Sistemas de Equacoes a Diferencas

Sistemas de Equacoes a Diferencas


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SISTEMAS DE EQUAÇÕES A DIFERENÇAS LINEARES
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 	Considere o seguinte exemplo de um modelo simplificado de emprego da força de trabalho de um dado país (Exemplo de um processo dinâmico denominado de Cadeia de Markov):
Cada indivíduo da força de trabalho pode estar em qualquer período t, empregado ou desempregado. Seja então xt a proporção da força de trabalho que está empregada em t e yt a proporção dos desempregados;
Suponha que qualquer pessoa que esteja empregada em t, tem em média 90% de chance de continuar empregada em t+1. E que qualquer pessoa desempregada em t tem em média uma chance de 40% de arrumar um emprego em t+1.
Podemos portanto especificar a seguinte representação matemática desse modelo:
			xt+1 = 0,9xt + 0,4yt
			yt+1 = 0,1xt + 0,6yt
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 	Em termos matriciais, temos que
Ou simplesmente que:
 (1)
Matemáticamente, diz-se que esse modelo corresponde a um sistema de equações a diferenças lineares de 1ª ordem, que não pode ser resolvido com a técnica de resolução de equações a diferenças lineares visto anteriormente, pois as duas equações a diferenças são interdependentes. Em outras palavras, não é possível através do processo de substituição de variáveis, obter duas equações a diferenças, uma envolvendo apenas as variáveis xt e a outra apenas as variáveis yt 
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 A resolução de sistemas de equações a diferenças lineares de 1ª ordem homogêneas em geral requer um outro tipo de abordagem, baseado na diagonalização da matriz B do coeficientes do sistema.
No nosso exemplo do modelo de emprego, se a matriz (2x2) de coeficientes B possuir dois autovalores distintos, ou seja, se B for diagonalizável, então podemos resolver esse modelo utilizando as duas raízes características (r1 e r2) e os correspondentes vetores característicos (v1 e v2) da matriz B, da seguinte forma:
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Seja P a matriz (2x2) formada com os dois autovetores de B como colunas, e o wt o vetor das variáveis transformadas do sistema:
 
Podemos então reescrever o sistema (1) da seguinte forma:
ou
ou
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ou
ou
Ou seja, obtem-se um sistema de duas equações a diferenças lineares homogêneas independentes, cujas soluções delas já vimos que são: 
 onde c1 e c2 são constantes arbitrárias
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Por outro lado, sabemos que:
ou que 
ou
 
ou	
ou
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 	No caso do nosso modelo, podemos facilmente calcular que a matriz
possui os valores característicos r1 = 1 e r2 = 0,5, com os seguintes vetores característicos correspondentes:
 
 Portanto, tem-se que a solução geral do modelo é:
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 	Ou
Podemos verificar que esse modelo é estável, e que quando 
 
 converge para 
 
 Mas, lembrando que xt e yt representam as proporções da força de
 trabalho empregada e desempregada, evidentemente temos que
 considerar a condição (restrição) inicial de que 4c1 + c1 = 100%.
 Logo o equilíbrio de longo prazo desse modelo é 80% da força de
 trabalho estar empregada e 20% desempregada. 
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 	Considere o seguinte sistema de k equações a diferenças lineares de primeira ordem, homogêneo: 
 
ou em termos matriciais
Teorema de Solução Geral de Sistemas de Equações a Diferenças de 1ª Ordem Homogêneas:
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Se a matriz A dos coeficientes desse sistema possui k autovalores reais distintos, com respectivos autovetores v1, v2, ..., vk, então a solução desse sistema de equações é dada por:
onde c1, c2, ......, ck são constantes arbitrárias.
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Sistema de Equações a Diferenças de 1ª ordem em Geral
 	Considere o seguinte sistema geral de k equações a diferenças lineares de primeira ordem: 
 
ou em termos matriciais
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 	onde
 ; ; 
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Método Geral de Solução de Sistemas:
 	Da mesma forma que no caso das equações a diferenças isoladas, a solução geral daquele sistema é dada pela soma da solução geral do seu sistema de equações homogêneo correspondente:
 denominado de ,mais a solução particular do sistema original
 analisado . Ou seja:
Obs.:	como veremos adiante num exemplo, a forma de obtenção
 da solução particular vai depender da especificação
 das funções . 
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Exemplo de Sistema de Equações Lineares a Diferenças
Modelo de Oligopólio de Cournot
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Exemplo de Sistema de Equações Lineares a Diferenças
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Fim
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