Equacoes_Diferenciais

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18/11/2011
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Equações Diferenciais
(Chiang e Wainwright – Capítulos 15 e 16)
Considere o seguinte exemplo simples de uma equação de
capitalização mensal de um valor y(t) a uma taxa de juros
constante r (que é uma equação a diferença linear de 1ª ordem, já
analisada):
ou
ou 
ou 
( ) ( ) ( )y t 1 y t . 1 r+ = +
( ) ( ) ( )y t 1 y t y t .r+ = +
( ) ( ) ( )y t 1 y t y t r+ − =
( ) ( )y t 1 y t r∆ + =
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Se supusermos que essa mesma taxa de juros pode ser aplicada a
qualquer fração ∆t do mês, temos que:
ou
ou 
( ) ( ) ( )y t t y t . 1 t.r+ ∆ = + ∆
( ) ( ) ( )y t t y t y t t.r+ ∆ − = ∆
( ) ( ) ( )y t t y t y t .r
t
+ ∆ −
=
∆
Calculando o limite para , temos que:
ou
Essa expressão é um exemplo do que se denomina uma equação 
diferencial ordinária
( ) ( ) ( ) ( )
t 0
y t t y t dy t
Lim y t .r
t dt∆ →
+ ∆ − 
= = ∆ 
t 0∆ →
( ) ( )y t y t .r=ɺ
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Calculando o limite para , temos que:
ou
Essa expressão é um exemplo do que se denomina uma equação 
diferencial ordinária
Resolver essa equação diferencial é obter a especificação da 
função y(t) que satisfaz essa mesma equação.
( ) ( ) ( ) ( )
t 0
y t t y t dy t
Lim y t .r
t dt∆ →
+ ∆ − 
= = ∆ 
t 0∆ →
( ) ( )y t y t .r=ɺ
No exemplo analisado a obtenção da solução é
relativamente fácil, dado que:
Portanto,
ou
( )
( )
y t dLn[y(t)]
r
y t dt
= =
ɺ
( )dLn[y(t)] dt r dt
dt
 
