Equacoes_Diferenciais
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Equacoes_Diferenciais


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1: Dinâmica de Ajustamento de Preço
Mercado de um produto: 
 
d
t tQ a bP com b 0= \u2212 > 
 
 
o
t tQ c dP com d 0= + > 
 
 
Dinâmica do Preço fora do equilíbrio: 
 
( )t d ot tdPdt Q Q com 0= \u3b1 \u2212 \u3b1 > 
Equação reduzida: 
 
( ) ( ) ( )t t t tdPdt a bP c dP a c b d P= \u3b1 \u2212 \u2212 \u2212 = \u3b1 \u2212 \u2212 \u3b1 + 
ou 
( ) ( )t tP b d P a c+ \u3b1 + = \u3b1 \u2212\u27a 
 
Solução Particular (com especificação P(t) = µ): 
 
( ) ( ) a cb d a c ou
b d
\u2212
\u3b1 + µ = \u3b1 \u2212 µ =
+
 
 
Logo, a cP(t)
b d
\u2212
=
+
 
OBS.: Note que essa solução corresponde ao preço de equilíbrio do
mercado P*.
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Solução Geral da homogêneo correspondente: 
 
( )b d tP(t) Ae\u2212\u3b1 +=\u276 
 
Solução Geral da equação analisada: 
 
( )b d tP(t) P(t) P(t) P Ae\u2212\u3b1 +\u2217= + = +\u276 
Supondo um dado P(0) para t = 0, tem-se que: 
 
P(0) P A\u2217= + ou A P(0) P\u2217= \u2212 
 
Portanto, a solução final que queremos é dada por: 
 
( ) ( )b d tP(t) P P 0 P e\u2212\u3b1 +\u2217 \u2217\uf8ee \uf8f9= + \u2212\uf8f0 \uf8fb 
 
OBS.: Como por hipótese ( )b d 0\u2212\u3b1 + < , o equilíbrio é estável. Ou 
seja, para qualquer ( )P 0 , tem-se que o preço de mercado 
converge para P\u2217 quando t \u2192 \u221e . 
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Po 
P* 
Po 
Pt Pt 
Qt t 
D 
O 
Outras possibilidades: supondo agora que por alguma razão 
(economias de escala ou economias externas), 
a curva de oferta desse mercado seja 
negativamente inclinada, (ou seja, o parâmetro 
d 0< ). 
 
Dois casos possíveis: 
 
a) d b< , que implica em ( )b d 0\u2212\u3b1 + < ; 
 
b) d b> , que implica em ( )b d 0.\u2212\u3b1 + > 
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Hipótese a: d b< 
 
 
 
 
Po 
P* 
Po 
Pt Pt 
Qt 
O 
D 
Hipótese b: d b> 
 
 
Po 
P* 
Po 
Pt Pt 
Qt 
D 
O 
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Exemplo 2: Modelo de Crescimento Neoclássico
de Solow (1956)
\u2022 Função de Produção: ( ),Y F K L= com produtividades 
marginais positivas e decrescentes e 
retornos constantes a escala; 
 
\u2022 Poupança: sY onde s é uma constante; 
 
\u2022 Capital sem depreciação: dK K I
dt
= =\u27a 
 
\u2022 Oferta da força de trabalho: 0
ntL L e= 
 
\u2022 Condição de Equilíbrio: S I= 
Algumas Relações Básicas do Modelo:
a) Função de Produção com retornos constantes a escala: 
 
( ) ( ). . , . , .Y F K L F K L\u3bb \u3bb \u3bb \u3bb= = 
ou 
( ),1Y KF f r
L L
\uf8eb \uf8f6
= =\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
 
(1) 
 
onde Kr
L
= e ( )f r é a função de produção unitária (Produto Médio 
por unidade de Trabalho). 
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b) Equilíbrio no mercado de bens 
 
 Definindo k como a relação Capital/Produto marginal: 
 
dK
Kdtk dY Y
dt
= =
\u27a
\u27a
 
Temos que 
I S sYk
Y Y Y
= = =
\u27a \u27a \u27a
 
 
Ou, a relação básica de crescimento com equilíbrio no mercado 
de bens: 
Y s
Y k
=
\u27a
 
Equilíbrio geral de pleno emprego (o chamado crescimento 
balanceado, ou o equilíbrio de Steady-State): 
 
