Apostila_Numerico-2004

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UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS
Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Nicolau
Conteúdos
Introdução........................................................................................................................................1
Erros e incertezas.............................................................................................................................2
Sistemas Lineares de Equações.......................................................................................................6
Classificação de sistemas lineares ..............................................................................................6
Solução do Sistema de Equações Lineares.................................................................................8
Método de Eliminação de Gauss............................................................................................8
Métodos iterativos de resolução de sistema de equações lineares............................................10
Método de Jacobi:................................................................................................................10
Método de Gauss-Seidel.......................................................................................................13
Critério de convergência para métodos iterativos.....................................................................13
Equações algébricas e transcendentes ...........................................................................................15
Avaliação de polinômios: .........................................................................................................16
Método de Horner................................................................................................................16
Método de Briot-Ruffini.......................................................................................................16
Limites das raízes reais.............................................................................................................17
Determinação do intervalo onde há raízes................................................................................17
Determinação de raízes pelo método da bissecção...................................................................20
Aplicação do método da bissecção para funções transcendentais............................................21
Determinação de raízes pelo método de Newton-Raphson.......................................................23
Interpretação geométrica...........................................................................................................23
Interpolação...................................................................................................................................25
Interpolação linear.....................................................................................................................25
Interpolação linear por relação de proporcionalidade..........................................................26
Interpolação quadrática.............................................................................................................27
Interpolação de Newton............................................................................................................29
Definição..............................................................................................................................29
Diferenças divididas.............................................................................................................29
Interpolação de Lagrange..........................................................................................................31
O método dos Mínimos Quadrados...............................................................................................32
Regressão Linear.......................................................................................................................32
Coeficiente de determinação R2...............................................................................................34
Ajuste da curva exponencial.....................................................................................................35
Ajuste da curva potencial..........................................................................................................36
Integração Numérica......................................................................................................................38
Método dos trapézios................................................................................................................38
Estimativa de incertezas no método dos trapézios....................................................................40
Método de Simpson...................................................................................................................42
Estimativa de incertezas no método de Simpson......................................................................44
UNIVERSIDADE BRAZ CUBAS
Notas de Aula - CÁLCULO NUMÉRICO
Prof. Nicolau
Introdução
Quando o cálculo é aplicado na solução de problemas reais (Fisica, engenharia, economia,
etc...), em algum momento é necessário utilizar “números” para se obter a resposta desejada. Em
aplicações de matemática, o resultado final desejado, de um modo geral, tem que ser quantitativo. Em
algumas circunstâncias a substituição de variáveis por números ocorre somente no “final” do cálculo,
em algumas circunstâncias isto ocorre em uma fase bem preliminar. 
Por cálculo numérico se compreende uma série de procedimentos que utilizam técnicas
numéricas para a realização de cálculos. Tomemos a derivação como exemplo: se f(x) = x2, para a
obtenção da derivada de f(x) no ponto x = 1 podemos utilizar o método analítico ou o método numérico.
Método analítico: 
Aplicando a definição de derivada,
 df
dx
=lim
h0
f xh− f x 
h
=lim
h0
 xh2−x2
h
=2 x=2 para x = 1.
Método numérico: 
Escolhemos inicialmente um valor arbitrariamente pequeno de h (por exemplo, h = 0,01) e
substituímos tanto o valor de x = 1 quanto h = 0,01 na definição de derivada. Teremos então 
df
dx x=1
≈10,01
2−12
0,01
=2,01
Verifica-se um diferença de de 0,01 entre os valores calculados analítica e numericamente. Isto
se deve ao fato de termos utilizado um valor finito de h = 0,01 em vez de h  0.
Exercício 1: Verificar que a diferença entre os valores calculados analítica e numericamente diminui se
escolhermos valores menores de h.
Mesmo na resolução analítica da derivada acima, no final, foi substituído o valor 1 na variável
x. Assim, mesmo quando se utilizam analíticos, em algum momento é necessário substituir variáveis
1
por seus valores numéricos para a obtenção de soluções quantitativas de problemas.
O cálculo numérico é a disciplina que estuda métodos numéricos para a solução de problemas
matemáticos. Neste curso será apresentada uma introdução ao cálculo numérico, com especial atenção
à propagação de erros associada ao método em questão. Serão abordados os tópicos:
Erros e incertezas;
Solução de sistemas lineares de equações;
Solução de equações algébricas e transcendentes;
Interpolação
Método dos mínimos quadrados
Integração numérica.
Erros e incertezas.
Em um dado processo de obtenção de uma solução quantitativa para um dado problema1, surge
espontaneamente o conceito de Erro. Por erro é entendida a diferença entre o valor real de uma dada
grandeza e aquela que é obtida. Logo, erro é um conceito filosófico: se não conhecemos o valor real de
uma dada grandeza, como podemos saber a diferença entre este valor e o o obtido por algum método de
medição ou de cálculo? Daí que modernamente se prefere utilizar o conceito de incerteza. De qualquer
maneira, neste curso utilizaremos o termo erro para expressar indistintamente erro ou incerteza, como
utilizado pela maioria da bibliografia de uso didático no momento.
Erro de modelamento: a equação (expressão)matemática utilizada para expressar algum fenômeno ou
processo tem aproximações, não o descreve precisamente. Exemplo: a queda livre de um objeto
próximo ao solo é expressa pela conhecida equação de movimento S = S0 + v0t + gt2/2, onde S é a
posição do corpo no instante t, S0 é a posição do corpo no instante t = 0, v0 é a velocidade de corpo no
instante t0 e g é a aceleração da gravidade. Esta equação não leva em conta a resistência do ar, assim,
ela é precisa ou para pequenas velocidades (ou para um ambiente em vácuo). Conforme a velocidade
aumenta este equação passa a ser cada vez menos precisa. 
Erro de truncamento e arredondamento: representamos números reais utilizando o sistema decimal
ou o binário (utilizado por computadores) de um modo geral. Ao executarmos algumas operações, o
resultado pode necessitar de um número muito grande de dígitos (até mesmo um número infinito de
dígitos, no caso de números irracionais) para ser representado com exatidão. O que ocorre na realidade
é que limitamos o número de dígitos de modo que o erro introduzido seja desprezível para o propósito a
1 Este processo pode ser de medição, cálculo, estimativa, etc...
2
que se destina o cálculo efetuado. Este procedimento é chamado de truncamento. Por exemplo, o 
pode ser representado com exatidão pela expressão  = P/D onde P e D são o perímetro e o diâmetro de
um círculo. No entanto, p é um número irracional e para ser representado no sistema decimal seria
necessário um número infinito de dígitos. Tomando somente os primeiros 9 dígitos pode-se escrever
 = 3,14159265. No entanto, para a maior parte das aplicações o valor de 3,14 é preciso o suficiente, ou
seja, o valor de  é truncado na “casa da centena” . Este procedimento introduz no cálculo uma
incerteza na “casa do milhar”. 
