Transformada de Fourier

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Transformada de Fourier
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
27 de novembro de 2010
2
Suma´rio
1 Definic¸a˜o e Propriedades 3
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Inversa˜o 16
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Convoluc¸a˜o 20
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Aplicac¸o˜es a`s Equac¸o˜es Diferenciais Parciais 24
4.1 Equac¸a˜o do Calor em uma barra infinita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Equac¸a˜o da Onda em uma Dimensa˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3 Problema de Dirichlet no Semi-plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Tabela de Transformadas de Fourier 30
6 Relac¸a˜o com a Se´rie de Fourier e a Transformada de Fourier Discreta 31
7 Respostas dos Exercı´cios 35
3
1 Definic¸a˜o e Propriedades
f (x)
fˆ (ω)
F
Figura 1: Transformada de Fourier como uma “caixa”
A transformada de Fourier de uma func¸a˜o f : R→ R (ou C) e´ definida por
F ( f )(ω) = fˆ (ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x)dx.
para todo ω ∈ R tal que a integral acima converge. Representaremos a func¸a˜o ori-
ginal por uma letra minu´scula e a sua varia´vel por x. Enquanto a transformada de
Fourier sera´ representada pela letra correspondente com um chape´u e a sua varia´vel
por ω. Por exemplo, as transformadas de Fourier das func¸o˜es f (x), g(x) e h(x) sera˜o
representadas por fˆ (ω), gˆ(ω) e hˆ(ω), respectivamente.
Se f : R→ R, enta˜o
F ( f )(ω) = fˆ (ω) = 1√
2pi
(∫ ∞
−∞
cos(ωx) f (x)dx− i
∫ ∞
−∞
sen(ωx) f (x)dx
)
,
e fˆ (ω) e´ real se, e somente se, f e´ par. Neste caso tambe´m fˆ e´ par.
Va´rios autores definem a transformada de Fourier de maneiras diferentes, mas que
sa˜o casos particulares da fo´rmula
fˆ (ω) =
√
|b|
(2pi)1−a
∫ ∞
−∞
f (x)eibωxdx,
4
para diferentes valores das constantes a e b. Estamos usando aqui (a, b) = (0,−1).
Algumas definic¸o˜es tambe´m bastante usadas sa˜o com (a, b) = (0,−2pi) e (a, b) =
(1,−1).
Seja I um subconjunto dos nu´meros reais. A func¸a˜o χ
I
: R→ R chamada de func¸a˜o
caracterı´stica de I e´ definida por
χ
I
(x) =
{
1, se x ∈ I,
0, caso contra´rio.
Exemplo 1. Seja a um nu´mero real positivo. Seja χ[0,a] : R→ R dada por
χ[0,a](x) =
{
1, se 0 < x < a,
0, caso contra´rio.
F (χ[0,a])(ω) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x)dx =
1√
2pi
∫ a
0
e−iωx f (x)dx
=
1√
2pi
e−iωx
−iω
∣∣∣a
0
=
1√
2pi
1− e−iaω
iω
, se ω 6= 0,
F (χ[0,a])(0) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
f (x)dx =
a√
2pi
.
Exemplo 2. Seja a um nu´mero real positivo. Seja f : R→ R dada por
f (x) = e−axu0(x) =
{
1, se x < 0
e−ax, se x ≥ 0
F ( f )(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x)dx =
1√
2pi
∫ ∞
0
e−iωxe−axdx
=
1√
2pi
e−(a+iω)x
−(a+ iω)
∣∣∣∞
0
=
1√
2pi
1
a+ iω
.
Teorema 1 (Dilatac¸a˜o). Seja a uma constante na˜o nula. Se a transformada de Fourier da
func¸a˜o f : R→ R e´ fˆ (ω), enta˜o a transformada de Fourier da func¸a˜o
g(x) = f (ax)
e´
gˆ(ω) =
1
|a| fˆ (
ω
a
), para ω ∈ R.
Em particular F ( f (−x)) = fˆ (−ω).
5
Demonstrac¸a˜o. Se a > 0, enta˜o
gˆ(ω) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (ax)dx
=
1
a
√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iω
x′
a f (x′)dx′ =
1
a
fˆ (
ω
a
).
Se a < 0, enta˜o
gˆ(ω) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (ax)dx
=
1
a
√
2pi
∫ −∞
∞
e−iω
x′
a f (x′)dx′ = −1
a
fˆ (
ω
a
).
f (x)
f (ax)
fˆ (ω)
1
|a| fˆ (
ω
a )
F
Figura 2: Teorema da Dilatac¸a˜o
Exemplo 3. Seja a um nu´mero real positivo. Seja f : R→ R dada por
f (x) = eaxu0(−x) =
{
eax se x < 0
1 se x ≥ 0
Como f (x) = g(−x), em que g(x) = e−axu0(x), enta˜o pelo Exemplo 2 temos que
F ( f )(ω) = F (g)(−ω) = 1√
2pi
1
a− iω
6
Exemplo 4. Seja a um nu´mero real positivo. Seja f : R→ R dada por
f (x) = χ[−a,0](x) =
{
1, se − a < x < 0
0, caso contra´rio
Como χ[−a,0](x) = χ[0,a](−x), enta˜o pelo Exemplo 1 temos que
fˆ (ω) = F (χ[−a,0])(ω) = F (χ[0,a])(−ω) =


