Mat Ensino - Sistemas Lineares 2011-02-01
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Mat Ensino - Sistemas Lineares 2011-02-01


DisciplinaÁlgebra Linear I17.265 materiais276.987 seguidores
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do sistema linear: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
8z3y2x
6zyx
 
 
Resolução: 
 
Para escalonar o sistema dado, multiplicaremos a 1ª linha por (\u20132) e a adicionaremos à 2ª linha. Veja: 
 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf02d\uf03d\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
212 L2.LL 8z3y2x
 6zy x 
 
 
O sistema escalonado equivalente é: 
 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02b
4z y
6 zyx
 
 
Note que a última equação do sistema escalonado acima [
4zy \uf02d\uf03d\uf02d
] possui duas incógnitas, o que indica que existem 
infinitos valores que satisfazem essa equação. Assim, escolheremos um valor arbitrário (genérico) para uma das incógnitas. 
 
Fazendo 
az \uf03d
 e subestituindo na referida equação, temos: 
 
4zy \uf02d\uf03d\uf02d
 \uf0de 
4ay \uf02d\uf03d\uf02d
 \uf0de 
4ay \uf02d\uf03d
 
 
Agora, substituindo os valor de 
az \uf03d
 e 
4ay \uf02d\uf03d
 na 1ª equação do sistema, temos: 
 
6zyx \uf03d\uf02b\uf02b
 \uf0de 
6a)4)(ax \uf03d\uf02b\uf02d\uf02b (
 \uf0de 
642ax \uf03d\uf02d\uf02b
 \uf0de 
2a10x \uf02d\uf03d
 
 
Logo, o sistema dado é do tipo SPI e o conjunto solução é: S = { (10 \u2013 2a, a \u2013 4, a), com a \uf0ce \u211d }. 
 
 
Exemplo 2: Encontre o conjunto solução do sistema não quadrado: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
142z2y2x
6zyx
 
 
Resolução: 
 
Para escalonar o sistema dado, multiplicaremos a 1ª linha por (\u20132) e a adicionaremos à 2ª linha. Veja: 
 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf02d\uf03d\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
212 L2.LL 142z2y2x
 6zy x 
 
 
O sistema escalonado equivalente é: 
 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d
\uf03d\uf02b\uf02b
20z 
6 zyx
 
 
Veja que a última equação do sistema escalonado é 0z = 2 e que através dela, tem-se que o número real \u2015z\u2016 procurado 
não existe. 
 
Logo, o sistema é do tipo SI e o conjunto solução é: S = { }. 
 
 
 
Nota: O método do Escalonamento (eliminação) de Gauss é muito bem recomendado para a resolução dos casos acima. 
 
 
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Exemplo 3: Classifique o sistema: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
02z4yx
0z3y2x
 em SPD, SPI ou SI. 
 
Resolução: 
 
Analisando... 
 
\uf0a8 O sistema em questão é HOMOGÊNEO, logo, terá solução, ou seja, é do tipo: SPD ou SPI. 
\uf0a8 O sistema em questão tem o número de incógnitas é MAIOR que o número de equações, logo, deve ser: SPI ou SI. 
 
Considerando as duas análises acima, concluímos que o sistema é do tipo SPI (Sistema Possível Indeterminado). 
 
 
Nota: Em alguns casos (específicos como este), podemos classificar o sistema sem a necessidade de realizar algum cálculo. 
 
 
 
\uf0b7 Sistemas em que número de incógnitas é MENOR que o número de equações: 
 
Esses sistemas podem ser do tipo: SPD, SPI ou SI (como qualquer sistema quadrado). O que muda em relação aos sistemas 
quadrados são alguns detalhes presentes na forma de resolução. Veja os exemplos: 
 
Exemplo 1: 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02b
64y3x
133y2x
1yx
 SPD \uf0de S = { (2, \u20133) } 
 
Exemplo 2: 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02b
122yx
23y2x
13yx
 SI \uf0de S = { } 
 
Exemplo 3: 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
159y3x
106y2x
53yx
 SPI \uf0de S = { (5 \u2013 3a, a), com a \uf0ce \u211d } 
 
Nota: Nos casos acima, em princípio, recomenda-se escolher duas equações do sistema e resolvê-las separadamente por 
um método conveniente, fazendo a verificação da resposta encontrada na equação que não foi utilizada inicialmente. 
 
Observação: Vale lembrar que alguns métodos de resolução, como a Regra de Cramer, não podem ser aplicados 
\u2015diretamente\u2016 em sistemas lineares que não sejam quadrados. 
 
 
Para refletir: Não procure felicidade dentro de outro ser humano e sim dentro do seu próprio coração. Muitas vezes ela está tão perto que 
não conseguimos enxergá-la, pois o essencial é invisível aos olhos. (Autor desconhecido) 
 
 
EXERCÍCIOS \u2013 Sistemas Lineares 
 
1) Determine o valor de \u2015k\u2016 para que a terna ordenada (\u20131, 1, \u20132) seja uma solução da equação linear kx + y \u2013 2z = 6. 
 
