Capítulo 1 - Conceitos básicos de probabilidade - Murilo

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CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES
A.1) Experimentos Aleatórios
 Quando estudamos física, química ou biologia, nos deparamos com experimentos que podem ser modelados através de equações ou sistemas de equações simples. Como exemplo, podemos citar o caso do movimento retilíneo uniforme (MRU), no qual é observado o movimento de uma partícula com velocidade V constante, tanto em módulo como em direção. Se a posição inicial da partícula, S0, é conhecida, a posição da mesma partícula para um especificado tempo t poderá ser determinada “à priori” utilizando-se a equação S = S0 + v.t. A principal característica desse tipo de modelagem reside no seguinte fato; se repetirmos esse experimento debaixo das mesmas condições iremos obter, a menos, de possíveis erros no processo de medição dos parâmetros s0, v e t, o mesmo resultado para S. 
	Considere agora os seguintes exemplos:
Uma resultante R, aplicada a um corpo de massa m, fará esse corpo se movimentar com uma aceleração a (modelo: R = ma)
Uma resistência elétrica R, submetida a uma d.d.p V, será percorrida por uma corrente i (modelo: V = Ri )
 Em todos os exemplos citados, modelos matemáticos determinísticos podem ser construídos e utilizados para descrever, de forma aproximada, o mundo real. Observe que todos os parâmetros de entrada do modelo podem ser controlados e medidos com razoável precisão.
 No entanto, existem experimentos nas mais diferentes áreas de pesquisa científica que parecem não seguir esse padrão simples, ou seja, quando o experimento é repetido sob as mesmas condições (parâmetros de controle, dados de entrada, etc) resultados diferentes são obtidos. Tais experimentos recebem a designação genérica de experimentos aleatórios ou probabilísticos. A idéia básica é que, para um experimento aleatório, o resultado final (ou saída) não pode ser univocamente determinado através do conhecimento dos parâmetros iniciais (ou entrada). Esses experimentos apresentam 3 características básicas:
O experimentador é incapaz de predizer que particular resultado ocorrerá “à priori”.
O experimento pode ser repetido, pelo menos em teoria, indefinidamente sob as mesmas condições.
Com o aumento do nº de repetições do experimento, emergem certos padrões nas freqüências dos resultados.
Os seguintes experimentos parecem apresentar as características citadas:
Experimento [E1] = { lançar um par de dados distintos e anotar a soma dos pontos}
 - Seja o lançamento ao acaso, de um par de dados em uma superfície e considere a soma dos pontos. Observamos que essa soma não pode ser determinada “à priori” pois o
 movimento dos dados é extremamente complexo e o observador não conseguirá um modelo determinístico adequado para prever um particular resultado.
Experimento [E2] = { medir a quantidade de chuva }
 - A quantidade de chuva (i) em uma determinada área geográfica pode ser avaliada medindo-se parâmetros importantes tais como: temperatura, pressão, umidade do ar, etc. Imagens de satélite podem ser utilizadas para ajudar o trabalho do meteorologista e poderosos programas de computador poderão ser empregados na simulação das condições atmosféricas. O resultado final, no entanto, sempre estará sujeito a fatores completamente imprevisíveis.
Experimento [E3] = { Contar o número de peças defeituosas } 
 - O número de peças defeituosas fabricadas diariamente num determinado processo de produção de uma indústria, está diretamente relacionado ao controle de qualidade implementado e depende de vários fatores; qualificação da mão de obra, manutenção do equipamento, reposição de peças no tempo adequado. Falhas humanas ou mecânicas são sempre imprevisíveis e aleatórias e afetam de maneira significativa a qualidade do produto final.
Experimento [E4] = { Medir a capacidade de carga do subsolo }
 - As propriedades do material “solo” são bastante heterogêneas e, em um mesmo terreno, podem ser encontradas quantidades irregulares de argila, areia, material orgânico, depósitos de rocha e outros materiais. Devido a tais irregularidades, a capacidade de carga do subsolo, parâmetro importante para o dimensionamento da fundação de uma estrutura, pode variar de forma aleatória de um ponto a outro do terreno da futura construção.
A.2) Espaço Amostral e Evento
 Em todos os exemplos citados no item A.1), observamos como principal característica, a impossibilidade de se determinar antecipadamente que particular resultado ocorrerá. A construção do modelo probabilístico adequado para representar tais experimentos tem como ponto de partida a definição do espaço amostral (S).
 Definição 1: O espaço amostral S é a coleção de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório [E].
 Definição 2 : Qualquer evento é um subconjunto do espaço amostral S. O conjunto de todos os eventos de [E] é definido como o espaço dos eventos. O espaço amostral S é o evento certo e φ o evento vazio.
 
 Exemplo 1 – Lançamento de um par de dados
Para o experimento [E1] o espaço amostral pode ser representado da seguinte maneira:
 S1 = {(x,y) 
 R2 I x = 1,...,6 e y = 1,...,6}
	Qualquer par ordenado do conjunto S1 é considerado como sendo um evento simples. Os eventos simples são chamados de pontos amostrais, ou pontos, simplesmente.
	Por exemplo, dizer que um lançamento de dois dados resultou numa “soma igual a quatro” é o mesmo que dizer que o lançamento resultou num dos pontos (1,3),(3,1),(2,2). Portanto, o evento N = {(1,3),(3,1),(2,2)} possui três pontos amostrais e é considerado um evento composto. Um evento composto poderá ser enumerado ponto a ponto ou representado analiticamente usando-se a propriedade, ou condição, que define o evento. Matematicamente um evento é simplesmente o conjunto de pontos amostrais correspondentes à propriedade.
	Considere agora os eventos:
 
 A = {(x,y) 
 S1 I x = y} 
 B = {(x,y) 
 S1 | x > y}
 C = { a face 1 ocorre pelo menos uma vez }
 Teremos:
- Evento união A 
 C = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1) }
- Evento interseção A ∩ C = {(1,1)}
- Evento complementar Ā (em relação à S1) = {(x,y) 
 S1 I x ≠ y}
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
 De modo geral, se S for um espaço amostral associado a um experimento [E] e A1, A2, ..., An n eventos quaisquer de S, teremos;
 
 = evento união (pelo menos um dos eventos Ai ocorre)
	→ ou seja, o evento 
 será o conjunto dos pontos amostrais que pertencem a pelo menos um dos eventos 
 
 = evento interseção (todos os eventos ocorrem) 
	→ ou seja, o evento 
será o conjunto dos pontos amostrais que pertencem a todos os eventos 
 Exemplo 2 – Fabricação de peças
Para o experimento [E3], se a indústria fabricar M peças por dia, o espaço amostral será: 
 S3 = {0,1,2,...,M}
 O evento A = {são fabricadas pelo menos 2 peças defeituosas por dia } = { 2,3,...,M}, terá como evento complementar em relação à S3, o conjunto:
 Ā = {0,1}
 Cada elemento do conjunto S3, que poderá ser representado simbolicamente por w, será um ponto (ou evento simples) do espaço amostral S3.
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
 	Obs: Nos próximos exemplos serão utilizados os seguintes resultados fornecidos pela análise combinatória:
Nº de amostras ordenadas sem repetição de k elementos retirados de um conjunto com n elementos distintos = 
	
Nº de amostras ordenadas com repetição de k elementos retirados de um conjunto com n elementos distintos = 
Nº de amostras não ordenadas sem repetição de classe 
Nº de amostras não ordenadas com repetição de classe 
 Exemplo 3 – Distribuição de r bolas em n compartimentos.
	Considere o experimento [E] = { Distribuir r bolas distinguíveis numacaixa com n compartimentos distinguíveis } – Iremos inicialmente trabalhar com o caso 
	O número de elementos do espaço amostral associado ao experimento, seria dado por um arranjo completo (com repetição) de classe r, ou seja, nr elementos.
	Os seguintes eventos poderão ser definidos:
	A = { as bolas ocupam compartimentos distintos }
	B = { a primeira caixa é ocupada por exatamente j bolas 
}
	Com o auxilio da análise combinatória poderemos determinar o nº de elementos dos eventos A e B, ou seja:
Para o evento A 
 Arranjo simples de classe 
Para o evento B 
 
O esquema de colocação de r bolas em n caixas fornece um modelo interessante para descrever situações tais como as seguintes:
	→ Aniversários
	Se retirarmos 5 pessoas aleatóriamente da população e perguntarmos as suas datas de aniversário, teríamos uma situação semelhante à distribuição de r = 5 bolas (pessoas) em 365 caixas (dias do ano). O número de configurações possíveis para a amostra de 5 aniversários seria 3655.
	→ Nº de lançamentos de um dado
	Considere um dado de 6 faces que é lançado 5 vezes. Teríamos 65 pontos para o espaço amostral, pois o experimento seria equivalente ao lançamento de 5 bolas em 6 caixas distinguíveis.
	É interessante que, para o caso das r bolas serem indistinguíveis (idênticas), o nº de elementos do espaço amostral seria consideravelmente menor: uma combinação com repetição de classe 
	Por exemplo, no caso 
, teríamos:
Bolas distinguíveis : 33 = 27 pontos
Bolas indistinguíveis : 
10 pontos
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
 Seja 
 o espaço dos eventos de um experimento [E], com espaço amostral S. Sejam as propriedades:
Se 
, então 
Se 
 então 
 Definição 3: Qualquer coleção de eventos com as propriedades (i), (ii) e (iii) é chamada de álgebra de eventos.
 Teorema 1 : Seja 
 uma álgebra de eventos de S. Então valem as seguintes propriedades:
Se 
, então 
 e 
 