1√
2pi
eiaω−1
iω , se ω 6= 0,
a√
2pi
, se ω = 0.
Observe que
lim
ω→0
fˆ (ω) = fˆ (0),
ou seja, fˆ (ω) e´ contı´nua. Isto vale em geral.
Teorema 2 (Continuidade). Se f : R → R e´ tal que ∫ ∞−∞ | f (x)|dx < ∞, enta˜o fˆ (ω) e´
contı´nua.
Teorema 3 (Linearidade). Se a transformada de Fourier de f (x) e´ fˆ (ω), e a transformada de
Fourier de g(x) e´ gˆ(ω), enta˜o para quaisquer constantes α e β
F (α f + βg)(ω) = αF ( f )(ω) + βF (g)(ω) = α fˆ (ω) + βgˆ(ω), para ω ∈ R.
Demonstrac¸a˜o.
F (α f + βg)(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx(α f (x) + βg(x))dx
=
α√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x)dx+
β√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxg(x)dx
= αF ( f )(ω) + βF (g)(ω)
7
f (x)
g(x)
α f (x) + βg(x)
fˆ (ω)
gˆ(ω)
α fˆ (ω) + βgˆ(ω)
F
Figura 3: Transformada de Fourier de uma combinac¸a˜o linear
Exemplo 5. Seja a um nu´mero real positivo. Seja χ[−a,a] : R→ R dada por
χ[−a,a](x) =
{
1, se − a < x < a
0, caso contra´rio
Como χ[−a,a](x) = χ[−a,0](x) + χ[0,a](x), enta˜o pelos Exemplos 1 e 4 temos que
F (χ[−a,a])(ω) =
1√
2pi
(
eiaω − 1
iω
+
1− e−iaω
iω
)
=
2√
2pi
sen(aω)
ω
, se ω 6= 0
F (χ[−a,a])(0) =
2a√
2pi
.
Exemplo 6. Seja a um nu´mero real positivo. Seja f : R→ R dada por
f (x) = e−a|x|.
Como f (x) = eaxu0(−x) + e−axu0(x), enta˜o pelos Exemplos 2 e 3 temos que
F ( f )(ω) = 1√
2pi
(
1
a− iω +
1
a+ iω
)
=
1√
2pi
2a
ω2 + a2
.
8
Teorema 4 (Derivadas da Transformada de Fourier). Seja fˆ (ω) a transformada de Fourier
de f (x).
(a) Se
∫ ∞
−∞ | f (x)|dx < ∞ e
∫ ∞
−∞ |x f (x)|dx < ∞, enta˜o
F (x f (x))(ω) = i d fˆ
dω
(ω).
(b) Se tambe´m
∫ ∞
−∞ |x2 f (x)|dx < ∞, enta˜o
F (x2 f (x))(ω) = − d
2 fˆ
dω2
(ω).
Demonstrac¸a˜o. Pode ser demonstrado que sob as hipo´teses acima a derivada pode ser
calculada sob o sinal de integrac¸a˜o.
(a)
d fˆ
dω
(ω) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
d
dω
(
e−iωx f (x)
)
dx
= − i√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxx f (x)dx
= −iF (x f (x))(ω).
(b)
d2 fˆ
dω2
(ω) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
d2
dω2
(
e−iωx f (x)
)
dx
= − 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxx2 f (x)dx
= −F (x2 f (x))(ω).
9
f (x)
x f (x)
x2 f (x)
fˆ (ω)
i fˆ ′(ω)
− fˆ ′′(ω)
F
Figura 4: Derivadas da Transformada de Fourier
Exemplo 7. Seja a um nu´mero real positivo. Seja f : R→ R dada por
f (x) =
{ |x| se − a < x < a
0 caso contra´rio
Observamos que
f (x) = |x|χ[−a,a](x) = −xχ[−a,0](x) + xχ[0,a](x)
= −xχ[0,a](−x) + xχ[0,a](x).
Como para ω 6= 0 temos que
F (xχ[0,a](x))(ω) = i
d
dω
χ̂[0,a](ω) =
i√
2pi
d
dω
(
1− e−iaω
iω
)
=
i√
2pi
−a ωe−i a ω − i(1− e−i a ω)
(iω)2
=
1√
2pi
i a ωe−i a ω + e−i a ω − 1
ω2
e
F (−xχ[0,a](−x))(ω) = F (xχ[0,a](x))(−ω) =
1√
2pi
−i a ωei a ω + ei a ω − 1
ω2
,
10
enta˜o temos que
fˆ (ω) = F (−xχ[0,a](−x))(ω) +F (xχ[0,a](x))(ω)
=
1√
2pi
(
i a ωe−i a ω + e−i a ω − 1
ω2
+
−i a ωei a ω + ei a ω − 1
ω2
)
=
1√
2pi
2 a ω sen (a ω) + 2 cos (a ω)− 2
ω2
, para ω 6= 0
fˆ (0) =
a2√
2pi
.
Teorema 5 (Transformada de Fourier das Derivadas). Seja f : R → R contı´nua com
transformada de Fourier fˆ (ω).
(a) Se f ′(x) e´ seccionalmente contı´nua e lim
x→±∞ | f (x)| = 0, enta˜o
F ( f ′)(ω) = iω fˆ (ω).
(b) Se f ′(x) e´ contı´nua, f ′′(x) e´ seccionalmente contı´nua e lim
x→±∞ | f
′(x)| = 0, enta˜o
F ( f ′′)(ω) = −ω2 fˆ (ω).
Demonstrac¸a˜o. (a) Vamos provar para o caso em que f ′(x) e´ contı´nua.
F ( f ′)(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f ′(x)dx
=
1√
2pi
e−iωx f (x)
∣∣∣∞
−∞
− (−iω) 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x)dx
= iω fˆ (ω),
pois lim
x→±∞ e
−iωx f (x) = 0.
(b) Vamos provar para o caso em que f ′′(x) e´ contı´nua. Usando o item anterior:
F ( f ′′)(ω) = iωF ( f ′)(ω) = (iω)2 fˆ (ω) = ω2 fˆ (ω).
11
f (x)
f ′(x)
f ′′(x)
fˆ (ω)
iω fˆ (ω)
ω2 fˆ (ω)
F
Figura 5: Transformada de Fourier das Derivadas
Corola´rio 6 (Transformada de Fourier da Integral). Seja f : R → R contı´nua com trans-
formada de Fourier fˆ (ω). Se g(x) =
∫ x
0 f (t)dt e´ tal que limx→±∞ |g(x)| = 0, enta˜o
F (g)(ω) = fˆ (ω)
iω
, para ω 6= 0.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 5 temos que
fˆ (ω) = F (g′)(ω) = iωgˆ(ω).
De ondesegue o resultado.
Exemplo 8. Seja f (x) = e−ax2 . Derivando obtemos
f ′(x) = −2ax f (x).
Aplicando-se a transformada de Fourier a ambos os membros obtemos
iω fˆ (ω) = −2ai fˆ ′(ω).
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos
fˆ (ω) = fˆ (0)e−
ω2
4a .
12
Mas,
fˆ (0) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−ax
2
dx =
1√
2pi
(∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
e−a(x
2+y2)dxdy
)1/2
=
1√
2pi
(∫ 2pi
0
∫ ∞
0
e−ar
2
rdrdθ
)1/2
= − 1√
2a
√
2pi
(∫ 2pi
0
e−ar
2
∣∣∣∞
0
dθ
)1/2
=
=
1√
2a
.
Logo
F (e−ax2)(ω) = 1√
2a
e−
ω2
4a .
Em particular
F (e− x
2
2 )(ω) = e−
ω2
2 .
Teorema 7 (Translac¸a˜o). Seja a uma constante. Se a transformada de Fourier da func¸a˜o
f : R→ R e´ fˆ (ω), enta˜o
(a) F ( f (x− a))(ω) = e−iaω fˆ (ω), para ω ∈ R. e
(b) F (eiax f (x))(ω) = fˆ (ω − a).
Demonstrac¸a˜o. (a)
F ( f (x− a))(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x− a)dx
=
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iω(x
′+a) f (x′)dx′ = e−iaω fˆ (ω).
(b)
F (eiax f (x))(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωxeiax f (x)dx
=
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−i(ω−a)x f (x)dx = fˆ (ω − a).
13
f (x)
f (x− a)
fˆ (ω)
e−iaω fˆ (ω)
F
Figura 6: Teorema da Translac¸a˜o (a)
f (x)
eiax f (x)
fˆ (ω)
fˆ (ω − a)
F
Figura 7: Teorema da Translac¸a˜o (b)
14
Exemplo 9. Seja f : R→ R dada por
f (x) =
{
cos ax se − b < x < b
0 caso contra´rio
Como
f (x) = (cos ax)χ[−b,b](x) =
(
eiax + e−iax
2
)
χ[−b,b](x),
e pela linearidade da transformada de Fourier e pelo Teorema da Dilatac¸a˜o (Teorema
1 na pa´gina 4), para ω 6= 0 temos que
F (χ[−b,b])(ω) = F
(
χ[0,b](−x) + χ[0,b](x)
)
(ω)
=
1√
2pi
(
eibω − 1
iω
+
1− e−ibω
iω
)
=
2√
2pi
sen(bω)
ω
, para ω 6= 0,
F (χ[−b,b])(0) =
2b√
2pi
enta˜o, pelo Teorema da Translac¸a˜o (Teorema 7 (b) na pa´gina 12) e pela linearidade da
transformada de Fourier, temos que
fˆ (ω) =
1
2
(
F (χ[−b,b])(ω − a) +F (χ[−b,b])(ω + a)
)
=
1√
2pi
(
sen b(ω − a)
ω − a +
sen b(ω + a)
ω + a
)
, para ω 6= ±a
fˆ (−a) = fˆ (a) = 1√
2pi
(
2b+
sen 2ab
2a
)
.
15
Exercı´cios (respostas na pa´gina 35)
1.1. Determine a transformada de Fourier das seguintes func¸o˜es f : R→ R
(a) f (x) = (1− |x|/a)χ[−a,a](x) =
{
1− |x|/a, se − a < x < a,
0, caso contra´rio.
(b) f (x) = sen(ax)χ[−b,b](x) =
{
sen(ax), se − b < x < b
0, caso contra´rio.
(c) f (x) = xe−x2 .
(d) f (x) = x2e−x2 .
(e) f (x) = e−(a+ib)xu0(x) =
{
e−(a+ib)x, se x > 0
0, caso contra´rio,
para a > 0 e b ∈ R.
(f) f (x) = e(a+ib)xu0(−x) =
{
e(a+ib)x, se x < 0
0, caso contra´rio,
para a > 0 e b ∈ R.
16
2 Inversa˜o
Teorema 8. Se f : R→ R e´ seccionalmente contı´nua e tal que ∫ ∞−∞ | f (x)|dx < ∞, enta˜o
lim
ω→±∞ fˆ (ω) = 0.
Demonstrac¸a˜o. Pelo Lema de Riemann-Lesbegue, temos que
lim
ω→±∞
∫ M
−M
e−iωx f (x)dx = lim
ω→±∞
∫ M
−M
f (x) cosωxdx+ i lim
ω→±∞
∫ M
−M
f (x) senωxdx = 0.
Para todo e > 0, existe M > 0 tal que
∫
|x|>M | f (x)|dx < e. Logo
√
2pi lim
ω→±∞ | fˆ (ω)| = limω→±∞
∣∣∣∣
∫ ∞
−∞
e−iωx f (x)dx
∣∣∣∣
≤ lim
ω→±∞
∣∣∣∣
∫ M
−M
e−iωx f (x)dx
∣∣∣∣+
∫
|x|>M
| f (x)|dx ≤ e.
Lema 9. Se g : R → R e´ seccionalmente contı´nua tal que ∫ ∞−∞ |g(x)|dx < ∞, g(0) = 0 e
g′(0) existe, enta˜o ∫ ∞
−∞
gˆ(ω)dω = 0.
Demonstrac¸a˜o. Seja
h(x) =


