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Gladys Castillo 
Universidade de Aveiro, 2010 
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1. Tipos de Erros em Cálculo Numérico 
 
Existem dois tipos de erros fundamentais associados ao cálculo 
computacional: 
 
• Erros de arredondamento 
os números reais são representados nos computadores e máquinas de calcular 
com precisão finita 
• Erros de truncatura 
a maioria dos métodos de cálculos fornecem soluções aproximadas, não 
exactas (ex: a utilização de um número finito de termos de uma série para 
calcular o valor de uma função) 
 
2. Definições de Erros 
Seja x ∈ ℜ o valor exacto de um número e x uma aproximação de x . 
• Erro: xxx −=ε 
• Erro Absoluto: xxx −=Δ 
• Erro Relativo: x
xx
rx
−= 
• Percentagem de erro: 100×xr % 
 
Exemplo 1: 
a) 000005.0 , 000006.0 == xx 
Erro Absoluto: 000001.0000005.0000006.0 =−=Δ x 
Erro Relativo: 2.0
000006.0
000001.0 ≈=−=
x
xx
rx 
Percentagem de erro: 20 % 
Apesar de o erro absoluto ser pequeno um erro relativo de 20% não é 
aceitável. 
 
 
 
 
Gladys Castillo 
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b) 606000 , 600000 == xx 
Erro Absoluto: 6000606000600000 =−=Δ x 
Erro Relativo: 01.0
600000
6000 ≈=−=
x
xx
rx 
Percentagem de erro: 1 % 
 
Apesar do erro absoluto de b) ser largamente maior, o erro relativo 
correspondente é pequeno (1%). Como os valores são de grande magnitude, apesar 
do erro absoluto ser elevado, a aproximação pode ser considerada boa. 
A importância de um erro é melhor observada quando quantificada em termos 
relativos. O erro relativo fornece mais informação do que o erro absoluto pois é 
uma medida da aproximação x a x, tendo em conta a ordem de grandeza do valor de 
x. 
 
3. Aproximações por defeito e por excesso 
Seja x ∈ ℜ o valor exacto de um número e x uma aproximação de x . 
Def 1: x é uma aproximação por defeito se xx < . 
Def 2: x é uma aproximação por excesso se xx > . 
 
Exemplo 1: 
a) 000005.0 , 000006.0 == xx ⇒ xx < ⇒ x é uma aproximação por defeito 
b) 606000 , 600000 == xx ⇒ xx > ⇒ x é uma aproximação por excesso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4. Casas decimais correctas e algarismos significativos 
Definições informais: 
9 um número x se encontra representado com d casas decimais correctas 
quando a sua parte decimal apresenta decimais e resulta de um 
arredondamento correctamente efectuado sobre um outro número. 
Exemplo: supondo que o número x=0.00354 está correctamente 
arredondado, então possui 5 casas decimais correctas (d=5) 
9 um número x se encontra representado com k algarismos (ou dígitos) 
significativos quando está representado por k algarismos, contados da 
esquerda para a direita, a partir do primeiro algarismo diferente de zero. 
Exemplo: supondo que o número x=0.00354 está correctamente arredondado, 
então possui três algarismos significativos (k=3). 
 
Seja x ∈ ℜ o valor exacto de um número e x uma aproximação de x . 
Def 3: x é uma aproximação de x com pelo menos d casas decimais correctas se: 
 
 
d
x xx
−×≤−=Δ 105.0 
 
Para determinar o número de algarismos significativos da aproximação x pode-se 
utilizar este resultado importante1: 
Proposição 1: 
Se Nkr kx ∈×≤ − ,105.0 então x tem pelo menos k algarismos significativos 
Exemplo 2: (exercício 3 (a) FP1) 
7182.2 , 71828182.2 == xx 
34 105.010)8182.0(7182.2 71828182.2 −− ×<=−=Δ x 
 ⇒ x tem pelo menos 3 casas decimais correctas 
 
1 A prova deste resultado pode ser encontrada na página 86 do livro “Introdução à Análise Numérica de 
Jorge Sá Esteves 
 
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105.0103.0
71828182.2
10)8182.0( −−− ×<×≈=−=
x
xx
rx 
 ⇒ x tem pelo menos 4 algarismos significativos 
 
5. Computação em Ponto Flutuante 
(estudar acetatos 1-19 capítulo 1) 
 
O Sistema de representação em ponto flutuante FP (b, p, q) 
com 
 b – base do sistema 
 p - número de dígitos da mantissa 
q – número de dígitos do expoente 
contém todos os números reais da forma: 
 
tmbx ±= 
onde m ≥ 0 é a mantissa e t é o expoente 
 
Dado que um número neste formato pode ser representado de diferentes formas 
que são equivalentes, devemos estabelecer uma única representação. Por isso é 
habitual trabalhar com números normalizados. 
 