 OBS: A demonstração desse teorema (e dos próximos) pode ser encontrada no texto de MOOD, 1974, ou em MONTGOMERY, 2002.
 Vamos supor que o espaço dos eventos 
 também satisfaça a propriedade:
 (iii)’ Se 
, então 
 Nesse caso teremos a definição:
 Definição 4: Qualquer coleção de eventos com as propriedades (i), (ii) e (iii)’ é chamada de σ-álgebra de eventos.
OBS: É claro que uma σ-álgebra de eventos é sempre uma álgebra, pois (iii) é conseqüência de (iii)’.
 Teorema 2: Seja 
 uma σ-álgebra de eventos de S. Se 
, então 
Com o resultado apresentado no Teorema 2, podemos afirmar que uma σ-álgebra é fechada para uma quantidade enumerável de aplicações das operações união 
, interseção 
 e complementar.
A.3) Função de probabilidade
 Na teoria não existe a preocupação com o problema envolvendo a definição do conceito de probabilidade associada a cada evento de um experimento aleatório [E], ou seja, admite-se inicialmente que o conceito seja intuitivo e que existem as probabilidades em uma certa σ-álgebra 
 de eventos. Em outras palavras, é pressuposto que esses números sejam dados e a teoria nada exige sobre seus valores reais ou sobre a forma como eles são obtidos na prática; a obtenção de valores numéricos para as probabilidades passa a ser uma preocupação no domínio das aplicações.
 Nesse ponto é introduzido o conceito de função de probabilidade:
 Definição 5: A função de probabilidade P[·] é uma função com domínio 
 (uma σ-álgebra de eventos) e tendo como contradomínio, o intervalo de números reais [0,1]. A função P[·] deve satisfazer aos seguintes axiomas:
P(A) ≥ 0 para cada 
P(S) = 1
Se A1, A2, ..., An, ..., é uma seqüência de eventos mutuamente excludentes em 
 (isto é Ai 
Aj = 
 se i ≠ j), então 
 A definição 5, com os axiomas (i), (ii) e (iii), é conhecida como a definição axiomática de probabilidade e foi apresentada inicialmente pelo matemático russo Kolmogorov constituindo-se assim como a base matemática da Teoria das Probabilidades. É claro que a definição 5 é puramente matemática e, conforme já citado, não mostra como calcular probabilidades para determinados eventos. Essa questão dependerá das simplificações adotadas em cada caso e dos dados estatísticos associados a cada experimento.
 Com os axiomas (i), (ii) e (iii) os seguintes teoremas poderão ser demonstrados (ver MOOD, 1974, ou MONTGOMERY, 2002):
 Teorema 3: Se 
 = evento vazio, então P(
) = 0
 Teorema 4: Se A1,A2,...,An são n eventos mutuamente excludentes em 
, então
 
 Teorema 5: Se A é um evento em 
, então
 
 Teorema 6: Se 
, então P(A
B) = P(A)+P(B)-P(A
B) (regra da adição para 2 eventos).
 OBS: Usando indução matemática, o resultado apresentado no Teorema 6 poderá ser generalizado para n eventos quaisquer A1,A2,...,An, obtendo-se:
 Teorema 7: Se 
, então
 P(A1
A2
...
An) ≤ P(A1)+P(A2)+...+P(An)
A.4) Espaço de probabilidades
 Os experimentos [E1],…,[E4] apresentados no ítem A.1), devido às suas características, poderão ser estudados matematicamente através de um modelo, conhecido como modelo probabilístico, construído em 3 etapas, quais sejam:
A definição de um conjunto contendo todos os resultados possíveis, o espaço amostral S.
A definição de uma σ-álgebra de eventos, 
 
A definição de uma função de probabilidade P(•) com domínio 
 O trio formado por S, 
 e P(·) é chamado de espaço de probabilidades e se constitui como um modelo adequado para o estudo dos experimentos probabilísticos.
 Exemplo 4 – Aplicação da Regra da Adição
 Sejam A, B e C três eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral S. Sabe-se que P(A)=x, P(B) = y, P(C) = z, P(A
B) = 0, P(A
C) = P(B
C) = k.
Determine a probabilidade de:
Pelo menos um dos eventos ocorrer.
- Trata-se do evento A
B
C. Usando o teorema 6, teremos:
Exatamente um dos eventos ocorrer.
- Temos agora o evento 
Logo
P[exatamente um dos eventos ocorrer] = 
Observe que os três eventos entre colchetes são mutuamente excludentes valendo portanto, o axioma 3 da definição 5.
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 Exemplo 5 – Espaço Amostral Finito
 Como conseqüência dos axiomas (i), (ii) e (iii) da definição 5, demonstra-se facilmente que a probabilidade de qualquer evento A, contido num espaço amostral finito com n elementos e tendo cada elemento a mesma probabilidade de ocorrer, será dada por:
, sendo 
 o número de elementos do evento.
Esse resultado não pode ser tomado como “definição” de probabilidade; trata-se de um resultado particular a ser aplicado para espaços amostrais finitos e equiprováveis.
 Assim, considere um baralho de cartas com 4 naipes de 13 cartas: paus, ouros, copas e espadas.
Qual a probabilidade de que em uma mão de 5 cartas exatamente 3 sejam paus?
- O espaço amostral do experimento é finito com número de elementos 
A probabilidade desejada será:
Qual a probabilidade de que exatamente 3 cartas sejam do mesmo naipe?
- Como não existe a especificação do naipe, teremos:
A1 = {3 cartas de paus}
A2 = {3 cartas de ouros}
A3 = {3 cartas de espadas}
A4 = {3 cartas de copas}
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
	
 Exemplo 6 – Pôquer
	Numa versão simplificada, útil como ilustração da aplicabilidade da fórmula 
, iremos considerar “jogar pôquer” como sendo o experimento aleatório E = { retirar ao acaso 5 cartas de uma baralho }.
	Como no exemplo 5, o espaço amostral é finito com n = C(52,5). Sejam os eventos:
A = { ocorre um par } = { x,x,y,z,k }; sendo x,y,z e k, cartas distintas. O nº de elementos do evento 
será dado por:
 (número de alternativas para a carta x). 
(variação do naipe da carta x). 
(número de alternativas para a escolha das cartas y,z,k). 
 (variação do naipe das cartas y,z e k), ou seja,
B = { ocorre uma trinca } = { x,x,x,y,z }
Esse problemaé bem semelhante ao do item anterior, sendo n(B) dado por:
C = { ocorre um “full hand” (uma trinca e um par) } = { x,x,y,y,y}
( número de alternativas para a escolha das cartas x e y; é um arranjo simples pois a amostra é ordenada e sem reposição). 
(variação do naipe da carta y). 
(variação do naipe da carta x).
D = { ocorre um “straight flusch” (cinco cartas do mesmo naipe, em sequencia) }
 (nº de sequencias com 5 cartas). 4(nº naipes)
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Exemplo 7 – Células expostas à radiação
	Um caso particular, para o nº de amostras ordenadas sem repetição, ocorre quando k = n. Nesse caso teremos:
	A(n,n) = n!/(n-n)! = n!
	Qualquer arranjo simples de classe k = n é conhecido como permutação; temos portanto n! Permutações. Se os n objetos forem divididos em r grupos distintos de tamanhos n1, n2, ..., nr, de tal forma que:
	n1 objetos do tipo 1
	n2 objetos do tipo 2
	
	nr objetos do tipo r
sendo n1 + n2 + ...+nr = n, teremos, para o número de permutações possíveis, a expressão:
	
	-esses números são chamados de Coeficientes Multinomiais
	Uma aplicação interessante que envolve o caso emque células são expostas à radiação. Se o nível de radiação é excessivo, os cromossomos quebram numa parte “longa” e numa parte “curta”. Considere um grupo de vinte diferentes cromossomos afetados, cujas partes foram posteriormente unidas de forma aleatória:
Qual é a probabilidade de que nenhuma parte longa se una a qualquer parte curta?
O nº de maneiras de organizar as 40 partes em 20 pares ordenadas será dada por:
	
 (ver a expressão anterior)
Portanto, há 40!/(2!)20 maneiras de organizar os cromossomos em 20 pares não ordenados. Usando o mesmo raciocínio, as 20 partes longas podem ser organizadas de 20!/210.(10)! maneiras, o mesmo acontecendo com as partes curtas. Teremos então, para a probabilidade desejada, o valor 
Qual a probabilidade de que as partes sejam unidas na ordem original?
Só existe uma alternativa favorável ao evento; a probabilidade será então:
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
 
