Séries de Fourier
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Séries de Fourier


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=
{
0, se 0 \u2264 x < L/2,
1, se L/2 \u2264 x \u2264 L,
2. f(x) =
{
1, se L/4 \u2264 x < 3L/4,
0, caso contra´rio,
3. f(x) =
{
0, se 0 \u2264 x < L/2,
t, se L/2 \u2264 x < L,
4. f(x) =
{
x, se 0 \u2264 x < L/2
L\u2212 x, se L/2 \u2264 x \u2264 L
5. f(x) =
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
x, se 0 \u2264 x < L/4
L/4, se L/4 \u2264 x < 3L/4
L\u2212 x, se 3L/4 < x \u2264 L
Respostas dos Exerc´\u131cios
1. f(x) =
1
2
\u2212 2
pi
\u221e\u2211
m=1
sen mpi
2
m
cos
mpix
L
.
f(x) =
2
pi
\u221e\u2211
m=1
cos mpi
2
\u2212 (\u22121)m
m
sen
mpix
L
19
2. f(x) =
1
2
+
2
pi
\u221e\u2211
m=1
sen 3mpi
4
\u2212 sen mpi
4
m
cos
mpix
L
.
f(x) =
2
pi
\u221e\u2211
m=1
cos mpi
4
\u2212 cos 3mpi
4
m
sen
mpix
L
3. f(x) =
3L
8
+
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
cosmpi \u2212 cos mpi
2
\u2212 mpi
2
sen mpi
2
m2
cos
mpix
L
.
f(x) =
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
mpi
2
cos mpi
2
\u2212mpi cosmpi \u2212 sen mpi
2
m2
sen
mpix
L
4. f(x) =
L
4
+
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
2 cos mpi
2
\u2212 1\u2212 (\u22121)m
m2
cos
mpix
L
.
f(x) =
4L
pi2
\u221e\u2211
m=1
sen mpi
2
m2
sen
mpix
L
5. f(x) =
3L
16
+
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
cos mpi
4
+ cos 3mpi
4
\u2212 1\u2212 (\u22121)m
m2
cos
mpix
L
.
f(x) =
2L
pi2
\u221e\u2211
m=1
sen mpi
4
+ sen 3mpi
4
m2
sen
mpix
L
Comandos do MATLAB:
>> V(i)=[] elimina a componente i do vetor V.
>> syms t diz ao MATLAB que a varia´vel t e´ uma varia´vel simbo´lica.
>> f=expr define uma func¸a\u2dco atrave´s da expr que deve ser uma expressa\u2dco na varia´vel
simbo´lica t definida anteriormente.
Comandos do pacote GAAL:
>>proj(g,f,a,b) calcula
\u3008f, g\u3009
||g||2 g(t) =
(
1\u222b b
a
(g(t))2dt
\u222b b
a
f(t)g(t)dt
)
g(t).
20
Por exemplo: >>proj(cos(5*pi*t),f,-pi,pi) calcula(
1\u222b pi
\u2212pi
(cos(5pit))2dt
\u222b pi
\u2212pi
cos(5pit)f(t)dt
)
cos(5pit) =
=
(
1
2pi
\u222b pi
\u2212pi
cos(5pit)f(t)dt
)
cos(5pit)
= a5 cos(5pit).
>>plotfproj(f,proj,a,b) desenha as func¸o\u2dces f e proj(k), para k variando de 1 ate´ o
tamanho do vetor proj, no intervalo [a,b].
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 8: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = t, se t \u2208 [0, 1/4], f(t) = 1/4, se
t \u2208 [1/4, 3/4] e f(t) = 1\u2212 t, se t \u2208 [3/4, 1] e somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos
para n = 0, 1, 2
21
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 9: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = t, se t \u2208 [0, 1/4], f(t) = 1/4, se
t \u2208 [1/4, 3/4] e f(t) = 1 \u2212 t, se t \u2208 [3/4, 1] e somas parciais da se´rie de Fourier de senos
para n = 1, 3, 5
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
Figura 10: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = 1, se t \u2208 [1/2, 1] e f(t) = 0, caso
contra´rio e as somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos de f , para n = 0, 1, 3, 5, 7, 9
22
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
0 0.5 1
0
0.5
1
x
y
Figura 11: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = 1, se t \u2208 [1/2, 1] e f(t) = 0, caso
contra´rio e as somas parciais da se´rie de Fourier de senos de f , para n = 1, 2, 3, 5, 6, 7
23
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 12: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = t, se t \u2208 [1/2, 1] e f(t) = 0, caso
contra´rio e as somas parciais da se´rie de Fourier de cossenos de f , para n = 0, 1, 2, 3, 5, 6
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0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
0 0.5 1
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
y
Figura 13: A func¸a\u2dco f : [0, 1] \u2192 R definida por f(t) = t, se t \u2208 [1/2, 1] e f(t) = 0, caso
contra´rio e as somas parciais da se´rie de Fourier de senos de f , para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6
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Refere\u2c6ncias
[1] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equac¸o\u2dces Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno. Livros Te´cnicos e Cient´\u131ficos Editora S.A., Rio de
Janeiro, 6a. edition, 1999.
[2] Djairo Guedes de Figueiredo. Ana´lise de Fourier e Equac¸o\u2dces Diferenciais Parciais.
IMPA, Rio de Janeiro, 1977.
[3] Donald Kreider, Donald R. Ostberg, Robert C. Kuller, and Fred W. Perkins. In-
troduc¸a\u2dco a` Ana´lise Linear. Ao Livro Te´cnico S.A., Rio de Janeiro, 1972.
[4] Erwin Kreiszig. Matema´tica Superior. Livros Te´cnicos e Cient´\u131ficos Editora S.A., Rio
de Janeiro, 2a. edition, 1985.
[5] Reginaldo J. Santos. Um Curso de Geometria Anal´\u131tica e A´lgebra Linear. Imprensa
Universita´ria da UFMG, Belo Horizonte, 2002.
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	Produto Interno
	Norma
	Ortogonalidade
	Convergência
	Séries de Fourier