Grátis
227 pág.

Pré-visualização | Página 27 de 48
do capítulo espera-se que o aluno seja capaz de): 1. Encontrar o valor de uma integral dupla; 2. Interpretar geometricamente uma integral dupla; 3. Encontrar os limitantes que permitem calcular o valor de uma integral dupla; 4. Inverter a ordem de integração numa integral dupla; 5. Calcular integrais duplas em coordenadas polares; 6. Transformar uma integral dupla de coordenadas cartesianas para coordenadas polares; 7. Transformar uma integral dupla de coordenadas polares para coordenadas cartesianas; 8. Resolver exercícios usando uma ferramenta tecnológica. A prova será composta por questões que possibilitam veri�car se os objetivos foram atingidos. Portanto, esse é o roteiro para orientações de seus estudos. O modelo de formu- lação das questões é o modelo adotado na formulação dos exercícios e no desenvolvimento teórico desse capítulo, nessa apostila. 123 3.1 Introdução No estudo das funções de várias variáveis, ao calcularmos derivadas parciais escolhíamos uma das variáveis independentes para derivar f em relação a ela e admitíamos que as demais eram constantes. O mesmo procedimento será adotado para integração múltipla. Antes de estudarmos a integração múltipla propriamente dita vamos ver alguns exemplos. EXEMPLO 3.1.1 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2y3 em relação x. Solução: Como foi dito, vamos admitir y como constante e integrar em relação a x. Por- tanto, ∫ 12x2y3dx = 4x3y3 + C. Porém, nesse caso, a constante C é uma função de y. Pode ser por exemplo, C (y) = ay3 + by2 + cy + 3 e uma das primitivas de f será F (x, y) = 4x3y3 + ay3 + by2 + cy + 3. Note que ∂F (x, y) ∂x = 12x2y3. EXEMPLO 3.1.2 Encontre a primitiva da função f (x, y) = 12x2y3 em relação a y. Solução: Agora vamos admitir x como constante e integrar em relação a y. Portanto,∫ 12x2y3dy = 3x2y4 +K. Nesse caso, a constante K é uma função de x. Pode ser por exemplo, K (x) = ax3+bx2+ cx+3 e uma outra primitiva de f (x, y) = 12x2y3 será F (x, y) = 3x2y4 + ax3 + bx2 + cx+3. Note que ∂F (x, y) ∂y = 12x2y3. EXEMPLO 3.1.3 Encontre o valor da expressão ∫ x+1 x 24xydy. Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos∫ x+1 x 24xydy = 12xy2 ∣∣∣∣∣ x+1 x = 12x (x+ 1)2 − 12x (x)2 = 12x3 + 24x2 + 12x− 12x3 = 24x2 + 12x. Como podemos observar ∫ x+1 x 24xydy é uma função de x, ou seja, F (x) = ∫ x+1 x 24xydy = 24x2 + 12x. EXEMPLO 3.1.4 Encontre o valor numérico de ∫ 2 1 F (x) dx onde F (x) = ∫ x+1 x 24xydy. 124 Solução: No exemplo anterior vimos que F (x) = ∫ x+1 x 24xydy = 24x2 + 12x. Portanto, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo temos que∫ 2 1 F (x) dx = ∫ 2 1 ( 24x2 + 12x ) dx = ( 8x3 + 6x2 ) ∣∣∣∣∣ 2 1 = 8(2)3 + 6 (2)2 − (8 (1)3 + 6 (1)2) = 74. Os Exemplos 3.1.3 e 3.1.4 podem ser reescritos como∫ 2 1 F (x) dx = ∫ 2 1 (∫ x+1 x 24xydy ) dx ou simplesmente ∫ 2 1 F (x) dx = ∫ 2 1 ∫ x+1 x 24xydydx. Dessa forma, obtemos um exemplo de integral dupla. Note que a variável dependente é a primeira a ser integrada e a variável independente a última. O processo de solução é dado abaixo. ∫ 2 1 ∫ x+1 x 24xydydx = ∫ 2 1 (∫ y=x+1 y=x 24xydy ) dx = ∫ 2 1 12xy2∣∣∣∣∣ y=x+1 y=x dx = ∫ 2 1 ( 24x2 + 12x ) dx = ( 8x3 + 6x2 ) ∣∣∣∣∣ 2 1 = 74. EXEMPLO 3.1.5 Encontre o valor da integral I = ∫ 4 0 ∫ 3x x 3 √ 16− x2dydx. Solução: Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo primeiro integrando em relação a y e depois em relação a x.∫ 4 0 ∫ 3x x 3 √ 16− x2dydx = ∫ 4 0 3 √ 16− x2y ∣∣∣∣∣ 3x x dx = ∫ 4 0 ( 3 √ 16− x2 ) (3x− x) dx = ∫ 4 0 6x √ 16− x2dx = −2 √ (16− x2)3 ∣∣∣∣∣ 4 0 = −2 √ (16− 42)3 + 2 √ (16− 02)3 = 128. 