Para amenizar o erro introduzido por truncamento, é procedimento normal arredondar o
número. Por exemplo, o valor de  truncado na 4a. casa depois da vírgula fica como 3,1415; no entanto,
arredondamos para 3,1416 pois o dígito imediatamente após o 5 é um 9 e certamente 3,1416 é mais
próximo do valor de  que 3,1415. Há discussões quanto a como arredondar de maneira adequada um
número, neste curso tomaremos um processo simplificado que simplesmente arredonda “para baixo”
se o dígito subseqüente for 4 ou menor e “ para cima” se o dígito subseqüente for 5 ou maior.
Erro absoluto: u=∣u−u0∣ onde u é o valor obtido por medição ou cálculo e u0 é o valor
convencionado como correto para a variável u.
Erro relativo: u=∣u−u0u0 ∣=uu0 
Notar que u é um número puro que pode freqüentemente ser apresentado na forma de
porcentagem. Ou, u = 0,1 é o mesmo que u = 10%.
Propagação de erros: Se tomarmos 2 números com suas respectivas incertezas, u  u e v  v e
efetuarmos operações com estes números, tais como soma, subtração, multiplicação, divisão, cálculo de
logaritmos, seno e cosseno, etc... o erro irá se propagar, isto é, no resultado do cálculo haverá um erro
que é conseqüência de u e v. 
Soma e subtração: w = u + v ou w = u - v  w=u2 v2
Multiplicação e divisão: w = u  v ou w = u/v  w=u2 v2=ww
Caso geral: w = w(u,vz)  w= ∂w∂u u2 ∂w∂ v v 2⋯ ∂w∂ z  z2
3
Pergunta: Com quantas “casas” devo deixar o resultado?
Resposta: Com tantas casas quanto sejam necessárias para expressar o erro! 
Exemplo 1: Dados a = 62,1 0,2 e b = 42,50; calcular c = a+b.
Neste caso a = 0,2 e b = 0,4, então 
c=ab=104,6
c=0,220,42=0,4472...
Então c = 104,6  0,4.
Exemplo 2: u = 2,125 e v = 42,32, como expressar w = u/v ? 
Quando o erro não é expresso de maneira explícita, estimamos como erro o valor de uma unidade da
menor ordem de grandeza utilizada para expressar o número, isto é, u ~ 0,001 (porque u vai até a casa
do milésimo) e v ~ 0,01 (porque v vai até a casa do centésimo). 
Daí, w = 2,125/42,32 = 0,05021266541 
w= 0,0012,125 2 0,0142,32 2=0,000526581⋯ ; w = ww = 0,000026443
O resultado da operação deve então ser expresso como w = 0,05021 0,00003
Exercício 2: Calcular as expressões abaixo com os respectivos erros e expressar os resultado de
maneira adequada.
a -) a = 12,5 ; b = 16 ; calcular a + b ; a – b ; a · b ; a/b .
b -) c = 321,1± 0,2; d= 123,42±0,08 ; calcular c + d e c -d ; c · d e c/d .
c -) u = 115,13 ± 0,08; v = 2,43 ± 0,04 ; calcular u + v; u – v ; u / v e u v.·
d -) m = 1,22×105 ; n = 4,6×104 ; calcular m + n ; m – n ; m n e m/n.
e -) r = 0,012±0,007 ; calcular ln(r) e cos(r) (Observação: o argumento do coseno é em
radianos.).
f -) a = 22,5±0,5 ; calcular a  ; a2 ; a 2/3 . 
g-) a = 3,21×10-6 ; b = 7,68×10-7 ; calcular a + b ; a – b ; a b ; a / b ; a2 + b2 ;  ab .
4
h -) a = 2,27±0,06 ; b = 0,763±0,004 ; c = 156,1±0,9 ; calcular ab2c
Exercício 3: Um retângulo tem por lados A = (45,0 ± 0,5) cm e B = (60,08 ± 0,06) cm. Calcular e
expressar de maneira adequada o perímetro e a área do retângulo.
Exercício 4: A distância de São Paulo a Curitiba é de 400 km com uma incerteza de aproximadamente
10 km. Se um veículo realiza uma viagem entre estas duas capitais em um intervalo de tempo de 4,0
horas com uma incerteza de 10 minutos, qual a velocidade escalar média do veículo e qual sua
incerteza? Obs.: a expressão para velocidade escalar média é ve=
D
 t , onde D é a distância
percorrida e Dt é o intervalo de tempo em que D foi percorrida.
Exercício 5: Um tambor de óleo de forma cilíndrica tem um diâmetro de 655±5 mm e uma altura de
1190±8 mm. Qual a capacidade volumétrica do tambor, com qual incerteza?
5
Sistemas Lineares de Equações
Dado conjunto de equações lineares
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +    + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +    + a2n xn = b2 
......................................................................................................................
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 +    + annxn = bn 
ou, na forma matricial 
a11 a12 ⋯ a1 na21 a22 ⋯ a2 n⋯ ⋯ ⋯ ⋯an1 an2 ⋯ ann 
x1
x2
⋯
xn
=b1b2⋯bn
dizemos que o sistema tem solução se e somente se existe o conjunto (x1, x2    xn tal que a equação
acima seja verdadeira.
Exemplo 3: Dado o sistema linear de equações 
x1 + 2 x2 - x3 = 2
2 x1 - x2 - x3 = 0
x1 - 2 x2 + 4 x3 = 3
pode ser verificado, por substituição, que (1, 1, 1)T é solução para o sistema.
Classificação de sistemas lineares 
- Quando o sistema tem solução, dizemos que é compatível. Logo, o sistema dado no exemplo 3
acima, é compatível.
- Quando o sistema não tem solução, dizemos que é incompatível.
Exemplo 4: O sistema 
x1 + x2 = 1
x1 + x2 = 2
não tem solução, logo, é incompatível.
-Quando o sistema tem uma única solução, dizemos que é determinado.
6
Exemplo 5: x1 + x2 = 2
x1 - x2 = 0
é determinado pois a solução é (1, 1)T.
- Quando o sistema tem várias soluções possíveis, dizemos que é indeterminado. 
Exemplo 6:
x1 + 2 x2 = 4
2 x1 + 4 x2 = 8
é indeterminado pois a solução é qualquer x2, tal que x1 = 4 - x2.
Um sistema é compatível e determinado se e somente se det |a|  0.
Exercício 6: Verificar se os sistemas de equações abaixo são compatíveis e determinados (possuem
solução única):
a-) x1 + 2 x2 - x3 = 2 b-) x1 + 2 x2 - x3 = 2 
2 x1 - 2 x2 + x3 = 1 2 x1 - 2 x2 + x3 = 1
x1 -4 x2 + 2 x3 = -1 x1 + 4 x2 + 2 x3 = -1
 
Sistemas triangulares: (são resolvidos por substituições retroativas) 
Exemplo 7: x1 + 2 x2 - 3 x3 = 4
 x2 + 5 x3 = 7
 2 x3 = 2
Então 
L3 : 2 x3=2 x3=1
L2 : x25⋅1=7 x2=2
L3 : x12⋅2−3⋅1=4 x1=3
Pode-se mostrar que todo sistema compatível e determinado pode ser reduzido a um sistema triangular
usando transformações elementares.