	
	
Exemplo 8 – Distribuição de r bolas numa caixa com n compartimentos 
	Já vimos, no exemplo 3, que o número de elementos do espaço amostral associado ao experimento E = {distribuir r bolas distinguíveis numa caixa com n compartimentos} é 
. Seja obter a probabilidade do evento:
	A = {nenhuma caixa é ocupada por mais de uma bola}, o que equivale a dizer que as bolas ocupam compartimentos distintos. O mesmo exemplo 3 já forneceu 
; conclui-se que a probabilidade do evento A será dada por:
	A seguir serão apresentadas algumas aplicações práticas da expressão anterior.
Aniversários
Seja o experimento E = {anotar as datas de aniversários de 5 pessoas tomadas ao acaso da população}. Nesse caso teremos n = 365 dias e r = 5 pessoas; a probabilidade de que todos os 5 aniversários caiam em dias diferentes do ano vale
É claro que esse valor vai diminuir à medida que r aumentar (veja a tabela 1).
	r
	5
	10
	30
	50
	100
	P(A)
	0,973
	0,883
	0,294
	0,035
	129 x 10-6
Tabela 1 – Valores de r e P(A) para o exemplo (7a)
Formação de Números
Considere a população formada pelos dez algarismos 0,1,...,9 e seja o experimento E = {formar um número com 4 algarismos retirados ao acaso}.
A probabilidade do evento B = {o número é formado por algarismos distintos} será dada por:
n bolas em n caixas
Nesse caso, temos o caso particular em que n = r. A probabilidade do evento A = {n bolas em n compartimentos distintos} vale
Essa probabilidade é bastante reduzida para valores elevados de n; por exemplo, para n = 7 (veja tabela 2) o resultado vale 0,00612. Pensando numa possível aplicação, podemos afirmar que, caso ocorram em média 7 defeitos por semana numa linha de produção de uma grande fábrica, é bastante improvável que os defeitos ocorram em dias diferentes da semana (é claro, o raciocínio só é válido se todas as possíveis distribuições de defeitos sejam igualmente prováveis, o que não ocorre na prática de um processo de fabricação)
	n
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	n!/nn
	0,5
	0,222
	0,094
	0,038
	0,015
	0,00612
	0,0024
	9,4x10-4
	3,6x10-4
Tabela 2 – Valor de n e P(A) para o exemplo (7c)
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Exemplo 9 – Uma situação particular para o problema das r bolas em n compartimentos
Considerando novamente a distribuição de r bolas distinguíveis numa caixa com n compartimentos (com 
), seja agora o problema: qual a probabilidade de que a caixa 1 contenha exatamente j bolas, 
?
É claro que as j bolas podem ser escolhidas de 
maneiras diferentes e as restantes 
bolas podem ocupar a caixa de 
 maneiras. Isso posto, a probabilidade do evento citado será:
Fazendo uma aplicação para o ítem (a) (aniversário) do exemplo 7, podemos calcular a probabilidade do evento B = { os aniversários de duas dentre as cinco pessoas escolhidas ao acaso ocorram no dia 1º de Janeiro } como sendo:
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
Exemplo 10 – O caso das bolas não distinguíveis 
Existem várias situações nas quais as r bolas, colocadas aleatóriamente nos n compartimentos da caixa, devem ser consideradas como indistinguíveis. Um exemplo seria o lançamento de r dados iguais, equivalente à distribuição de r bolas em n = 6 compartimentos (nessa espécie de problema podemos considerar r > n). Outra situação envolveria a distribuição do número de acidentes pelos dias da semana numa fábrica, caso o interesse estiver concentrado na distribuição de acidentes e não nos diferentes tipos. Por exemplo, se considerarmos 10 acidentes, uma ênupla do tipo (1,3,1,0,0,2,3) seria uma possível configuração.
A solução do problema de se determinar o número de distribuições distintas de r bolas indistinguíveis numa caixa com n compartimentos, pode ser mais fácilmente encontrada considerando-se o problema equivalente que seria determinar o número de soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = r, onde xi representa o número de bolas no i-ésimo compartimento. Esse problema pode ser dividido em 2 partes:
O número de soluções inteiras positivas (sem conter o zero) da equação x1 + x2 + ...+ xn = r
 
 Podemos escrever a equação acima na forma:
 1 + 1 + 1 + ... + 1 = r
 Como estamos interessados em expressar o inteiro positivo r como soma de n inteiros positivos, basta colocarmos n – 1 barras divisoras entre os r 1’s. Isto pode ser feito de 
maneiras diferentes.
O número de soluções inteiras não negativas da equação x1 + x2 + ... + xn = r
 Se permitirmos que as variáveis xi possam assumir o valor zero ( o que equivale a nenhuma bola ocupando o i-ésimo compartimento) teríamos uma sequência com os r 1’s acrescentados de (M - 1) espaços. O número de soluções seria equivalente ao número de maneiras de se escolher (n - 1) posições dentre (n + r - 1) disponíveis. Isto pode ser feito de 
maneiras diferentes, ou 
.
	Sejam as seguintes aplicações:
Seja o experimento E = { distribuir 8 presentes idênticos em 5 caixas diferentes }. Considere o evento A = { nenhuma caixa permanece vazia }; a probabilidade de A vale:
 
Lançamento de 10 dados indistinguíveis
Temos agora r = 10 e n = 6. A probabilidade do evento B = { cada face aparece pelo menos 1 vez } ( ou seja, não ocorre caixa vazia ) será:
 
***** ***** ***** ***** ***** ***** *****
 Exemplo 11 – Um problema do século XVI
	Considere um dado com 6 faces e as duas situações seguintes:
E = { lançar quatro dados }; seja o evento A = { ocorre pelo menos um resultado igual a 1 }
E = { lançar dois dados 24 vezes }; seja o evento B = { ocorre pelo menos um duplo 1 }
→ Qual dos dois eventos possui a maior probabilidade?
	Esse problema foi proposto por Cardano (1501 – 1576), que é apresentado na história da Teoriadas probabilidades não só como excelente matemático, mas como um inveterado jogador, tendo feito fortuna com jogos envolvendo dados e baralho.
	O problema pode ser resolvido com mais facilidade utilizando-se o Teorema do Evento Complementar. Teremos então:
	→ para o evento A:
	 
	→ para o evento B:
	 
	Os jogadores da época (exceto Cardano; é claro) tendiam a imaginar que o evento B era mais provável.
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A.5) Probabilidade Condicional
 É freqüente ocorrer, em determinadas situações práticas, que 2 ou mais eventos estejam probabilisticamente condicionados, ou seja, a probabilidade de um evento só pode ser determinada com o conhecimento da possível ocorrência ou não ocorrência de outro evento. Por exemplo, se uma urna contém 50 peças, 10 com defeito e 40 perfeitas, e se 2 peças são retiradas da urna sucessivamente sem reposição, os eventos
 A1 = {a 1ª peça retirada é defeituosa}
 A2 = {a 2ª peça retirada é defeituosa}
são claramente condicionados. Teremos nesse caso:
 
 
 (lê-se, “probabilidade de ocorrer o evento A2 dado que o evento A1 ocorreu)
 Dados 2 eventos A e B, a probabilidade condicional pode ser definida da seguinte maneira:
 Definição 6: Seja (S, 
, P(·)) um espaço de probabilidades. 
 Se B
 e P(B) > 0, a probabilidade condicional de ocorrer A dado B é definida por:
 
 É claro que a definição pode ser apresentada na forma:
 
	OBS: 
A expressão que aparece na definição 6 pode ser interpretada da seguinte forma: Se o evento B ocorrer, então, para que A ocorra é necessário que aconteça um ponto no evento A∩B, isto é, B passa a funcionar como um novo espaço amostral (espaço amostral reduzido).
Nos dois casos, decorre da definição, que a probabilidade do evento interseção, A
B, pode ser determinada por:
 P(A
B) = P(A/B).P(B) ou P(A
B) = P(B/A).P(A)
 Esse resultado é conhecido na teoria como “regra da multiplicação” para 2 eventos. Por indução, a regra pode ser generalizada para n eventos A1, A2, ...,An obtendo-se:
P(A1
A2
...
An) = P(A1).(PA2/A1).P(A3/A1
A2). ... .P(An/A1
...
An-1)
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 Exemplo 12 – 
A fundação de um prédio pode falhar por capacidade de carga (evento C) ou por deformação excessiva (evento D) ou ambos. Dados P(C)=0,001, P(D)=0,008 e P(C/D)=0,1, determine:
A probabilidade de falha da fundação
A probabilidade de que ocorra uma deformação excessiva mas a fundação não falhe por capacidade de carga.
Teremos:
 P(falha da fundação) = P(C
D) Usando o teorema 6,
 P(C
D ) = P(C)+P(D) - P(C
D) Usando a regra da multiplicação,
 P(C
D) = P(C/D).P(D) = (0,1).(0,008), no que resulta,
 P(C
D) = 0,001 + 0,008 - (0,1).(0,008) = 0,0082
O evento pode ser representado por 
. Usando a regra da multiplicação
 
