Apostila_CDI2001_2011_02

do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de):
1. Encontrar o valor de uma integral dupla;
2. Interpretar geometricamente uma integral dupla;
3. Encontrar os limitantes que permitem calcular o valor de uma integral dupla;
4. Inverter a ordem de integração numa integral dupla;
5. Calcular integrais duplas em coordenadas polares;
6. Transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares;
7. Transformar uma integral dupla de coordenadas polares para coordenadas cartesianas;
8. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica.
A prova será composta por questões que possibilitam veri\ufffdcar se os objetivos foram
atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu-
lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento
teórico desse capítulo, nessa apostila.
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3.1 Introdução
No estudo das funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhíamos
uma das variáveis independentes para derivar f em relação a ela e admitíamos que as demais
eram constantes. O mesmo procedimento será adotado para integração múltipla. Antes de
estudarmos a integração múltipla propriamente dita vamos ver alguns exemplos.
EXEMPLO 3.1.1 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2y3 em relação x.
Solução: Como foi dito, vamos admitir y como constante e integrar em relação a x. Por-
tanto, \u222b
12x2y3dx = 4x3y3 + C.
Porém, nesse caso, a constante C é uma função de y. Pode ser por exemplo, C (y) =
ay3 + by2 + cy + 3 e uma das primitivas de f será
F (x, y) = 4x3y3 + ay3 + by2 + cy + 3.
Note que
\u2202F (x, y)
\u2202x
= 12x2y3.
EXEMPLO 3.1.2 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2y3 em relação a y.
Solução: Agora vamos admitir x como constante e integrar em relação a y. Portanto,\u222b
12x2y3dy = 3x2y4 +K.
Nesse caso, a constante K é uma função de x. Pode ser por exemplo, K (x) = ax3+bx2+
cx+3 e uma outra primitiva de f (x, y) = 12x2y3 será F (x, y) = 3x2y4 + ax3 + bx2 + cx+3.
Note que
\u2202F (x, y)
\u2202y
= 12x2y3.
EXEMPLO 3.1.3 Encontre o valor da expressão
\u222b x+1
x
24xydy.
Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos\u222b x+1
x
24xydy = 12xy2
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
x+1
x
= 12x (x+ 1)2 \u2212 12x (x)2
= 12x3 + 24x2 + 12x\u2212 12x3 = 24x2 + 12x.
Como podemos observar
\u222b x+1
x
24xydy é uma função de x, ou seja, F (x) =
\u222b x+1
x
24xydy =
24x2 + 12x.
EXEMPLO 3.1.4 Encontre o valor numérico de
\u222b 2
1
F (x) dx onde F (x) =
\u222b x+1
x
24xydy.
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Solução: No exemplo anterior vimos que
F (x) =
\u222b x+1
x
24xydy = 24x2 + 12x.
Portanto, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos que\u222b 2
1
F (x) dx =
\u222b 2
1
(
24x2 + 12x
)
dx =
(
8x3 + 6x2
) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2
1
= 8(2)3 + 6 (2)2 \u2212 (8 (1)3 + 6 (1)2) = 74.
Os Exemplos 3.1.3 e 3.1.4 podem ser reescritos como\u222b 2
1
F (x) dx =
\u222b 2
1
(\u222b x+1
x
24xydy
)
dx
ou simplesmente \u222b 2
1
F (x) dx =
\u222b 2
1
\u222b x+1
x
24xydydx.
Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variável dependente é
a primeira a ser integrada e a variável independente a última. O processo de solução é dado
abaixo. \u222b 2
1
\u222b x+1
x
24xydydx =
\u222b 2
1
(\u222b y=x+1
y=x
24xydy
)
dx
=
\u222b 2
1
\uf8eb\uf8ed12xy2\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
y=x+1
y=x
\uf8f6\uf8f8 dx
=
\u222b 2
1
(
24x2 + 12x
)
dx
=
(
8x3 + 6x2
) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2
1
= 74.
EXEMPLO 3.1.5 Encontre o valor da integral I =
\u222b 4
0
\u222b 3x
x
3
\u221a
16\u2212 x2dydx.
Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo primeiro integrando em relação a
y e depois em relação a x.\u222b 4
0
\u222b 3x
x
3
\u221a
16\u2212 x2dydx =
\u222b 4
0
3
\u221a
16\u2212 x2y
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
3x
x
dx
=
\u222b 4
0
(
3
\u221a
16\u2212 x2
)
(3x\u2212 x) dx
=
\u222b 4
0
6x
\u221a
16\u2212 x2dx = \u22122
\u221a
(16\u2212 x2)3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
4
0
= \u22122
\u221a
(16\u2212 42)3 + 2
\u221a
(16\u2212 02)3 = 128.