Transformações Elementares:
a-) Trocar a ordem de 2 linhas;
b-) Multiplicar uma linha por uma constante não nula;c-) Adicionar 2 linhas.
7
Solução do Sistema de Equações Lineares
Método de Eliminação de Gauss.
Consiste em, usando transformações elementares, reduzir o sistema de equações a um sistema
triangular.
Técnica de pivotamento: Consiste em trocar a ordem das linhas de modo que na diagonal principal
fiquem os maiores valores possível.
Exemplo 8: Resolver pelo método de pivotamento de Gauss, o sistema linear de equações abaixo:
 2 x1 + 3 x2 - x3 = 5 
4 x1 + 4 x2 - 3 x3 = 3
2 x1 - 3 x2 + x3 = -1
Inicialmente troca-se de posição a 1ª e a 2ª linhas.
4 4 -3 | 3
2 3 -1 | 5
2 -3 1 | -1
A 2ª e a 3ª linhas são multiplicadas por 2
4 4 -3 | 3
4 6 -2 | 10
4 -6 2 | -2
Agora subtrai-se a 2ª linha da 1ª; o mesmo é feito com a 3ª linha.
4 4 -3 | 3
0 -2 -1 | -7
0 10 -5 | 5
Agora a 2ª e a 3ª linha são trocadas de posição para que o valor do “pivô” seja o maior possível.
4 4 -3 | 3
0 10 -5 | 5
0 -2 -1 | -7
8
A 3ª linha agora é multiplicada por -5
4 4 -3 | 3
0 10 -5 | 5
 0 10 5 | 35
Agora a 3ª linha é subtraída da 2ª, e teremos o sistema triangular.
4 4 -3 | 3
0 10 -5 | 5
0 0 -10 | -30
Agora, por substituição retroativas resolvemos o sistema de equações.
-10 x1 = -30  x1 = 3
10 x2 - 5 x3 = 5  10 x2 - 53 = 5  10 x2 = 20  x2 = 2
4 x1 + 4 x2 - 3 x3 = 3  4 x1 + 42 - 33 = 3  x1 = 1
Exercício 7: Resolver, pelo método de pivotamento de Gauss, os sistemas lineares de equações abaixo:
a-) 2,5 x1 -3 x2 + 4,3 x3 = 2,90 
2 x1 + 6,1x2 + 2,7 x3 = 27,6
4 x1 - 2 x2 + 1,6 x3 = 5,40
b-) 31 12 2511 22 814 5 21x1x2x3=17715539 
c-) -3,21 x1 + 12,1 x2 + 4,01 x3 = -31,24 
4,15 x1 + 4,35 x2 + 5,65 x3 = 59,77
2,01 x1 - 5,22 x2 + 10,91 x3 = 157,86
d-) 0,04 0,12 −1,250,89 0,02 0,86−0,21 0,45 −0,11x1x2x3=0,0544−0,01600,0137 
e-) 12,5 x1 + 2,15 x3 = 29,0
-8,9 x1 + 4,25 x2 = -8,1
1,25 x2 -5 x3 = -3,4
f-) 2 x1 + x2 - 3 x3 = -1
 x1 - x2 + 3 x3 = 7
3 x1 + 2 x2 - x3 = 6
g-) x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1
x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -1
2 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -6
4 x1 + x2 + x3 + x4 = 7
h-)
0,04 0,12 −1,250,89 0,02 0,86−0,21 0,45 −0,11x1x2x3=0,0544−0,01600,0137 
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Métodos iterativos de resolução de sistema de equações lineares.
Método de Jacobi:
Seja o sistema linear 
a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 +    + a1n xn = b1 
a21 x1 + a22 x2 + a23 x3 +    + a2n xn = b2 
......................................................................................................................
an1 x1 + an2 x2 + an3 x3 +    + annxn = bn 
De cada linha é separado o termo da diagonal, ou seja,
x1=
b1−a12 x2−a13 x3⋯a1n xn
a11
x2=
b2−a21 x1−a23 x3⋯a2 n xn
a22
xi=
bi−∑
i≠ j
a i j x j
a i i
– Inicialmente “chutam-se” valores iniciais x1
0 , x2
0 , x3
0,⋯, xn
0 T , onde o superescrito '0' indica a
primeira aproximação;
– os valores de xi0 são substituídos no lado direito da Eq. (1), gerando valores xi1 ;
– os valores de xi1 são substituídos no lado direito da Eq. (1), gerando valores xi2 ; e assim
sucessivamente até que os valores de xi convirja para os valores procurados, com erros previamente
estabelecidos.
Obs.: Convenciona-se aqui erro inferido (x) como o módulo da diferença entre um valor calculado de 
x e o seu valor calculado na iteração anterior. Assim, x3 = |x3 - x2| .
Exemplo 9: Resolver o sistema abaixo utilizando o método iterativo de Jacobi, com um erro relativo
menor que 0,5%:
5 x1 - x2 = 3
x1 + x2 = 3
Isolando os termos da diagonal, tem-se
x1 = (3 + x2) / 5
x2 = 3 - x1
10
Vamos chutar valores iniciais (x1, x2)T = (0, 0)T , e iniciar substituições sucessivas nas equações acima,
conforme mostrado na tabela abaixo,
n x1 = (3 + x2) / 5 x2 = 3 - x1 x1 x2 x1 x2
0 0,0000 0 - - - -
1 0,6000 0,0000 0,6000 3,0000 100 100,00
2 1,2000 3,0000 0,6000 0,6000 50 25,00
3 1,0800 2,4000 0,1200 0,6000 11,11 33,33
4 0,9600 1,8000 0,1200 0,1200 12,50 6,25
5 0,9840 1,9200 0,0240 0,1200 2,44 5,88
6 1,0080 2,0400 0,0240 0,0240 2,38 1,19
7 1,0032 2,0140 0,0048 0,0240 0,48 1,20
8 0,9984 1,9968 0,0048 0,0048 0,48 0,24
onde n indica a ordem da iteração (0 é o 'chute' inicial), x indica o erro absoluto e x indica o erro
relativo (em porcentagem na tabela).
Exemplo 10: Resolver o sistema de equações lineares abaixo, pelo método de Jacobi, com um erro
absoluto menor que 0,01.