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 Exemplo 13 –
 Para que uma seção de 200 metros de uma rodovia seja aceita pelo departamento de estradas é necessário que a espessura de 20cm seja confirmada pelo teste de ultra-som. Sabe-se que a confiabilidade desse teste é de 80% e, além disso, experiências anteriores com o construtor indicam que o mesmo constrói 90% do pavimento da rodovia dentro das especificações.
Qual é a probabilidade de que um determinado trecho de 200 metros seja bem construído e aceito pelo teste?
Sejam os eventos:
	G = { teste correto }
	A = { pavimento bem construído }
	Como o conectivo “e” é utilizado na pergunta, trata-se do evento 
. Usando a regra da multiplicação apresentada na definição 6, teremos:
�� EMBED Equation.3 
 = (0,80).(0,90) = 0,72
Qual é a probabilidade de que um determinado trecho seja construído incorretamente e aceito pelo teste?
Trata-se agora do evento 
	Usando a regra da multiplicação e o teorema do evento complementar, teremos:
	
	 = 0,20 x 0,10 = 0,02
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 Exemplo 14 – 
	Consideremos novamente a situação do exemplo inicial no qual uma urna contém 50 peças (10 defeituosas e 40 perfeitas) e duas peças são retiradas sucessivamente e sem reposição. Vamos supor agora que as peças sejam parafusos com comprimentos diferentes, sendo os defeituosos com comprimento x e os perfeitos com comprimento y. Além disso, a seguinte hipótese será considerada: a probabilidade de que o próximo parafuso a ser retirado da urna seja igual ao comprimento do parafuso dividido pela soma dos comprimentos de todos os parafusos na urna naquele momento. Qual a probabilidade de que ambos os parafusos sejam defeituosos?
	Observe que, se cada parafuso tivesse a mesma probabilidade de ser escolhido, a resposta seria:
	
	Com a hipótese formulada, o espaço amostral não será mais equiprovável. Teremos então:
	
 e 
	
			
			***** ***** ***** ***** ***** *****
	
 Em determinados experimentos, o espaço amostral pode ser representado por uma coleção de eventos {B1,B2,...,Bk}, formando uma partição em S ou seja:
 Bi∩Bj = 
 para i ≠ j, e
 
 Por exemplo; um fabricante de parafusos possui 3 máquinas na sua principal linha de fabricação; M1, M2 e M3. Cada uma dessas máquinas pode produzir uma determinada quantidade de parafusos com defeito e o fabricante deseja determinar a probabilidade de se produzir um parafuso defeituoso (evento D).
 Um resultado útil para resolver esse tipo de problema é o conhecido Teorema da Probabilidade Total:
 Teorema 8. (Teorema da probabilidade total). Seja (S, 
, P(·)) um espaço de probabilidades. Se a coleção de eventos {B1, B2,..., Bk} forma uma partição em S, então para todo evento A 
 S, teremos:
 Para a situação do exemplo, se as máquinas M1, M2 e M3 são responsáveis por 50%, 30% e 20% da produção dos parafusos e se a máquina M1 produz 5% de parafusos com defeito, enquanto as máquinas M2 e M3 produzem, cada uma, 3% de defeituosos, teremos:
 P(D/M1) = 0,05
 
 P(D/M2) = P(D/M3) = 0,03
 P(parafuso defeituoso) = P(D) = 
 P(D) = (0,5).(0,05) + (0,3).(0,03) + (0,2).(0,03) = 0,04
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 Exemplo 15 –
	Seja uma sequência de n urnas numeradas 1, ..., n. Cada urna contém x bolas brancas e y bolas pretas. Uma bola é retirada da urna 1 e colocada na urna 2. Em seguida, uma bola é retirada da urna 2 e colocada na urna 3, e assim sucessivamente. Se a primeira bola transferida for preta, qual será a probabilidade de que a última bola escolhida (a da urna n) seja preta?
	Façamos An = {a n-ésima bola escolhida é preta} e 
	Usando o teorema da probabilidade total, teremos:
	
	Onde 
 representa a probabilidade da (n-1)ésima bola ser preta. Logo, 
 ; do mesmo modo: 
 e assim por diante. 
O resultado final para 
 ficará: (confira!)
	
O fato curioso é que, quando n for suficientemente grande, a influência da primeira retirada não será percebida no resultado final.
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 Usando os dados do exemplo inicial da fábrica de parafusos, o fabricante pode se deparar com a seguinte situação; o inspetor do setor de controle de qualidade retira um parafuso e verifica que o mesmo é defeituoso. Qual a probabilidade de ter sido fabricado pela máquina M1?
 Essa probabilidade pode ser determinada com a utilização do Teorema de Bayes:
 Teorema 9. (Teorema de Bayes). Seja (S, 
, P(·)) um espaço de probabilidades. Se a coleção de eventos {B1, B2, ..., Bk} forma uma partição em S, então para todo evento A 
 S, P(A) > 0, teremosA expressão acima poderá ser interpretada da seguinte maneira:
	- A probabilidade de um particular evento da partição (Bj) ter “causado” A [P(Bj/A)] será dada por uma razão na qual, o numerados representa a contribuição de Bj para a ocorrência do evento A e o denominador representa a soma das contribuições de todos os elementos da partição.
 Usando os dados do exemplo anterior e o Teorema de Bayes, podemos responder a questão proposta:
 
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 Exemplo 17
	Considere um conjunto de estacas de fundação para receber a carga de um pilar. Cada conjunto é calculado para suportar uma carga de serviço da ordem de 200 toneladas. No entanto, em determinadas situações muito especiais, a carga pode chegar a 300 toneladas. 
	O engenheiro projetista, baseado na sua experiência e em análises realizadas em solos semelhantes, estima em 0,70 a probabilidade de qualquer conjunto de estacas suportar a carga de 300 toneladas ou mais. Testes de carga específicos também indicaram que, para os conjuntos que não suportam a carga de 300, 50% falham para cargas abaixo de 280 toneladas.
	Determine a probabilidade de um conjunto de estacas suportar 300 toneladas dado que passou no teste de carga para 280.
	Considere os eventos:
	A = {o conjunto de estacas suporta 300 toneladas ou mais}
	T = {o conjunto passou no teste}
	A probabilidade do evento T será:
	
	= 1.(0,70) + (0,5) . (0,3) = 0,85
	Usando o Teorema de Bayes, teremos:
	
	Esse resultado é interessante sob o seguinte aspecto: a informação da ocorrência do evento T (informação à priori) alterou significativamente a avaliação da probabilidade do conjunto de estacas suportar 300 toneladas ou mais (passou de 70% para 82,4%).
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A.6) – Independência de eventos
 Se dois eventos quaisquer A e B forem não condicionados, ou seja, se a determinação da probabilidade de A independe de qualquer informação sobre a ocorrência ou não ocorrência do evento B, o mesmo valendo para o evento B em relação ao evento A, podemos escrever que P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B). Nesse caso teremos a seguinte definição:
 Definição 7. Seja (S, 
, P(·)) um espaço de probabilidades e sejam A e B dois eventos quaisquer em 
. Os eventos A e B são definidos como independentes (estatisticamente independentes) se e somente se,
 P(A
B) = P(A).P(B)
 A definição de independência pode ser generalizada para n eventos quaisquer da seguinte maneira:
 Definição 8. Seja (S, 
, P(·)) um espaço de probabilidades, e sejam A1, A2, ..., An n eventos quaisquer em 
. Os eventos A1, A2, ..., An são definidos como estatisticamente independentes se e somente se:
 P(Ai
Aj) = P(Ai).P(Aj) para i ≠ j
 