= 
 
∫ ∫
( ) 1 2Ln y t c r.t c+ = +  
( ) ( )y t y t .r=ɺ
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ou 
onde c = c2 – c1 é arbitrário
ou
ou
com arbitrário
( )Ln y t r.t c= +  
( ) r.t c r.t cy t e e .e+= =
( ) r.ty t A.e= cA e=
Definições:
Equação Diferencial Ordinária: relação que envolve a
derivada de uma função desconhecida de uma variável e a
própria função [y(t)], ou seja, .
Exemplos: 
OBS.: Se dizemos que a equação diferencial é
autonôma.
( )y(t) F y(t), t=ɺ
( ) ( )y t 2.y t=ɺ
( ) ( ) 2y t y t=   ɺ
( ) ( )2y t t .y t=ɺ
( )y(t) F y(t)=ɺ
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Todas as equações vistas até agora são denominadas de
Primeira Ordem, pois envolvem apenas a derivada primeira da
função desconhecida y(t).
Se a equação diferencial envolver derivadas de até i-ésima
ordem da função y(t), então diz-se que a equação diferencial é
de i-ésima ordem.
Uma classe particular de equações diferenciais é constituída
pelas Equações Diferenciais Lineares de n-ésima ordem, com
coeficientes constantes, definidas genericamente por:
Equações Diferenciais Lineares de n-ésima ordem, com 
coeficientes constantes:
(1)
onde y(i) representa a derivada de ordem i da função
desconhecida y, variável com o tempo t, a0, a1, ..., an são
parâmetros constantes e g(t) uma dada função conhecida.
A equação diferencial
(2)
é denominada de equação diferencial homogênea correspon-
dente à equação (1) acima
(n) (n 1) (1)
0 1 n 1 na y a y ........ a y a y g(t)− −+ + + + =
(n) (n 1) (1)
0 1 n 1 na y a y ........ a y a y 0
−
−
+ + + + =
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Resultados Básicos para equações diferenciais 
lineares com coeficientes constantes:
Teorema 1: Se y(t) é uma solução para a equação diferencial
homogênea (2) acima, então A.y(t) também é uma solução
de (2), onde A é qualquer constante arbitrária
Teorema 2: Se y1(t) e y2(t) são duas soluções distintas (ou seja,
linearmente independentes) da equação diferencial
homogênea (2), então y´(t) = A1y1 (t) + A2y2 (t) também é
uma solução da mesma equação, onde A1 e A2 são duas
constantes arbitrárias
Teorema 3: A solução geral da equação diferencial homogênea 
(2) é dada por:
onde as funções y1(t), y2(t), ..., yn(t) são n soluções distintas 
ou linearmente independentes daquela equação, e A1, A2, 
..., An são constantes arbitrárias.
( )1 2 n 1 1 2 2 n ny t, A , A ,..., A A y (t) A y (t) ..... A y (t)= + + +
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Teorema 4: Se é alguma solução particular da equação
diferencial (1) acima e é a solução
geral da sua equação homogênea correspondente, então a
solução geral de (1) pode ser obtida por:
y(t)
( )1 ny(t) y(t) y t,A ,..., A= +
( )1 2 ny t, A , A ,..., A
Dada qualquer equação diferencial linear de ordem n:
(3)
Pode-se resolve-la através dos seguintes passos:
1º Passo: Impondo-se g(t) = 0, obtem-se a solução geral da sua 
equação homogênea correspondente , a 
partir das n soluções que podem ser encontradas propondo-se a 
especificação genérica . 
Método Geral de Solução de Equações 
Diferenciais Lineares com coeficientes constantes
1 ky(t) y(t, A ,..., A )=ɶ
(n) (n 1) (1)
0 1 n 1 na y a y ........ a y a y g(t)− −+ + + + =
ty(t) eλ=
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2º Passo: Encontrar uma solução particular da equação 
analisada (3), através do seguinte procedimento geral:
Propõe-se como especificação de , a mesma especifica-
ção da função g(t). Por exemplo:
• Se g(t) = c propõe-se 
• Se g(t) = a + bt propõe-se 
• Se g(t) = aet propõe-se
Obs.: Se, devido aos valores dos parâmetros, a função proposta não funcionar, sim-
plesmente modifica-se a especificação da função proposta, multiplicando-a por t 
y(t)
y(t)
y(t) = µ
y(t) t= α + β
ty(t) e= α
3º Passo: Soma-se as duas soluções encontradas nos dois passos 
anteriores para obter a solução geral da equação analisada (3):
4º Passo: Se as n condições iniciais y(0) = v0, y(1) = v1, ........,
y(n-1) = vn-1 forem conhecidas, calcula-se a solução específica
da equação analisada (3), obtendo-se os valores dos n parâme-
tros arbitrários envolvidos em . Isso é feito calculando-
se os valores de A1, ..., Ak, através do sistema de k equações
definidos por:
vo = y(t=0) ; v1 = y(t=1) ; .......; vk-1 = y(t=n-1) 
y(t) y(t) y(t)= +ɶ
y(t)ɶ
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Caso de Equação diferencial de 1ª ordem:
1) Solução geral da homogênea correspondente: 
Proposta: 
Então, λ deve ser tal que: 
ou ou
Logo com A arbitrário
t ty 0,5y 3 2t− = +ɺ
t ty 0,5y 0− =ɺ
ty(t) eλ=ɶ
t t
.e 0,5.e 0λ λλ − =
( )te 0,5 0λ λ − = 0,5λ =
0,5ty(t) A.e=ɶ
2) Solução particular de 
Dado que g(t) = 3 + 2t, propõe-se 
Então, α e β devem ser tais que: 
ou para todo t 
Logo, se t =0, e se t = 1, 
Portanto, e 
3) Solução Geral Final: 
t ty 0,5y 3 2t− = +ɺ
y(t) t= α + β
( )0,5 t 3 2tβ − α + β = +
( ) ( )0,5. 3 0,5. 2 t 0β − α − − β + =
( )0,5. 3 0β − α − = 0,5. 2 0β + =
4 e 14β = − α = − y(t) 14 4t= − −
( ) 0,5ty(t) 14 4t A.e= − + +
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Caso de Equação diferencial de 2ª ordem:
1) Solução geral da homogênea correspondente: 
Proposta: 
Então, λ deve ser tal que: 
ou cujas raízes são e 
Logo com A1 e A2 arbitrários
t t ty y 2y 10+ − = −ɺɺ ɺ
t t ty y 2y 0+ − =ɺɺ ɺ
ty(t) eλ=ɶ
2 t t t
.e .e 2.e 0λ λ λλ + λ − =
( )t 2e 2 0λ λ + λ − = 1 1λ =
t 2t
1 2y(t) A .e A .e−= +ɶ
2 2λ = −
2) Solução particular de 
Dado que g(t) = -10, propõe-se 
Então, µ deve ser tal que: 
ou Logo para todo t 
3) Solução Geral Final: 
Finalmente, vamos supor as seguintes duas condições 
iniciais para t = 0: 
y(t) = µ
2. 10− µ = −
5µ =
t 2t
1 2y(t) 5 A .e A .e−= + +
t t ty y 2y 10+ − = −ɺɺ ɺ
y(t) 5=
y(t 0) 12 e y(t 0) 2= = = = −ɺ
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Temos que: 
e 
Com solução 
Portanto, a solução específica final é dada por
Podemos constatar que essa variável apresenta uma trajetória 
não convergente, mas explosiva com y(t) tendendo a infinito. 
t 2ty(t) 5 4.e 3.e−= + +
1 2y(0) 5 A A 12= + + =
1 2y(0) A 2.A 2= − = −ɺ
1 2A 4 e A 3= =
Exemplos de Equação Diferencial de 
Primeira Ordem
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Exemplo1: Dinâmica de Ajustamento de Preço
Mercado de um produto: 
 
