Apostila_CDI2001_2011_02

pi
2
0
= 2\u2212 pi
4
.
Portanto, a área desejada é igual 2\u2212 pi
4
unidades de área.
EXEMPLO 1.9.15 Escreva, em coordenadas polares, a integral que calcula a área da região
simultaneamente exterior à circunferência r = 1 e interior a rosácea r = 2 cos(2\u3b8).
Solução: A Figura 1.32 ilustra a região desejada. Para determinar os pontos de interseção
das duas curvas fazemos
2 cos(2\u3b8) = 1\u21d2 cos 2\u3b8 = 1
2
\u21d2 2\u3b8 = pi
3
\u21d2 \u3b8 = pi
6
( no 1o quadrante).
35
Figura 1.32: Região delimitada por uma rosácea e uma circunferência
Vamos calcular a área da região delimitada com \u3b8 no intervalo de [0, pi
6
] e multiplicar por
8, já que as demais áreas são simétricas. Utilizando a Fórmula 1.9.1 e veri\ufffdcando que a área
desejada é igual a área da rosácea menos a área da circunferência, obtemos
A = 8 · 1
2
\u222b pi
6
0
[(2 cos(2\u3b8))2 \u2212 (1)2]d\u3b8 = 4
\u222b pi
6
0
(4 cos2(2\u3b8)\u2212 1)d\u3b8.
EXEMPLO 1.9.16 Escreva a integral que permite calcular a área da região que é simultanea-
mente interior as curvas r = 5 cos \u3b8 e r = 5
\u221a
3 sin \u3b8.
Solução: Inicialmente, devemos identi\ufffdcar as curvas dadas. Utilizando as relações polares
x = r cos \u3b8, y = r sin \u3b8 e r2 = x2 + y2, obtemos que
r = 5 cos \u3b8 \u21d2 r2 = 5r cos \u3b8 \u21d2 x2 + y2 = 5x\u21d2
(
x\u2212 5
2
)2
+ y2 =
25
4
r = 5
\u221a
3 sin \u3b8 \u21d2 r2 = 5
\u221a
3r sin \u3b8 \u21d2 x2 + y2 = 5
\u221a
3y \u21d2 x2 + (y \u2212 5
\u221a
3
2
)2 =
75
4
e assim, vemos que a região que nos interessa está situada no interior de duas circunferências,
de centros deslocados da origem, conforme ilustra a Figura 1.33.
Figura 1.33: Região situada entre circunferências
A seguir, devemos determinar a interseção entre as curvas
5
\u221a
3 sin \u3b8 = 5 cos \u3b8 \u21d2
\u221a
3 tan \u3b8 = 1 \u21d2 tan \u3b8 =
\u221a
3
3
\u21d2 \u3b8 = pi
6
.
Finalmente, observamos que ao descrever a região desejada, devemos considerar r =
5
\u221a
3 sin \u3b8 para \u3b8 \u2208 [0, pi
6
] e r = 5 cos \u3b8 para \u3b8 \u2208 [pi
6
,
pi
2
]. Portanto, como ocorre troca de
36
limitação para o raio polar, necessitamos de uma soma de integrais para calcular a área
desejada
A =
1
2
\u222b pi
6
0
(5
\u221a
3 sin \u3b8)2d\u3b8 +
1
2
\u222b pi
2
pi
6
(5 cos \u3b8)2d\u3b8
=
1
2
\u222b pi
6
0
75 sin2 \u3b8d\u3b8 +
1
2
\u222b pi
2
pi
6
25 cos2 \u3b8d\u3b8.
EXEMPLO 1.9.17 A área de uma determinada região R pode ser calculada, em coordenadas
polares, pela expressão
I = 2
[
1
2
\u222b pi
4
0
(2 sen(\u3b8))2 d\u3b8 +
1
2
\u222b pi
2
pi
4
(
\u221a
2)2 d\u3b8
]
.
(a) Represente geometricamente a região R.
(b) Escreva a expressão que determina a área desta região usando coordenadas cartesianas
em relação: (i) à variável x; (ii) à variável y.
(c) Calcule o valor da área da região R.
Solução (a): A partir da integral dada vemos que a região R possui simetria, há troca de
limitação do raio polar em \u3b8 = pi
4
e as funções que delimitam a área são \u3c1 = 2 sen\u3b8 e \u3c1 =
\u221a
2.