 P(Ai
Aj
Ak) = P(Ai).P(Aj).P(Ak) para i ≠j ≠ k
 ׃ 
 ׃ 
 P(A1
A2
...
An) = P(A1).P(A2). ... .P(An)
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 Exemplo 18 – Confiabilidade de um sistema estrutural simples.
 Sendo aplicada a força F, a probabilidade de falha nas barras individuais da treliça da figura são: P(A)=0,05, P(B)=0,04 e P(C)=0,03. Sendo um sistema isostático, a falha de qualquer membro é suficiente para o colapso da treliça.
 Considerando que os eventos A, B e C são estatisticamente independentes, calcule a probabilidade de falha da treliça.
	P(A) = 0,05 P(B) = 0,04 P(C) = 0,03
P(falha da treliça) = 
 = 1- (0,95).(0,96).(0,97)
 = 1 – 0,88464 = 0,11536
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 Exemplo 19 -
	A união de duas vigas numa estrutura metálica trabalha com 25 parafusos de alta resistência. A união deverá ser refeita se pelo menos um parafuso estiver desalinhado. Suponha que o desalinhamento dos parafusos sejam independentes um do outro e tenham a mesma probabilidade.
Se 20% de todas as uniões tiverem que ser refeitas, qual será a probabilidade de um parafuso estar desalinhado?
Usando o resultado da letra (a), qual será a probabilidade de: {exatamente dois parafusos desalinhados}?
Considere o evento:
A = {A união deve ser refeita}
Seja p, a probabilidade de um parafuso estar desalinhado. Usando o Teorema do evento complementar e a definição de independência para n eventos, teremos:
Usando o valor numérico estabelecido para P(A), teremos:
Seja o evento:
B = {exatamente dois parafusos desalinhados}
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A.7) Variáveis aleatórias unidimensionais
 O conceito de variável aleatória é extensivamente utilizado nas mais diversas aplicações da Teoria das Probabilidades à engenharia e está geralmente relacionado a uma grandeza numérica que representa uma característica física do elemento pertencente ao espaço amostral de um experimento aleatório. Por exemplo; ao ensaiar um corpo de prova de concreto, o engenheiro poderá estar interessado em medir a resistência à compressão do corpo ou o seu módulo de elasticidade. No dimensionamento de um sistema de telefonia, o número de chamadas telefônicas no período de pico é uma variável que assume uma especial importância no projeto.
 Simplificando o conceito, podemos afirmar que uma variável aleatória nada mais é do que uma regra que faz um mapeamento dos eventos do espaço amostral S em eventos equivalentes na Reta Real.
 Essa seção irá apresentar, de forma resumida, vários importantes conceitos relacionados à definição de Variável Aleatória e como tais conceitos são aplicados na engenharia.
 Definição 9. Seja (S, 
, P(·)) um espaço de probabilidades. Uma variável aleatória, X, é uma função com domínio S e tendo como contradomínio a Reta Real R. A função X precisa ser tal que o conjunto {X ≤ x} é um evento aleatório para todo x 
 R, ou seja,
 X : S → R é variável aleatória se {X ≤ x} 
, 
x 
 R
 Definição 10. A função de distribuição acumulada de uma variável aleatória X, representada por FX(x), é definida por:
 FX(x) = P(X ≤ x), x 
 R
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 Exemplo 20
 Uma estrutura pode estar submetida, durante a sua vida útil, a 3 níveis de carga representados por A, B e C. As probabilidades de atuação das cargas são dadas por: P(A)=0,5, P(B)=0,8 e P(C)=0,2. Considere que os eventos A, B e C, são estatisticamente independentes. Seja X = {número de níveis de carga atuando na estrutura}
 - Representando por Rx os valores que a variável pode assumir, teremos:
 Rx = {0,1,2,3}
As probabilidades em Rx serão dadas por:
 P(X=0) = (0,5).(0,2).(0,8) = 0,08
 P(X=1) = (0,5).(0,2).(0,8) + (0,5).(0,8).(0,8) + (0,5).(0,2).(0,2) = 0,42
 P(X=2) = (0,5).(0,8).(0,8) + (0,5).(0,2).(0,2) + (0,5).(0,8).(0,2) = 0,42
 P(X=3) = (0,5).(0,8).(0,2) = 0,08
Para a distribuição acumulada, teremos:
 Para x < 0 , F(x) = 0
 Para 0 ≤ x < 1 , F(x) = 0,08
 Para 1 ≤ x < 2 , F(x) = 0,08 + 0,42 = 0,50
 Para 2 ≤ x < 3 , F(x) = 0,08 + 0,42 + 0,42 = 0,92
 Para x ≥ 3 , F(x) = 0,08 + 0,42 + 0,42 + 0,08 = 1
A probabilidade do evento {x ≤ 2}será dada por:
 P(X ≤ 2) = F(2) = 0,92
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A função Fx(x) possui as seguintes 3 propriedades:
Fx(x) é monótona não-decrescente, ou seja, se x1 < x2 então Fx(x1) ≤ Fx(x2)
 e 
é contínua à direita, ou seja:
Demonstra-se que qualquer função F(x) tendo como domínio a Reta Real e contra-domínio o intervalo [0,1], e que satisfaçaas 3 propriedades anteriores, é uma função de distribuição acumulada.
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A.8) Tipos de variáveis aleatórias
 A.8.1) Variável aleatória discreta
 Definição 11. Uma variável aleatória X é discreta se toma um número finito ou infinito enumerável de valores, ou seja, se existe um conjunto finito {x1,...,xn} ou infinito enumerável {x1,...,xn,...}
 R tal que X(w) 
 {x1,...,xn,...}
w
 S
 Se a variável X é discreta, com contradomínio Rx = {x1,...,xn,...}, as probabilidades em Rx serão determinadas com a utilização da função de probabilidade px(x), definida da seguinte maneira:
 Definição 12. Se X é uma variável discreta com Rx = {x1,...,xn,...}, a função de probabilidade px(x) será definida como:
 px(x) = P(X =xi) para x = xi , i = 1,2,...,n,...
 px(x) = 0 para x ≠ xi
 A função de probabilidade p(x) apresenta as seguintes propriedades:
Para qualquer evento A = [X ≤ x]
 Teremos:
 P(A) = FX(x) = ∑ p(xi) para i: xi ≤ x
p(x) ≥ 0 para x 
 R
�� EMBED Equation.3 
OBS: Quando X é discreta, a função acumulada Fx(x) dá um “salto” de valor p(xj) em todo ponto xj 
 Rx . Nesse caso a função de probabilidade px(x) pode ser obtida da função acumulada Fx(x) através da expressão:
 
 A.8.2) Variável aleatória contínua
 Definição 13. Uma variável aleatória X é contínua se existir uma função fx(x) tal que, 
, 
 A função fx(x) é chamada função densidade de probabilidade de X e apresenta as seguintes propriedades:
f(x) ≥ 0 , 
OBS: 
A função acumulada FX(x) de uma variável contínua é chamada de absolutamente contínua.
Como conseqüência direta da propriedade (i), a função densidade fX(x) pode ser obtida da seguinte maneira: 
FX(x) = dFX(x)/dx
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 Exemplo 21 – Resistência de uma barra
 A resistência à tração de uma barra de aço é uma variável aleatória contínua R com a seguinte função densidade:
 fR(r) = (3/500)(r-10).(20-r) para 10 ≤ r ≤ 20 (em r)
Determine a função acumulada FR(r)
 
�� EMBED Equation.3 
Se a barra for submetida a um esforço de tração da ordem de 11 toneladas, qual será a probabilidade de falha (ruptura) da barra?
 Sendo pf = probabilidade de falha. Teremos:
 pf = P(R ≤ 11 toneladas)
 pf = F(11) = 0,028
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A.9) Valor Esperado, Variância e Momentos.
 A caracterização paramétrica de uma variável aleatória é de especial importância para a interpretação e análise dos modelos probabilísticos. O conceito de Momento estará presente na definição de determinados índices de confiabilidade e segurança das estruturas, os quais serão utilizados na construção de importantes técnicas de análise.
 A.9.1) Valor Esperado
 Definição 14. Seja X uma variável aleatória. O valor esperado de X, representado por E(X) ou μ(X), é definido por:
, se X for discreta
, se X for contínua
OBS.
O valor esperado é uma medida de tendência central para a variável aleatória X.
Uma análise cuidadosa das expressões de definição de E(X) sugere uma analogia com o conceito de centro de gravidade utilizado em física clássica. Com isso, o valor esperado apresenta uma interpretação estatística clara: representa o ponto de equilíbrio de uma série de dados, sendo, portanto, fortemente influenciado por valores extremos.
Para que o valor esperado exista, é necessário que a série, no caso discreto, seja absolutamente convergente ou a integral imprópria, no caso contínuo, também seja absolutamente convergente.
 A.9.2)Variância
 Definição 15. Seja X uma variável aleatória e µ(X) o seu valor esperado. A variância de X, representada por σ2(X), é definida por:
, se X for discreta.
, se X for contínua.
OBS:
Para que a variância exista é necessário que a série, no caso discreto, e a integral, no caso contínuo, sejam absolutamente convergentes.
A variância é uma medida de dispersão para a variável aleatória X.
A raiz quadrada positiva da variância, representada por σ(X), recebe o nome de desvio padrão.
Se g(X) for uma função de uma variável aleatória X, o valor esperado de g(X), representado por E[g(X)], será dado por:
 se X for discreta.
 se X for contínua.
É claro que , se g(x) = x, teremos o valor esperado de X e se, g(x) = [x-µ(x)]2, teremos a variância de X.
 A.9.3) Momentos
 Definição 16. Seja X uma variável aleatória e seja g(X) = Xn, n = 1,2,.... O valor esperado E[Xn], quando existe, é chamado de momento de ordem n de X, sendo usualmente representado por 
, ou seja,
 