d
t tQ a bP com b 0= − > 
 
 
o
t tQ c dP com d 0= + > 
 
 
Dinâmica do Preço fora do equilíbrio: 
 
( )t d ot tdPdt Q Q com 0= α − α > 
Equação reduzida: 
 
( ) ( ) ( )t t t tdPdt a bP c dP a c b d P= α − − − = α − − α + 
ou 
( ) ( )t tP b d P a c+ α + = α −ɺ 
 
Solução Particular (com especificação P(t) = µ): 
 
( ) ( ) a cb d a c ou
b d
−
α + µ = α − µ =
+
 
 
Logo, a cP(t)
b d
−
=
+
 
OBS.: Note que essa solução corresponde ao preço de equilíbrio do
mercado P*.
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Solução Geral da homogêneo correspondente: 
 
( )b d tP(t) Ae−α +=ɶ 
 
Solução Geral da equação analisada: 
 
( )b d tP(t) P(t) P(t) P Ae−α +∗= + = +ɶ 
Supondo um dado P(0) para t = 0, tem-se que: 
 
P(0) P A∗= + ou A P(0) P∗= − 
 
Portanto, a solução final que queremos é dada por: 
 
( ) ( )b d tP(t) P P 0 P e−α +∗ ∗ = + −  
 
OBS.: Como por hipótese ( )b d 0−α + < , o equilíbrio é estável. Ou 
seja, para qualquer ( )P 0 , tem-se que o preço de mercado 
converge para P∗ quando t → ∞ . 
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Po 
P* 
Po 
Pt Pt 
Qt t 
D 
O 
Outras possibilidades: supondo agora que por alguma razão 
(economias de escala ou economias externas), 
a curva de oferta desse mercado seja 
negativamente inclinada, (ou seja, o parâmetro 
d 0< ). 
 
