Mat Ensino - Sistemas Lineares 2011-02-01
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Mat Ensino - Sistemas Lineares 2011-02-01


DisciplinaÁlgebra Linear I19.631 materiais286.594 seguidores
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igual ao número de incógnitas) na forma matricial. Considerando 
\u2015D\u2016 o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas (chamaremos de determinante principal) e \u2015Di\u2016 o determinante 
da matriz modificada através da troca da i-ésima coluna pela coluna dos termos independentes, podemos encontrar o 
conjunto solução do sistema de \u2015n\u2016 variáveis, fazendo: 
 
D
D
x
i
i \uf03d
 
n}...,3,2,{1,i\uf0ce\uf022
 com D \u2260 0 para Sistemas Possíveis e Determinados (SPD) 
 
Resolução de um Sistema Linear pela Regra de Cramer: 
 
Consideremos como exemplo, o sistema linear: 
\uf0ef\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02b
1zy2x
4zyx
6zyx 
Escrevendo na forma matricial, temos: 
 
 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf03d\uf0d7
\uf02d
\uf02d\uf02d
1
4
6
z
y
x
112
111
111 onde temos que: 
4
112
111
111
D \uf02d\uf03d
\uf02d
\uf02d\uf02d\uf03d
 (determinante principal) 
 
Observe que para calcularmos Dx, trocamos a coluna da variável \u2015x\u2016 pela coluna dos termos independentes. 
 
4
11
11
11
Dx \uf02d\uf03d
\uf02d
\uf02d\uf02d\uf02d\uf03d
1
4
6 
12
12
11
11
Dy \uf02d\uf03d\uf02d\uf02d\uf03d
1
4
6 Assim: 
1
4
4
D
Dx
x \uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d\uf03d
 e 
3
4
12
D
Dy
y \uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d\uf03d
 
 
Substituindo os valores x = 1 e y = 3 na primeira equação do sistema, temos: 
 
x + y + z = 6 \uf0de 1 + 3 + z = 6 \uf0de z = 6 \u2013 4 \uf0de z = 2 
 
Logo, a solução do sistema em questão é: S = {(1, 3, 2)} 
 
 
Observação 1: Caso desejássemos calcular também o valor de \u2015z\u2016 pela Regra de Cramer, teríamos: 
 
8
12
11
11
Dz \uf02d\uf03d
\uf02d
\uf02d\uf02d\uf03d
1
4
6 e então: 
2
4
8
D
Dz
z \uf03d
\uf02d
\uf02d
\uf03d\uf03d
 
 
Observação 2: Após encontrarmos o valor de \u2015x\u2016 pela Regra de Cramer, caso seja conveniente, podemos substitui-lo no 
sistema inicial dado e resolvê-lo então com apenas duas incógnitas [y e z], suprimindo desta forma, o cálculo de Dy e Dz. 
 
 
Discussão de um Sistema Linear através da Regra de Cramer: 
 
Discutir um sistema linear é avaliar as hipóteses para que ele seja SPD, SPI ou SI. Vale lembrar que, pela Regra de Cramer, 
só poderemos fazer a discussão de um sistema quadrado. Assim sendo, o sistema será: 
 
:se única) (solução SPD\uf0b7
 D \uf0b9 0 
:se 
solução) (sem 
soluções) (infinitas 
\uf0fe
\uf0fd
\uf0fc
\uf0b7
\uf0b7
SI
SPI
 D = 0 
 
 
Histórico: 
 
Gabriel Cramer (Genebra, 31/07/1704 \u2014 Bagnols, França, 04/01/1752, foto ao lado) era um matemático suíço. 
Foi professor de Matemática e de Filosofia da Universidade de Genebra e membro da Academia de Berlim e da 
London Royal Society. Dedicou especial atenção à teoria das curvas. A sua obra mais importante foi Introduction à 
l'analyse des courbes algébriques (1750). Ocupou-se também da origem, a forma dos planetas e dos seus 
movimentos. É famosa a regra que permite a resolução dos sistemas de equações lineares que tem o seu nome, a 
Regra de Cramer. 
 
O autor E. Crowe, em A History of Vector Analysis, hoje reeditado pela editora Dover, comenta que o primeiro 
aparecimento que conhece da Regra de Cramer ocorre num artigo de Augustin-Louis Cauchy (21/08/1789 \u2013 
23/05/1857), matemático francês, estudando um sistema de duas equações e duas incógnitas com o emprego do produto de Grassmann. 
Sistemas Lineares Professor Júlio César Tomio 
 
 
9 
MÉTODO DA MATRIZ INVERSA 
 
Vimos anteriormente que todo sistema linear, quando disposto na forma matricial, apresenta o seguinte formato: 
 
][]].[[ BXA \uf03d
 
 
Onde: 
][A
 \uf0ae Matriz dos coeficientes 
 
][X
 \uf0ae Matriz das incógnitas (x, y, z,...) 
 
][B
 \uf0ae Matriz dos termos independentes 
 
Podemos determinar a matriz 
][X
 (que possui as incógnitas x, y, z,... procuradas), fazendo de forma intuitiva: 
 
][]].[[ BXA \uf03d
 \uf0de 
][
][
][
A
B
X \uf03d
 mas que na verdade matemática deve ser escrito: 
].[][][ 1 BAX \uf02d\uf03d
 
 
Lembre-se que não é definida a divisão de matrizes. 
Então, formalmente, temos: 
 
][]].[[ BXA \uf03d
 ... Multiplicamos ambos os membros da equação por 
1][ \uf02dA
. 
 