g(x)
x
, se x 6= 0,
g′(0), se x = 0.
Enta˜o g(x) = xh(x) e
∫ ∞
−∞ |h(x)|dx < ∞. Logo∫ ∞
−∞
gˆ(ω)dω = i
∫ ∞
−∞
hˆ′(ω)dω = ihˆ(ω)
∣∣∣∞
−∞
= 0,
pelo Teorema 8.
17
Teorema 10. Se f : R→ R e´ seccionalmente contı´nua tal que ∫ ∞−∞ | f (x)|dx < ∞, enta˜o
f (x) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
eixω fˆ (ω)dω,
para todo x ∈ R em que f e´ contı´nua.
Demonstrac¸a˜o. Vamos demonstrar para o caso em que f ′(x) existe. Seja g : R → R
definida por
g(x′) = f (x+ x′)− f (x)e− x
′2
2 .
Como g(0) = 0, pelo Lema 9 temos que
0 =
∫ ∞
−∞
gˆ(ω)dω =
∫ ∞
−∞
eixω fˆ (ω)dω − f (x)
∫ ∞
−∞
e−
ω2
2 dω
=
∫ ∞
−∞
eixω fˆ (ω)dω − f (x)
√
2pi.
Corola´rio 11. Se f : R→ R e´ contı´nua tal que ∫ ∞−∞ | f (x)|dx < ∞, enta˜o
F ( fˆ )(ω) = f (−ω).
Demonstrac¸a˜o. Pelo Teorema 10 temos que
f (−ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iω
′ω fˆ (ω′)dω′ = F ( fˆ )(ω)
18
Exemplo 10. Seja a um nu´mero real positivo. Seja f : R→ R dada por
f (x) =
1
x2 + a2
Como F (e−a|x|)(ω) = 1√
2pi
2a
ω2 + a2
, enta˜o
f (ω) = gˆ(ω), em que g(x) =
√
2pi
2a
e−a|x|.
Logo
F ( f )(ω) = F (gˆ)(ω) = g(−ω) =
√
2pi
2a
e−a|ω|.
Corola´rio 12 (Injetividade). Dadas duas func¸o˜es f (x) e g(x) seccionalmente contı´nuas tais
que
∫ ∞
−∞ | f (x)|dx < ∞ e
∫ ∞
−∞ |g(x)|dx < ∞, se
F ( f )(ω) = F (g)(ω), para todo ω ∈ R,
enta˜o f (x) = g(x), exceto possivelmente nos pontos de descontinuidade.
Demonstrac¸a˜o. Pela linearidade da transformada de Fourier, basta provarmos que se
F ( f )(ω) = 0, enta˜o f (x) = 0 nos pontos em que f e´ contı´nua. Mas isto e´ decorreˆncia
imediata do Teorema 10.
Exemplo 11. Vamos determinar a func¸a˜o f : R → R cuja transformada de Fourier e´
fˆ (ω) =
1
a+ ib+ iω
, para a > 0 e b ∈ R.
fˆ (ω) =
1
a+ ib+ iω
=
1
a+ i(b+ ω)
f (x) = e−ibx
√
2pie−axu0(x) =
√
2pie−(a+ib)xu0(x).
19
Exercı´cios (respostas na pa´gina 36)
2.1. Determine as func¸o˜es f : R→ C cujas transformadas de Fourier sa˜o dadas
(a) fˆ (ω) =
1
(2+ iω)(3+ iω)
.
(b) fˆ (ω) =
1
(1+ iω)2
.
(c) fˆ (ω) =
iω
1+ ω2
.
(d) fˆ (ω) =
1
ω2 + ω + 1
.
(e) fˆ (ω) =
1
a+ ib− iω , para a > 0 e b ∈ R.
(f) fˆ (ω) =
1
4−ω2 + 2iω .
Calcule a transformada de Fourier das func¸o˜es f : R→ R:
(a) f (x) =
x
1+ x2
.
(b) f (x) =
x
(1+ x2)2
.
20
3 Convoluc¸a˜o
A convoluc¸a˜o de duas func¸o˜es f : R → R e g : R → R seccionalmente contı´nuas,
limitadas e tais que
∫ ∞
−∞ | f (x)|dx < ∞ e
∫ ∞
−∞ |g(x)|dx < ∞, e´ definida por
( f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
f (y)g(x− y)dy, para x ∈ R.
Exemplo 12. Seja f : R→ R definida por f (x) = χ[0,1](x) =
{
1, se 0 ≤ x ≤ 1,
0, caso contra´rio.
( f ∗ f )(x) =
∫ ∞
−∞
χ[0,1](y)χ[0,1](x− y)dy =
∫ 1
0
χ[0,1](x− y)dy
=
∫ 1
0
χ[−1,0](y− x)dy =
∫ 1
0
χ[−1+x,x](y)dy =