Dois casos possíveis: 
 
a) d b< , que implica em ( )b d 0−α + < ; 
 
b) d b> , que implica em ( )b d 0.−α + > 
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Hipótese a: d b< 
 
 
 
 
Po 
P* 
Po 
Pt Pt 
Qt 
O 
D 
Hipótese b: d b> 
 
 
Po 
P* 
Po 
Pt Pt 
Qt 
D 
O 
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Exemplo 2: Modelo de Crescimento Neoclássico
de Solow (1956)
• Função de Produção: ( ),Y F K L= com produtividades 
marginais positivas e decrescentes e 
retornos constantes a escala; 
 
• Poupança: sY onde s é uma constante; 
 
• Capital sem depreciação: dK K I
dt
= =ɺ 
 
• Oferta da força de trabalho: 0
ntL L e= 
 
• Condição de Equilíbrio: S I= 
Algumas Relações Básicas do Modelo:
a) Função de Produção com retornos constantes a escala: 
 
( ) ( ). . , . , .Y F K L F K Lλ λ λ λ= = 
ou 
( ),1Y KF f r
L L
 
= = 
 
 
(1) 
 
onde Kr
L
= e ( )f r é a função de produção unitária (Produto Médio 
por unidade de Trabalho). 
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b) Equilíbrio no mercado de bens 
 
 Definindo k como a relação Capital/Produto marginal: 
 
dK
Kdtk dY Y
dt
= =
ɺ
ɺ
 
Temos que 
I S sYk
Y Y Y
= = =
ɺ ɺ ɺ
 
 
Ou, a relação básica de crescimento com equilíbrio no mercado 
de bens: 
Y s
Y k
=
ɺ
 
Equilíbrio geral de pleno emprego (o chamado crescimento 
balanceado, ou o equilíbrio de Steady-State): 
 
Y s
n
Y k
= =
ɺ
 (2) 
 
Mas se a economia cresce à taxa n, então o capital também deve 
crescer a essa mesma taxa, ou seja: 
 
K Y
n
K Y
= =
ɺ ɺ
 ou seja K K k
Y Y
= =
ɺ
ɺ
 
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Portanto, temos a seguinte relação fundamental de equilíbrio de 
steady-state do modelo de Solow:. De (2) acima tem-se que: 
 
s Kk
n Y
= = 
 
Substituindo em (1) acima, tem-se que: 
 
( ).
s K
n L f r= 
 
Ou finalmente que: 
 
( ). .s f r n r= 
 
( )sf r 
nr 
*
r r 
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Condições de Existência do Equilíbrio de Longo Prazo (Inada 1963)
 
( )2sf r 
nr 
1( )sf r 
r 
( ) ( )0 0
r
f e Lim f r
→∞
= = ∞ 
( ) ( )´ 0 ´ 0
r
f e Lim f r
→∞
= ∞ = 
OBS.: A segunda função de produção é tal que ( )2 0 nf s′ < 
Análise da Estabilidade do Equilíbrio:
Dado que 
0
nt
K K
r
L L e
= = ou 0.
ntK r L e= 
 
Supondo que todas as variáveis são funções contínuas na variável 
tempo, tem-se que a derivada é: 
 
0 0. . .
nt ntK r L e r n L e= +ɺ ɺ 
 
Mas por outro lado, temos que: 
 
( ) ( ) 0. . . . ntK I S sY s L f r s f r L e= = = = =ɺ 
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Logo 
( ) 0 0 0. . . . .nt nt nts f r L e r L e r n L e= +ɺ 
 
ou, 
 
( ). .s f r r r n= +ɺ 
 
Ou, finalmente: 
 
( ). .r s f r r n= −ɺ 
 
( )sf r 
nr 
*
r r 1r 
( )1 1sf r nr> ( )2 2sf r nr< 
2r 
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Resolução analítica:
Vamos supor que a função de produção é do tipo Cobb-Douglas: 
 
( ) 1,F K L K Lα α−= 
 
Nessa função tem-se que: 
 
( )
1Y K L K
r f r
L L L
αα α
α
−
 
= = = = 
 
 
 
Portanto, a equação diferencial reduzida do modelo de Solow fica 
sendo: 
 
. .r s r r nα= −ɺ (3) 
Problema: equação diferencial não linear de complexa resolução
Solução alternativa: redefinir a equação em termos de k
1
1
1
K K Kk r
Y K L L
α
α
α α
−
−
−
     
= = = =     
     
 
 
Derivando essa expressão com relação ao tempo temos que: 
 