3 x1 + x2 - x3 = 10
x1 + 2 x2 + x3 = 8
x1 - x2 + 4 x3 = 5
Acompanhe o desenvolvimento na tabela.
n x1 
 (10-x2 +x3)/ 3
x2
(8-x1-x3)/2
x3
(5-x1+x2)/4
x1 x2 x
1 0,0000 0,0000 0,0000 - - -
2 3,3333 4,0000 1,2500 3,3333 4,0000 1,2500
3 2,4167 1,7083 1,4167 0,9167 2,2917 0,1667
4 3,2361 2,0833 1,0729 0,82 0,3750 0,3438
5 2,9965 1,8455 0,9618 0,2396 0,2378 0,1111
6 3,0388 2,0208 0,9622 0,0422 0,1753 0,0004
7 2,9805 1,9995 0,9955 0,0583 0,0213 0,0333
8 2,9987 2,0120 1,0048 0,0182 0,0125 0,0092
9 2,9976 1,9983 1,0033 0,0011 0,0137 0,0014
10 3,0017 1,9995 1 0,0041 0,0013 0,0032
11
Exercício 8: Determinar a solução dos sistemas lineares abaixo, com um erro menor que 0,2%,
utilizando o método de Jacobi.
a-) x1 + x2 + x3 - 4 x4 = -1
x1 + 2 x2 - 5 x3 + x4 = -1
2 x1 - 8 x2 + x3 - x4 = -6
4 x1 + x2 + x3 + x4 = 7
b-) x1 - 0,25x2 - 0,25x3 = 0
-0,25x1 + x2 - 0,25x4 = 0
-0,25x1 + x3 -0,25x4 = 0,25 
-0,25x2 + x4 =0,25
c-) 0,09x1 + 3,00x2 - 0,15x3 = 9,00
4,00x1 + 0,24x2 - 0,08x3 = 8,00
0,04x1 - 0,08x2 + 4,00x3 = 20,00
d-) 0,04 0,12 −1,250,89 0,02 0,86−0,21 0,45 −0,11x1x2x3=0,0544−0,01600,0137 
e-) 0,2 x1 – 5,1x2 + 0,2 x3 = 12,1
8,2 x1 + 0,6 x2 – 1,3 x3 = 1,2
0,3 x1 – 0,2 x2 – 7,2 x3 = - 6,5
f-) 3 x1 – 5 x2 + 12 x3 = 11,25
5 x1 + x2 – 2 x3 = 2,32
- 2 x1 + 7 x2 – x3 = - 3,45
g-) x1 + 2 x2 + 4 x3 = 18
- x1 + 3 x2 + x3 = 14,5
5 x1 – 2x2 + x3 = 1,5
12
Método de Gauss-Seidel
O método de Gauss-Seidel é semelhante ao de Jacobi, a menos que ao substituirmos
iterativamente valores de x, utilizamos sempre o valor mais atual. Por exemplo, vamos tomar um
sistema de 3 equações e três incógnitas.
– Isolamos as equaçoes de x1, x2 e x3 ;
– Chutamos valores para x1
0 , x2
0 , x3
0 e com eles calcularmos x1
1 ;
– para calcularmos x2
1 usamos x1
1 e x3
0 , e não x1
0 e x3
0 ;
– para calcularmos x3
1 usamos x1
1 e x2
1 , e assim sucessivamente.
Exemplo 11: Resolver o sistema linear de equações do Exemplo 10 usando agora o método de Gauss-
Seidel.
Acompanhe o desenvolvimento na tabela
n
x1 
 (10-x2 +x3)/ 3
x2
(8-x1-x3)/2
x3
(5-x1+x2)/4
x1 x2 x
1 0,0000 0,0000 0,0000
2 3,3333 2,3333 1,0000 3,3333 2,3333 1,0000
3 2,8889 2,0556 1,0417 0,4444 0,2778 0,0417
4 2,9954 1,9815 0,9965 0,1065 0,0741 0,0451
5 3,0050 1,9992 0,9986 0,0096 0,0177 0,0020
6 2,9998 2,0008 1,0003 0,0052 0,0016 0,0017
Observe que enquanto que pelo método de Jacobi foram necessárias 10 iterações para convergir dentro
do erro especificado, pelo método de Gauss-Seidel foram necessárias apenas 6. 
Exercício 9: Resolver os sistemas de equações lineares do exercício 8 usando o método de Gauss-
Seidel, com erros relativos menores que 0,2%.
Critério de convergência para métodos iterativos
O sistema tem que ser diagonal dominante, ou seja, ∣aii∣∑
j≠i
∣aij∣ .
Exercício 10: Dos sistemas de equações lineares abaixo somente dois são determinados e, destes,
somente um pode ser resolvido utilizando um método iterativo (Jacobi ou Gauss-Seidel). Identifique-
os.
a-) x1 + 2 x2 – x3 = 1 b-) 3 x1 + x2 + 2 x3 = 12
x1 – x2 + 2 x3 = 0 x1 + 3 x2 – 2 x3 = 5
13
2 x1 + x2 + x3 = 5 2 x1 - 2 x2 + 4 x3 = - 2 
c-) x1 + x2 + x3 = 5 d-) x1 + 2 x2 + 4 x3 = 18
x1 – x2 + x3 = 0 - x1 + 3 x2 + x3 = 14,5
x1 + x2 – x3 = 3 5 x1 – 2x2 + x3 = 1,5
Exercício 11: Do exercício acima, resolva o único sistema que pode ser resolvido por métodos
iterativos pelo método de Gauss-Seidel, com um erro menor que 1%.
Exercício 12: Do exercício 10, resolva o sistema determinado quenão pode ser resolvido por métodos
iterativos, pelo método de Gauss (Escalonamento).
Exercício 13: Em uma escavação de ruínas antigas foi encontrado um documento que dizia que no
local havia um templo. De acordo com este documento, o templo tinha razões constantes entre a frente
e altura e entre a altura e o comprimento do prédio, da seguinte maneira: a frente era 1,5 vezes a altura
do prédio e o comprimento era 1,5 vezes a frente. Outro dado importante encontrado no documento era
que o perímetro do templo era de 100 m. Baseado nestas informações, monte um sistema de equações
lineares e resolva-a, determinando qual a altura, a frente e o comprimento do templo.
Exercício 14: Resolva o sistema de equações abaixo usando o método iterativo de Gauss-Seidel.
6 x1 - x2 + x3 = 22
x1 + 2 x2 - 5x3 = 12
2 x1 - 8 x2 + x3 = -10
Exercício 15: Com relação aos sistemas de equações lineares abaixo, responda as questões a seguir. 
 a-) b-) c-)
 
d-) e-) f-)
 
i-) Verificar quais dos sistemas acima possuem solução única.
ii-) Dos sistemas acima, apenas 2 podem ser resolvidos usando métodos iterativos. Resolva o primeiro
pelo método de Jacobi e o segundo pelo método de Gauss-Seidel.
iii-) Dos sistemas acima, há 2 que, apesar de terem solução única, não podem ser resolvidos por método
iterativos. Resolva-os usando o método de pivotamento de Gauss.
14
Equações algébricas e transcendentes 
Há um sem número de aplicações em que é necessário determinar um certo número  tal que f
() = 0. Este número é chamado de raiz da função f(x).