Por exemplo, na base b=10, o número 10.75 pode ser expressado como 
mantissa expoente 
10.75 x 100 → não normalizado 
1.075 x 101 → não normalizado 
0.1075 x 102 = + (.1075)10+2 → normalizado 
 
Assim, para um número decimal representado em sistema de ponto flutuante 
FP(b, p, q) verificasse ainda (por definição) que 0.1 ≤ m ≤ 1-10-p . 
 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 3: Determine uma representação de x=0.001329 em formato de ponto 
flutuante FP(10, 4, 2). 
Podemos representar em FP(10, 4, 2) todos os números reais da forma 
2101 )....(. 421
ttdddx −−−±= 
 4 dígitos para a mantissa , 2 dígitos para o expoente 
com 0 ≤ d-i ≤ 9, i=1,…,4; d-1 ≠ 0 (← normalizado); 0 ≤ t1 , t2 ≤ 9 
 
Para x=0.001329 → fl(x) = + (.1329) 10-2 
 
Neste caso x tem representação exacta em FP(10, 4, 2). 
 
Exemplo 4: Determine uma representação de π=3.14159265… em formato de 
ponto flutuante FP(10, 5, 2). 
Como neste caso π não tem representação exacta em FP(10, 5, 2) podemos 
determinar uma aproximação de π por truncatura ou arredondamento. 
 
6. Aproximações obtidas por truncatura e arredondamento 
 
Seja x ∈ ℜ e fl(x) a representação de x no sistema de ponto flutuante FP(b, p, q) 
 
9 se x = fl(x), então x tem representação exacta em FP(b, p, q) 
9 se x ≠ fl(x), então podemos determinar uma aproximação x de x por: 
• truncatura: desprezando os dígitos d-p-1, d–p-2, … da mantissa m 
Exemplo 4 (continuação): 
 π=3.14159265…, fl(π) = + (.31415)1001 em FP(10, 5, 2, T) 
• arredondamento: aproximando pelo número do sistema FP(b, p, q) que 
está mais próximo de x em valores absolutos 
• se o primeiro algarismo da parte eliminada for inferior a 5, o número obtido 
é a verdadeira representação, após arredondamento, do número dado; 
• se o primeiro algarismo da parte eliminada for não inferior a 5, adiciona-se 
uma unidade ao algarismo da última ordem decimal conservada. 
• se o primeiro algarismo da parte eliminada for igual a 5 podemos 
arredondar para cima (adiciona-se 1 ao algarismo da última ordem decimal 
conservada) ou utilizar arredondamento simétrico (aproxima-se pelo 
algarismo par mais próximo) 
 
 
 
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Exemplo 5: (exercício 4, (d), FP1) 
Determine uma representação de x = -83785 em formato de ponto flutuante com 
arredondamento FP(10, 4, 2, A) . 
x ≈ fl(x) = - (.8379)105 - arredondamento para cima 
 x ≈ fl(x) = - (.8378)105 - arredondamento simétrico 
 (aproxima-se pelo algarismo par mais próximo, neste caso 8) 
 
 
7. Algarismos significativos em computação em ponto 
flutuante 
 
Seja x ∈ ℜ e x =± 0. d-1 d-2 …d-k d-k-1…d-k-m x 10p ∈ ℜ uma aproximação de x. 
Def 3: x é uma aproximação de x com pelo menos d casas decimais correctas se: 
 (repetida) 
d
x xx
−×≤−=Δ 105.0 
 
Def 4: x é uma aproximação de x com pelo menos k algarismos significativos se: 
 
pk
x xx
+−×≤−=Δ 105.0 
adicionalmente, se 
 
1105.0 −+−×>−=Δ pkx xx 
então x é uma aproximação de x com exactamente k algarismos significativos 
 
 
Exemplo 2: (exercício 3 (a) FP1, revisto) 
7182.2 , 71828182.2 == xx 
Podemos representar a aproximação 7182.2=x obtida de x por corte em formato 
de ponto flutuante 
1º. Determinar o expoente p2: 
 7182.2=x = (.27182)101 ⇒ p = 1 
 
2º. Determinar d: 
34 105.010)8182(.7182.2 71828182.2 −− ×<=−=Δ x ⇒ d = 3 
 ⇒ x tem pelo menos 3 casas decimais correctas 
 
2 Note que a partir de aqui é utilizada a letra “p” para representar o expoente no formato de FP em vez de 
t 
 
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3º. Determinar k: 
 
Pela def 3 e def 4 vem: 
- d = - k + p ⇔ -3 = -k + 1 ⇔ k = 3 + 1 ⇒ k = 4 
 ⇒ x tem pelo menos 4 algarismos significativos 
 
Como adicionalmente verifica-se que: 
 111444 105.0105.0105.0108182.0 −+−−+−−− ×=×=×>×=−=Δ pkx xx 
 
 ⇒ x tem exactamente 4 algarismos significativos ( x = 2.7182 ) 
 