( )1 . .k r rαα −= −ɺ ɺ ou ( ) .1
k
r r
α
α
−
=
−
ɺ
ɺ
 
 
Mas multiplicando-se a expressão (3) acima por r α− , tem-se que: 
 
1
. . .r r s n r s n kα α− −= − = −ɺ 
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Logo 
 
( ) .1
k
s n k
α
= −
−
ɺ
 
Ou, finalmente 
 
( ) ( )1 1k n k sα α+ − = −ɺ 
 
que é uma equação diferencial linear não homogênea de fácil 
resolução 
Solução Particular: (com especificação ( )k t µ= ) 
 
( ) ( )1 1n sα µ α− = − 
Ou 
( ) sk t
n
µ= = 
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Solução Geral da equação homogêneo correspondente: 
 
( )1( ) . n tk t A e α− −=ɶ 
 
Logo, a solução geral que procuramos é dada por: 
 
( )1( ) . n t sk t A e
n
α− −
= + 
Supondo que para t = 0, ( )0k é um dado valor conhecido: 
 
( )0 sk A
n
= + ou ( )0 sA k
n
= − 
Portanto, 
 
( )1( ) (0) . − − = − +  
n ts sk t k e
n n
α
 
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Sabendo-se que ( ) 11r k α  − = , temos então finalmente que: 
 
( ) ( )
1
11 1( ) (0) n ts sr t r e
n n
α
α α
 
 
− 
− − −
  
= − +    
 
 
Nesta solução, dado que n 0> e 0 1< α < , tem-se que a relação 
capital/trabalho r(t) converge para um equilíbrio estacionário *r , 
quando t → ∞ , equilíbrio esse dado por: 
 
1
1
* s
r
n
α
 
 
−  
=  
 
 
Exemplos de Equação Diferencial 
de Segunda Ordem
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Exemplo 1: Função Utilidade Esperada de Von Neumann e
Morgenstern
Na moderna teoria neoclássica de escolha dos indivíduos sob condições de risco e 
incerteza, supõe-se que os mesmos escolhem Loterias, definida por: 
 
 
{ }i i i i i ii 1 1 2 2 n nL p : x ; p : x ; ....; p : x= 
onde 
 
 
i
jx = valor do prêmio alternativo j, que pode ser obtido na loteria i; 
 
i
jp = probabilidade de ganhar o prêmio 
i
jx , da loteria i. 
 
 
sob o pressuposto de que cada indivíduo possui e utiliza para isso uma Função Utilidade 
Esperada de Von Neumann e Morgenstern, definida por: 
 
( ) ( )n i ii j j
j 1
EU L p U x
=
=∑ 
 
Indivíduo Avesso a Risco
 
x1 x2 
U(x)
1 2EU(L) pU(x ) (1 p)U(x )= + −
1U(x )
2U(x )
U(EX)
EX = px1 + (1-p)x2 
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T1 T2 
iU (T)
i i i
1 2
iEU (L) pU (T ) (1 p)U (T ) U (ET)= + − =
i
1U (T )
i
2U (T )
ET = pT1 + (1-p)T2 
Indivíduo Neutro ao Risco
 
 
T1 T2 
iU (T)
i i i
1 2EU (L) pU (T ) (1 p)U (T )= + −
i
1U (T )
i
2U (T )
iU (ET)
ET = pT1 + (1-p)T2 
Indivíduo Amante do Risco
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Medida do Grau de Aversão ao Risco
Medida de Aversão Absoluta ao Risco de Arrow e Pratt: 
 
2
2
d U(x)
U (x)dx
dU U (x)
dx
′′
σ = − = −
′
 
 
Essa medida corresponde à elasticidade da utilidade marginal U´(x) à 
variação do valor do prêmio x ou, em termos matemáticos, ao grau de 
curvatura da função U(x). 
Exemplos de funções com diferentes graus de aversão ao risco
 
1U (x)
2U (x)
1 2σ > σ
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Questão: Qual a especificação da função utilidade U(x) que apresenta 
uma medida Arrow-Pratt de aversão ao risco constante? 
 
