Apostila_CDI2001_2011_02
227 pág.

Apostila_CDI2001_2011_02


DisciplinaCálculo I97.143 materiais1.658.780 seguidores
Pré-visualização48 páginas
= L. Então, dado \u3b5 > 0 podemos
encontrar K > 0 tal que, para todo n > K vale a desigualdade
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un \u2212 L
\u2223\u2223\u2223\u2223 < \u3b5.
Suponhamos que L < 1. Então existe q tal que L < q < 1 e isso implica que q \u2212 L < 1.
Tomando \u3b5 = q \u2212 L podemos escrever
\u2223\u2223\u2223\u2223un+1un \u2212 L
\u2223\u2223\u2223\u2223 < q \u2212 L donde vem
\u2212 (q \u2212 L) < un+1
un
\u2212 L < q \u2212 L ou \u2212 (q \u2212 L) + L < un+1
un
< q.
Da última relação concluímos que un+1 < unq. Dessa relação temos que
un+1 < unq
un+2 < un+1q < unqq < unq
2
un+3 < un+2q < unq
2q < unq
3
· · ·
un+k < un+(k\u22121)q < unqk\u22121q < unqk
e assim sucessivamente, de forma que
un+1 + un+2 + un+3 + · · · < unq + unq2 + unq3 + · · · .
188
Note que unq+ unq
2 + unq
3 + · · · é uma série geométrica, com razão |q| < 1 e, portanto,
convergente. Assim, pelo Teorema 5.9.9, a série
\u221e\u2211
n=1
un converge se L < 1.
Por outro lado, suponhamos que lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= L > 1, então obteremos un+1 > un para todo
n e, desse modo, lim
n\u2192\u221e
un 6= 0. Consequentemente, a série não possui a condição necessária
para convergência. Logo, a série
\u221e\u2211
n=1
un diverge se L > 1.
A parte (iii) do Critério de D'Alambert diz que, se lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= 1, então este critério
é inconclusivo. Observe isso considerando os exemplos:
\u221e\u2211
n=1
1
n2
e
\u221e\u2211
n=1
1
n
. Para ambas
lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= 1, porém a primeira é uma série p, com p = 2, convergente e a segunda é
a série harmônica que sabemos ser divergente.
EXEMPLO 5.9.13 Usando o critério de D 'Alambert, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
2n
n
.
Solução: Temos que un =
2n
n
e un+1 =
2n+1
n+ 1
. Logo,
un+1
un
=
n2n+1
2n (n+ 1)
=
n2n2
2n (n+ 1)
=
2n
(n+ 1)
e assim, pelo critério de D'Alembert, temos que
L = lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= lim
n\u2192\u221e
2n
(n+ 1)
= 2 > 1.
Consequentemente, a série
\u221e\u2211
n=1
2n
n
é divergente.
EXEMPLO 5.9.14 Estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
1
n!
.
Solução: Temos que un =
1
n!
e un+1 =
1
(n+ 1)!
e então
L = lim
n\u2192\u221e
un+1
un
= lim
n\u2192\u221e
n!
(n+ 1)!
= lim
n\u2192\u221e
1
n+ 1
= 0 < 1,
portanto a série
\u221e\u2211
n=1
1
n!
converge, pela critério de D'Alembert.
5.9.15 Critério de Cauchy ou Critério da Raíz
TEOREMA 5.9.16 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série tal que un > 0 para todo n e lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
un = L.
Então
189
(i) A série
\u221e\u2211
n=1
un converge se L < 1;
(ii) A série
\u221e\u2211
n=1
un diverge se L > 1;
(iii) Nada podemos a\ufffdrmar se L = 1.
EXEMPLO 5.9.17 Usando o critério de Cauchy, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
(
n
2n+ 5
)n
.
Solução: Temos que
n
\u221a
un =
n
\u221a(
n
2n+5
)n
= n
2n+5
e aplicando o critério de Cauchy, obtemos
que
L = lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
un = lim
n\u2192\u221e
n
2n+ 5
=
1
2
< 1,
e concluímos que a série
\u221e\u2211
n=1
(
n
2n+ 5
)n
é convergente.
EXEMPLO 5.9.18 Estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
52n
23n+1
.
Solução: Temos que
n
\u221a
un =
n
\u221a
52n
23n+1
=
52
23+
1
n
=
25
8.2
1
n
.
Assim,
L = lim
n\u2192\u221e
n
\u221a
un = lim
n\u2192\u221e
25
8.2
1
n
=
25
8
> 1
e a série
\u221e\u2211
n=1
52n
23n+1
diverge, pelo critério de Cauchy.
5.10 Séries de Termos Positivos e Negativos
DEFINIÇÃO 5.10.1 Seja un > 0 para todo n \u2208 N\u2217. Denominamos série alternada à série
da forma
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 un = u1 \u2212 u2 + u3 \u2212 u4 + · · ·+ (\u22121)n\u22121 un + · · ·
ou \u221e\u2211
n=1
(\u22121)n un = \u2212u1 + u2 \u2212 u3 + · · ·+ (\u22121)n un + · · ·
EXEMPLO 5.10.2 A série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 1
np
= 1\u2212 1
2p
+
1
3p
\u2212 1
4p
+ · · · + (\u22121)n\u22121 1
np
+ · · · é um
exemplo de série alternada.
190
5.10.3 Convergência de uma série alternada
Infelizmente todos os critérios de convegência vistos até o momento não são válidos para
séries alternadas, pois eles exigiam que os termos da série fossem todos positivos. A seguir,
passaremos a ver alguns resultados que são válidos para séries de termos positivos e negativos.