 
Exemplo 6: Determinar o número de algarismos significativos para a aproximação 
000125.0=x obtida de x=0.0001256723 por corte em FP(10, 6, 2, T) 
 
1º. Determinar p: 
 000125.0=x = (.125) 10-3 ⇒ p = -3 
 
2º. Determinar d: 
56 105.0106723.0 −− ×≤×=−=Δ xxx 
⇒ d= 5 ⇒ x tem pelo menos 5 casas decimais correctas 
 
3º. Determinar k: 
 
Pela def 3 e def 4 vem: 
- d = - k + p ⇔ -5 = -k – 3 ⇔ k = 5 – 3 ⇔ k = 2 
 ⇒ x tem pelo menos 2 algarismos significativos 
 
Como adicionalmente verifica-se que: 
 113266 105.0105.0105.0106723.0 −+−−−−−− ×=×=×>×=−=Δ pkx xx 
 
 ⇒ x tem exactamente 2 algarismos significativos ( x = 0.000125 ) 
 
Utilizando agora o resultado da proposição 1 podemos determinar o número de 
algarismos significativos utilizando o majorante do erro relativo. 
 
 Se Nkr kx ∈×≤ − ,105.0 então x tem pelo menos k algarismos significativos 
Como 12 105.0105349.0 −− ×<×≈xr então x tem pelo menos 1 algarismo 
significativo (neste caso particular mostramos que tem exactamente 2 algarismos 
significativos) 
 
 
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Exemplo 7 
 
Considere as aproximações para o valor deπ , tπ = .3141(1001) em FP(10, 4, 2, T) 
(por corte) e aπ = .3142(1001) em FP(10, 4, 2, A) (por arredondamento). Tomando 
como “exacto” o valor de π dado pela sua máquina de calcular, calcule o erro 
absoluto e o erro relativo de cada uma das aproximações, e, diga, justificando, 
quantos algarismos significativos possui tπ e aπ . 
 
Em Matlab: 
 
» p=pi 
p = 
 3.141592653589793e+000 
 
» pt=3.141 
pt = 
 3.141000000000000e+000 
 
» pa=3.142 
pa = 
 3.142000000000000e+000 
 
» err_abs_pt = abs(p-pt) 
err_abs_pt = 
 5.926535897931018e-004 
 
» err_abs_pa = abs(p-pa) 
err_abs_pa = 
 4.073464102067881e-004 
 
» err_rel_pt = abs((p-pt)/p) 
err_rel_pt = 
 1.886474967134572e-004 
 
» err_rel_pa = abs((p-pa)/p) 
err_rel_pa = 
 1.296623894702984e-004 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tπ =0.3141(1001) em FP(10, 4, 2, T) 
 
1º. Determinar p: 
 tπ =0.3141(1001) ⇒ p = 1 
 
2º. Determinar d: 
23 105.010592653.0 −− ×≤×≈− tππ 
 ⇒ d = 2 ⇒ tπ tem pelo menos 2 casas 
decimais correctas. 
 
3º. Determinar k: 
 Pela def 3 e def 4 vem: 
- d = - k + p ⇔ -2 = -k + 1 ⇔ k = 2 + 1 
 ⇔ k = 3 
 ⇒ tπ tem pelo menos 3 alg. sign. 
 
Adicionalmente como: 
 33 105.010592653.0 −− ×>×≈− tππ 
⇒ tπ tem exactamente 3 algarismos 
aπ = 0.3142(1001) em FP(10, 4, 2, A) 
 
1º. Determinar p: 
 aπ = 0.3142(1001) ⇒ p = 1 
2º. Determinar d: 
33 105.010407346.0 −− ×≤×≈− aππ 
 ⇒ d = 3 ⇒ aπ tem pelo menos 3 casas 
decimais correctas. 
 
3º. Determinar k: 
 Pela def 3 e def 4 vem: 
- d = - k + p ⇔ -3 = -k + 1 ⇔ k = 3 + 1 
 ⇔ k = 4 
 ⇒ aπ tem pelo menos 4 alg. sign. 
Adicionalmente como: 
43 105.010407346.0 −− ×>×≈− aππ 
 ⇒ aπ tem exactamente 4 alg. sign. 
 ⇒ aπ = 3.142 
 
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Referencias 
 
1. Heitor Pina, Métodos Numéricos, McGraw-Hill, 1995. 
2. Jorge Sá Esteves, Introdução à Análise Numérica, Vol. I, Universidade de 
Aveiro, 1996 
3. Isabel Cação, Acetatos de Métodos Numéricos 10/11, Introdução à 
computação numérica 
4. Rosália Rodrigues, Capítulo I – Representação de números e erros, 
disponível em: http://www2.mat.ua.pt/rosalia/cadeiras/AN/TPcap1.pdf. 
5. Balsa e A. Santos, Capítulo I – Erros e Aritmética Computacional, disponível 
on-line em: http://www.ipb.pt/~balsa/teaching/MN08/Cap1.pdf