2) Determine a e b, de modo que sejam equivalentes os sistemas lineares: 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02d
1aybx
1byax
e
2yx
0yx
 . 
 
3) Considere o sistema linear 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
2kyx
1yx
. Observe que, quando \u2015k\u2016 é próximo de 1, as retas representadas pelas equações 
do sistema são \u2015quase\u2016 paralelas. Assim: 
a) Utilize a regra de Cramer para mostrar que uma solução do sistema é: 
1k
1
,
1k
1
1
\uf02d
\uf03d
\uf02d
\uf02d\uf03d yx
. 
 
b) Um sistema é dito mal-condicionado quando uma pequena modificação num dado de entrada (por exemplo, os 
coeficientes de x e y) causa uma mudança significativa ou grande na saída ou solução. Verifique isso obtendo a solução do 
sistema para k = 1,01 e para k = 0,99. 
 
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4) Resolva os sistemas lineares abaixo pelo Regra de Cramer e pelo Método da Matriz Inversa (utilize o MS Excel ou similar). 
 
a) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
5zy5x
13z5y4x
1z4y3x
 b) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b
1zy
33zy2x
52yx
 c) 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d\uf0d7
\uf02d 13
0
5
z
y
x
1152
273
121 
 
5) Resolva e classifique os sistemas lineares abaixo através do Escalonamento. 
 
a) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
122zy5x
22z7y3x
2z2yx
 b) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02b
0z2y
8z3y3x
1z3y2x
 c) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02b
3c2b2a
142cb3a
12cba
 
 
d) 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02d\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02d\uf02b\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02d\uf02b
4tzyx
4tzyx
2tzyx
0tzyx
 e) 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf02d\uf03d\uf0d7
\uf02d
\uf02d
2
1
3
z
y
x
325
413
134 f) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
153x6x
5x2x
21
21
 
 
g) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf02b\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
016y4x
3zyx
12z4y2x
 h) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
24z2y4x
12zy5x
12zyx
 
 
6) Determine o valor de \u2015k\u2016 para que o sistema 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf02b\uf03d\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02b
3k2yx
9ky3x
2 , seja homogêneo. 
 
7) Os sistemas homogêneos abaixo são do tipo SPI. Determine a solução geral de cada sistema e também uma solução não 
nula, chamada de \u2015solução própria\u2016. 
a) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02b\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
02z4yx
0z3y2x
0zyx
 b) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
014zx
0z3y2x
04z2yx
 c) 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
03z3yx
07z4yx
02z5y2x
0z2yx
 
 
8) Determine o conjunto solução e classifique os sistemas lineares dados a seguir: 
 
a) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
3z6y2x
4 2z3yx
 b) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02b
104x3x2x
21 8x6x4x
321
321
 c) 
\uf0ee
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02d
\uf02d\uf03d\uf02b\uf02b\uf02d
 7z3y2x
14 z5y4x
 
 
 
9) Determine o conjunto solução e classifique os sistemas lineares dados a seguir: 
 
a) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
92y x
225y3x
133y2x
 b) 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
33y2x
19y3x
03yx
 c) 
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea\uf0eb
\uf0e9
\uf0fa
\uf0fa
\uf0fb
\uf0f9
\uf0ea
\uf0ea
\uf0eb
\uf0e9
\uf03d\uf0d7
21
7
14
y
x
96
32
64 
 
10) (FGV-SP) Resolvendo o sistema de equações: 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b
74y x
13y5x
3y3x
 temos que: 
a) x = 1, y = 0 
b) é impossível 
c) é indeterminado 
d) x = 3, y = \u20131 
e) é determinado 
 
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11) (UFSC) Dado o sistema 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02d\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02d
\uf02b
\uf03d\uf02b
101)3(z4x
5y )2(x
2
z)3(x
4y2x
, o valor de 2x \u2013 y \u2013 3z é: 
 
12) Se (x, y, z) é a solução do sistema 
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d
\uf03d
\uf03d
\uf02d
15.5.5
49
7.7
7
1/33.9.3
zyx
zy
x
zyx
, então, x + y + z é igual a: 
 
13) Determine o valor de \u2015k\u2016 para que o sistema homogêneo 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02d\uf02d
\uf03d\uf02d\uf02d
0zky2x
02z2yx
0zyx
 admita soluções não-triviais. 
 
14) Faça a discussão do sistema 
\uf0ef
\uf0ee
\uf0ef
\uf0ed
\uf0ec
\uf03d\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02b
\uf03d\uf02b\uf02d
m3y3x
2zy2x
12zyx
 em função do valor de \u2015m\u2016. 
 
 
15) Determine os valores de \u2015a\u2016, de modo que o sistema dado nas incógnitas x, y e z tenha: 
 
 
a) nenhuma solução, 
b) mais de uma solução, 
c) solução única. 
 
 
Tópico Especial: Análise de Métodos Diretos