Y s
n
Y k
= =
\u27a
 (2) 
 
Mas se a economia cresce à taxa n, então o capital também deve 
crescer a essa mesma taxa, ou seja: 
 
K Y
n
K Y
= =
\u27a \u27a
 ou seja K K k
Y Y
= =
\u27a
\u27a
 
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Portanto, temos a seguinte relação fundamental de equilíbrio de 
steady-state do modelo de Solow:. De (2) acima tem-se que: 
 
s Kk
n Y
= = 
 
Substituindo em (1) acima, tem-se que: 
 
( ).
s K
n L f r= 
 
Ou finalmente que: 
 
( ). .s f r n r= 
 
( )sf r 
nr 
*
r r 
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Condições de Existência do Equilíbrio de Longo Prazo (Inada 1963)
 
( )2sf r 
nr 
1( )sf r 
r 
( ) ( )0 0
r
f e Lim f r
\u2192\u221e
= = \u221e 
( ) ( )´ 0 ´ 0
r
f e Lim f r
\u2192\u221e
= \u221e = 
OBS.: A segunda função de produção é tal que ( )2 0 nf s\u2032 < 
Análise da Estabilidade do Equilíbrio:
Dado que 
0
nt
K K
r
L L e
= = ou 0.
ntK r L e= 
 
Supondo que todas as variáveis são funções contínuas na variável 
tempo, tem-se que a derivada é: 
 
0 0. . .
nt ntK r L e r n L e= +\u27a \u27a 
 
Mas por outro lado, temos que: 
 
( ) ( ) 0. . . . ntK I S sY s L f r s f r L e= = = = =\u27a 
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Logo 
( ) 0 0 0. . . . .nt nt nts f r L e r L e r n L e= +\u27a 
 
ou, 
 
( ). .s f r r r n= +\u27a 
 
Ou, finalmente: 
 
( ). .r s f r r n= \u2212\u27a 
 
( )sf r 
nr 
*
r r 1r 
( )1 1sf r nr> ( )2 2sf r nr< 
2r 
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Resolução analítica:
Vamos supor que a função de produção é do tipo Cobb-Douglas: 
 
( ) 1,F K L K L\u3b1 \u3b1\u2212= 
 
Nessa função tem-se que: 
 
( )
1Y K L K
r f r
L L L
\u3b1\u3b1 \u3b1
\u3b1
\u2212
\uf8eb \uf8f6
= = = =\uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
 
 
Portanto, a equação diferencial reduzida do modelo de Solow fica 
sendo: 
 
. .r s r r n\u3b1= \u2212\u27a (3) 
Problema: equação diferencial não linear de complexa resolução
Solução alternativa: redefinir a equação em termos de k
1
1
1
K K Kk r
Y K L L
\u3b1
\u3b1
\u3b1 \u3b1
\u2212
\u2212
\u2212
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6
= = = =\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
 
 
Derivando essa expressão com relação ao tempo temos que: 
 
( )1 . .k r r\u3b1\u3b1 \u2212= \u2212\u27a \u27a ou ( ) .1
k
r r
\u3b1
\u3b1
\u2212
=
\u2212
\u27a
\u27a
 
 
Mas multiplicando-se a expressão (3) acima por r \u3b1\u2212 , tem-se que: 
 
1
. . .r r s n r s n k\u3b1 \u3b1\u2212 \u2212= \u2212 = \u2212\u27a 
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Logo 
 
( ) .1
k
s n k
\u3b1
= \u2212
\u2212
\u27a
 
Ou, finalmente 
 
( ) ( )1 1k n k s\u3b1 \u3b1+ \u2212 = \u2212\u27a 
 
que é uma equação diferencial linear não homogênea de fácil 
resolução 
Solução Particular: (com especificação ( )k t µ= ) 
 
( ) ( )1 1n s\u3b1 µ \u3b1\u2212 = \u2212 
Ou 
( ) sk t
n
µ= = 
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Solução Geral da equação homogêneo correspondente: 
 
( )1( ) . n tk t A e \u3b1\u2212 \u2212=\u276 
 
Logo, a solução geral que procuramos é dada por: 
 