Para equações do 1°, 2° e algumas do 3° e 4° graus, as raízes podem ser obtidas por métodos
analíticos, mas para equações de maior grau e equações transcendentais, a determinação das raízes é
feita numericamente. Para isto é necessário:
a-) Isolar a raiz;
b-) Refinar o valor aproximado.
Teorema: Se uma função f(x) assume valores de sinal oposto nos pontos extremos do intervalo [a, b],
ou seja, se f(a)f(b) <0, então o intervalo conterá, no mínimo, uma raiz da equação f(x) = 0.
y = f(x)
x


 
A raiz será definida e única se a derivada f '(x) existir e preservar o sinal dentro do intervalo [a, b].
Equações algébricas
Seja uma equação algébrica de grau n (n  1)
P x =an x
nan−1 x
n−1an−2 x
n−2⋯a0=0
onde os coeficientes ai são reais e an  0. 
Teorema: (Teorema fundamental da álgebra). Uma equação algébrica de grau n tem exatamente n
raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo com sua multiplicidade.
Definição: Uma raiz  tem multiplicidade m se 
P =
dP 
dx
=
d 2 P 
dx2
=⋯=
d m−1 P 
dxm−1
=0
d m P 
dxm
15
Exemplo 12: P(x) = (x -2)3 (x + 1) = x4 - 5 x3 + 6 x2 + 4 x -8  P(2) = 0
 P'(x) = 4 x3 - 15 x2 + 12 x +4  P'(2) = 0
 P''(x) = 12 x2 - 30 x + 12  P''(2) = 0
P'''(x) = 24 x - 30  P'''(2) = 18
Então as raízes são 1 = 2 (multiplicidade 3) e 2 = 1 .
Exemplo 13: P(x) = x3 -1.
Uma raiz é óbvia: 1 = 1.
De acordo com o teorema fundamental da álgebra deve haver mais duas raízes! Ou seja,
 P(x) = (x - a1)(x - a2)(x - a3) = x3 -1 então
P  x 
x−1
=x−a2 x−a3=x
2x1
Usando Bascara, {2=−12 i 323=−12 −i 32
Teorema : Se os coeficientes de uma equação algébrica são reais, então as raízes complexas desta
equação são complexos conjugados em pares, isto é, se 1 = a + i b, então 2 = a – i b.
Avaliação de polinômios: 
Supor o polinômio: P x =a4 x
4a3 x
3a2 x
2a1 xa0
Método de Horner.
P x0=a4 x0a3 x0a2 x0a1 x0a0
Método de Briot-Ruffini.
a4 a3 a2 a1 a0 
x0 P4 x0 P3 x0 P2 x0 P1 x0 
P4 = a4 P3 = a3 + P4 x0 P2 = a2 + P3 x0 P1 = a1 + P2 x0 P0 = a0 + P1 x0 
P  x0=P0
16
Limites das raízes reais
Considerar P(x) = anxn + an-1 xn-1 +     a1 x + a0 com an 0 e ai ∈ ℝ. 
Teorema (de Lagrange) : Sejam an > 0, a0  0 e k (0  k  n-1), têm-se que 
L=1n−k  Ban , onde
B é o máximo do módulo dos coeficientes negativos;
k é o maior índice dos coeficientes negativos do polinômio.
Exemplo 14: P(x) = 3 x5 + 2 x4 - 2 x3 - 8 x2 + 2 x + 1
an=3
n=5
B=8
k=3
}  L=15−3 83=2,63 Logo, não há raiz real para x > 2,63.
Exercício 16: Aplicar o teorema de Lagrange para as funções algébricas abaixo.
a-) P(x) = x4 - 5 x3 - 7 x2 + 29 x + 30
b-) P(x) = x3 - x2 - 9 x + 9
c-) P(x) = 3 x5 -25 x3 + 9 x +9
d-) P(x) = 3 x4 -5 x3 - 12x + 8
Se não houverem coeficientes negativos, não haverão raízes reais positivas.
Determinação do intervalo onde há raízes
Para se determinar o intervalo que há raízes de uma função algébrica utiliza-se o Teorema de
Lagrange em 4 situações distintas: 
i-) Para P(x) ==> 1 = L 
ii-) Para P'(x) = xnP(1/x) ==> 2 = 1/L
iii-) Para P''(x) = P(-x) ==>  = -L
iv-) Para P'''(x) = xnP(-1/x) ==>  = -1/L
17
Assim, se houverem raízes reais, elas estarão no intervalo dado por 
2 < x < 1 para as raízes positivas
 < x <  para as raízes negativas
Exemplo 15: Determinar, usando o Teorema de Lagrange, os intervalos onde há raízes da função
algébrica P(x) = 9 x4 - 117 x2 +324.
1-) P(x) = 9 x4 - 117 x2 +324 
an=9
n=4
B=117
k=2
}  L=14−2 1179 =4,6 ==> 1 = L = 4,6
2-) xn P(1/x) = x4 (9 /x4 - 117 /x2 +324) = 324 x2 - 117 x2 +9
an=324
n=4
B=117
k=2
}  L=14−2 117324=1,6 ==> 2 = 1/L = 0,625
3-) P(-x) = 9 x4 - 117 x2 +324
an=9
n=4
B=117
k=2
}  L=14−2 1179 =4,6 ==> 3 = -L = -4,6 
4-) xn P(-1/x) = x4 (9 /x4 - 117 /x2 +324) = 324 x2 - 117 x2 +9
an=324
n=4
B=117
k=2
}  L=14−2 117324=1,6 ==> 4 = -1/L = - 0,625
Então, se houverem raízes para o polinômio acima, elas estarão no intervalo
2 < x < 1 para as raízes positivas
 < x <  para as raízes negativas, ou
-4,6 < x < -0,625 e 0,625 < x < 4,6
18
Exercício 17: Determinar, usando o Teorema de Lagrange, os intervalos onde há raízes das função
algébricas:
a-) x3 - 5 x2 + 9 x - 45
b-) 4x4 - 5 x3 - 7 x2 + 29 x + 30 
c-) 3x5 - 4 x3 + 27 x2 + 108
d-) 2x6 - 25 x4 + 32 x2 +451
19
Determinação de raízes pelo método da bissecção
O Método da bissecção consiste em:
1. Determinar o intervalo onde há raízes;
2. Para cada intervalo [a, b], verificar se f(a)f(b) <0;
3. Caso afirmativo, supor que f(a) < 0 (logicamente, então, f(b) >0); calcula-se c = (a + b)/2 e verifique
se f(c) é maior ou menor que zero;
4. Se f(c) <0, então a raiz estará no intervalo [c, b]; se f(c) > 0, então a raiz estará no intervalo [a, c];
5. Supor que a raiz esteja no intervalo [a, c]; divide-se o intervalo em 2 novamente com e = (a + c)/2 e
testa-se f(e) e verifique se é maior ou menor que zero, a raiz estará sempre entre um valor positivo e
um negativo da função.
6. Repete-se sucessivamente até que a diferença entre dois valores de x seja menor que o valor pré-
estabelecido de erro.
