
L
dt, para m = 0, 1, 2, . . .
Exemplo 5. Seja L um nu´mero real maior que zero. Seja V = CP0[0, L] o conjunto das
func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes do intervalo [0, L] em R com o produto interno definido por
\u3008f, g\u3009 =
\u222b L
0
f(t)g(t)dt.
Ja´ mostramos no Exemplo 3 que o conjunto
{sen pit
L
, sen
2pit
L
, . . . , sen
npit
L
, . . .}
e´ ortogonal. Vamos calcular as normas dos seus elementos.\u2329
sen
npit
L
, sen
npit
L
\u232a
=
\u222b L
0
sen2
npit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
0
sen2nsds =
L
2pi
\u222b pi
0
[1\u2212 cos 2ns]ds = L/2
Assim, para toda func¸a\u2dco f \u2208 CP0[0, L] que possa ser escrita como a se´rie
f(t) =
\u221e\u2211
m=1
bmsen
mpit
L
,
teremos que os coeficientes da se´rie sera\u2dco dados por
bm =
\u2329
f, sen mpit
L
\u232a
||sen mpit
L
||2 =
2
L
\u222b L
0
f(t)sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . .
9
Exemplo 6. Seja L um nu´mero real maior que zero. Seja V = CP0[\u2212L,L] o conjunto
das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes do intervalo [\u2212L,L] em R com o produto interno definido
por
\u3008f, g\u3009 =
\u222b L
\u2212L
f(t)g(t)dt.
Ja´ mostramos no Exemplo 2 que o conjunto
{1, cos pit
L
, sen
pit
L
, cos
2pit
L
, sen
2pit
L
, . . . , cos
npit
L
, sen
npit
L
, . . .}
e´ ortogonal. Vamos calcular as normas dos seus elementos.
\u30081, 1\u3009 =
\u222b L
\u2212L
dt = 2L\u2329
cos
npit
L
, cos
npit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
cos2
npit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
cos2 nsds =
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[1 + cos 2ns]ds = L\u2329
sen
npit
L
, sen
npit
L
\u232a
=
\u222b L
\u2212L
sen2
npit
L
dt =
L
pi
\u222b pi
\u2212pi
sen2nsds =
L
2pi
\u222b pi
\u2212pi
[1\u2212 cos 2ns]ds = L
Assim, para toda func¸a\u2dco f \u2208 CP0[\u2212L,L] que possa ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bmsen
mpit
L
,
teremos que os coeficientes da se´rie sera\u2dco dados por
am =
\u2329
f, cos mpit
L
\u232a
|| cos mpit
L
||2 =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt, para m = 0, 1, 2, . . . (1)
bm =
\u2329
f, sen mpit
L
\u232a
||sen mpit
L
||2 =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t)sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . . (2)
As se´ries dadas no Exemplo 6 sa\u2dco chamadas de Se´ries de Fourier, as do Exemplo
4 de Se´ries de Fourier de cossenos e as do Exemplo 5 de Se´ries de Fourier de
senos. Elas aparecem no estudo de certas equac¸o\u2dces diferenciais. Na Proposic¸a\u2dco 5 fizemos
a suposic¸a\u2dco de que a se´rie
\u221e\u2211
m=0
cmgm convergia para a func¸a\u2dco f . Vamos considerar o
problema inverso. Dada uma func¸a\u2dco f \u2208 CP0[\u2212L,L] podemos calcular os coeficientes
am e bm usando (1) e (2) e nos perguntar se a se´rie obtida converge ou na\u2dco. O teorema
10
seguinte, cuja demonstrac¸a\u2dco pode ser encontrada por exemplo em [3], afirma que para
toda func¸a\u2dco f cont´\u131nua por partes em [\u2212L,L], a se´rie de Fourier de f converge.
Teorema 6. Seja L um nu´mero real maior que zero. Para toda func¸a\u2dco f pertecente ao
espac¸o das func¸o\u2dces cont´\u131nuas por partes, CP0[\u2212L,L], a se´rie de Fourier de f
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bmsen
mpit
L
,
em que
am =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t)sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . .
converge para f na norma ||f || =
(\u222b L
\u2212L
(f(t))2dt
) 1
2
.
Se uma func¸a\u2dco f \u2208 CP0[\u2212L,L] e´ par, isto e´, f(\u2212t) = f(t), para todo t \u2208 [\u2212L,L], e
pode ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bmsen
mpit
L
,
enta\u2dco os coeficientes obtidos no Exemplo 6 sa\u2dco dados por:
am =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt =
2
L
\u222b L
0
f(t) cos
mpit
L
dt, para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t)sen
mpit
L
dt = 0 para m = 1, 2, . . .
ou seja, os coeficientes bm sa\u2dco iguais a zero e os am sa\u2dco iguais aos dados no Exemplo 4.
Analogamente, se uma func¸a\u2dco f \u2208 CP0[\u2212L,L] e´ \u131´mpar, isto e´, f(\u2212t) = f(t), para
todo t \u2208 [\u2212L,L], e pode ser escrita como a se´rie
f(t) =
a0
2
+
\u221e\u2211
m=1
am cos
mpit
L
+
\u221e\u2211
m=1
bmsen
mpit
L
,
11
enta\u2dco os coeficientes obtidos no Exemplo 6 sa\u2dco dados por:
am =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t) cos
mpit
L
dt = 0 para m = 0, 1, 2, . . .
bm =
1
L
\u222b L
\u2212L
f(t)sen
mpit
L
dt =
2
L
\u222b L
0
f(t)sen
mpit
L
dt, para m = 1, 2, . . .
ou seja, os coeficientes am sa\u2dco iguais a zero e os bm sa\u2dco iguais aos dados no Exemplo 5.
Para as func¸o\u2dces f que sa\u2dco cont´\u131nuas por partes em [0, L] podemos prolonga´-las de
forma que elas se tornem par ou \u131´mpar no intervalo [\u2212L,L] (verifique!). Assim, segue
da obsevac¸a\u2dco que fizemos anteriormente, que as se´ries de Fourier de cossenos e de senos
de f sa\u2dco se´ries de Fourier dos prolongamentos par e \u131´mpar de f , respectivamente. Este
racioc´\u131nio estende o resultado anterior para se´ries de Fourier