Capítulo 1 - Conceitos básicos de probabilidade - Murilo

= [X1,X2,...,Xn] onde todas as variáveis Xi são definidas no mesmo espaço de probabilidades (S,
,P(·)). A função de distribuição acumulada conjunta, representada por FX(x1,...,xn), é definida por:
 FX(x1,...,xn) = P[X1 ≤ x1 
 ... 
 Xn ≤ xn]
 Seguindo a mesma sequencia utilizada na apresentação das variáveis unidimensionais, podemos ter: 
 (a) o vetor X = [X1,...,Xn] contendo apenas variáveis discretas, ou seja, RX é um conjunto finito ou infinito enumerável. Nesse caso podemos definir a função de probabilidade conjunta como sendo:
 Definição 20: Se [X1,...,Xn] é uma variável n-dimensional discreta, então a função de probabilidade conjunta, representada por pX (x1, ..., xn), é definida por:
 pX(x1,...,xn) = P[X1 = x1 ∩...∩ Xn = xn] para (x1, ..., xn) 
 RX
 OBS: 
Se o vetor apresentar apenas 2 variáveis X e Y, ou seja, para uma variável bidimensional (X,Y), podemos definir:
 pX(x) = função de probabilidade marginal de X
 pY(y) = função de probabilidade marginal de Y
 Se p(X,Y)(x,y) for a função de probabilidade conjunta, as funções p(x) e p(y) podem ser obtidas do seguinte modo:
 
 
 As funções 
 e 
 representam as distribuições das variáveis X e Y respectivamente.
Com freqüência aparece o problema de se determinar a distribuição de probabilidade de uma variável X em função de um determinado valor Y = yj da variável Y. Por exemplo: X poderá representar a produtividade de um operário ao executar determinada tarefa e Y o nº de horas trabalhadas por dia. O interesse poderá recair na distribuição de probabilidade de X para, por exemplo, Y = 8 horas trabalhadas. Podemos então definir as distribuições condicionadas da seguinte maneira:
 
= (função de probabilidade de X para Y = y) = 
 , 
 p (y) > 0
 
= (função de probabilidade de Y para X = x) = 
, 
 p (x) > 0
Os conceitos de função de probabilidade marginal e função de probabilidade condicionada podem estendidos facilmente para uma variável n-dimensional.
 
O vetor X = [X1, ..., Xn] contendo apenas variáveis contínuas, ou seja, RX é um conjunto infinito não enumerável. Nesse caso podemos definir a função densidade de probabilidade conjunta, representada por fX(x1,..., xn), de tal forma que:
para (x1, ..., xn) 
 R
OBS:
Para a variável bidimensional (X,Y) podemos definir:
 fX(x) = função densidade de probabilidade marginal de X.
 fY(y) = função densidade de probabilidade marginal de Y.
 Se f(X,Y)(x,y), for a função densidade de probabilidade conjunta, as funções f(x) e f(y) serão dadas por:
 
 e 
Se f(X,Y)(x,y) for a função densidade de probabilidade conjunta da variável bidimensional (X,Y), podemos definir as distribuições condicionadas da seguinte forma:
 
 = função densidade de probabilidade de Y dado X = x.
 
 se fX(x) > 0
 fX/Y(x/y) = função densidade de probabilidade de X dado Y = y
 
 se fY(y) > 0
A densidade f(y/x0) pode ser interpretada como representando a distribuição de probabilidade da variável Y para um valor fixado X = x0, que nesse caso estará funcionando como um parâmetro.
Semelhante ao caso da variável discreta, os conceitos de função densidade marginal e densidade condicionada podem ser estendidos para uma variável n-dimensional.
Assim como foi feito para uma variável aleatória contínua unidimensional, a função densidade pode ser obtida da função acumulada. Para uma variável n-dimensional [X1,...,Xn] teremos:
 