].[][]].[.[][ 11 BAXAA \uf02d\uf02d \uf03d
 ... Sabemos que 
][].[][ 1 IAA \uf03d\uf02d
. 
].[][]].[[ 1 BAXI \uf02d\uf03d
 ... Sabemos que 
][]].[[ XXI \uf03d
. 
 
].[][][ 1 BAX \uf02d\uf03d
 
 
Observações: 
 
Este método: \uf0b7 torna-se útil quando o sistema a ser resolvido é quadrado e do tipo SPD. 
 \uf0b7 pode ser utilizado com o auxílio do Microsoft Excel ou similar. 
 
 
Assim, podemos determinar o valor das incógnitas, através do produto da matriz inversa de 
][A
 pela matriz dos termos 
independentes 
][B
. 
 
Exemplo: 
 
Resolva o sistema 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b
43
12
yx
yx
 pelo método da matriz inversa. 
 
Resolução: 
Escrevendo o sistema dado na forma matricial, temos: 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d\uf0d7
\uf02d 4
1
31
21
y
x
 
A matriz dos coeficientes \u2015vai\u2016 para o outro membro como inversa: 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0d7
\uf02d
\uf03d
\uf02d
4
1
31
21
1
y
x 
Calcula-se a inversa da matriz dos coeficientes: 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0d7
\uf02d
\uf03d
4
1
5/15/1
5/25/3
y
x
 
Multiplica-se as matrizes, observando suas ordens: 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9 \uf02d
\uf03d
1
1
y
x
 
 
Assim, a solução do sistema dado é 
)}1,1{(\uf02d\uf03dS
. 
 
Nota: Experimente resolver o exemplo acima com o Microsoft Excel ou similar! 
 
 
 
Para refletir: Não aprenda a desejar aquilo que não merece. (retirado de um biscoito da sorte chinês) 
Sistemas Lineares Professor Júlio César Tomio 
 
 
10 
Tópico Especial: Relembrando Inversão de Matrizes! 
 
\uf0b7 Podemos encontrar a inversa de uma matriz quadrada, aplicando a sua definição. Veja: 
 
Seja 
A
 uma matriz inversível 
]0)[det( \uf0b9A
. Então: 
nIAAAA \uf03d\uf03d
\uf02d\uf02d
..
11
. 
Para exemplificar de forma simples, utilizaremos uma matriz de ordem 2, sendo:
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
34
12
A
. 
Fazendo: 
2
1
. IAA \uf03d
\uf02d
, temos: 
 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d\uf0d7
10
01
34
12
qp
nm
 \uf0de 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
\uf02b\uf02b
\uf02b\uf02b
10
01
3434
22
qnpm
qnpm
 
 
Resolvendo os sistemas, teremos: 
2/3\uf03dm
, 
2/1\uf02d\uf03dn
, 
2\uf02d\uf03dp
 e 
1\uf03dq
. 
 
Como definimos a que 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d
\uf02d
qp
nm
A
1
, temos que: 
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d
\uf02d
\uf03d
\uf02d
12
2/12/31
A
. 
 
Equivalência de Matrizes: 
 
Para duas matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é EQUIVALENTE à matriz A, e representa-se por B ~ A, 
se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares. 
 
As operações elementares com as linhas (ou colunas) de uma matriz são: 
 
- Trocar duas (ou mais) linhas de posição. 
- Multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
- Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha. 
 
Inversão de uma Matriz por meio de Operações Elementares: 
 
Poderemos encontrar a inversa de uma matriz A não-singular pelo procedimento descrito acima. Inicialmente escreve-se a 
matriz A dada e ao seu lado a matriz identidade I de mesma ordem. As operações elementares devem ser realizadas nas 
duas matrizes simultaneamente. O método consiste em transformar a matriz A dada na matriz identidade I. Quando o 
processo for completado, a matriz identidade escrita inicialmente será a matriz inversa procurada. 
 
Esquematicamente: 
1\uf02d
\uf0ae\uf0ae AIselementareoperaçõesIA \uf04c\uf04c
 
 
Veja o exemplo abaixo: 
 
Determine a inversa da matriz 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d
\uf02d
\uf03d
111
110
101
M
 por meio de operações elementares. 
Resolução: 
 
313100
010
001
111
110
101
LLL \uf02b\uf03d\uf02d\uf02d
\uf02d
 \uf0de 
323101
010
001
010
110
101
LLL \uf02b\uf03d\uf02d
\uf02d
 
 
232
111
010
001
100
110
101
LLL \uf02b\uf02d\uf03d
\uf02d
 \uf0de 131
111
101
001
100
010
101 LLL \uf02b\uf03d
\uf02d\uf02d
\uf02d
 
 
111
101
112
100
010
001
\uf02d\uf02d
 Assim, a matriz inversa procurada é: 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf02d\uf03d
\uf02d
111
101
112
1
M
 
 
\uf0b7 Existem outros métodos para encontrarmos a inversa de uma matriz [pesquise!] 
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