Questões sortidas III de geometria analítica

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Trabalho de álgebra linear
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annie.passeidireto@gmail.com
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Autora:
Annie Gabrielle de Oliveira Silva
14 de setembro de 2021
annie.passeidireto@gmail.com
CONTEÚDO 1 ETAPA I – TAMANHO DAS CORREIAS
Quem sou eu?
Olá, meu nome é Annie e sou graduanda em geofísica pela Universidade Federal da Bahia e pré-
vestibulanda para o Instituto Tecnológico da Aeronáutica. Antes do pré-vestibular, era graduanda,
concomitantemente a geofísica, de engenharia elétrica pela Faculdade de Tecnologia e Ciência.
Atualmente, atuo como tutora de várias disciplinas e tenho certeza que podemos aprender muito.
Sendo assim, bons estudos!
Conteúdo
1 Etapa I – Tamanho das correias 1
2 Etapa II- Matriz das demandas 3
3 Etapa III- Ocupação 5
4 Etapa IV- Materiais 8
*Conteúdo interativo! Clique na etapa que deseja ler ,
1 Etapa I – Tamanho das correias
Questão 1
Imagine que você é trainee em uma empresa que trabalha com a distribuição de peças
mecânicas, a Distribuidora X. Em uma das reuniões de rotina, a gerência apresentou
um novo projeto, que corresponde a instalação de novas correias transportadoras em
um de seus galpões. Uma das correias ligaria o depósito 1 ao depósito 2 e a segunda
ligaria o depósito 2 ao depósito 3, realizando as mudanças estruturais necessárias. O
galpão está apresentado a seguir:
Você foi envolvido no projeto para auxiliar nas estimativas iniciais. Considerando
que as correias não possuem elevação, que a Correia I inicia na posição P1 e acaba
em P2, e que a Correia II começa em P2 e acaba em P3:
Achei essa questão estranha, mas acredito que, para esta questão, basta somente possuir o
conhecimento de plano cartesiano e utilizar a fórmula de distância entre dois pontos. Segue abaixo
a fórmula e uma nova visualização da figura 1 dadas as coordenadas do ponto P1, P2 e P3.
A fórmula é dada por:
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
a) Qual o tamanho da Correia I?
1
1 ETAPA I – TAMANHO DAS CORREIAS
Figura 1: Galpão.
2
2 ETAPA II- MATRIZ DAS DEMANDAS
O tamanho da Correia é dada pela distância entre os pontos P1 = (40,60) e P2 = (50,0).
d(P1, P2) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
d(P1, P2) =
√
(50 − 40)2 + (0 − 60)2
d(P1, P2) ≈ 60,83 m
b) Qual o tamanho da Correia II?
O tamanho da Correia II é dada pela distância entre os pontos P2 = (50,0) e P3 = (90,30).
d(P2, P3) =
√
(x3 − x2)2 + (y3 − y2)2
d(P2, P3) =
√
(90 − 50)2 + (30 − 0)2
d(P3, P2) = 50 m
c) Se fosse necessária uma terceira correia(Correia III), ligando P1 a P3,
qual tamanho ela teria?
O tamanho da Correia III é dada pela distância entre os pontos P1 = (40,60) e P3 = (90,30).
d(P1, P3) =
√
(x3 − x1)2 + (y3 − y1)2
d(P1, P3) =
√
(90 − 40)2 + (30 − 60)2
d(P3, P2) ≈ 58,31 m
2 Etapa II- Matriz das demandas
A ideia de instalar essas novas correias motivou novas ações, incluindo a interligação
dos diversos galpões da empresa, com o intuito de otimizar o tempo de transporte
de itens de um para outro. A seguir estão apresentados os galpões e quais os fluxos
possíveis de transporte de peças mecânicas.
Figura 2: Interligação entre os galpões da empresa.
3
2 ETAPA II- MATRIZ DAS DEMANDAS
Figura 3: Exemplo de fluxo.
Em situações como essa, podemos usar uma matriz para simular a inter-relação
entre os galpões. Seu supervisor gostaria que analisasse os fluxos entre os galpões
usando matrizes e como exemplo, ele apresentou a situação da figura 3.
Pode-se representar essa situação como uma matriz, em que, na primeira linha
apresentam-se as ligações entre A e demais pontos e na segunda linha apresentam-se
as ligações entre B e demais pontos. Se há fluxo, o elemento na matriz será “1”, se
não houver, o elemento será zero. Sendo assim, como se tem duas posições, deve-se
considerar uma matriz 2x2 apresentada abaixo.