Resposta: Resolver a equação diferencial homogênea de 2ª ordem: 
 
U (x)
a
U (x)
′′
σ = − =
′
 ou U (x) aU (x) 0′′ ′+ = 
 
Solução Geral: considerando-se que tU(x) eλ= ,. é necessário que: 
 
2t te a e 0λ λλ + λ = ou ( )t 2e a 0λ λ + λ = 
 
Portanto, 1 20 e aλ = λ = − 
Logo a solução geral é: 
 
0x ax 2
1 2 1 ax
AU(x) A e A e A
e
−
= + = + 
 
Obs.: Para que ela atenda as hipóteses econômicas, é necessário 
at
2U (x) aA e 0−′ = − > , ou seja, 2A necessita ser uma constante 
com valor negativo 
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Exemplos: A1 = 500; A2 = -400 e σ = 0,05 e 0,1
 
In[40]:= Plot@500−400ê Exp@0.05∗xD, 8x, 0, 40<,
PlotRange → 80, 500<D
10 20 30 40
100
200
300
400
500
Out[40]= � Graphics �
 
In[36]:= Plot@500−400ê Exp@0.1∗xD, 8x,0, 40<,
PlotRange → 80, 500<D
10 20 30 40
100
200
300
400
500
 
In[36]:= Plot@500−400ê Exp@0.1∗xD, 8x,0, 40<,
PlotRange → 80, 500<D
10 20 30 40
100
200
300
400
500
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Exemplo 2: Movimento de uma Mola
Mola espiral fixada num suporte qualquer: 
 
• em relação à sua posição de repouso ou de equilíbrio, essa mola é 
distendida numa distância y; 
 
• sobre essa mola atuam as duas seguintes forças: 
 
a) a força aplicada para distender essa mola até a distância y, força 
essa que é proporcional a essa distância; 
 
b) a chamada Força de Atrito da mola com o ambiente (inicialmente 
considerado como sendo o ar), que também irá exercer resistência 
para que a mola volte para a sua posição de equilíbrio. Essa força 
é proporcional à velocidade de deslocamento da mola. 
 
 
 
0 
y 
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Sobre a mola atua uma força total restauradora da sua posição original, e 
em sentido contrário, dada por: 
 
( )F y,y by cy′ ′= − − 
 
• Lei de Newton do movimento: a força sobre um corpo em 
deslocamento é dado por F m.y′′= , ou seja, pelo produto da sua 
massa e da sua aceleração: 
 
Logo 
my by cy 0′′ ′+ + = 
Solução Geral: considerando-se que ty(t) eλ= , temos: 
 
 
( )2 t t t t 2m e b e ce 0 ou e m b c 0λ λ λ λλ + λ + = λ + λ + = 
 
 
As raízes da equação características entre parênteses são dadas por: 
 
 
2
1 2
b b 4mc
,
2m 2m
−λ λ = − ± 
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Dois Casos possíveis: 
 
Caso 1: o coeficiente de atrito b é suficientemente pequeno para tornar 
2b 4mc 0− < , ou seja, para resultar em duas raízes complexas 
conjugadas; 
 
Caso 2: a mola está mergulhada num líquido bem viscoso, onde o 
coeficiente de atrito b é “grande” de modo a tornar 
2b 4mc 0− ≥ , ou seja, para resultar em uma ou duas raízes 
reais distintas. 
Caso 1: 1 2i e iλ = α + β λ = α − β onde 
2b 4mc b
e
2m 2m
−
α = − β = 
 
Nesse caso, a solução geral é dada por: 
 
( ) ( )i t i t
1 2y(t) A e A eα+ β α− β= + 
ou 
( )t i t t i t t i t i t1 2 1 2y(t) A e e A e e e A e A eα β α − β α β − β= + = + 
 
E usando a transformação conhecida por Fórmula de Euler: 
 
i te cos( t) isen( t)β = β + β 
Temos que 
 
( ) ( )t 1 2y(t) e A cos( t) isen( t) A cos( t) isen( t)α= β + β + β − β   
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Escolhendo as constantes arbitrárias 1 2A a ib e A a ib= + = − temos que 
 