Estas curvas são, respectivamente, as circunferências x2 + (y\u2212 1)2 = 1 e x2 + y2 = \u221a2. Na
Figura abaixo estão representados os grá\ufffdcos destas curvas e R é a região simultaneamente
interior as duas circunferências que está sombreada na Figura 1.34.
Figura 1.34: Região R
Solução (b): Interseção de \u3c1 = 2 sin \u3b8 e \u3c1 =
\u221a
2 é a solução de:{
\u3c1 = 2 sin \u3b8
\u3c1 =
\u221a
2
=\u21d2 \u3b8 = pi
4
ou
3pi
4
(esta interseção é dada na integral I). Em coordenadas cartesianas os pontos de interseção
das curvas são (\u22121, 1) e (1, 1).
37
(i) Integração em relação à variável x :
I =
\u222b 1
\u22121
(
\u221a
2\u2212 x2 \u2212 1 +
\u221a
1\u2212 x2) dx ou I = 2
\u222b 1
0
(
\u221a
2\u2212 x2 \u2212 1 +
\u221a
1\u2212 x2) dx
(ii) Integração em relação à variável y :
I = 2
\u222b 1
0
\u221a
2y \u2212 y2 dy + 2
\u222b \u221a2
1
\u221a
2\u2212 y2 dy
Solução (c): Para calcular o valor da área da região R usaremos a expressão I dada
em coordenadas polares. Assim,
A = 2
[
1
2
\u222b pi
4
0
(2 sen(\u3b8))2 d\u3b8 +
1
2
\u222b pi
2
pi
4
(
\u221a
2)2 d\u3b8
]
=
\u222b pi
4
0
4 sen2\u3b8 d\u3b8 +
\u222b pi
2
pi
4
2 d\u3b8
= 4
\u222b pi
4
0
1\u2212 cos(2\u3b8)
2
d\u3b8 + 2\u3b8
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
pi
2
pi
4
= 2
(
\u3b8 \u2212 sen(2\u3b8)
2
) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
pi
4
0
+
pi
2
= (pi \u2212 1) u.a.
1.10 Comprimento de Arco
1.10.1 Comprimento de Arco em Coordenadas Cartesianas
Seja y = f (x) uma função contínua no intervalo [a, b] , cujo grá\ufffdco descreve o arco A\u302B,
conforme ilustra a Figura 1.35.
a bxi
Mn
xi-1x1
\u394s
M0
\u394x
f(xi)
\u394y
y
x
f(xi-1)
M1
Mi-1
Mi
Figura 1.35: Comprimento de arco
Vamos dividir o arco A\u302B em subarcos por meio da partição
X = {M0, M1, M2, ..., Mn}
38
em que
A = M0 < M1 < M2 < ... < Mn = B
cujas abscissas são
x0, x1, x2, ..., xn.
Tracemos as cordas
M0M1, M1M2, · · · , Mi\u22121Mi, · · · , Mn\u22121Mn
e designemos os seus comprimentos por
\u2206S1, \u2206S2, · · · , \u2206Si, · · · , \u2206Sn.
Obtém-se então a linha poligonal
AM0M1 · · ·Mn\u22121B
ao longo do arco A\u302B cujo comprimento aproximado é dado por
ln = \u2206S1 +\u2206S2 + · · ·+\u2206Si + · · ·+\u2206Sn
ou seja,
ln =
n\u2211
i=1
\u2206Si. (I)
Mas \u2206Si é a hipotenusa do triângulo de lados \u2206xi e \u2206yi, de modo que podemos escrever
(\u2206Si)
2 = (\u2206xi)
2 + (\u2206yi)
2 ,
dividindo tudo por \u2206xi obtemos(
\u2206Si
\u2206xi
)2
=
(
\u2206xi
\u2206xi
)2
+
(
\u2206yi
\u2206xi
)2
ou seja,
\u2206Si
\u2206xi
=
\u221a
1 +
(
\u2206yi
\u2206xi
)2
e assim
\u2206Si =
\u221a
1 +
(
\u2206yi
\u2206xi
)2
\u2206xi. (II)
Agora, como
\u2206xi = xi \u2212 xi\u22121 e \u2206yi = f (xi)\u2212 f (xi\u22121)
segue que
\u2206yi
\u2206xi
=
f (xi)\u2212 f (xi\u22121)
xi \u2212 xi\u22121
e pelo teorema de Lagrange, sabemos que existe \u3bei \u2208 [xi\u22121, xi] tal que
f (xi)\u2212 f (xi\u22121)
xi \u2212 xi\u22121 = f
\u2032 (\u3bei) .
