Apostila_CDI2001_2011_02

do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Encontrar o valor de uma integral dupla;
2. Interpretar geometricamente uma integral dupla;
3. Encontrar os limitantes que permitem calcular o valor de uma integral dupla;
4. Inverter a ordem de integração numa integral dupla;
5. Calcular integrais duplas em coordenadas polares;
6. Transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares;
7. Transformar uma integral dupla de coordenadas polares para coordenadas cartesianas;
8. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam veri�car se os objetivos foram
atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu-
lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento
teórico desse capítulo, nessa apostila.
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3.1 Introdução
No estudo das funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhíamos
uma das variáveis independentes para derivar f em relação a ela e admitíamos que as demais
eram constantes. O mesmo procedimento será adotado para integração múltipla. Antes de
estudarmos a integração múltipla propriamente dita vamos ver alguns exemplos.
EXEMPLO 3.1.1 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2y3 em relação x.
Solução: Como foi dito, vamos admitir y como constante e integrar em relação a x. Por-
tanto, ∫
12x2y3dx = 4x3y3 + C.
Porém, nesse caso, a constante C é uma função de y. Pode ser por exemplo, C (y) =
ay3 + by2 + cy + 3 e uma das primitivas de f será
F (x, y) = 4x3y3 + ay3 + by2 + cy + 3.
Note que
∂F (x, y)
∂x
= 12x2y3.
EXEMPLO 3.1.2 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2y3 em relação a y.
Solução: Agora vamos admitir x como constante e integrar em relação a y. Portanto,∫
12x2y3dy = 3x2y4 +K.
Nesse caso, a constante K é uma função de x. Pode ser por exemplo, K (x) = ax3+bx2+
cx+3 e uma outra primitiva de f (x, y) = 12x2y3 será F (x, y) = 3x2y4 + ax3 + bx2 + cx+3.
Note que
∂F (x, y)
∂y
= 12x2y3.
EXEMPLO 3.1.3 Encontre o valor da expressão
∫ x+1
x
24xydy.
Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos∫ x+1
x
24xydy = 12xy2
∣∣∣∣∣
x+1
x
= 12x (x+ 1)2 − 12x (x)2
= 12x3 + 24x2 + 12x− 12x3 = 24x2 + 12x.
Como podemos observar
∫ x+1
x
24xydy é uma função de x, ou seja, F (x) =
∫ x+1
x
24xydy =
24x2 + 12x.
EXEMPLO 3.1.4 Encontre o valor numérico de
∫ 2
1
F (x) dx onde F (x) =
∫ x+1
x
24xydy.
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Solução: No exemplo anterior vimos que
F (x) =
∫ x+1
x
24xydy = 24x2 + 12x.
Portanto, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos que∫ 2
1
F (x) dx =
∫ 2
1
(
24x2 + 12x
)
dx =
(
8x3 + 6x2
) ∣∣∣∣∣
2
1
= 8(2)3 + 6 (2)2 − (8 (1)3 + 6 (1)2) = 74.
Os Exemplos 3.1.3 e 3.1.4 podem ser reescritos como∫ 2
1
F (x) dx =
∫ 2
1
(∫ x+1
x
24xydy
)
dx
ou simplesmente ∫ 2
1
F (x) dx =
∫ 2
1
∫ x+1
x
24xydydx.
Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variável dependente é
a primeira a ser integrada e a variável independente a última. O processo de solução é dado
abaixo. ∫ 2
1
∫ x+1
x
24xydydx =
∫ 2
1
(∫ y=x+1
y=x
24xydy
)
dx
=
∫ 2
1
12xy2∣∣∣∣∣
y=x+1
y=x
 dx
=
∫ 2
1
(
24x2 + 12x
)
dx
=
(
8x3 + 6x2
) ∣∣∣∣∣
2
1
= 74.
EXEMPLO 3.1.5 Encontre o valor da integral I =
∫ 4
0
∫ 3x
x
3
√
16− x2dydx.
Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo primeiro integrando em relação a
y e depois em relação a x.∫ 4
0
∫ 3x
x
3
√
16− x2dydx =
∫ 4
0
3
√
16− x2y
∣∣∣∣∣
3x
x
dx
=
∫ 4
0
(
3
√
16− x2
)
(3x− x) dx
=
∫ 4
0
6x
√
16− x2dx = −2
√
(16− x2)3
∣∣∣∣∣
4
0
= −2
√
(16− 42)3 + 2
√
(16− 02)3 = 128.