( )1( ) . n t sk t A e
n
\u3b1\u2212 \u2212
= + 
Supondo que para t = 0, ( )0k é um dado valor conhecido: 
 
( )0 sk A
n
= + ou ( )0 sA k
n
= \u2212 
Portanto, 
 
( )1( ) (0) . \u2212 \u2212\uf8ee \uf8f9= \u2212 +\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb
n ts sk t k e
n n
\u3b1
 
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Sabendo-se que ( ) 11r k \u3b1\uf8eb \uf8f6\uf8ec \uf8f7\u2212\uf8ed \uf8f8= , temos então finalmente que: 
 
( ) ( )
1
11 1( ) (0) n ts sr t r e
n n
\u3b1
\u3b1 \u3b1
\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7
\u2212\uf8ed \uf8f8
\u2212 \u2212 \u2212
\uf8f1 \uf8fc\uf8ee \uf8f9
= \u2212 +\uf8f2 \uf8fd\uf8ef \uf8fa\uf8f0 \uf8fb\uf8f3 \uf8fe
 
 
Nesta solução, dado que n 0> e 0 1< \u3b1 < , tem-se que a relação 
capital/trabalho r(t) converge para um equilíbrio estacionário *r , 
quando t \u2192 \u221e , equilíbrio esse dado por: 
 
1
1
* s
r
n
\u3b1
\uf8eb \uf8f6
\uf8ec \uf8f7
\u2212\uf8ed \uf8f8\uf8eb \uf8f6
= \uf8ec \uf8f7
\uf8ed \uf8f8
 
Exemplos de Equação Diferencial 
de Segunda Ordem
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Exemplo 1: Função Utilidade Esperada de Von Neumann e
Morgenstern
Na moderna teoria neoclássica de escolha dos indivíduos sob condições de risco e 
incerteza, supõe-se que os mesmos escolhem Loterias, definida por: 
 
 
{ }i i i i i ii 1 1 2 2 n nL p : x ; p : x ; ....; p : x= 
onde 
 
 
i
jx = valor do prêmio alternativo j, que pode ser obtido na loteria i; 
 
i
jp = probabilidade de ganhar o prêmio 
i
jx , da loteria i. 
 
 
sob o pressuposto de que cada indivíduo possui e utiliza para isso uma Função Utilidade 
Esperada de Von Neumann e Morgenstern, definida por: 
 
( ) ( )n i ii j j
j 1
EU L p U x
=
=\u2211 
 
Indivíduo Avesso a Risco
 
x1 x2 
U(x)
1 2EU(L) pU(x ) (1 p)U(x )= + \u2212
1U(x )
2U(x )
U(EX)
EX = px1 + (1-p)x2 
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T1 T2 
iU (T)
i i i
1 2
iEU (L) pU (T ) (1 p)U (T ) U (ET)= + \u2212 =
i
1U (T )
i
2U (T )
ET = pT1 + (1-p)T2 
Indivíduo Neutro ao Risco
 
 
T1 T2 
iU (T)
i i i
1 2EU (L) pU (T ) (1 p)U (T )= + \u2212
i
1U (T )
i
2U (T )
iU (ET)
ET = pT1 + (1-p)T2 
Indivíduo Amante do Risco
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Medida do Grau de Aversão ao Risco
Medida de Aversão Absoluta ao Risco de Arrow e Pratt: 
 
2
2
d U(x)
U (x)dx
dU U (x)
dx
\u2032\u2032
\u3c3 = \u2212 = \u2212
\u2032
 
 
Essa medida corresponde à elasticidade da utilidade marginal U´(x) à 
variação do valor do prêmio x ou, em termos matemáticos, ao grau de 
curvatura da função U(x). 
Exemplos de funções com diferentes graus de aversão ao risco
 
1U (x)
2U (x)
1 2\u3c3 > \u3c3
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Questão: Qual a especificação da função utilidade U(x) que apresenta 
uma medida Arrow-Pratt de aversão ao risco constante? 
 
Resposta: Resolver a equação diferencial homogênea de 2ª ordem: 
 
U (x)
a
U (x)
\u2032\u2032
\u3c3 = \u2212 =
\u2032
 ou U (x) aU (x) 0\u2032\u2032 \u2032+ = 
 
Solução Geral: considerando-se que tU(x) e\u3bb= ,. é necessário que: 
 
2