Figura 1: Diagrama explicativo do método da bissecção.
Exemplo 16: Determinar pelo método da bissecção a raiz positiva da função f(x) = x2 -3.
Usando o teorema de Lagrange, determinar o intervalo em que há raízes positivas, isto é
P(x) = x2 -3 e
an=1
n=2
B=3
k=0
}  L=1 2 31=2,7 , 1 = 2,7
x2 P(1/x) = -3 x2 + 1, então, P'(x) = 3 x2 -1 e
an=3
n=2
B=1
k=0
}  L=1 2 13=1,6 , 2 = 1/L = 0,6
20
a
b
c
d
e
f(x)
Se houverem raízes positivas, elas estarão no intervalo [0,6; 2,7]. Testa-se a função nos pontos
extremos e no valor médio (0,6 + 2,7)/2 = 1,65, ou seja
f(0,6) = -2,64
f(1,65) = -0,2775
f(2,7) = 4,29
a raiz estará então no intervalo [1,65; 2,7] pois as funções nestes pontos tem sinais opostos, ou seja f
(1,65)f(2,7) < 0. Testa-se então o valor médio entre os extremos 
(1,65 + 2,7)/2 = 2,18
f(1,65) = -0,2775
f(2,18) = 1,752
f(2,7) = 4,29
e a raiz estará no intervalo [1,65; 2,18], pois f(1,65)f(2,18) <0, e assim sucessivamente. Veja a tabela
abaixo
f(xmenor)f(xmédio) f(xmaior) x
 f(0,6) = -2,64 f(1,65) = -0,2775 f(2,7) = 4,29
 f(1,65) = -0,2775 f(2,18) = 1,75 f(2,7) = 4,29 0,53
 f(1,65) = -0,2775 f(1,92) = 0,686 f(2,18) = 1,75 0,26
f(1,65) = -0,2775 f(1,785) = 0,186 f(1,92) = 0,686 0,135
f(1,65) = -0,2775 f(1,718) = -0,0485 f(1,785) = 0,186 0,067
f(1,718) = -0,0485 f(1,752) = 0,069 f(1,785) = 0,186 0,034
f(1,718) = -0,0485 f(1,735) = 0,010 f(1,752) = 0,069 0,017
f(1,718) = -0,0485 f(1,727) = -0,0175 f(1,735) = 0,010 0,008
f(1,727) = -0,0175 f(1,731) = -0,0036 f(1,735) = 0,010 0,004
f(1,731) = -0,0036 f(1,733) = 0,0033 f(1,735) = 0,010 0,002
f(1,731) = -0,0036 f(1,732) = -0,00018 f(1,733) = 0,0033 0,001
A raiz de f(x) = x2 -3 é x = 1,732  0,001 . 
Exercício 18: Usando o método da bissecção, calcular 58 com um erro menor que 1%.
Aplicação do método da bissecção para funções transcendentais.
Quando a função que se pretende determinar a raiz não é uma função algébrica (chamadas de equações
transcedentais), não é possível aplicar o teorema de Lagrange para a determinação do intervalo onde há
raízes, então, é necessário 'explorar' a região (ou as regiões) onde estão as raízes.
21
Exemplo 17: Determinar a raíz da função f(x) = sen(x) usando o método da bissecção, com um erro
menor que 0,5%.
A função seno tem várias raízes, pois sen(x) = 0 sempre que x = n, com n inteiro. A título de exemplo,
tomemos o intervalo [3; 4] e observe a tabela a seguir.
xmenor sen(xmenor) xmedio sen(xmedio) xmaior sen(xmaior) x x (%)
3,0000 0,1411 3,5000 -0,3508 4,0000 -0,7568
3,0000 0,1411 3,2500 -0,1082 3,5000 -0,3508 0,2500 25,00
3,0000 0,1411 3,1250 0,0166 3,2500 -0,1082 0,1250 12,50
3,1250 0,0166 3,1875 -0,0459 3,2500 -0,1082 0,0625 6,25
3,1250 0,0166 3,1563 -0,0147 3,1875 -0,0459 0,0313 3,13
3,1250 0,0166 3,1406 0,0010 3,1563 -0,0147 0,0156 1,56
3,1406 0,0010 3,1484 -0,0068 3,1563 -0,0147 0,0078 0,78
3,1406 0,0010 3,1445 -0,0029 3,1484 -0,0068 0,0039 0,39
E então 
 x = 3,1450,004 .
No entanto, se iniciarmos com o intervalo [5; 7], teremos
xmenor sen(xmenor) xmedio sen(xmedio) xmaior sen(xmaior) x x (%)
5,0000 -0,9589 6,0000 -0,2794 7,0000 0,6570
6,0000 -0,2794 6,5000 0,2151 7,0000 0,6570 0,5000 50,00
6,0000 -0,2794 6,2500 -0,0332 6,5000 0,2151 0,2500 25,00
6,2500 -0,0332 6,3750 0,0917 6,5000 0,2151 0,1250 12,50
6,2500 -0,0332 6,3125 0,0293 6,3750 0,0917 0,0625 6,25
6,2500 -0,0332 6,2813 -0,0019 6,3125 0,0293 0,0313 3,13
6,2813 -0,0019 6,2969 0,0137 6,3125 0,0293 0,0156 1,56
6,2813 -0,0019 6,2891 0,0059 6,2969 0,0137 0,0078 0,78
6,2813 -0,0019 6,2852 0,0020 6,2891 0,0059 0,0039 0,39
e x =
 6,2850,004 . 
Assim, é possível que pelo método da bissecção, obtenhamos somente uma raiz local.
Exercício 19 : Determinar, pelo método da bissecção, as raízes das funçôes abaixo:
a-) f(x) = x3 - 6 x2 - x + 30
22
b-) f(x) = x + ln(x)
c-) f(x) = 3 x - cos(x)
d-) x + 2 cos(x)
e-) 3 x2 - ex
f-) e-x -x
Determinação de raízes pelo método de Newton-Raphson2
É um método iterativo onde a relação de recorrência é dada por , xn1=xn−
f  xn
f '  xn
onde f '(x)
indica a derivada de f(x) com relação a x.
Interpretação geométrica.
x
n
x
n+1
f(x
n
)
x
n+2
Na figura acima, a tangente de f(x) no ponto x = xn é dada por f(x)/(xn - xn+1). A tangente da função f(x)
no ponto xn é a própria derivada f'(xn), daí, isolando xn+1, 
xn1=xn−
f xn
f '  xn
da tangente de f(x) no ponto x=xn+1 obtém-se xn+2, e assim sucessivamente, se aproximando do valor
onde f(x) = 0. Observar que quando f(x) = 0, xn+1 = xn .