0, se x < 0,
x, se 0 ≤ x < 1,
2− x, se 1 ≤ x < 2,
0, se x ≥ 2.
Teorema 13 (Convoluc¸a˜o). Sejam f : R → R e g : R → R seccionalmente contı´nuas,
limitadas e tais que
∫ ∞
−∞ | f (x)|dx < ∞ e
∫ ∞
−∞ |g(x)|dx < ∞. Enta˜o
F ( f ∗ g)(ω) =
√
2pi fˆ (ω).gˆ(ω)
Demonstrac¸a˜o. Pelas definic¸o˜es temos que
F ( f ∗ g)(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωx
[∫ ∞
−∞
f (y)g(x− y)dy
]
dx.
Sob as hipo´teses consideradas pode-se mostrar que podemos trocar a ordem de
integrac¸a˜o para obtermos
F ( f ∗ g)(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
f (y)
[∫ ∞
−∞
e−iωxg(x− y)dx
]
dy.
21
Fazendo-se a mudanc¸a de varia´veis x− y = z obtemos
F ( f ∗ g)(ω) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
f (y)
[∫ ∞
−∞
e−iω(z+y)g(z)dz
]
dy
=
1√
2pi
∫ ∞
−∞
e−iωy f (y)
[∫ ∞
−∞
e−iωzg(z)dz
]
dy
=
√
2pi fˆ (ω).gˆ(ω).
Exemplo 13. Seja f : R→ R dada por
f (x) =


0, se x < 0,
x, se 0 ≤ x < 1,
2− x, se 1 ≤ x < 2,
0, se x ≥ 2.
Como, pelo Exemplo 12, f = χ[0,1] ∗ χ[0,1], enta˜o
fˆ (ω) =
√
2pi (χ̂[0,1](ω))
2 =
√
2pi
(
1√
2pi
1− e−iaω
iω
)2
= − 1√
2pi
(1− e−iaω)2
ω2
.
Teorema 14. A convoluc¸a˜o satisfaz as seguintes propriedades:
(a) f ∗ g = g ∗ f
(b) f ∗ (g1 + g2) = f ∗ g1 + f ∗ g2
(c) ( f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h)
(d) f ∗ 0 = 0 ∗ f = 0
Demonstrac¸a˜o.
(a)
( f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
f (y)g(x− y)dy =
∫ −∞
∞
f (x− y′)g(y′)(−dy′) =
=
∫ ∞
−∞
f (x− y′)g(y′)dy′ = (g ∗ f )(x).
22
(b)
( f ∗ (g1 + g2))(x) =
∫ ∞
−∞
f (y)(g1(x− y) + g2(x− y))dy =
=
∫ ∞
−∞
f (x− y)g1(x− y)dy+
∫ ∞
−∞
f (x− y)g2(x− y)dy =
= ( f ∗ g1)(x) + ( f ∗ g2)(x).
(c)
(( f ∗ g) ∗ h)(x) =
∫ ∞
−∞
( f ∗ g)(x− y)h(y)dy =
=
∫ ∞
−∞
[∫ ∞
−∞
f (y′)g(x− y− y′)dy′
]
h(y)dy =
=
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞
f (y′)g(x− y− y′)h(y)dydy′ =
=
∫ ∞
−∞
f (y′)
[∫ ∞
−∞
g(x− y− y′)h(y)dy
]
dy′ =
=
∫ ∞
−∞
f (y′)(g ∗ h)(x− y′)dy′ = ( f ∗ (g ∗ h))(x).
(d) ( f ∗ 0)(x) = ∫ ∞−∞ f (y− x) · 0 dy = 0 = (0 ∗ f )(x).
23
Exercı´cios (respostas na pa´gina 38)
3.1. Calcule a convoluc¸a˜o f ∗ g para f , g : R→ R dadas por
(a) f (x) = e−xu0(x) =
{
e−x, se x > 0
0, caso contra´rio,
,
g(x) = e−2xu0(x) =
{
e−2x, se x > 0
0, caso contra´rio,
.
(b) f (x) = χ[−1,1](x) =
{
1, se − 1 < x < 1
0, caso contra´rio,
,
g(x) = e−xu0(x) =
{
e−x, se x > 0
0, caso contra´rio,
.
3.2. Determine, usando convoluc¸a˜o, as func¸o˜es f : R → C cujastransformadas de
Fourier sa˜o dadas
(a) fˆ (ω) =
1
(2+ iω)(3+ iω)
.
(b) fˆ (ω) =
1
(1+ iω)2
.
(c) fˆ (ω) =
1
4−ω2 + 2iω .
3.3. Resolva a equac¸a˜o ∫ ∞
−∞
f (y)
(x− y)2 + 4dy =
1
x2 + 9
24
4 Aplicac¸o˜es a`s Equac¸o˜es Diferenciais Parciais
4.1 Equac¸a˜o do Calor em uma barra infinita
Vamos determinar a temperatura em func¸a˜o da posic¸a˜o e do tempo, u(x, t) em uma
barra infinita, sendo conhecida a distribuic¸a˜o de temperatura inicial, f (x), ou seja,
vamos resolver o problema de valor inicial

∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
Vamos supor que existam a transformada de Fourier da soluc¸a˜o u(x, t) em relac¸a˜o
a varia´vel x e de suas derivadas
∂u
∂t
,
∂u
∂x
e
∂2u
∂x2
. Ale´m disso vamos supor que
limx→±∞ |u(x, t)| = 0, limx→±∞
∣∣∣∣∂u∂x
∣∣∣∣ = 0 e ∫ ∞−∞ | f (x)|dx < ∞. Enta˜o aplicando-se
a transformada de Fourier em relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o diferencial obtemos
∂uˆ
∂t
(ω, t) = −α2ω2uˆ(ω, t).
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, t) = c(ω)e−α
2ω2t.
Vamos supor que exista fˆ (ω). Neste caso, usando o fato de que uˆ(ω, 0) = fˆ (ω) obte-
mos que
uˆ(ω, t) = fˆ (ω)e−α
2ω2t.
Seja kˆ(ω, t) = e−α2ω2t. Enta˜o
k(x, t) =
1√
2α2t
e
− x2
4α2t
e pelo Teorema da Convoluc¸a˜o (Teorema 13 na pa´gina 20) temos que
u(x, t) =
1√
2pi
( f ∗ k)(x, t) = 1
2
√
piα2t
∫ ∞
−∞
f (y)e
− (x−y)2
4α2t dy. (1)
Pode-se provar que se f e´ seccionalmente contı´nua e limitada, enta˜o a expressa˜o
dada por (1) define uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o do calor e
lim
t→0+
u(x, t) = f (x),
25
nos pontos em que f e´ contı´nua.
Exemplo 14. Vamos resolver, usando a transformada de Fourier, o problema de valor
inicial 

∂u
∂t
=
∂2u
∂x2
u(x, 0) = e−
x2
4 , x ∈ R.
Seja f (x) = e−
x2
4 . Enta˜o fˆ (ω) =
√
2e−ω2 e
uˆ(ω, t) = fˆ (ω)e−ω
2t =
√
2e−ω
2(1+t).
Logo a soluc¸a˜o do problema de valor inicial e´
u(x, t) =
1
2
√
1+ t
e
− x2
4(1+t) .
4.2 Equac¸a˜o da Onda em uma Dimensa˜o
Vamos resolver a equac¸a˜o diferencial da onda em uma dimensa˜o usando a trans-
formada de Fourier
∂2u
∂t2
= a2
∂2u
∂x2
, x ∈ R.
Vamos supor que existam a transformada de Fourier da soluc¸a˜o u(x, t) em relac¸a˜o
a varia´vel x e de suas derivadas
∂u
∂t
,
∂u
∂x
,
∂2u
∂x2
e
∂2u
∂t2
. Ale´m disso vamos supor que
limx→±∞ |u(x, t)| = 0, limx→±∞
∣∣∣∣∂u∂x
∣∣∣∣ = 0. Aplicando-se a transformada de Fourier em
relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o diferencial obtemos
∂2uˆ
∂t2
(ω, t) = −a2ω2uˆ(ω, t).
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, t) =


φˆ1(ω)e
−iaωt + ψˆ1(ω)e+iaωt, se ω > 0,
c1 + c2t, se ω = 0,
φˆ2(ω)e
−iaωt + ψˆ2(ω)e+iaωt, se ω < 0.
26
Definindo
φˆ(ω) =
{
φˆ1(ω), se ω > 0,
φˆ2(ω), se ω < 0,
ψˆ(ω) =
{
ψˆ1(ω), se ω > 0,
ψˆ2(ω), se ω < 0,
temos que
uˆ(ω, t) = φˆ(ω)e−iaωt + ψˆ(ω)e+iaωt. (2)
e pelo Teorema da Translac¸a˜o (Teorema 7 na pa´gina 12) temos que
u(x, t) = φ(x− at) + ψ(x+ at),
que e´ a soluc¸a˜o de D’Alembert para a equac¸a˜o corda ela´stica.
Vamos resolver o problema de valor inicial

∂2u
∂t2
= a2
∂2u
∂x2
, x ∈ R.
u(x, 0) = f (x),
∂u
∂t
(x, 0) = g(x), x ∈ R.
Ale´m do que ja´ supomos anteriormente vamos supor tambe´m que f , g : R → R sejam
seccionalmente contı´nuas, limitadas e tais que
∫ ∞
−∞
| f (x)|dx < ∞ e
∫ ∞
−∞
|g(x)|dx < ∞.
Aplicando-se a transformada de Fourier nas condic¸o˜es iniciais em relac¸a˜o a varia´vel x
obtemos
uˆ(ω, 0) = fˆ (ω),
∂uˆ
∂t
(ω, 0) = gˆ(ω).
Substituindo-se t = 0 em (2) obtemos
fˆ (ω) = uˆ(ω, 0) = φˆ(ω) + ψˆ(ω).
Derivando-se (2) e substituindo-se t = 0 obtemos
gˆ(ω) = iaω(−φˆ(ω) + ψˆ(ω)).
Logo
ψˆ(ω) =
1
2
(
fˆ (ω) +
gˆ(ω)
iaω
)
,
φˆ(ω) =
1
2
(
fˆ (ω)− gˆ(ω)
iaω
)
.
27
Substituindo-se em (2) obtemos
uˆ(ω, t) =
1
2
(
fˆ (ω)− gˆ(ω)
iaω
)
e−iaωt +
1
2
(
fˆ (ω)− gˆ(ω)
iaω
)
e+iaωt.
Aplicando-se a transformada de Fourier inversa obtemos
u(x, t) =
1
2
( f (x− at) + f (x+ at)) + 1
2a
∫ x+at
x−at
g(y)dy.
que e´ a soluc¸a˜o de d’Alembert do problema de valor inicial.
4.3 Problema de Dirichlet no Semi-plano
Vamos considerar o problema de Dirichlet no semi-plano

∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= 0, x ∈ R, y > 0
u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
Vamos supor que existam a transformada de Fourier da soluc¸a˜o u(x, y) em relac¸a˜o
a varia´vel x e de suas derivadas
∂u
∂y
,
∂u
∂x
,
∂2u
∂x2
e
∂2u
∂y2
e
∫ ∞
−∞ | f (x)|dx < ∞. Ale´m disso
vamos supor que limx→±∞ |u(x, y)| = 0, limx→±∞
∣∣∣∣∂u∂x
∣∣∣∣ = 0. Enta˜o aplicando-se a
transformada de Fourier em relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o diferencial obtemos
−ω2uˆ(ω, y) + ∂
2uˆ
∂y2
(ω, y) = 0.
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, y) = c1(ω)e
−|ω|y + c2(ω)e|ω|y.
Como limω→±∞ uˆ(ω, y) = 0, enta˜o c2(ω) = 0. Vamos supor que exista fˆ (ω). Neste
caso, usando o fato de que uˆ(ω, 0) = fˆ (ω) obtemos que
uˆ(ω, y) = fˆ (ω)e−|ω|y.
Seja kˆ(ω, y) = e−|ω|y. Enta˜o
k(x, y) =
2y√
2pi
1
x2 + y2
28
e pelo Teorema da Convoluc¸a˜o (Teorema 13 na pa´gina 20) temos que
u(x, y) =
1√
2pi
( f ∗ k)(x, y) = y
pi
∫ ∞
−∞
f (t)
(x− t)2 + y2 dt. (3)
Pode-se provar que se f e´ contı´nua e limitada, enta˜o a expressa˜o dada por (3) define
uma func¸a˜o que satisfaz a equac¸a˜o de Laplace e
lim
y→0+
u(x, y) = f (x).
29
Exercı´cios (respostas na pa´gina 40)
4.1. Resolva o problema de valor inicial

