Otimização com Varias Equações de Restrições de Desigualdade
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Otimização com Varias Equações de Restrições de Desigualdade


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1 
 
MAXIMIZAÇÃO COM VÁRIAS EQUAÇÕES DE RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE 
 
Considere o seguinte problema (P4) de maximização condicionada: 
 
Maximize 
\uf028 \uf029F x
 com 
\uf028 \uf029 N1 2 Nx x ,x ,..., x R\uf03d \uf0ce
 
Sujeito a 
\uf028 \uf0291 1g x b\uf0a3
 
\uf028 \uf0292 2g x b\uf0a3
 
 
\uf028 \uf029K Kg x b\uf0a3
 
 
As condições de Primeira Ordem (ou as condições necessárias) para a solução desse problema são 
estabelecidas no teorema a seguir. 
 
Teorema 5a: Sejam F(x) , g1(x), g2(x), \u2026, gK(x) funções contínuas e diferenciáveis, onde 
\uf028 \uf029 N1 2 Nx x ,x ,..., x R\uf03d \uf0ce
. Suponha que 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
 é uma solução do 
problema P4 acima. Suponha também que no ponto *x , 
0K
 equações de restrições 
são efetivas 
\uf028 \uf029\uf028 \uf029*i ig x b\uf03d
 e as demais 
\uf028 \uf0290K K\uf02d
 restrições não são efetivas 
\uf028 \uf029\uf028 \uf029*j jg x b\uf03c
. Para simplificar a notação, suponha que são as primeiras 
0K
 
equações de restrições que são as efetivas e suponha que em relação a esse sub-
conjunto de equações vale a Qualificação de Restrições Não Degeneradas (NDCQ), 
ou seja, a matriz jacobiana 
 
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
0 0 0
* * *
1 1 1
1 2 N
* * *
2 2 2
*
1 2 N
* * *
K K K
1 2 N
g x g x g x
x x x
g x g x g x
Dg x x x x
g x g x g x
x x x
\uf0e9 \uf0f9\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf03d \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
 
2 
 
 
tem Posto ou Rank igual a 
0K
 
 
Então, para a função lagrangeana 
 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf0291 1 1 2 2 2 K K KL x, F x g x b g x b .... g x b\uf06c \uf03d \uf02d\uf06c \uf02d \uf02d\uf06c \uf02d \uf02d \uf02d\uf06c \uf02d\uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9\uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb
 
ou 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
K
i i i
i 1
L x, F x g x b
\uf03d
\uf06c \uf03d \uf02d \uf06c \uf02d\uf0e9 \uf0f9\uf0eb \uf0fb\uf0e5
 
 
existem os multiplicadores 
\uf028 \uf029* * * *1 2 K, ,...,\uf06c \uf03d \uf06c \uf06c \uf06c
, tal que para 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029* * * * * * * *1 2 N 1 2 Kx , x ,x ,..., x , , ,...,\uf06c \uf03d \uf06c \uf06c \uf06c
 valem as seguintes condições: 
 
(a) \uf028 \uf029* *
i
L x ,
0
x
\uf0b6 \uf06c
\uf03d
\uf0b6
 para todo i = 1, 2, ..., N 
(b) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029
* *
*
i i
i
L x ,
g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf03d \uf02d \uf02b \uf0b3
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(c) 
*
i 0\uf06c \uf0b3
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(d) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
* *
* * *
i i i i
i
L x ,
. g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf06c \uf03d \uf06c \uf02d \uf02b \uf03d
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, ..., K 
 
No caso das condições de Segunda Ordem (as condições suficientes) para a solução do problema 
P4 acima, as mesmas são estabelecidas através do teorema a seguir: 
 