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3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla
A de�nição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica semelhante à de�nição
de integral de�nida simples, associando-a ao problema de cálculo de um volume (ver Figura
3.1) da mesma forma que a integral de�nida é associada ao cálculo de área. Assim, a de�nição
formal da integral dupla envolve a soma de muitos volumes elementares, isto é, diferenciais
de volume, com a �nalidade de obter-se o volume total após estas somas.
Figura 3.1: Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Consideremos uma função z = f (x, y) ≥ 0, de�nida numa região R do plano xy. Nossa
intenção é estimar o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por z = f (x, y) ,
inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro de�nido pela curva fechada que
delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n−subregiões traçando planos paralelos
aos planos coordenados xz e yz, conforme as Figuras 3.2 e 3.3. Assim, a integral será o
volume obtido pela soma de uma in�nidade de volumes de colunas in�nitesimais inscritas
em forma de paralelepípedos, como mostra a Figura 3.3.
Figura 3.2: Volume elementar
Considere {R1, R2, · · · , Ri, · · · , Rn} é uma partição de R formada por n retângulos. Seja
|P | o comprimento da maior de todas as diagonais dos Ri subretângulos. Seja Ai a área da
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Figura 3.3: Volume aproximado
subregião Ri. Para cada i escolhemos um ponto (xi, yi) ∈ Ri. O produto Vi = f(xi, yi)Ai é
o volume do i−ésimo paralelepípedo de base Ai e altura f (xi, yi) . Como há n subdivisões,
haverá n paralelepípedos. Assim, o volume aproximado do sólido delimitado superiormente
por f (x, y) e inferiormente pela região R é dado por
V ≈
n∑
i=1
f (xi, yi)Ai.
Assim, a integral dupla de uma função f de�nida numa região R é dada por∫∫
R
f (x, y) dxdy = lim
|P |→0
n∑
i=1
f (xi, yi)Ai,
desde que este limite exista (note que a soma acima é uma soma de Riemann).
OBSERVAÇÃO 3.2.1 Se f (x, y) = 1, então o sólido em questão é na verdade um cilindro cuja
base é a região plana R e cuja altura é dada por z = f(x, y) = 1. Como o volume de um
cilindro é dado pelo produto de sua base pela altura, temos neste caso, que V = AR, ou seja,
a área da região R é dada por
AR =
∫∫
R
dxdy.
3.3 Cálculo da Integral Dupla
Saber reconhecer o domínio de integração (ou região de integração) é fundamental para
o cálculo das integrais duplas. Outro ponto importante é o reconhecimento das curvas que
delimitam a região de integração. Muitas vezes é conveniente ter essas curvas escritas em
função de x, isto é, y = f (x) e, outras vezes, é conveniente escrever x em função de y, isto
é x = f (y). Essa conveniência é devido ao maior ou menor trabalho exigido no processo do
cálculo do valor numérico. Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 3.3.1 Calcule o valor da integral
∫∫
R
24xydxdy sendo R a região delimitada pelas
curvas y = x2 e y =
√
x.
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Figura 3.4: Região de Integração do Exemplo 3.3.1
Solução: A região de integração está esboçada na Figura 3.3.1.
A seguir, construímos a tabela de limitantes de integração:
Limitantes de Integração
Curvas Funções
curva à esquerda x = 0
curva à direita x = 1
curva inferior y = x2
curva superior y =
√
x
As curvas à esquerda e à direita são os limitantes que compõe o primeiro símbolo de
integração e as curvas inferior e superior o segundo. Assim,
∫∫
R
24xydxdy =
∫ 1
0
∫ √x
x2
24xydydx =
∫ 1
0
12xy
∣∣∣∣∣
2y=
√
x
y=x2
dx
=
∫ 1
0
12x(x− x4)dx =
∫ 1
0
(
12x2 − 12x5) dx
=
(
4x3 − 2x6) ∣∣∣∣∣
1
0
= 2.
O cálculo da integral no Exemplo 3.3.1 foi desenvolvido tomando x como variável inde-
pendente. Vamos recalcular esta integral tomando agora y como variável independente.
Primeiramente obteremos a tabela de limitantes da região da Figura 3.4, tomando y como
variável independente.
Curvas Funções
curva à esquerda y = 0
curva à