∂u
∂t
+ 2
∂u
∂x
= g(x)
u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
4.2. Resolva o problema de valor inicial


∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
− γu
u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
Aqui γ e´ uma constante positiva.
4.3. Determine a temperatura como func¸a˜o da posic¸a˜o e do tempo de uma barra infi-
nita com uma fonte externa de calor, ou seja, resolva o problema de valor inicial


∂u
∂t
= α2
∂2u
∂x2
+ g(x)
u(x, 0) = f (x), x ∈ R.
4.4. Resolva a equac¸a˜o diferencial a seguir usando a transformada de Fourier
∂2u
∂t2
= a2
∂2u
∂x2
− 2α ∂u
∂t
− α2u, x ∈ R.
Aqui α e´ uma constante positiva.
30
5 Tabela de Transformadas de Fourier
Transformadas de Fourier Elementares
f (x) = F−1( fˆ )(x) fˆ (ω) = F ( f )(ω)
χ[0,a](x) =
{
1, 0≤ x< a
0, caso contra´rio
1√
2pi
1− e−iaω
iω
e−axu0(x) =
{
1, se x < 0
e−ax, se x ≥ 0
1√
2pi
1
a+ iω
, a > 0
1
x2 + a2
, para a > 0
√
2pi
2a
e−a|ω|
e−ax2 , para a > 0
1√
2a
e−
ω2
4a
f (ax), para a 6= 0 1|a| fˆ (
ω
a
)
x f (x) i
d fˆ
dω
(ω)
f ′(x) iω fˆ (ω)
∫ x
0 f (y)dy
fˆ (ω)
iω
f (x− a) e−iaω fˆ (ω)
eiax f (x) fˆ (ω − a)
fˆ (x) f (−ω)
( f ∗ g)(x) = ∫ ∞−∞ f (y)g(x− y)dy √2pi fˆ (ω).gˆ(ω)
31
6 Relac¸a˜o com a Se´rie de Fourier e a Transformada de
Fourier Discreta
Usando fo´rmula de Euler podemos escrever a se´rie de Fourier de uma func¸a˜o
f : [−L, L] → R seccionalmente contı´nua com derivada tambe´m seccionalmente
contı´nua como
f (x) =
a0
2
+
∞
∑
n=1
an cos
npix
L
+
∞
∑
n=1
bn sen
npix
L
=
a0
2
+
1
2
∞
∑
n=1
an
(
e
inpix
L + e−
inpix
L
)
+
1
2i
∞
∑
n=1
bn
(
e
inpix
L − e− inpixL
)
=
a0
2
+
1
2
∞
∑
n=1
(an − ibn)e inpixL + 1
2
∞
∑
n=1
(an + ibn)e
− inpixL
=
a0
2
+
1
2
∞
∑
n=1
(an − ibn)e inpixL + 1
2
−∞
∑
n=−1
(a−n + ib−n)e
inpix
L
=
∞
∑
n=−∞
cne
inpix
L ,
em que
cn =
1
2L
∫ L
−L
f (x)e−
inpix
L dx, para n = 0,±1,±2, . . .
pois
an =
1
L
∫ L
−L
f (x) cos
npix
L
dx para n = 0, 1, 2, . . .
bn =
1
L
∫ L
−L
f (x) sen
npix
L
dx, para n = 1, 2, . . .
Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que f (x) = 0, para |x| > L. Enta˜o
fˆ
(npi
L
)
=
1√
2pi
∫ L
−L
f (x)e−
inpix
L dx =
2L√
2pi
cn para n = 0,±1,±2, . . .
32
A transformada de Fourier discreta (DFT) de um vetor Y ∈ Cn e´ definida por
X = FNY,
em que
FN =
1
N


1 1 1 . . . 1
1 e−i2pi
1
N e−i2pi
2
N . . . e−i2pi
N−1
N
1 e−i2pi
2
N e−i4pi
4
N . . . e−i2pi
2(N−1)
N
...
...
...
...
1 e−i2pi
N−1
N e−i2pi
2(N−1)
N . . . e−i2pi
(N−1)(N−1)
N


(4)
Seja f : R→ R uma func¸a˜o tal que f (x) = 0, para |x| > L. Enta˜o
fˆ
(npi
L
)
=
1√
2pi
∫ L
−L
f (x)e−ipi
nx
L dx, para n = 0,±1, . . . , N
2
.
Podemos, agora, aproximar a integral por uma soma de Riemann dividindo o intervalo
[0, 2L] em N subintervalosde comprimento 2L/N, ou seja,
fˆ
(npi
L
)
≈ 1√
2pi
N/2−1
∑
k=−N/2
f
(
2kL
N
)
e−i2pi
kn
N
2L
N
=
=
2L
N
√
2pi
N/2−1
∑
k=−N/2
f
(
2kL
N
)
e−i2pi
kn
N =
=
2L
N
√
2pi
(
N/2−1
∑
k=0
f
(
2kL
N
)
e−i2pi
kn
N +
N−1
∑
k=N/2
f
(
2kL
N
− 2L
)
e−i2pi
kn
N
)
,
para n = 0, . . . , N2 − 1.
fˆ
(
(−N + n)pi
L
)
≈ 1√
2pi
N/2−1
∑
k=−N/2
f
(
2kL
N
)
e−i2pi
kn
N
2L
N
=
=
2L
N
√
2pi
N/2−1
∑
k=−N/2
f
(
2kL
N
)
e−i2pi
kn
N =
=
2L
N
√
2pi
(
N/2−1
∑
k=0
f
(
2kL
N
)
e−i2pi
kn
N +
N−1
∑
k=N/2
f
(
2kL
N
− 2L
)
e−i2pi
kn
N
)
,
para n = N2 , . . . ,N − 1.
33
Assim, definindo
X =
[
f (0) f
(
2L
N
)
. . . f
(
L− 2L
N
)
f (−L) f
(
−L+ 2L
N
)
. . . f
(
−2L
N
)]t
,
enta˜o
Y = FNX ≈
√
2pi
2
[
fˆ (0) fˆ
(pi
L
)
· · · fˆ
(
(
N
2
− 1)pi
L
)
fˆ
(
−N
2
pi
L
)
. . . fˆ
(
−pi
L
)]t
.
Calcular a transformada de Fourier discreta multiplicando-se pela matriz Fn tem
um custo computacional de N2 produtos. Este produto pode ser calculado ao custo de
N logN produtos usando um algoritmo chamado Transformada de Fourier Ra´pida
(FFT).
Exemplo 15. Seja f : R→ R dada por
f (x) =
{ |x| se − 1 < x < 1
0 caso contra´rio
enta˜o temos que
fˆ (ω) =