Teorema 6a: Sejam F(x) , g1(x), g2(x), \u2026, gK(x) funções contínuas e diferenciáveis, onde 
\uf028 \uf029 N1 2 Nx x ,x ,..., x R\uf03d \uf0ce
. Considere em relação a essas funções o problema de 
otimização P4 acima especificado. 
Defina a função Lagrangeana 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
K
i i i
i 1
L x, F x g x b
\uf03d
\uf06c \uf03d \uf02d \uf06c \uf02d\uf0e9 \uf0f9\uf0eb \uf0fb\uf0e5
 e suponha que: 
3 
 
a) Existem 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
 e 
\uf028 \uf029* * * *1 2 K, ,...,\uf06c \uf03d \uf06c \uf06c \uf06c
 que satisfazem as condições 
do Teorema 5a acima, ou seja, que: 
(a.1) \uf028 \uf029* *
i
L x ,
0
x
\uf0b6 \uf06c
\uf03d
\uf0b6
 para todo i = 1, 2, ..., N 
(a.2) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029
* *
*
i i
i
L x ,
g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf03d \uf02d \uf02b \uf0b3
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(a.3) 
*
i 0\uf06c \uf0b3
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(a .4) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
* *
* * *
i i i i
i
L x ,
. g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf06c \uf03d \uf06c \uf02d \uf02b \uf03d
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, .., K 
b) Que para o mesmo 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
, 
0K
 equações de restrições são efetivas 
(para simplificar a notação, suponha que estas são exatamente as primeiras 
0K
 
equações) e as demais 
\uf028 \uf0290K K\uf02d
 restrições não são efetivas, sendo que a Matriz 
Hessiana Orlada (envolvendo apenas as restrições efetivas) 
 
0 0
0
0
1 1
1 N
K K
1 N
2 2
K1
2
1 1 1 N 1
2 2
K1
2
N N 1 N N
g g
0 0
x x
g g
0 0
x x
H
gg L L
x x x x x
gg L L
x x x x x
\uf0b6 \uf0b6\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa\uf03d
\uf0b6\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0eb \uf0fb
 
 
calculada no ponto 
\uf028 \uf029* *x ,\uf06c
, é tal que os valores dos seus últimos 
\uf028 \uf0290N K\uf02d
 k-
ésimos menores principais alternam em sinal, sendo que o sinal do último 
\uf028 \uf029
0N K
H \uf02b
é igual ao sinal de 
\uf028 \uf029
N
1\uf02d
; 
4 
 
 
Então 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
 é um ponto de Máximo Local Estrito do problema 
P4. 
 
 
MINIMIZAÇÃO COM VÁRIAS EQUAÇÕES DE RESTRIÇÕES DE DESIGUALDADE 
 
Considere o seguinte problema P5 típico de minimização com restrições de desigualdades: 
 
Minimize 
\uf028 \uf029F x
 com 
\uf028 \uf029 N1 2 Nx x ,x ,..., x R\uf03d \uf0ce
 
Sujeito a 
\uf028 \uf0291 1g x b\uf0b3
 
\uf028 \uf0292 2g x b\uf0b3
 
 
\uf028 \uf029K Kg x b\uf0b3
 
 
As condições de primeira e segunda ordens para a solução desse tipo de problema são análogos ao 
do caso do problema de maximização (P4), com as seguintes alterações nos Teoremas 5a e 6a 
acima: 
 
Teorema 5b: Sejam F(x) , g1(x), g2(x), \u2026, gK(x) funções contínuas e diferenciáveis, onde 
\uf028 \uf029 N1 2 Nx x ,x ,..., x R\uf03d \uf0ce
. Suponha que 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
 é uma solução do 
problema P5 acima. Suponha também que no ponto *x , 
0K
 equações de restrições 
são efetivas 
\uf028 \uf029\uf028 \uf029*i ig x b\uf03d
 e as demais 
\uf028 \uf0290K K\uf02d
 restrições não são efetivas 
\uf028 \uf029\uf028 \uf029*j jg x b\uf03c
. Para simplificar a notação, suponha que são as primeiras 
0K
 
equações de restrições que são as efetivas e suponha que em relação a esse sub-
conjunto de equações vale a Qualificação de Restrições Não Degeneradas (NDCQ), 
ou seja, a matriz jacobiana 
 