Portanto, obtemos que
39
\u2206yi
\u2206xi
= f \u2032 (\u3bei) . (III)
Substituindo (II) em (I) resulta que
ln =
n\u2211
i=1
\u221a
1 +
(
\u2206yi
\u2206xi
)2
\u2206xi (IV )
e substituindo (III) em (IV ) resulta que
ln =
n\u2211
i=1
\u221a
1 + (f \u2032 (\u3bei))
2\u2206xi.
Seja |\u2206x| o intervalo de maior diâmetro de cada partição de A\u302B. Então, se n\u2192\u221e, segue
que |\u2206x| \u2192 0 e (\u3bei)\u2192 x. Assim:
l = lim
n\u2192\u221e
ln = lim|\u2206x|\u21920
n\u2211
i=1
\u221a
1 + (f \u2032 (\u3bei))
2\u2206xi =
\u222b b
a
\u221a
1 + (f \u2032 (x))2dx.
Portanto, o comprimento do arco A\u302B no intervalo [a, b] é dado por
l =
\u222b b
a
\u221a
1 + (f \u2032 (x))2dx. (1.10.1)
EXEMPLO 1.10.2 Determinar o comprimento do arco da curva descrita por y =
\u221a
x, com x
no intervalo [0, 4] .
Solução: A Figura 1.36 ilustra o comprimento de arco considerado.
y
x
Figura 1.36: Arco de f(x) =
\u221a
x
Como y = f (x) =
\u221a
x temos que f \u2032 (x) = 1
2
\u221a
x
. Aplicando a fórmula 1.10.1, obtemos
l =
\u222b b
a
\u221a
1 + (f \u2032 (x))2dx =
\u222b 4
0
\u221a
1 +
(
1
2
\u221a
x
)2
dx
=
\u222b 4
0
\u221a
1 +
1
4x
dx =
\u222b 4
0
\u221a
4x+ 1
4x
dx =
1
2
\u222b 4
0
\u221a
4x+ 1\u221a
x
dx.
Note que esta última integral é imprópria, pois o integrando não é contínuo em x = 0. No
entanto, neste exemplo não será preciso aplicar limites para resolver a integral, pois podemos
utilizar uma mudança de variáveis. Fazendo a substituição t2 = x, encontramos dx = 2tdt e
como x \u2208 [0, 4], obtemos que t \u2208 [0, 2] . Logo
l =
1
2
\u222b 2
0
\u221a
4t2 + 1\u221a
t2
2tdt =
\u222b 2
0
\u221a
4t2 + 1dt.
40
Como o novo integrando agora é contínuo no intervalo de integração, podemos utilizar o
teorema fundamental do cálculo e a técnica de substituições trigonométricas para encontrar
que
l =
1
2
t
\u221a
4t2 + 1 +
1
4
ln
(
2t+
\u221a
4t2 + 1
) \u2223\u2223\u2223\u2223\u2223
2
0
=
\u221a
17 +
1
4
ln(4 +
\u221a
17) u.c.
1.10.3 Comprimento de um arco em coordenadas paramétricas
Sejam x = \u3c6 (t) e y = \u3c8 (t) , com t \u2208 [\u3b1, \u3b2] , as equações paramétricas da curva descrita
por y = f (x) . Então, como dx = \u3c6\u2032 (t) dt e dy = \u3c8\u2032 (t) dt, podemos escrever
f \u2032(x) =
dy
dx
=
\u3c8\u2032 (t) dt
\u3c6\u2032 (t) dt
=
\u3c8\u2032 (t)
\u3c6\u2032 (t)
.
Substituindo na fórmula 1.10.1 obtemos
l =
\u222b b
a
\u221a
1 + (f \u2032 (x))2dx
=
\u222b \u3b2
\u3b1
\u221a
1 +
(\u3c8\u2032 (t))2
(\u3c6\u2032 (t))2
\u3c6\u2032 (t) dt
=
\u222b \u3b2
\u3b1
\u221a