1√
2pi
2 a ω sen(a ω)+2 cos(a ω)−2
ω2
, se ω 6= 0
1√
2pi
, se ω = 0.
X = [ f (0) f
(
1
4
)
f
(
1
2
)
f
(
3
4
)
f (−1) f (− 34) f (− 12) f (− 14) ]t
= [ 0 14
1
2
3
4 1
3
4
1
2
1
4 ]
t
Y = FFT(X) = [ 0.5 −0.21 0.0 −0.037 0.0 −0.037 0.0 −0.21 ]t
≈
√
2pi
2L
[
fˆ (0) fˆ (pi) fˆ (2pi) fˆ (3pi) fˆ (−4pi) fˆ (−3pi) fˆ (−2pi) fˆ (−pi)
]t
.
34
 0.5
 1
-1 -0.5 0.5 1
x
y
Figura 8: Func¸a˜o do Exemplo 15
-0.5
 0.5
-4pi -3pi -2pi -pi pi 2pi 3pi
ω
y
Figura 9: Transformada de Fourier e a Transformada de Fourier Discreta da Func¸a˜o do
Exemplo 15
35
7 Respostas dos Exercı´cios
1. Definic¸a˜o e Propriedades (pa´gina 15)
1.1. (a)
f (x) = χ[−a,a](x)−
|x|
a
χ[−a,a](x) = χ[−a,a](x)−
1
a
(
−xχ[−a,0](x) + xχ[0,a](x)
)
= χ[−a,a](x)−
1
a
(
−xχ[0,a](−x) + xχ[0,a](x)
)
F (xχ[0,a](x))(ω) = i
dχ̂[0,a]
dω
(ω) =
i√
2pi
d
dω
(
1− e−iaω
iω
)
=
i√
2pi
−a ωe−i a ω − i(1− e−i a ω)
(iω)2
=
1√
2pi
i a ωe−i a ω + e−i a ω − 1
ω2
.
F (−xχ[0,a](−x))(ω) =
1√
2pi
−i a ωei a ω + ei a ω − 1
ω2
fˆ (ω) =
1√
2pi
(
2 sen(aω)
ω
− 1
a
(
i a ωe−i a ω + e−i a ω − 1
ω2
+
−i a ωei a ω + ei a ω − 1
ω2
))
=
1√
2pi
(
2 sen(aω)
ω
− 1
a
2 a ω sen (a ω) + 2 cos (a ω)− 2
ω2
)
=
2√
2pi
1− cos (a ω)
aω2
.
(b)
f (x) = sen(ax)χ[−b,b](x) =
(
eiax − e−iax
2i
)(
χ[0,b](−x) + χ[0,b](x)
)
.
F (χ[−b,b])(ω) =
1√
2pi
(
eibω − 1
iω
+
1− e−ibω
iω
)
=
2√
2pi
sen(bω)
ω
.
fˆ (ω) =
−i√
2pi
(
sen b(ω − a)
ω − a −
sen b(ω + a)
ω + a
)
(c) Seja g(x) = e−x2 . Enta˜o gˆ(ω) =
e−
ω2
4√
2
.
F (xe−x2)(ω) = i dgˆ
dω
(ω) = −iω e
−ω24
2
√
2
36
(d) Seja g(x) = e−x2 . Enta˜o gˆ(ω) =
e−
ω2
4√
2
.
F (x2e−x2)(ω) = − d
2 gˆ
dω2
(ω) =
e−
ω2
4
2
√
2
−ω2 e
−ω24
4
√
2
(e) Seja g(x) = e−axu0(x). Enta˜o gˆ(ω) =
1√
2pi
1
a+ iω
. Seja h(x) = eaxu0(−x).
Enta˜o, hˆ(ω) = gˆ(−ω) = 1√
2pi
1
a− iω .
F (e(a+ib)xu0(−x))(ω) = hˆ(ω − b) = 1√
2pi
1
a+ ib− iω .
2. Inversa˜o (pa´gina 19)
2.1. (a) Decompondo em frac¸o˜es parciais,
fˆ (ω) =
1
(2+ iω)(3+ iω)
=
A
2+ iω
+
B
3+ iω
,
encontramos que A = 1 e B = −1. Logo fˆ (ω) = 12+iω − 13+iω .
f (x) =
√
2pi
(
e−2x − e−3x
)
u0(x).
(b) Seja gˆ(ω) =
1
1+ iω
. Enta˜o
dgˆ
dω
(ω) = − i
(1+ iω)2
. Logo
f (x) = F−1(i dgˆ
dω
)(x) = xg(x) =
√
2pixe−xu0(x).
(c) Seja gˆ(ω) =
1
1+ ω2
. Enta˜o g(x) =
√
2pi
2
e−|x|.
f (x) = F−1(iωgˆ(ω))(x) = g′(x) = −
√
2pi
2
x e−|x|
|x| .
(d) Completando-se o quadrado:
fˆ (ω) =
1
ω2 + ω + 1
=
1
(ω + 12)
2 + 34
.
Logo
f (x) = e−i
x
2
√
2pi e−
√
3 |x|
2√
3
=
√
2pi e−
√
3 |x|+ix
2√
3
.
37
(e)
fˆ (ω) =
1
a+ ib− iω =
1
a− i(ω − b) .
h(x) = eibx
√
2pieaxu0(−x) =
√
2pie(a+ib)xu0(−x).
(f) O denominador pode ser visto como um polinoˆmio do 2o. grau em iω:
fˆ (ω) =
1
4−ω2 + 2iω =
1(
i ω −√3 i+ 1
) (
i ω +
√
3 i+ 1
) .
Decompondo em frac¸o˜es parciais
fˆ (ω) =
A
i ω +
√
3 i+ 1
+
B
i ω −√3 i+ 1.
temos que A = i
2
√
3
e B = − i
2
√
3
. Assim,
fˆ (ω) =
i
2
√
3
(
1
i (ω +
√
3) + 1
− 1
i (ω −√3) + 1
)
e
f (x) =
i
√
6pi
6
(
e−(1+
√
3i)x − e−(1−
√
3i)x
)
u0(x)
2.2. (a) Seja g(x) =
1
1+ x2
. Enta˜o gˆ(ω) =
√
2pi
2
e−|ω|.
fˆ (ω) = i
dgˆ
dω
(ω) = −i
√
2pi
2
ω e−|ω|
|ω| .
(b) Seja g(x) =
1
1+ x2
. Enta˜o gˆ(ω) =
√
2pi
2
e−|ω|, g′(x) = − 2 x
(x2 + 1)
2
, f (x) =
−1
2
g′(x) e
fˆ (ω) = − i
√
2piω
4
e−|ω|
3. Convoluc¸a˜o (pa´gina 23)
38
3.1. (a)
( f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
f (y)g(x− y)dy =
∫ ∞
0
e−ye−2(x−y)u0(x− y)dy
=
{
0, se x ≤ 0
e−2x
∫ x
0 e
ydy, se x > 0
= e−2x(ex − 1)u0(x).
(b)
( f ∗ g)(x) =
∫ ∞
−∞
f (y)g(x− y)dy =
∫ 1
−1
e−(x−y)u0(x− y)dy
=