5 
 
\uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
0 0 0
* * *
1 1 1
1 2 N
* * *
2 2 2
*
1 2 N
* * *
K K K
1 2 N
g x g x g x
x x x
g x g x g x
Dg x x x x
g x g x g x
x x x
\uf0e9 \uf0f9\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf03d \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa\uf0eb \uf0fb
 
 
tem Posto ou Rank igual a 
0K
 
 
Então, para a função lagrangeana 
 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf0291 1 1 2 2 2 K K KL x, F x g x b g x b .... g x b\uf06c \uf03d \uf02d\uf06c \uf02d \uf02d\uf06c \uf02d \uf02d \uf02d\uf06c \uf02d\uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9 \uf0e9 \uf0f9\uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb \uf0eb \uf0fb
 
ou 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
K
i i i
i 1
L x, F x g x b
\uf03d
\uf06c \uf03d \uf02d \uf06c \uf02d\uf0e9 \uf0f9\uf0eb \uf0fb\uf0e5
 
 
existem os multiplicadores 
\uf028 \uf029* * * *1 2 K, ,...,\uf06c \uf03d \uf06c \uf06c \uf06c
, tal que para 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029* * * * * * * *1 2 N 1 2 Kx , x ,x ,..., x , , ,...,\uf06c \uf03d \uf06c \uf06c \uf06c
 valem as seguintes condições: 
 
(a) \uf028 \uf029* *
i
L x ,
0
x
\uf0b6 \uf06c
\uf03d
\uf0b6
 para todo i = 1, 2, ..., N 
(b) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029
* *
*
i i
i
L x ,
g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf03d \uf02d \uf02b \uf0a3
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(c) 
*
i 0\uf06c \uf0b3
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(d) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
* *
* * *
i i i i
i
L x ,
. g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf06c \uf03d \uf06c \uf02d \uf02b \uf03d
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, ..., K 
 
 
6 
 
Teorema 6b: Sejam F(x) , g1(x), g2(x), \u2026, gK(x) funções contínuas e diferenciáveis, onde 
\uf028 \uf029 N1 2 Nx x ,x ,..., x R\uf03d \uf0ce
. Considere em relação a essas funções o problema de 
otimização P5 acima especificado. 
Defina a função Lagrangeana 
\uf028 \uf029 \uf028 \uf029 \uf028 \uf029
K
i i i
i 1
L x, F x g x b
\uf03d
\uf06c \uf03d \uf02d \uf06c \uf02d\uf0e9 \uf0f9\uf0eb \uf0fb\uf0e5
 e suponha que: 
c) Existem 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
 e 
\uf028 \uf029* * * *1 2 K, ,...,\uf06c \uf03d \uf06c \uf06c \uf06c
 que satisfazem as condições 
do Teorema 6a acima, ou seja, que: 
(a.1) \uf028 \uf029* *
i
L x ,
0
x
\uf0b6 \uf06c
\uf03d
\uf0b6
 para todo i = 1, 2, ..., N 
(a.2) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029
* *
*
i i
i
L x ,
g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf03d \uf02d \uf02b \uf0a3
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(a.3) 
*
i 0\uf06c \uf0b3
 para todo i = 1, 2, ..., K 
(a .4) \uf028 \uf029
\uf028 \uf029\uf028 \uf029
* *
* * *
i i i i
i
L x ,
. g x b 0
\uf0b6 \uf06c
\uf06c \ufffd\ufffd\ufffd \uf06c \uf02d \uf02b \uf03d
\uf0b6\uf06c
 para todo i = 1, 2, .., K 
 
d) Que para o mesmo 
\uf028 \uf029* * * *1 2 Nx x , x ,..., x\uf03d
, 
0K
 equações de restrições são efetivas 
(para simplificar a notação, suponha que estas são exatamente as primeiras 
0K
 
equações) e as demais 
\uf028 \uf0290K K\uf02d
 restrições não são efetivas, sendo que a Matriz 
Hessiana Orlada (envolvendo apenas as restrições efetivas) 
 
7 
 
0 0
0
0
1 1
1 N
K K
1 N
2 2
K1
2
1 1 1 N 1
2 2
K1
2
N N 1 N N
g g
0 0
x x
g g
0 0
x x
H
gg L L
x x x x x
gg L L
x x x x x
\uf0b6 \uf0b6\uf0e9 \uf0f9
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa\uf03d
\uf0b6\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa
\uf0b6\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0ea \uf0fa
\uf0ea \uf0fa\uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6 \uf0b6\uf0eb \uf0fb
 
 
calculada no ponto 
\uf028 \uf029* *x ,\uf06c
, é tal que os valores dos seus últimos 
\uf028 \uf0290N K\uf02d
 k-
ésimos menores principais apresentam o mesmo sinal, sinal esse igual ao sinal de 
\uf028 \uf029 0
K
1\uf02d
; 
 
Então