 Definição 17. Seja X uma variável aleatória e seja g(X) = (X-a)n, n = 1,2,.... O valor esperado E[(x-a)n], quando existe, é chamado de momento de ordem n centrado em a, sendo usualmente representado por µn, ou seja:
 µn = E[(X-a)n]
OBS: 
Se a = μ(X), teremos que μn = E[(X-μ(X)n) será o momento de ordem n centrado na média. É claro que μ1 = 0 e μ2 = σ2(X).
Determinados momentos centrados na média possuem uma interpretação estatística bem clara. Por exemplo, o μ3, o terceiro momento centrado na média, é uma medida de assimetria para a distribuição de probabilidades de X enquanto o μ4 é uma medida de curtose, ou seja, uma medida do grau de achatamento de uma distribuição na proximidade de seu ponto de máximo. Em função do μ3 e do μ4 podem ser definidos:
Ia = coeficiente de assimetria = 
Ic = coeficiente de curtose = 
Uma medida estatística muito importante e largamente utilizada em confiabilidade estrutural é o coeficiente de variação, definido por:
Iv = σ(X) / μ(X)
 A.9.4) Função Geratriz de Momentos
 Definição 18. Seja X uma variável aleatória. O valor esperado de etx, se o valor esperado existir para cada t em algum intervalo –h < t < h, h > 0, é chamado de função geratriz de Momentos e representado por mX(t). Teremos então:
(a) - 
, se X for discreta.
(b) - 
, se X for contínua.
OBS: 
Uma importante propriedade da função geratriz pode ser verificada com a expansão em série de 
. Nesse caso teremos:
 
 
 Com a expressão acima podemos facilmente verificar que:
 
 ou seja, os momentos de ordem n podem ser determinados à partir da função geratriz.
Uma outra função importante para a análise de variáveis aleatórias e modelamento probabilístico é a função característica de X, definida por:
 
, onde 
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A.10) Vetores Aleatórios
 Em muitas situações práticas, o resultado de um experimento aleatório não é expresso apenas por uma única variável aleatória mas sim por um conjunto de variáveis que podem ser observadas simultaneamente .
 Apresentando uma situação corriqueira em engenharia de estruturas, poderíamos citar o caso clássico envolvendo o cálculo de confiabilidade de uma viga metálica sujeito a um carregamento de natureza aleatória. Além do carregamento, outras variáveis randômicas podem estar ligadas, por exemplo, às dimensões físicas da viga, ao módulo de elasticidade do material ou mesmo à resistência à tração do aço. Essas variáveis podem ser representadas por um vetor aleatório X = [X1,X2,...,Xn], ou seja, por uma variável aleatória de dimensão n. É claro que todos os conceitos e definições apresentados para uma variável unidimensional podem ser convenientemente extendidas para o caso n-dimensional.
 Definição 19. Seja o vetor aleatório X= [X1,X2,...,Xn] onde todas as variáveis Xi são definidas no mesmo espaço de probabilidades (S,
,P(·)). A função de distribuição acumulada conjunta, representada por FX(x1,...,xn), é definida por:
 FX(x1,...,xn) = P[X1 ≤ x1 
 ... 
 Xn ≤ xn]
 Seguindo a mesma sequencia utilizada na apresentação das variáveis unidimensionais, podemos ter: 
 (a) o vetor X = [X1,...,Xn] contendo apenas variáveis discretas, ou seja, RX é um conjunto finito ou infinito enumerável. Nesse caso podemos definir a função de probabilidade conjunta como sendo:
 Definição 20: Se [X1,...,Xn] é uma variável n-dimensional discreta, então a função de probabilidade conjunta, representada por pX (x1, ..., xn), é definida por:
 pX(x1,...,xn) = P[X1 = x1 ∩...∩ Xn = xn] para (x1, ..., xn) 
 RX
 OBS: 
Se o vetor apresentar apenas 2 variáveis X e Y, ou seja, para uma variável bidimensional (X,Y), podemos definir:
 pX(x) = função de probabilidade marginal de X
 pY(y) = função de probabilidade marginal de Y
 Se p(X,Y)(x,y) for a função de probabilidade conjunta, as funções p(x) e p(y) podem ser obtidas do seguinte modo:
 
 
 As funções 
 e 
 representam as distribuições das variáveis X e Y respectivamente.
Com freqüência aparece o problema de se determinar a distribuição de probabilidade de uma variável X em função de um determinado valor Y = yj da variável Y. Por exemplo: X poderá representar a produtividade de um operário ao executar determinada tarefa e Y o nº de horas trabalhadas por dia. O interesse poderá recair na distribuição de probabilidade de X para, por exemplo, Y = 8 horas trabalhadas. Podemos então definir as distribuições condicionadas da seguinte maneira:
 
= (função de probabilidade de X para Y = y) = 
 , 
 p (y) > 0
 
= (função de probabilidade de Y para X = x) = 
, 
 p (x) > 0
Os conceitos de função de probabilidade marginal e função de probabilidade condicionada podem estendidos facilmente para uma variável n-dimensional.
 
O vetor X = [X1, ..., Xn] contendo apenas variáveis contínuas, ou seja, RX é um conjunto infinito não enumerável. Nesse caso podemos definir a função densidade de probabilidade conjunta, representada por fX(x1,..., xn), de tal forma que:
para (x1, ..., xn) 
 R
OBS:
Para a variável bidimensional (X,Y) podemos definir:
 fX(x) = função densidade de probabilidade marginal de X.
 fY(y) = função densidade de probabilidade marginal de Y.
 Se f(X,Y)(x,y), for a função densidade de probabilidade conjunta, as funções f(x) e f(y) serão dadas por:
 
 e 
Se f(X,Y)(x,y) for a função densidade de probabilidade conjunta da variável bidimensional (X,Y), podemos definir as distribuições condicionadas da seguinte forma:
 
 = função densidade de probabilidade de Y dado X = x.
 
 se fX(x) > 0
 fX/Y(x/y) = função densidade de probabilidade de X dado Y = y
 
 se fY(y) > 0
A densidade f(y/x0) pode ser interpretada como representando a distribuição de probabilidade da variável Y para um valor fixado X = x0, que nesse caso estará funcionando como um parâmetro.
Semelhante ao caso da variável discreta, os conceitos de função densidade marginal e densidade condicionada podem ser estendidos para uma variável n-dimensional.
Assim como foi feito para uma variável aleatória contínua unidimensional, a função densidade pode ser obtida da função acumulada. Para uma variável n-dimensional [X1,...,Xn] teremos:
 
 desde que as derivadas parciais existam.
A.11) Independência
 No item A.6) foi apresentado o conceito de eventos independentes e que pode ser extendido para variáveis aleatórias da seguinte forma:
 Definição 21. Seja [X1, ..., Xn] uma variável n-dimensional discreta com função de probabilidade conjunta pX (x1, ...,xn). As variáveis X1,..., Xn serão estatisticamente independentes se e somente se:
 pX(x1, ..., xn) = pX1(x1). ... . pXn(xn)
 Definição 22. Seja [X1, ..., Xn] uma variável n-dimensional contínua com função densidade de probabilidade conjunta fX(x1, ..., xn). As variáveis X1, ..., Xn serão estatisticamente independentes se e somente se:
 fX(x1, ...,xn) = fX1(x1). ... . fXn(xn)
OBS:
É claro que o conceito de independência entre duas ou mais variáveis aleatórias está diretamente ligado ao conceito de distribuição condicional. Por exemplo, se X e Y são duas variáveis contínuas independentes, teremos:
 
 no entanto
 
 o que implica 
, ou seja, a função densidade condicional de X dado Y = y é igual a função marginal de X.
O seguinte importante teorema pode ser demonstrado a partir das definições apresentadas acima.
 Teorema 10. Se X1, ...,Xn são variáveis aleatórias independentes e se Y1 = g1(X1), ..., Yn = gn(Xn), então Y1, ..., Yn são independentes.
 
EXERCICIOS – GRUPO 1
INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE /
 Espaços amostrais finitos
Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5 das quais as três primeiras são pretas e as duas últimas são brancas. Uma amostra de tamanho n=2 é retirada com reposição. Sejam os eventos: B1 = {a 1ª bola retirada é preta} e B2 = { a 2ª bola retirada é preta}.
Descreva o espaço amostral do experimento e os eventos B1, B2 e B1∩B2
Determine P(B1), P(B2) e P(B1∩B2)
Repita os itens (a) e (b) considerando a amostragem sem reposição.
Considere um experimento industrial e as variáveis x = tempo de início de uma tarefa e y = tempo de término da mesma tarefa. Sejam os eventos: A = { a tarefa é iniciada às 10:00horas}, B = { a tarefa é executada em exatamente 10 horas} e C = { a tarefa é executada em, no máximo, 10 horas}.
Descreva o espaço amostral
Descreva os eventos A, B, C, A∩B e A∩C.
OBS: Considere que o tempo de execução da tarefa é medido em um período de 0 a 24 horas.
Considere as afirmativas abaixo e diga se são falsas ou verdadeiras:
Se P(A) = 1/3 e P(B0) = ¼, então A e B são disjuntos.
Se P(A) = P(B0), então A0 = B
Se P(A) = 0, então P(A∩B) = 0
Se P(A0) = α e P(B0) = β, então P(A∩B) ≥ 1 – α – β
OBS: A0 e B0 representam eventos complementares de A e B respectivamente.
Sejam A e B dois conjuntos tais que: P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) = z. Determine a probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B ocorra.
Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y e P(A∩B) = z. Determine: 
 (a) P(A0UB0) 
 (b) P(A0∩B) 
 (c) P(A0UB) 
 (d) P(A0∩B0)
Suponha que A, B e C sejam eventos tais que P(A)=P(B)=P(C)=¼, P(A∩B)=P(C∩B)=0 e P(A∩C)=1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos um dos eventos A, B ou C ocorra.
 Sejam A, B e C três eventos pertencentes ao mesmo espaço amostral S. Sabe-se que P(A)=x, P(B)=y, P(C)=z, P(A∩B)=0, P(A∩C)=P(B∩C)=k. Determine a probabilidade de:
Pelo menos um dos eventos ocorrer.
Exatamente um dos eventos ocorrer.
Exatamente 2 dos eventos ocorrerem.
Não mais de 2 dos eventos ocorrerem. 
Numa estante existem 8 livros, sendo 5 de física e 3 de matemática. Uma pessoa retira aleatóriamente três livros da estante. Determine a probabilidade de:
 