Exemplo 18: Determinar, pelo método de Newton-Raphson, a raiz da função f(x) = ln(x)+x, com um
erro menor que 0,5%. Obs.: Iniciar com x0 = 1.
f(x) = ln(x) + x e f'(x) = 1/x + 1, então, neste caso, 
xn1=xn−
ln x x
1
x
1 . 
n xn x x (%)
2 Este método é às vezes chamado somente de Método de Newton.
23
1 1,0000
2 0,5000 0,5000 100,000
3 0,5644 0,0644 11,408
4 0,5671 0,0028 0,486
e x = 0,5670,003 .
Exercício 20: Determinar pelo menos uma raiz das funções abaixo, usando o método de Newton-
Raphson, com um erro menor que 0,1%.
a-) f(x) = x3 - 6 x2 - x + 30
b-) f(x) = 3 x - cos(x)
c-) x + 2 cos(x)
d-) 3 x2 - ex
e-) e-x - x
Exercício 21: Obter, usando o método de Newton-Raphson, a relação de recorrência para solução de
x= nA .
Exercício 22: Usando o resultado da questão anterior, calcule 213 com um erro menor que 0,1%.
Exercício 23: Usando o resultado da questão 21, calcule 513 com um erro menor que 0,1%.
Exercício 24: Usando o método de Newton-Raphson, calcule 110,25 com um erro menor que 0,2%.
24
Interpolação
Quando valores discretos de uma determinada função y(x) são conhecidos, valores intermediários
podem ser obtidos utilizando técnicas de interpolação.
Exemplo 19: 
x y(x)
0 0,000
30 0,500
45 0,707
60 0,866
90 1,000
Quanto vale y(35)?
Interpolação linear
São traçadas retas que unem os pontos dois a dois, para os dados tabelados acima.
A equação de uma reta é dada por y = a + b x, então, 
a + b x1 = y1
a + b x2 = y2
Resolvendo este sistema de equações lineares, obtém-se os valores de a e b e a equação da reta que
fornecerá a estimativa de y(x) no intervalo [x1; x2].
Por exemplo, tomando o problema proposto no exemplo acima, 
a + b 30 = 0,500
a + b 45 = 0,707
Resolvendo este sistema tem-se y(x) = 0,086 + 0,0138 x e y(35) = 0,569.
25
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
Exercício 25: Ainda com relação ao 1º exemplo, calcular y(50).
Exercício 26: Dada a função tabelada abaixo, calcular y(1,5); y(3,5) e y(6), usando interpolação linear.
x y(x)
1 0
2 0,693
3 1,099
4 1,386
5 1,609
7 1,946
Interpolação linear por relação de proporcionalidade
Dados os valores y(x1) = y1 e y(x2) = y2, por semelhança de triângulos, tem-se que
 
x−x1
x2−x1
=
y− y1
y2− y1
Exemplo 20: Sabendo-se que y(2) = 2,00 e y(3) = 3,15 , estimar, usando interpolação linear, y(2,7).
Substituindo na relação acima, 
2,7−2
3−2
= y 2,7−2
3,15−2,00
e y(2,7)  2,81.
Exercício 27: Estimar, usando interpolação linear, o valor aproximado de cos(55o). 
Dica: Usar os valores conhecidos de cos(45o) e cos(60o).
26
y1
x1 x2
y2
x
y
Exercício 28: Dada a função tabelada abaixo, usar a interpolação linear para estimar y(2,35); y(4,18) e
y(5,72).
x y(x)
1 8,19
3 5,49
5 3,68
7 2,47
Interpolação quadrática
São traçadas parábolas que unem os pontos conhecidos 3 a 3.
Substituindo os valores de x e y na equação de uma parábola, tem-se
a + b x1 + c x12= y1
a + b x2 + c x22= y2
a + b x3 + c x32= y3
resolvendo o sistema de equações acima, determinam-se os valores de a, b e c .
Exemplo 21: Dada a tabela abaixo, calcular, usando interpolação quadrática, y(35).
x y(x)
0 0,000
30 0,500
45 0,707
27
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1ª parábola
2ª parábola
∣1 0 02 01 30 302 0,51 45 452 0,707∣  ∣1 0 0 00 30 900 0,50 45 2025 0,707∣  ∣1 0 0 00 45 2025 0,7070 30 900 0,5 ∣ 
∣1 0 0 00 45 2025 0,7070 45 1350 0,750∣  ∣1 0 0 00 45 2025 0,7070 0 675 −0,0430∣
Da 3ª linha, c = -6,370410-5. Da 2ª linha, b = 1,85780-2 . Da 1ª linha a = 0.
Então, no intervalo 0  x  45, a função pode ser representada aproximadamente por 
y(x) = 1,857810-2 x - 6,370410-5 x2. 
Logo, y(35)  0,572.
Exercício 29: Dados os valores ln(1) = 0; ln(2) = 0,693 e ln(3) = 1,099, estimar, usando interpolação
quadrática, ln(1,5) e ln(2,8).
Exercício 30: Dada a tabela abaixo, estimar, usando interpolação quadrática, os valores de y(0,5), y
(1,75), y(2,5) e y(4,0)
x y(x)
0,25 0,1947
0,60 0,3293
1,10 0,3662
1,80 0,2975
2,40 0,2177
3,10 0,1397
3,90 0,0789
4,60 0,0462
Exercício 31: Estimar, usando interpolação quadrática, o valor aproximado de cos(55o). Dica: Usar os
valores conhecidos de cos(30), cos(45o) e cos(60o). Compare com o resultado do exercício27. Qual dos
dois valores se aproxima mais do valor exato?
28
Interpolação de Newton.
Definição
Dado um conjunto de pares ordenados xi,yi que correspondentes a uma função y(x), o método de
interpolação de Newton consiste em adotar um polinômio interpolador como
P(x) = a0 + a1 (x – x1) + a2 (x – x1) (x – x2) + a3 ( x – x1)(x – x2)(x – x3) + a4 (x – x1)(x – x2)(x – x3)(x – x4) + ···
e, por substituições sucessivas, determinar os valores dos coeficientes ai.
Exemplo 22: Usando o método de Newton, interpolar um polinômio do 2o grau aos dados da tabela:
x y
1,5 2,6
2,3 5,2
3,6 7,1
O polinômio interpolador de 2o grau será então P(x) = a0 + a1 (x – 1,5) + a2 (x – 1,5)(x – 2,3).
Substituindo x = 1,5, temos P(1,5) = 2,6 , visto que o polinômio interpolador deve reproduzir os valores
de y da tabela. Ao mesmo tempo, P(1,5) = a0, pois os outros termos do polinômio se anulam. Então, a0
= 2,6.
Substituindo agora x = 2,3: P(2,3) = 5,2 = 2,6 + a1 (2,3 – 1,5) e isolando a1, temos a1 = 3,25.
O mesmo com x = 3,6: P(3,6) = 7,1 = 2,6 + 3,25 (3,6 – 1,5) + a2 (3,6 – 1,5)(3,6 – 2,3) e 
a2 = -0,85165.
O polinômio interpolador será então P(x) = 2,6 + 3,25 (x – 1,5) – 0,85165 (x – 1,5)(x – 2,3) .