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3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla
A de\ufffdnição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica semelhante à de\ufffdnição
de integral de\ufffdnida simples, associando-a ao problema de cálculo de um volume (ver Figura
3.1) da mesma forma que a integral de\ufffdnida é associada ao cálculo de área. Assim, a de\ufffdnição
formal da integral dupla envolve a soma de muitos volumes elementares, isto é, diferenciais
de volume, com a \ufffdnalidade de obter-se o volume total após estas somas.
Figura 3.1: Interpretação Geométrica da Integral Dupla
Consideremos uma função z = f (x, y) \u2265 0, de\ufffdnida numa região R do plano xy. Nossa
intenção é estimar o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por z = f (x, y) ,
inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro de\ufffdnido pela curva fechada que
delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n\u2212subregiões traçando planos paralelos
aos planos coordenados xz e yz, conforme as Figuras 3.2 e 3.3. Assim, a integral será o
volume obtido pela soma de uma in\ufffdnidade de volumes de colunas in\ufffdnitesimais inscritas
em forma de paralelepípedos, como mostra a Figura 3.3.
Figura 3.2: Volume elementar
Considere {R1, R2, · · · , Ri, · · · , Rn} é uma partição de R formada por n retângulos. Seja
|P | o comprimento da maior de todas as diagonais dos Ri subretângulos. Seja Ai a área da
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Figura 3.3: Volume aproximado
subregião Ri. Para cada i escolhemos um ponto (xi, yi) \u2208 Ri. O produto Vi = f(xi, yi)Ai é
o volume do i\u2212ésimo paralelepípedo de base Ai e altura f (xi, yi) . Como há n subdivisões,
haverá n paralelepípedos. Assim, o volume aproximado do sólido delimitado superiormente
por f (x, y) e inferiormente pela região R é dado por
V \u2248
n\u2211
i=1
f (xi, yi)Ai.
Assim, a integral dupla de uma função f de\ufffdnida numa região R é dada por\u222b\u222b
R
f (x, y) dxdy = lim
|P |\u21920
n\u2211
i=1
f (xi, yi)Ai,
desde que este limite exista (note que a soma acima é uma soma de Riemann).
OBSERVAÇÃO 3.2.1 Se f (x, y) = 1, então o sólido em questão é na verdade um cilindro cuja
base é a região plana R e cuja altura é dada por z = f(x, y) = 1. Como o volume de um
cilindro é dado pelo produto de sua base pela altura, temos neste caso, que V = AR, ou seja,
a área da região R é dada por
AR =
\u222b\u222b
R
dxdy.
3.3 Cálculo da Integral Dupla
Saber reconhecer o domínio de integração (ou região de integração) é fundamental para
o cálculo das integrais duplas. Outro ponto importante é o reconhecimento das curvas que
delimitam a região de integração. Muitas vezes é conveniente ter essas curvas escritas em
função de x, isto é, y = f (x) e, outras vezes, é conveniente escrever x em função de y, isto
é x = f (y). Essa conveniência é devido ao maior ou menor trabalho exigido no processo do
cálculo do valor numérico. Vejamos alguns exemplos.
EXEMPLO 3.3.1 Calcule o valor da integral
\u222b\u222b
R
24xydxdy sendo R a região delimitada pelas
curvas y = x2 e y =
\u221a
x.
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Figura 3.4: Região de Integração do Exemplo 3.3.1
Solução: A região de integração está esboçada na Figura 3.3.1.
A seguir, construímos a tabela de limitantes de integração:
Limitantes de Integração
Curvas Funções
curva à esquerda x = 0
curva à direita x = 1
curva inferior y = x2
curva superior y =
\u221a
x
As curvas à esquerda e à direita são os limitantes que compõe o primeiro símbolo de
integração e as curvas inferior e superior o segundo. Assim,
\u222b\u222b
R
24xydxdy =
\u222b 1
0
\u222b \u221ax
x2
24xydydx =
\u222b 1
0
12xy
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2y=
\u221a
x
y=x2
dx
=
\u222b 1
0
12x(x\u2212 x4)dx =
\u222b 1
0
(
12x2 \u2212 12x5) dx
=
(
4x3 \u2212 2x6) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
1
0
= 2.
O cálculo da integral no Exemplo 3.3.1 foi desenvolvido tomando x como variável inde-
pendente. Vamos recalcular esta integral tomando agora y como variável independente.
Primeiramente obteremos a tabela de limitantes da região da Figura 3.4, tomando y como
variável independente.
Curvas Funções
curva à esquerda y = 0
curva à