( )( ) ( )( )ty(t) e a ib cos( t) isen( t) a ib cos( t) isen( t)α= + β + β + − β − β   
 
ou 
[
]
ty(t) e a cos( t) aisen( t) ibcos( t) bsen( t)
a cos( t) aisen( t) ib cos( t) bsen( t)
α
= β + β + β − β +
β − β − β − β 
ou 
( ) ( )t 1 2y(t) e C cos t C sen tα= β + β   com 1 2C 2a e C 2b= = − 
 
Logo, 
( ) 2 2b t2m
1 2
4mc b 4mc by(t) e C cos t C sen t
2m 2m
−
    
− −
    = +
        
 
Resultado é o esperado: quando o coeficiente de atrito é pequeno 
(como o do ar), a soltura da mola provocará movimentos 
periódicos de compressão e distensão, com amplitudes 
cada vez menores, até a completa imobilização na sua 
posição original de repouso ou de equilíbrio (y* = 0). 
 
 
No limite de um experimento teórico de ausência completa de atrito (b = 
0), teríamos o seguinte resultado de movimento perpétuo da mola numa 
amplitude constante: 
 
1 2
c cy(t) C cos .t C sen .t
m m
    
= +    
     
 
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Para ilustrar graficamente este caso, considere os seguintes parâmetros: 
b = 1; c = 0,5; e m = 10. Nesse caso, temos que a equação fica sendo: 
 
( )1 t20
1 2
19 19y(t) e C cos t C sen t
20 20
−     
= +    
     
 
 
Supondo-se que ( )y t 0 2= = e ( )y t 0 0,01′ = = , temos que: 
 
( ) ( )1 2 1y(0) C cos 0 C sen 0 C 2= + = = 
 
e, dado que: 
( )1 t20
1 2
1 19 19 19 19y (t) e C sen t C cos t
20 20 20 20 20
−     
′ = − +    
     
 
temos que: 
( ) ( )1 2 21 19 19 19y (0) C sen 0 C cos 0 C 0,0120 20 20 400
 
′ = − + = − = 
 
 
 
Ou seja, 2C 1−≃ 
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Portanto, temos a equação: 
 
( )1 t20 19 19y(t) e 2cos t sen t
20 20
−     
= −    
     
 
 
In[1]:= y@t_D := Exp@H−1ê20L tD ∗
H2 Cos@HH19^0.5Lê 20L tD−Sin@HH19^0.5Lê20L tDL
In[3]:= Plot@y@tD, 8t,0,100<,PlotRange → 82, −2<D
20 40 60 80 100
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
 
Se diminuirmos o valor do coeficiente de atrito para b = 0,01, tem-se 
agora o seguinte: 
 
In[8]:= y@t_D := Exp@H−0.01ê20L tD ∗
H2 Cos@HH19^0.5Lê20L tD−Sin@HH19^0.5Lê20L tDL
In[10]:= Plot@y@tD, 8t,0, 100<, PlotRange → 8−2.5, 2.5<D
20 40 60 80 100
-2
-1
1
2
 
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Para que nesse último caso possa ser percebido algum amortecimento do 
movimento da mola, é necessário aumentar o tempo t decorrido 
 
In[8]:= y@t_D := Exp@H−0.01ê20L tD ∗
H2 Cos@HH19^0.5Lê 20L tD− Sin@HH19^0.5Lê20L tDL
In[16]:= Plot@y@tD, 8t, 0, 400<, PlotRange → 8−2.5, 2.5<D
100 200 300 400
-2
-1
1
2
 
Caso 2: 2b 4mc 0∆ = − ≥ 
 
Considerando-se inicialmente o caso em que 0∆ > ou que 1 2eλ λ são 
números reais e distintos, tem-se a seguinte solução geral da equação 
analisada: 
 
1 2t t
1 2y(t) A e A eλ λ= + 
 
Para analisar o comportamento dessa função, podemos verificar que as 
raízes 1 2eλ λ são negativas: 
 