(
0 1
0 0
)
Percebe-se que A não se liga com ele mesmo, por isso o elemento da primeira linha/-
primeira coluna será zero, mas será 1 na segunda linha, pois há fluxo de A para B. Já
posição B não tem fluxo levando a nenhuma posição.
Questão 2
a) Apresente a matriz A, que representa os fluxos de peças entre os galpões.
Dada a figura 2, podemos montar a matriz A. A linha em vermelho representa o fluxo
orientado do galpão A, o qual possui conexão com B e C. A linha em verde representa
o fluxo do galpão B e o mesmo possui conexão com os galpões A e C. Já a linha azul,
representa o fluxo do galpão C, o qual somente tem conexão com o galpão B.
A =
⎛
⎜
⎝
0 1 1
1 0 1
0 1 0
⎞
⎟
⎠
b) Apresente a matriz D, que representa as quantidades totais das demandas, em milhões
de unidades, definida pela matriz A multiplicada pela matriz M.
M =
⎛
⎜
⎝
0 1 2
1 0 2
1 2 0
⎞
⎟
⎠
4
3 ETAPA III- OCUPAÇÃO
Assim,
A ⋅M =D =
⎛
⎜
⎝
0 1 1
1 0 1
0 1 0
⎞
⎟
⎠
⋅
⎛
⎜
⎝
0 1 2
1 0 2
1 2 0
⎞
⎟
⎠
Colori para uma melhor visualização.
D =
⎛
⎜
⎝
0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2
1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 0
0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 0 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ 0
⎞
⎟
⎠
D =
⎛
⎜
⎝
2 2 2
1 3 2
1 0 2
⎞
⎟
⎠
3 Etapa III- Ocupação
Questão 3
Existe uma maneira de calcular a ocupação de cada galpão, utilizando a matriz D das
demandas, que corresponde à resposta da questão “b” da ETAPA II.
Para isso, primeiramente, é preciso calcular os autovalores da matriz D. Depois escolha
o autovetor que corresponde ao autovalor mais alto dentre os autovalores calculados.
Divida cada coordenada do autovetor pela soma de suas coordenadas. Os valores en-
contrados vão corresponder à ocupação dos galpões, respectivamente, do Galpão A,
do Galpão B e do Galpão C.
a) Calcule os autovalores da matriz D.
Pelo polinômio característico. Fazemos,
p(λ) = det(D − λIn)
Sendo In a identidade:
5
3 ETAPA III- OCUPAÇÃO
RRRRRRRRRRRRRR
2 − λ 2 2
1 3 − λ 2
1 0 2 − λ
RRRRRRRRRRRRRR
2 − λ 2
1 3 − λ
1 0
= (2 − λ) ⋅ (3 − λ) ⋅ (2 − λ) + 2 ⋅ 2 + 0 − {2 ⋅ (2 − λ) + 0 + 2 ⋅ (3 − λ)}
⇒ −λ3 + 7λ2 − 12λ + 6⇒ −(λ − 1) ⋅ (λ2 − 6λ + 6)
∴ −(λ − 1) ⋅ [λ + (
√
3 − 3)] ⋅ [λ − (
√
3 + 3)]
O autovalores são dados por: λ1 = 1 , λ2 =
√
3 − 3 e λ3 =
√
3 + 3
b) Apresente o autovalor de valor mais alto.
O autovalor mais alto possui o valor de
√
3 + 3.
c) Apresente o autovetor do autovalor calculado em “b”.