0, se x ≤ −1
e−x
∫ x
−1 e
ydy, se − 1 < x ≤ 1,
e−x
∫ 1
−1 e
ydy, se x > 1
=


0, se x < −1,
e−x(ex − e−1), se − 1 ≤ x < 1
e−x(e− e−1), se x ≥ 1.
3.2. (a) Seja gˆ(ω) =
1
2+ iω
e hˆ(ω) =
1
3+ iω
.
fˆ (ω) = gˆ(ω)hˆ(ω).
Assim,
f (x) =
1√
2pi
(g ∗ h)(x),
em que g(x) =
√
2pie−2xu0(x) e h(x) =
√
2pie−3xu0(x). Logo
f (x) =
1√
2pi
∫ ∞
−∞
g(y)h(x− y)dy =
√
2pi
∫ ∞
0
e−2ye−3(x−y)u0(x− y)dy
=
√
2pie−3xu0(x)
∫ x
0
eydy =
√
2pie−3x(ex − 1)u0(x)
=
√
2pi
(
e−2x − e−3x
)
u0(x).
39
(b) Seja gˆ(ω) =
1
1+ iω
. Enta˜o g(x) =
√
2pie−xu0(x). Assim
f (x) =
1√
2pi
(g ∗ g)(x) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
g(y)g(x− y)dy
=
√
2pi
∫ ∞
0
e−ye−(x−y)u0(x− y)dy
=
√
2pixe−xu0(x).
(c) O denominador pode ser visto como um polinoˆmio do 2o. grau em iω:
fˆ (ω) =
1
4−ω2 + 2iω =
1(
i ω −√3 i+ 1
) (
i ω +
√
3 i+ 1
) .
Sejam
gˆ(ω) =
1
i (ω −√3) + 1, hˆ(ω) =
1
i (ω +
√
3) + 1
.
Enta˜o
g(x) =
√
2pie−(1−
√
3i)xu0(x), h(x) =
√
2pie−(1+
√
3i)xu0(x).
Assim
f (x) =
1√
2pi
(g ∗ h)(x) = 1√
2pi
∫ ∞
−∞
g(y)h(x− y)dy
=
√
2pi
∫ ∞
0
e−(1−
√
3i)ye−(1+
√
3i)(x−y)u0(x− y)dy
=
√
2pie−(1+
√
3i)x
∫ ∞
0
e2
√
3iyu0(x− y)dy
=
i
√
6pi
6
(
e−(1+
√
3i)x − e−(1−
√
3i)x
)
u0(x).
3.3. A equac¸a˜o pode ser escrita como
( f ∗ k)(x) = 1
x2 + 9
,
em que k(x) =
1
x2 + 4
. Aplicando-se a transformada de Fourier na equac¸a˜o ob-
temos √
2pi fˆ (ω).kˆ(ω) =
√
2pi
6
e−3|ω|.
40
Resolvendo esta equac¸a˜o obtemos
fˆ (ω) =
e−3|ω|
kˆ(ω)
=
4√
2pi
e−|ω|
Logo
f (x) =
4
pi
1
x2 + 1
.
4. Aplicac¸o˜es (pa´gina 29)
4.1. Aplicando-se a transformada de Fourier em relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o dife-
rencial obtemos
∂uˆ
∂t
(ω, t) + 2iωuˆ(ω, t) = gˆ(ω).
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, t) =
gˆ(ω)
2iω
+ c(ω)e−2iωt.
Vamos supor que exista fˆ (ω). Neste caso, usando o fato de que uˆ(ω, 0) = fˆ (ω)
obtemos que
uˆ(ω, t) = fˆ (ω)e−2iωt +
gˆ(ω)
2iω
(
1− e−2iωt
)
.
Seja kˆ(ω, t) = 1−e−2iωt2iω . Enta˜o
k(x, t) =
√
2pi
2
χ[0,2t](x)
e pelo Teorema da Convoluc¸a˜o temos que
u(x, t) = f (x− 2t) + (k ∗ g)(x, t)
= f (x− 2t) + 1
2
∫ 2t
0
g(x− y)dy
4.2. Aplicando-se a transformada de Fourier em relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o dife-
rencial obtemos
∂uˆ
∂t
(ω, t) = −α2ω2uˆ(ω, t)− γuˆ(ω, t).
41
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, t) = c(ω)e−(α
2ω2+γ)t.
Vamos supor que exista fˆ (ω). Neste caso, usando o fato de que uˆ(ω, 0) = fˆ (ω)
obtemos que
uˆ(ω, t) = fˆ (ω)e−(α
2ω2+γ)t.
Seja kˆ(ω, t) = e−(α2ω2+γ)t. Enta˜o
k(x, t) =
e−γt√
2α2t
e
− x2
4α2t
e pelo Teorema da Convoluc¸a˜o temos que
u(x, t) =
e−γt√
2pi
( f ∗ k)(x, t) = e
−γt
2
√
piα2t
∫ ∞
−∞
f (y)e
− (x−y)2
4α2t dy.
4.3. Aplicando-se a transformada de Fourier em relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o dife-
rencial obtemos
∂uˆ
∂t
(ω, t) = −α2ω2uˆ(ω, t) + gˆ(ω).
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, t) =
gˆ(ω)
α2ω2
+ c(ω)e−α
2ω2t.
Vamos supor que exista fˆ (ω). Neste caso, usando o fato de que uˆ(ω, 0) = fˆ (ω)
obtemos que
c(ω) = fˆ (ω)− gˆ(ω)
α2ω2
e
uˆ(ω, t) =
gˆ(ω)
α2ω2
+
(
fˆ (ω)− gˆ(ω)
α2ω2
)
e−α
2ω2t.
Sejam hˆ(ω) = − gˆ(ω)
α2ω2
e kˆ(ω, t) = e−α2ω2t. Enta˜o
k(x, t) =
1√
2α2t
e
− x2
4α2t
e h(x) e´ a soluc¸a˜o de
α2h′′(x) = −g(x).
42
Pelo Teoremada Convoluc¸a˜o temos que
u(x, t) = h(x) +
1√
2pi
(( f + h) ∗ k)(x, t)
= h(x) +
1
2
√
piα2t
∫ ∞
−∞
( f (y) + h(y))e
− (x−y)2
4α2t dy.
4.4. Aplicando-se a transformada de Fourier em relac¸a˜o a varia´vel x na equac¸a˜o dife-
rencial obtemos
∂2uˆ
∂t2
(ω, t) = −a2ω2uˆ(ω, t)− 2α ∂uˆ
∂t
(ω, t)− α2uˆ(ω, t).
Resolvendo esta equac¸a˜o diferencial obtemos que
uˆ(ω, t) = φˆ(ω)e(−α−iaω)t + ψˆ(ω)e(−α+iaω)t
= e−αt(φˆ(ω)e−iaωt + ψˆ(ω)e+iaωt).
e pelo Teorema da Translac¸a˜o temos que
u(x, t) = e−αt(φ(x− at) + ψ(x+ at)).
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