AD1-Questão 1-2020-2-Gabarito de MTD1

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Gabarito da Questão 1 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2020-2
Texto introdutório.
Questão 1 (2,5 pontos) Um clube tem 1000 associados, dos quais 800 praticam algum esporte
no clube, sendo estes esportes futebol, basquete e vôlei. Sabe-se que metade dos associados pratica
futebol no clube, e a outra metade não. Como os jogos de futebol e vôlei acontecem no mesmo
horário, nenhum associado pratica ambos os esportes. Metade dos associados que praticam vôlei,
praticam também outro esporte. O número de associados que praticam tanto basquete quanto fute-
bol é o dobro dos que praticam tanto basquete quanto vôlei. Se futebol tem 75 praticantes a mais
que basquete, quantos associados praticam vôlei?
Solução: Vamos representar o conjunto U dos associados do clube, e os conjuntos F , B e V de
quem pratica futebol, basquete e vôlei, respectivamente.
Como 800 dos 1000 associados praticam esportes, temos 200 associados em U fora da união F∪B∪V .
Como ninguém pratica ambos futebol e vôlei, logo suas interseções serão vazias, o que representare-
mos atribuindo 0 associados a estas interseções.
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 1 da AD 1 – 2020-2 2
Metade dos associados que pratica vôlei, pratica também outro esporte, que só pode ser basquete,
já que ninguém pratica vôlei e futebol. Assim, chamando de x aos que praticam vôlei e basquete,
os praticantes de vôlei serão 2x, logo os que só praticam vôlei serão 2x − x = x. O número dos
associados que praticam basquete e futebol é o dobro dos que praticam basquete e vôlei (x); assim,
2x associados praticam basquete e futebol. Até aqui, temos o seguinte diagrama:
Sabemos que metade dos associados pratica futebol, ou seja, 500 associados praticam futebol. Como
2x praticam também basquete, temos que 500− 2x associados só praticam futebol.
Outros 500 associados não praticam futebol, dos quais já sabemos que 200 não praticam esporte
algum (o pessoal da piscina e cervejinha!). Assim, 300 praticam vôlei ou basquete, mas não futebol.
Já sabemos que, destes, x praticam só vôlei e x praticam vôlei e basquete, logo 300− 2x praticam
só basquete. Teremos então o diagrama abaixo:
Podemos agora somar todos os valores obtidos e igualar a 1000? Podemos, mas não irá ajudar, já
que todos as variáveis x irão se cancelar! Então, o que faremos?
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Observe a última informação do problema, onde é dito que futebol tem 75 praticantes a mais que
basquete. Sabemos que basquete possui (300 − 2x) + x + 2x = 300 + x praticantes. Além disso,
futebol tem 500 praticantes. Assim, como futebol tem 75 praticantes a mais que basquete, temos
500 = 300− x+ 75 ∴ 500− 300− 75 = x ∴ x = 125.
Assim, temos o diagrama completo abaixo:
Com isso, o número de praticantes de vôlei é 125 + 125 = 250.
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