2 livros de física e 1 de matemática.
Pelo menos 1 de física.
Um lote de N peças apresenta r1 peças com defeito e r2 peças boas (r1 + r2 = N). Uma amostra de n peças (n < N) é retirada ao acaso do lote. Determine a probabilidade de ocorrer S1 peças defeituosas e S2 peças boas.
Uma urna apresenta 15 bolas azuis, 4 bolas amarelas e 2 bolas vermelhas. Duas bolas são escolhidas ao acaso sem reposição. Ache a probabilidade de que:
As duas sejam azuis.As duas sejam vermelhas.
Pelo menos uma seja azul.
No máximo uma seja azul.
Exatamente uma seja azul.
As peças produzidas por uma fábrica saem da linha de montagem etiquetadas segundo a série {an}=1,2,3,...,n. Duas peças são escolhidas ao acaso. Determine a probabilidade de que os números das etiquetas das peças sejam inteiros consecutivos se:
As peças forem escolhidas sem reposição.
As peças forem escolhidas com reposição.
Dentre os algarismos 0,1,2,..., 9 são escolhidos ao acaso, com reposição, tres algarismos para formar um número. Qual é a probabilidade de que o número formado tenha todos os algarismos diferentes?
Considere um baralho normal com 52 cartas. Uma pessoa retira ao acaso cinco cartas do baralho. Determine a probabilidade dos eventos:
As cinco cartas formam um par (x,x,y,z,k)
As cinco cartas formam uma trinca (x,x,x,y,z)
Um four (x,x,x,x,y)
Um ‘full hand’ (x,x,x,y,y)
 (Obs: As letras x,y,z,k representam tipos de carta. Exemplo: x = valete, y = às, etc.)
Os problemas abaixo são considerados clássicos em probabilidade:
Compare a probabilidade de obter soma 9 com obter soma 10 quando três dados são lançados.
Compare a probabilidade de obter pelo menos uma vez a face 6 quando um dado é lançado 4 vezes com a probabilidade de obter pelo menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um par de dados.
Compare a probabilidade de obter pelo menos um 6 quando seis dados são lançados com a probabilidade de obter pelo menos dois 6 quando doze dados são lançados.
Suponha que temos uma caixa contendo r bolas numeradas de 1 a r. Toma-se uma amostra aleatória sem reposição de tamanho n e registra-se os números das bolas. Repõe-se as bolas na caixa e toma-se uma segunda amostra aleatória sem reposição de tamanho m. Determine a probabilidade de que as duas amostras tenham exatamente K bolas em comum. 
Suponha que temos r caixas. Bolas são colocadas aleatóriamente nas caixas, uma de cada vez, até que alguma caixa contenha duas bolas pela 1ª vez. Determine a probabilidade de que isso ocorra na n-ésima bola.
Suponha que se distribui n bolas em n caixas.
Qual a probabilidade de que exatamente uma caixa esteja vazia?
Dado que a caixa 1 está vazia, qual a probabilidade de que somente uma caixa esteja vazia?
Se distribuirmos aleatóriamente n bolas em r caixas, qual é a probabilidade de que a caixa 1 contenha exatamente j bolas, 0 ≤ j ≤ n?
(Inspeção por amostragem) Uma fábrica de componentes eletrônicos condiciona as peças fabricadas em caixas que contêm 50 componentes. Ao inspecionar as peças, a seguinte regra é adotada: A caixa é retirada da produção e uma amostra de 5 peças é selecionada aleatóriamente. Se não há mais de uma peça defeituosa a caixa é aceita. Caso contrário a caixa é submetida a inspeção total. Sabendo-se que existem 2 peças defeituosas em cada caixa, qual a probabilidade de ocorrer a inspeção total?
As peças fabricadas por uma linha de produção são numeradas 1, 2, ..., n e dispostas em ordem aleatória. Determine a probabilidade de que as peças numeradas 1,2,e3 apareçam como vizinhas nessa ordem.
O abastecimento de água de uma cidade é feita por 2 reservatórios situados nos pontos A e B. Sejam os eventos:
Ei = { ocorre uma falha na tubulação i } i = 1,2,3
Sabendo-se que P(E1) = P(E2) = 0,10 e P(E3) = 0,05, calcule a probabilidade da cidade ser abastecida
	A	
	1
	cidade
	3	
	2
 B
(Obs: Para a cidade ser abastecida é suficiente a água de 1 reservatório apenas.)
(22) Oito peças (numeradas de 1 a 8) são dispostas lado a lado e aleatoriamente num dispositivo circular com 8 encaixes no seu perímetro. Qual a probabilidade de que as peças numeradas 1 e 2 fiquem sempre em 2 encaixes vizinhos?
Dez peças idênticas são distribuídas em quatro caixas diferentes (numeradas de 1 a 4). Qual a probabilidade de que a caixa 1 contenha 3 peças?
RESPOSTAS
(a) S = {(x,y)│x = 1,...,5 e y = 1,...,5}, B1 = {(x,y)│x = 1,...,3 e y = 1,...,5}, B2 = {(x,y)│x = 1,...,5 e y = 1,...,3} 
(a) S = {(x,y)│x < y, 0 ≤ x < 24 e 0 < y ≤ 24}
(a) Falsa
x + y – 2z
a) 1-z b) y-z c) 1-x+z d) 1-x-y+z
5/8
a) x+y+z-2k b) x+y+z-4k c) 2k d) 1
a) 0,536 b) 0,982
 
a) 0,5 b) 0,0048 c) 0,928 d) 0,5 e) 0,428
a) 2/n b) 2(n-1)/n2 
0,72
a) 0,423 b) 0,021 c) 0,00024 d) 0,00144
(a) 0,116 e 0,125 (b) 0,518 e 0,491 (c) 0,665 e 0,619
a) 
 b) 
0,0082
0,9405
0,2857
0,126
 
 
 
 
EXERCICIOS – GRUPO 2
PROBABILIDADE CONDICIONAL/
Eventos independentes
Uma nave espacial tem 1000 componentes em série. Se a confiabilidade da nave deve ser de 0,9, e se todos os componentes têm o mesmo grau de confiabilidade, qual deve ser a confiabilidade de cada componente?
Atira-se contra um alvo. Supondo que a probabilidade de acertar seja de 0,9 (para cada tiro) e que os tiros sejam independentes, calcule a probabilidade de que:
Sejam necessários mais de 2 tiros para acertar o alvo.
Entre quatro e seis tiros para acertar o alvo.
Determine a confiabilidade do sistema representado pelo diagrama:
 
Confiabilidade dos componentes: R1 = 0,99 R2 = 0,95
Considere o diagrama a seguir, que exibe um sistema eletrônico com as probabilidades de funcionamento dos componentes. O sistema inteiro opera se a montagem III e pelo menos um dos componentes de cada montagem I e II funcionar.
Determine a confiabilidade do sistema. 
As probabilidades de que dois eventos independentes ocorram são p e q respectivamente. Qual a probabilidade:
De que nenhum desses eventos ocorra.
De que pelo menos um ocorra.
Um saco possui 3 moedas: 2 normais e uma com 2 caras. Uma moeda é selecionada ao acaso e lançada 4 vezes seguidas. Se só ocorrer cara, qual a probabilidade da moeda selecionada ser a de 2 caras?
Uma determinada urna possui x bolas vermelhas e y bolas brancas (urna I). Uma outra urna (urna II) possui z bolas vermelhas e v bolas brancas. Uma bola é retirada ao acaso da urna I e colocada na urna II e a seguir uma bola é retirada da urna II. Qual a probabilidade da bola retirada da urna II ser branca?
Duas bolas são retiradas de uma urna contendo m bolas, numeradas de 1 a m. A primeira bola não será devolvida à urna se for a de número 1 e devolvida se for um número diferente de 1. Qual a probabilidade da segunda bola retirada ser a de número 2?
3 módulos de segurança de um sistema, A, B e C são acionados com freqüências ƒ(A) = 0,6, ƒ(B) = 0,3 e ƒ(C) = 0,1. As probabilidades de falha de cada módulo são p(A) = 0,01, p(B) = 0,01 e p(C) = 0,005. Se um módulo foi acionado e o sistema falhou, qual a probabilidade de ter sido requisitado o módulo B?
A fundação de um prédio pode falhar por capacidade de carga (evento C) ou por deformação excessiva (evento D) ou ambos. Se P(C) = 0,001, P(D) = 0,008 e P(C/D) = 0,1. Determine:
a probabilidade de falha da fundação
a probabilidade de que ocorra uma deformação excessiva mas a fundação não falhe por capacidade de carga.
Um inspetor de solda numa plataforma submarina, possui uma probabilidade de 80% de detectar a falha de uma solda em uma única inspeção. Quantas inspeções deverá fazer para que a probabilidade de detectar a falha seja de 99%?
(Considere que as inspeções sejam dependentes).
Sendo aplicada a força F, a probabilidade de falha dos membros individuais da treliça da figura são: P(A) = 0,05, P(B) = 0,04 e P(C) = 0,03. A falha de qualquer membro é suficiente para o colapso da treliça. Considerando que os eventos A, B e C são estatísticamente independentes, calcule a probabilidade de falha da treliça. 
 