 desde que as derivadas parciais existam.
A.11) Independência
 No item A.6) foi apresentado o conceito de eventos independentes e que pode ser extendido para variáveis aleatórias da seguinte forma:
 Definição 21. Seja [X1, ..., Xn] uma variável n-dimensional discreta com função de probabilidade conjunta pX (x1, ...,xn). As variáveis X1,..., Xn serão estatisticamente independentes se e somente se:
 pX(x1, ..., xn) = pX1(x1). ... . pXn(xn)
 Definição 22. Seja [X1, ..., Xn] uma variável n-dimensional contínua com função densidade de probabilidade conjunta fX(x1, ..., xn). As variáveis X1, ..., Xn serão estatisticamente independentes se e somente se:
 fX(x1, ...,xn) = fX1(x1). ... . fXn(xn)
OBS:
É claro que o conceito de independência entre duas ou mais variáveis aleatórias está diretamente ligado ao conceito de distribuição condicional. Por exemplo, se X e Y são duas variáveis contínuas independentes, teremos:
 
 no entanto
 
 o que implica 
, ou seja, a função densidade condicional de X dado Y = y é igual a função marginal de X.
O seguinte importante teorema pode ser demonstrado a partir das definições apresentadas acima.
 Teorema 10. Se X1, ...,Xn são variáveis aleatórias independentes e se Y1 = g1(X1), ..., Yn = gn(Xn), então Y1, ..., Yn são independentes.
 
EXERCICIOS – GRUPO 1
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE /
 Espaços amostrais finitos
Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5 das quais as três primeiras são pretas e as duas últimas são brancas. Uma amostra de tamanho n=2 é retirada com reposição. Sejam os eventos: B1 = {a 1ª bola retirada é preta} e B2 = { a 2ª bola retirada é preta}.
Descreva o espaço amostral do experimento e os eventos B1, B2 e B1∩B2
Determine P(B1), P(B2) e P(B1∩B2)
Repita os itens (a) e (b) considerando a amostragem sem reposição.
Considere um experimento industrial e as variáveis x = tempo de início de uma tarefa e y = tempo de término da mesma tarefa. Sejam os eventos: A = { a tarefa é iniciada às 10:00horas}, B = { a tarefa é executada em exatamente 10 horas} e C = { a tarefa é executada em, no máximo, 10 horas}.
Descreva o espaço amostral
Descreva os eventos A, B, C, A∩B e A∩C.
OBS: Considere que o tempo de execução da tarefa é medido em um período de 0 a 24 horas.
Considere as afirmativas abaixo e diga se são falsas ou verdadeiras:
Se P(A) = 1/3 e P(B0) = ¼, então A e B são disjuntos.
Se P(A) = P(B0), então A0 = B
Se P(A) = 0, então P(A∩B) = 0
Se P(A0) = α e P(B0) = β, então P(A∩B) ≥ 1 – α – β
OBS: A0 e B0 representam eventos complementares de A e B respectivamente.
Sejam A e B dois conjuntos tais que: P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) = z. Determine a probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorra.
Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) = z. Determine: 
 (a) P(A0UB0) 
 (b) P(A0∩B) 
 (c) P(A0UB) 
 (d) P(A0∩B0)
Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=¼, P(A∩B)=P(C∩B)=0 e P(A∩C)=1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra.
 Sejam A, B e C três eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral S. Sabe-se que P(A)=x, P(B)=y, P(C)=z, P(A∩B)=0, P(A∩C)=P(B∩C)=k. Determine a probabilidade de:
Pelo menos um dos eventos ocorrer.
Exatamente um dos eventos ocorrer.
Exatamente 2 dos eventos ocorrerem.
Não mais de 2 dos eventos ocorrerem. 
Numa estante existem 8 livros, sendo 5 de física e 3 de matemática. Uma pessoa retira aleatóriamente três livros da estante. Determine a probabilidade de:
 
2 livros de física e 1 de matemática.
Pelo menos 1 de física.
Um lote de N peças apresenta r1 peças com defeito e r2 peças boas (r1 + r2 = N). Uma amostra de n peças (n < N) é retirada ao acaso do lote. Determine a probabilidade de ocorrer S1 peças defeituosas e S2 peças boas.
Uma urna apresenta 15 bolas azuis, 4 bolas amarelas e 2 bolas vermelhas. Duas bolas são escolhidas ao acaso sem reposição. Ache a probabilidade de que:
As duas sejam azuis.