2 2 2
1 2
b b 4mc b b 4mc
,
2m 2m
− ± − − ± −λ λ = = 
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Conclusão: y(t) converge monotonicamente para zero, ou seja, o 
coeficiente de atrito é tão grande que a mola não irá ficar 
oscilando. Ela irá diretamente da posição distendida até a 
sua posição de repouso 
 
 
Gráfico para: b = 5, A1 = A2 = 1, e os mesmos anteriores para os outros
parâmetros e condições iniciais. Agora tem-se que: 
 
1 2
6 36 20
,
20
− ± −λ λ = ou 1 20,5 e 0,1λ = − λ = − 
 
1 2y(0) A A 2= + = 
1 2y (0) 0,5A 0,1A 0,01′ = − − = 
 
que implicam em A1 = - 0,525 e A2 = 2,525 
Logo 
0,5t 0,1ty(t) 0,525e 2.525e− −= − + 
 
In[17]:= y@t_D = −0.525∗Exp@−0.5 tD +2.525∗Exp@−0.1 tD
In[20]:= Plot@y@tD, 8t, 0,50<, PlotRange → 8−2.1, 2.1<D
10 20 30 40 50
-2
-1
1
2
 
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Métodos Específicos de Soluções de 
Equações Diferenciais Específicas
Equações Lineares com Coeficientes Variáveis
Caso Homogêneo:
Dado que 
Tem-se que 
ou ou
ou 
y(t) a(t)y(t)=ɺ
y(t)
a(t)
y(t) =
ɺ
0
t
t
y(t) dt a(s)ds
y(t)
 
= 
 
∫ ∫
ɺ
0
t
t
Ln[y(t)] C a(s)ds+ = ∫
0
t
t
Ln[y(t)] a(s)ds C= −∫
t t
t t0 0
a (s)ds C a(s)ds C
Cy(t) e e Ae
   
   
− −
      
−   
∫ ∫
= =
−
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Caso Não Homogêneo:
Multiplicando ambos os lados por: 
Tem-se que 
ou 
y(t) a(t)y(t) b(t)= +ɺ
t
t0
a(s)ds
e
 
 
−
  
 
∫
t t t
t t t0 0 0
a (s)ds a (s)ds a(s)ds
y(t).e a(t).y(t).e b(t).e
     
     
− − −
          
     
∫ ∫ ∫
− =ɺ
t
t
t0
t0
a (s)ds
a (s)ds
dy(t).e b(t).e
dt
 
   
−   
−      
 
∫
∫
=
ou
ou 
t t
t t0 0
0
a(s)ds a (u )dut
t
y(t).e C b(s).e ds
   
   
− −   
   
   
∫ ∫
+ = ∫
t t
t t0 0
0
a (u)du a (s)dst
t
y(t) b(s).e ds C .e
   
   
−   
   
   
 
∫ ∫ 
= − 
 
  
∫
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Equações Diferenciais Separáveis
Definição: Diz-se que uma equação diferencialé separável se 
Exemplos: 
[ ]y(t) F y(t), t=ɺ
[ ] [ ]F y(t), t g y(t) .h(t)=
( )2 2y(t) y(t) . t t= +ɺ
y(t ) ty(t) e e=ɺ
( )y(t) 1y(t)
t
+
=ɺ
Resolução: 
Dado que 
Usa-se o artifício de considerar a derivada como se 
fosse uma razão dos diferenciais de y e de t, separando-se a 
equação diferencial da seguinte forma: 
[ ]dy(t)y(t) g y(t) .h(t)
dt
= =ɺ
dy(t)
dt
[ ]
dy h(t).dt
g y
=
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Integra-se em seguida o lado esquerdo em relação à variável y e 
o lado direito em relação à variável t:
Exemplo:
ou
[ ]
dy dy h(t).dt
g y
 
=  
 
∫ ∫
2dyy y.t
dt
= =ɺ
2dy t .dt
y
=
ou
ou
ou
ou com 
2dydy t dt
y
=∫ ∫
3
1 2
tLn(y) C C
3
+ = +
( ) ( )3 3t tC3 3y(t) e Ae+= = ( )2 1C CCA e e −= =
( )
3
2 1
tLn(y) C C
3
= + −
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Fim