Os autovetores para cada λ são dados por:
(D − λIn) ⋅ v = 0
λ3 =
√
3 + 3
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
2 2 2
1 3 2
1 0 2
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
−
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
√
3 + 3 0 0
0
√
3 + 3 0
0 0
√
3 + 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
√
3 − 1 2 2
1 −
√
3 2
1 0 −
√
3 − 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⇒
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
−
√
3 − 1 2 2
1 −
√
3 2
1 0 −
√
3 − 1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⋅
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
x
y
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
=
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
0
0
0
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Teremos os sistemas e as soluções:
⎧⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎩
−(
√
3 + 1) ⋅ x + 2 ⋅ y + 2 ⋅ z = 0(1)
1 ⋅ x −
√
3 ⋅ y + 2 ⋅ z = 0(2)
1 ⋅ x + 0 ⋅ y − (
√
3 + 1) ⋅ z = 0 ∴ x = (
√
3 + 1)z ⇒ x = (
√
3 + 1)z (3)
Aplicando (3) em (1) e em (2), fazemos:
6
3 ETAPA III- OCUPAÇÃO
−(
√
3 + 1) ⋅ x + 2 ⋅ y + 2 ⋅ z = 0
−(
√
3 + 1) ⋅ (
√
3 + 1)z + 2y + 2z = 0
(−3 − 2
√
3 + −1)z + 2y + 2z = 0
(−2 − 2
√
3)z = −2y
−2(1 +
√
3)z = −2y
y = (1 +
√
3)z
(2): Sabendo os valores de x e y.
1 ⋅ x −
√
3 ⋅ y + 2 ⋅ z = 0
(
√
3 + 1)z −
√
3(
√
3 + 1)z = 2z = 0
(
√
3 + 1)z − (3 +
√
3)z + 2z = 0
(
√
3 −
√
3 + 1 − 3 + 2)z = 0
0z = 0
Então, esta equação não apresenta informação sobre o valor de z.
Sendo assim, podemos encontrar o autovetor associado.
A solução geral S =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
(
√
3 + 1)z
(
√
3 + 1)z
z
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
= z ⋅
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
√
3 + 1
√
3 + 1
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
. O auto-vetor é dado por :
V4 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
√
3 + 1
√
3 + 1
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
d) Calcule as ocupações de cada galpão.
Como foi dito anteriormente, devemos dividir cada coordenada do autovetor V4 encontrado
no item c pela soma das coordenadas. Fazemos,
V4 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
√
3 + 1
√
3 + 1
1
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
Ð→ Soma = (
√
3 + 1) + (
√
3 + 1) + 1 ∴ Soma = 2
√
3 + 3
7
4 ETAPA IV-MATERIAIS
Calculando as ocupações dos galpões A, B e C:
1
2
√
3 + 3
⋅ V4 =
⎡
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
√
3 + 1
2
√
3 + 3
√
3 + 1
2
√
3 + 3
1
2
√
3 + 3
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⇒
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
Ocupação Galpão A =
3 −
√
3
3
Ocupação Galpão B =
3 −
√
3
3
Ocupação Galpão C =
−3 + 2
√
3
3
4 Etapa IV- Materiais
Questão 4
Pretende-se, para realizar todas as adequações pretendidas, comprar materiais A, B
e C para a construção e modificação da estrutura. Sabendo que o custo de A é R$
50,00, o custo de B é R$70,00 e o custo de C é R$ 30,00, considere:
• O custo envolvido na compra de A e B deve ser de R$ 17.000,00;
• O custo envolvido na compra de B e C deve ser de R$ 16.000,00;
• O custo envolvido na compra de A e C deve ser de R$ 19.000,00.
a) Quais as quantidades de cada material a ser comprado?
A quantidade de cada material a ser comprado é obtido a partir da resolução do sistema
abaixo. "a" é o custo envolvido na compra do material A, assim como os custos "b"e "c"para
os materias B e C.
⎧⎪⎪⎪⎪
⎨
⎪⎪⎪⎪⎩
a + b = 17000 (i)
b + c = 16000 (ii)
a + c = 19000(iii)
⇒ (iii) − (ii) + (i)⇒
⎧⎪⎪
⎨
⎪⎪⎩
a + b = 17000
a − b = 3000
∴ a = 10000
Assim, b = 7000 e c = 9000 .
Dado que sabemos os custos envolvidos na compra de cada material e o custo de cada uni-
dade, temos que as quantidades de material a ser comprado são dadas por:
A
10000
50
= 200⇒ A = 200 unidades
8
4 ETAPA IV- MATERIAIS
B
7000
70
= 100⇒ B = 100 unidades
C
9000
30
= 300⇒ C = 300 unidades
b) Considerando as quantidades encontradas em “a”, se o custo dos três materiais fosse
R$ 50,00, qual seria o custo total?
Considerando que o custo de cada material seria o mesmo e as quantidades encontradas no
item a, fixas, podemos fazer:
A +B +C = 600 unidades
50 ⋅ 600 = R$30000
9
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	Etapa II- Matriz das demandas
	Etapa III- Ocupação
	Etapa IV- Materiais