TEOREMA 5.10.4 (Teorema de Leibnitz) Considere uma série alternada
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 un = u1 \u2212 u2 + u3 \u2212 u4 + · · ·+ (\u22121)n\u22121 un + · · ·
tal que
(i) u1 > u2 > u3 > u4 > · · · (ii) lim
n\u2192\u221e
un = 0.
Então são válidas as seguintes conclusões:
(a) A série alternada é convergente.
(b) A soma parcial Sn da série alternada é tal que 0 < Sn < u1.
DEMONSTRAÇÃO: (a) Consideremos a soma dos 2n primeiros termos da série alternada.
Suponhamos que os termos de ordem ímpar da série são positivos e os de ordem par são
negativos. Se, por acaso o primeiro termo for negativo, iniciaremos a contagem em u2, pois
a retirada de um número \ufffdnito de termos não afeta a convergência da série. Desse modo, o
termo u2n\u22121 é positivo e o termo u2n é negativo. Assim, pela condição (i) temos que
(u1 \u2212 u2) > 0, (u3 \u2212 u4) > 0, · · · (un \u2212 un+1) > 0, · · · (u2n\u22121 \u2212 u2n) > 0
de modo que
S2 = u1 \u2212 u2 > 0 S4 = S2 + (u3 \u2212 u4) > S2 S6 = S4 + (u5 \u2212 u6) > S4
e assim sucessivamente. Portanto, obtemos que
0 < S2 < S4 < .... < S2n.
Ainda, associando os termos de outra forma, obtemos que
S2n = (u1 \u2212 u2) + (u3 \u2212 u4) + ...+ (u2n\u22121 \u2212 u2n)
= u1 \u2212 (u2 \u2212 u3)\u2212 (u4 \u2212 u5)\u2212 ...\u2212 (u2n\u22122 \u2212 u2n\u22121)\u2212 u2n
e, pela condição (i), cada termo entre parênteses é positiva. Portanto, estamos subtraindo
uma quantidade positiva de u1, obtendo um resultado inferior a u1, de modo que 0 < S2n <
u1.
Com isso, segue que S2n é limitada e como 0 < S2 < S4 < · · · < S2n, também é monótona.
Assim, concluímos que a sequência de somas S2, S4, · · · , S2n converge, pelo Teorema 5.5.8.
Seja lim
n\u2192\u221e
S2n = S. Como S2n < u1, segue que S < u1. Sendo S2n+1 = S2n + u2n+1 e
aplicando a condição (ii), temos que
lim
n\u2192\u221e
S2n+1 = lim
n\u2192\u221e
S2n + lim
n\u2192\u221e
u2n+1 = S + 0 = S.
Consequentemente as somas de ordem ímpar tem a mesma soma dos termos de ordem
par. Finalmente, mostraremos que lim
n\u2192\u221e
Sn = S.
Como lim
n\u2192\u221e
S2n = S, dado \u3b5 > 0 podemos encontrar K1 > 0 tal que |S2n \u2212 S| < \u3b5 sempre
que 2n > K1.
191
Como lim
n\u2192\u221e
S2n+1 = S, dado \u3b5 > 0 podemos encontrar K2 > 0 tal que |S2n \u2212 S| < \u3b5
sempre que 2n+ 1 > K2.
Tomando K = max {K1, K2} , para todo n > K vale a desigualdade |Sn \u2212 S| < \u3b5. Logo,
lim
n\u2192\u221e
Sn = S e a série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 un é convergente.
EXEMPLO 5.10.5 Usando o teorema de Leibnitz, estude a convergência da série
\u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n+ 2
n (n+ 1)
.
Solução: Vamos veri\ufffdcar se un satisfaz todas condições do Teorema 5.10.4. O termo geral
da série é un =
n+ 2
n (n+ 1)
> 0 para todo n \u2208 N\u2217. Agora, vamos veri\ufffdcar se un > un+1 para
todo n natural. Temos que
n+ 2
n (n+ 1)
>
n+ 3
(n+ 1) (n+ 2)
\u21d4 (n+ 2) (n+ 1) (n+ 2) > n (n+ 1) (n+ 3)
\u21d4 n3 + 5n2 + 8n+ 4 > n3 + 4n2 + 3n
\u21d4 4n2 + 8n > \u22121,
que é verdadeiro para todo n natural. Assim, a primeira condição do Teorema 5.10.4 está
satisfeita. Ainda,
lim
n\u2192\u221e
un = lim
n\u2192\u221e
n+ 2
n (n+ 1)
= 0.
e então todas as exigências do Teorema 5.10.4 estão satisfeitas. Podemos concluir então que
a série \u221e\u2211
n=1
(\u22121)n\u22121 n+ 2
n (n+ 1)
é convergente.
5.11 Série de Termos de Sinais Quaisquer
DEFINIÇÃO 5.11.1 Denominamos série de termos de sinais quaisquer à toda série formada
por termos positivos e negativos.
As séries alternadas são casos particulares das séries de termos de sinais quaisquer.
EXEMPLO 5.11.2 A série
\u221e\u2211
n=1
sin(npi
6
) = 1
2
+
\u221a
3
2
+1+
\u221a
3
2
+ 1
2
+0\u2212 1
2
\u2212
\u221a
3
2
\u22121\u2212
\u221a
3
2
\u2212 1
2
+0+ · · ·
é um exemplo de série de termos de sinais quaisquer.
Veremos na sequência um teorema que permite veri\ufffdcar se uma série de termos de sinais
quaisquer é convergente.
TEOREMA 5.11.3 Seja
\u221e\u2211
n=1
un uma série de termos de sinais quaisquer. Se a série
\u221e\u2211
n=1
|un|
for uma série convergente então a série
\u221e\u2211
n=1
un também será convergente.
192
No entanto, se a série