125 3.2 Interpretação Geométrica da Integral Dupla A de�nição de integral dupla comporta uma interpretação geométrica semelhante à de�nição de integral de�nida simples, associando-a ao problema de cálculo de um volume (ver Figura 3.1) da mesma forma que a integral de�nida é associada ao cálculo de área. Assim, a de�nição formal da integral dupla envolve a soma de muitos volumes elementares, isto é, diferenciais de volume, com a �nalidade de obter-se o volume total após estas somas. Figura 3.1: Interpretação Geométrica da Integral Dupla Consideremos uma função z = f (x, y) ≥ 0, de�nida numa região R do plano xy. Nossa intenção é estimar o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por z = f (x, y) , inferiormente pelo plano z = 0 e lateralmente pelo cilindro de�nido pela curva fechada que delimita a região R. Para tanto, subdividimos R em n−subregiões traçando planos paralelos aos planos coordenados xz e yz, conforme as Figuras 3.2 e 3.3. Assim, a integral será o volume obtido pela soma de uma in�nidade de volumes de colunas in�nitesimais inscritas em forma de paralelepípedos, como mostra a Figura 3.3. Figura 3.2: Volume elementar Considere {R1, R2, · · · , Ri, · · · , Rn} é uma partição de R formada por n retângulos. Seja |P | o comprimento da maior de todas as diagonais dos Ri subretângulos. Seja Ai a área da 126 Figura 3.3: Volume aproximado subregião Ri. Para cada i escolhemos um ponto (xi, yi) ∈ Ri. O produto Vi = f(xi, yi)Ai é o volume do i−ésimo paralelepípedo de base Ai e altura f (xi, yi) . Como há n subdivisões, haverá n paralelepípedos. Assim, o volume aproximado do sólido delimitado superiormente por f (x, y) e inferiormente pela região R é dado por V ≈ n∑ i=1 f (xi, yi)Ai. Assim, a integral dupla de uma função f de�nida numa região R é dada por∫∫ R f (x, y) dxdy = lim |P |→0 n∑ i=1 f (xi, yi)Ai, desde que este limite exista (note que a soma acima é uma soma de Riemann). OBSERVAÇÃO 3.2.1 Se f (x, y) = 1, então o sólido em questão é na verdade um cilindro cuja base é a região plana R e cuja altura é dada por z = f(x, y) = 1. Como o volume de um cilindro é dado pelo produto de sua base pela altura, temos neste caso, que V = AR, ou seja, a área da região R é dada por AR = ∫∫ R dxdy. 3.3 Cálculo da Integral Dupla Saber reconhecer o domínio de integração (ou região de integração) é fundamental para o cálculo das integrais duplas. Outro ponto importante é o reconhecimento das curvas que delimitam a região de integração. Muitas vezes é conveniente ter essas curvas escritas em função de x, isto é, y = f (x) e, outras vezes, é conveniente escrever x em função de y, isto é x = f (y). Essa conveniência é devido ao maior ou menor trabalho exigido no processo do cálculo do valor numérico. Vejamos alguns exemplos. EXEMPLO 3.3.1 Calcule o valor da integral ∫∫ R 24xydxdy sendo R a região delimitada pelas curvas y = x2 e y = √ x. 127 Figura 3.4: Região de Integração do Exemplo 3.3.1 Solução: A região de integração está esboçada na Figura 3.3.1. A seguir, construímos a tabela de limitantes de integração: Limitantes de Integração Curvas Funções curva à esquerda x = 0 curva à direita x = 1 curva inferior y = x2 curva superior y = √ x As curvas à esquerda e à direita são os limitantes que compõe o primeiro símbolo de integração e as curvas inferior e superior o segundo. Assim, ∫∫ R 24xydxdy = ∫ 1 0 ∫ √x x2 24xydydx = ∫ 1 0 12xy ∣∣∣∣∣ 2y= √ x y=x2 dx = ∫ 1 0 12x(x− x4)dx = ∫ 1 0 ( 12x2 − 12x5) dx = ( 4x3 − 2x6) ∣∣∣∣∣ 1 0 = 2. O cálculo da integral no Exemplo 3.3.1 foi desenvolvido tomando x como variável inde- pendente. Vamos recalcular esta integral tomando agora y como variável independente. Primeiramente obteremos a tabela de limitantes da região da Figura 3.4, tomando y como variável independente. Curvas Funções curva à esquerda y = 0 curva à