Duas usinas a e b operam em paralelo para suprir a demanda de energia elétrica de uma pequena cidade. A demanda de energia estásujeita a uma considerável flutuação e sabe-se que cada usina tem a probabilidade de 75% de suprir toda a demanda de energia da cidade no caso da outra usina falhar. A probabilidade de falha de cada usina é de 10% enquanto que a probabilidade de ambas falharem é de 2%. Se ocorrer uma falha em uma das usinas qual a probabilidade de que a cidade seja suprida para a demanda total de energia?
A poluição do ar numa cidade é causada principalmente pela atividade industrial e emissão de CO2 dos automóveis. Nos próximos 5 anos as chances de controlar estas duas fontes de poluição são, respectivamente, 75% e 60%. Considere que, se somente uma das duas fontes for controlada, a probabilidade de trazer o nível de poluição para níveis seguros seja de 80%.
Qual é a probabilidade de ocorrer o controle da poluição nos próximos 5 anos?
Se, nos próximos 5 anos, não ocorrer o controle da poluição, qual é a probabilidade desse fato ter sido causada apenas pela falha no controle da emissão de CO2 dos automóveis?
Se a poluição não for controlada, qual é a probabilidade de que o controle da emissão de CO2 dos automóveis não ter sido bem sucedido?
Para que uma seção de 200 metros de uma rodovia seja aceita pelo Departamento de Estradas, é necessário que a espessura de 20cm seja confirmada pelo teste de ultra-som. Sabe-se que a confiabilidade desse teste é de 80% e, além disso, experiências anteriores com o construtor indicam que o mesmo constrói, em média, 90% do pavimento das rodovias dentro das especificações.
Qual é a probabilidade de que um determinado trecho de 200 metros seja corretamente construído e aceito pelo teste?
Qual é a probabilidade de que um determinado trecho de 200 metros seja incorretamente construído e aceito pelo teste?
RESPOSTAS
0,99989
a) 0,01 b) 0,000999
0,99995
0,8802
a) 1-p-q+p.q b) p+q-p.q
0,89
0,316
a) 0,0082 b) 0,0072
3 inspeções
0,11536
0,67
a) 0,81 b)0,32 c) 0,84
a) 0,72 b) 0,02
 
EXERCICIOS – GRUPO 3
VARIÁVEL ALEATÓRIA
(1) A percentagem de álcool em certo composto pode ser considerada uma variável aleatória X com a seguinte função densidade:
ƒ(x) = 20x3 (1-x) para 0 < x < 1 (0% < x < 100%)
Determine a expressão de F(x) e esboce o seu gráfico
Calcule P(x ≤ 2/3)
Determine E(x). Qual o seu significado?
(2) Seja X uma variável aleatória contínua com função densidade dada por:
 ƒ(x) = ax , 0 ≤ x < 1
 a,1 ≤ x < 2
 -ax + 3a , 2 ≤ x ≤ 3
Determine a constante a.
Determine F(x) e esboce seu gráfico.
Se X1, X2, e X3 forem 3 determinações independentes de X, qual será a probabilidade de, exatamente, um desses três números ser maior que 1,5?
(3) Suponha que 5% de todas as peças que saiam de uma linha de produção sejam defeituosas. Se 10 dessas peças forem escolhidas e inspecionadas, qual será a probabilidade de que no máximo 2 defeituosas sejam encontradas? Qual o nº esperado de peças defeituosas? Qual o nº mais provável de peças defeituosas?
(4) A resistência à tração de uma barra de aço é uma variável aleatória R com a seguinte função densidade:
ƒ(r) = 3/500(r-10).(20-r) para 10 ≤ r ≤ 20
 (a)Determine F(r) e esboce o seu gráfico.
 (b)Determine o valor esperado de R.
Determine o desvio padrão de R.
Determine P[15≤R≤18] 
(5) 2 bolas são colocadas aleatoriamente numa urna com 4 compartimentos. Seja X o número de bolas no 1º compartimento.
 (a)Determine a função de probabilidade de X (p(x)).
 (b)Determine F(x).
 (c)Calcule a média e a variância de X.
(6)Uma moeda é lançada até aparecer a face cara. Seja X = {nº de lançamentos até ocorrer a 1ª cara}
 (a)Determine p(xi)=P[X=xi]
 (b)Determine E(x)
 (c)Determine V(x)
(7) Uma bomba é lançada diretamente sobre uma rodovia. Se a bomba cair a uma distância de até 40 metros da rodovia, os danos serão consideráveis e o tráfego será interrompido. Seja X a distância entre a rodovia e o local da queda da bomba e seja ƒ(x) = (100-x)/5000 para 0 ≤ x ≤ 100.
 (a)Determine a probabilidade de a bomba interromper o tráfego.
 (b)Se forem lançadas 4 bombas iguais, qual a probabilidade do tráfego ser interrompido?
(8) A capacidade de carga de um solo, no qual está apoiada a estrutura de um prédio, é uma variável aleatória com a seguinte função densidade:
ƒ(x) = 1/2,7(1-x/15) para 6 ≤ x ≤ 15
Se uma coluna receber uma carga de 7,5, qual será a probabilidade de falha de sua fundação?
(9)O tempo de vida de um dispositivo eletrônico é uma variável aleatória T com a seguinte distribuição de probabilidade (em meses)
ƒ(t) = ¼ .exp(-¼t) t > 0
O fabricante do dispositivo oferecia uma garantia de 2 meses para a substituição gratuita se o dispositivo falhar.
Qual a probabilidade de ocorrer a substituição?
Se o custo de fabricação de um dispositivo é de $ 300 e o preço de venda é de $500, qual o lucro esperado do fabricante?
Qual o tempo de vida médio do dispositivo?
Qual a fração de componentes que falham antes do tempo de vida médio?
(10) Seja X uma variável aleatória tal que P ( |x-1| = 2 ) = 0. Expresse P ( |x-1| ≥ 2 ) em termos da função de distribuição F(x).
(11) O número de falhas N, que ocorre durante o processamento de uma peça numa linha de produção, é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade:
	N
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	p
	0,4
	0,3
	0,1
	0,1
	0,05
	0,05
 
Calcule o nº médio e falhas.
Determine F(x) e esboce o seu gráfico.
O custo de produção de uma peça será de $ 15, se no máximo 2 falhas ocorrerem durante o processo, sendo que esse valor irá aumentar para $ 40 se mais de 2 falhas ocorrerem. Calcule o custo médio para o processamento de uma peça.
(12) O nº de veículos que chegam por dia numa oficina mecânica, é uma variável aleatória X com a seguinte função densidade (X em dezenas de veículos):
 
 
 Determine o nº de veículos que só é ultrapassado em 5% dos dias.
(13)Suponha que a duração (em meses) de um determinado tipo de construção seja uma variável contínua T com função de distribuição acumulada dada por:
F(t) = t2 -2t+1 para 1 ≤ t ≤ 2
F(t) = 0 para t < 1
F(t) = 1 para t > 2
Determine a função densidade f(t).
Calcule P(T>1,5)
RESPOSTAS
(1) a) F(x) = 5x4 - 4x5 b) 0,46 c) 0,667
(2) a) a = ½ c) 3/8
(3) 0,988, E(x) = 0,5 defeituosa/cada 10 peças
(4) a) F(r) = - r3/500 + 9r2/100 – 6r/5 +5 d) 0,396
(5) a) p(0)= 6/10, p(1) = 3/10, p(2) = 1/10
 b) F(x) = 0 para x<0, F(x) = 6/10 para 0≤x<1, F(x) = 9/10 para 1≤x<2 
 F(x) = 1 pra x ≥ 2
E(x) = 0,5
(6) a) p(k) = (1/2)k b) E(X) = 2 c) V(x) = 2
(7) a) 0,64 b) 0,9832
(8) 0,3056
(9) a) 0,3935 b) E(L) = $81,95/dispositivo c) 4 meses d) 63,21%
10) 2 – F(1) – F(3)
11) a) E(N) = 2,25 c) E(custo) 22,5
12) X = 27 veículos
13) a) f(t) = 27 – 2 b) 0,75
 
 
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