Exercício 32: Usando o método de Newton, interpolar polinômios que “passem” por todos os pontos
dos dados tabelados abaixo.
x y x y x y x y
3,4 12,5 1 15 1,2 1,5 1 46
4,5 21 2 22 4,2 8,7 3 12
3 42 6,7 22,5 5 25
11,2 66,0 7 11
Diferenças divididas
Dada uma função tabelada (xi, yi), define-se como diferença dividida de primeira ordem
 yi=
yi1− yi
xi1−xi
, diferença dividida de segunda ordem  yi
2=
 yi1− yi
xi2−xi
, diferença dividida de
terceira ordem  yi
3=
 yi1
2 − yi
2
xi3−xi
, de quarta ordem  yi
4=
 yi1
3 − yi
3
xi4−xi
, e assim por diante.
29
Dada uma função tabelada, é possível calcular a tabela de diferenças divididas, como abaixo:
x y  y  y2  y3  y4
x1 y1 y1 y12 y13 y14
x2 y2 y2 y22 y23 y24
x3 y3 y3 y32 y33
x4 y4 y4 y42
x5 y5 y5
Pode-se demonstrar que os coeficiente do polinômio interpolador são an= y1
n .
Exemplo 23: Determinar o polinômio interpolador para para a função tabelada abaixo.
x y  y  y2  y3  y4
1,3 1 5,8333 -1,1905 0,2293 -0,0108
2,5 8 2,5000 -0,1128 0,1655
4,1 12 2,1053 0,6650
6 16 4,1667
7,2 21
Então o polinômio interpolador será
P(x) = 1 + 5,8333 (x – 1,3) – 1,1905 (x – 1,3)(x – 2,5) + 
+ 0,2293 (x – 1,3)(x – 2,5)(x – 4,1) – 0,0108 (x – 1,3)(x – 2,5)(x – 4,1)(x – 6)
Exercício 33: Determinar os polinômios interpoladores do exercício 32 usando o método das
diferenças divididas.
Exercício 34: Resolver, usando diferenças divididas os problemas 29 e 30.
Exercício 35: Determinar, usando diferenças divididas, o polinômio de 4a ordem para interpolar as
funções sen(x) e cos(x). Dica, usar os valores conhecidos das funções seno e coseno para os ângulos 0,
30o, 45o, 60o e 90o.
30
Interpolação de Lagrange
Se existem n pares (x, y) tabelados, é possível ajustar somente um polinômio de grau (n -1) tal que, para
todo xi, existe P(xi) = yi.
Podemos então escrever P  x =∑
m=0
n−1
am x
m≈ y  x  .
Os coeficientes am podem ser determinados montando um sistema de equações lineares com n equações
e n incógnitas. Pode-se, entretanto, mostrar que o polinômio acima pode ser escrito como
P x =
x−x1 x−x2 x−x3⋯ x−xn−1
x0−x1x0−x2 x0−x3⋯x0−xn−1
y  x0
 x−x0x−x2x−x3⋯ x−xn−1
 x1−x0x1−x2x1−x3⋯ x1−xn−1
y  x1
⋯
 x−x0 x−x1 x−x2⋯ x−xn−2
 xn−1−x1xn−1−x2 xn−1−x3⋯xn−1−xn−2
y  xn−1
P x =∑
i=0
n−1
∏
j≠i
n−1 x−x j
 xi−x j
y xi 
Exemplo 24: Determinar o polinômio que ajusta aos pontos dados na tabela abaixo, usando a
interpolação de Lagrange. Usando este polinômio, determinar y(1,25); y(2,5) e y(3,2).
x y(x)
1 10
2 5,15
3 2,31
4 0,3
P x = x−2
1−2
x−3
1−3
x−4
1−4
10 x−1
2−1
x−3
2−3
x−4
2−4
5,15
x−1
3−1
x−2
3−2
x−4
3−4
2,31x−1
4−1
 x−2
4−2
 x−3
4−3
0,3
P  x =−59
300
x3 437
200
x2−6017
600
x 451
25
P(1,25) = 8,535 P(2,5) = 3,553 P(3,2) = 1,879
31
O método dos Mínimos Quadrados.
Supor que um conjunto de pares de dados (xi, yi) tenha sido obtido experimentalmente e que se
pressuponha que haja uma relação funcional entre eles, tal que y = f(x). Como a toda medição há
incertezas associadas, é de se pressupor que os valores de yi não correspondam exatamente a f(xi).
Define-se como resíduo a diferença
= f xi− yi .
Exemplo 25: O gráfico abaixo ilustra um conjunto de pontos em que os quadrados negros indicam os
valores experimentais e a curva contínua indica a função f(x) = x2. 
0 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
O método dos mínimos quadrados é uma maneira de determinar a curva f(x) que melhor se
ajusta ao conjunto {xi, yi}, pela minimização do quadrado da soma dos resíduos
S=∑
i=1
N
2 .
Regressão Linear.
Supor um conjunto {xi, yi} e que estes pontos devam descrever uma reta f(xi) = a + b xi. Então,
S=∑
i=1
N
ab xi− yi 2 . Deve determinar quais valores de a e b para os quais S é mínima. 
∂ S
∂a
=0 ;
∑
i=1
n
2 ab xi− yi=0
∑
i=1
n
ab∑
i=1
n
xi=∑
i=1
n
yi
∂ S
∂b
=0 ;
∑
i=1
n
2 ab xi− yi xi=0
a∑
i=1
n
xib∑
i=1
n
xi
2=∑
i=1
n
yi xi
32
Rearranjando, tem-se
a nb∑
i=0
n
xi=∑
i=0
n
yi
a∑
i=0
n
xib∑
i=0
n
xi
2=∑
i=0
n
yi xi
 Tem-se então um sistema linear de equações que, uma
vez resolvido, fornece os valores de a e b para os quais S é
mínima.
Exemplo 26: Ajustar aos dados apresentados na tabela abaixo, uma reta, usando o método dos
mínimos quadrados.
xi yi 
2,2 11
3,5 14
5,2 24
8 27
9,3 33
12,2 40
∑ xi=40,4 ∑ xi2=346,46
∑ yi=149 ∑ yi xi=1200,9 =========> 
6 a40,4 b=149
40,4 a346,46 b=1200,9
Resolvendo este sistema, tem-se a = 7,12 e b = 2,636 , então, 
f(x) = 7,12 + 2,636 x .
2 4 6 8 10 12 14
10
15
20
25
30
35
40
A figura acima mostra os pontos da tabela (losangos) e a reta ajustada.
Exercício 36: Determinar a reta que melhor se ajusta aos conjuntos de pontos indicados abaixo:
33
a-) b-) c-)
x y x y x y
12,2 17,8 1 -1,79 2,24 5,03
20 16,6 2 2,06 4,29 18,43
34,1 22,9 3 4,00 6,41 41,05
42,6 25,17 4 7,39 8,26 68,19
60,4 28,74 5 11,40
75,7 28,59 6 14,44
d-) e-) f-)
x y x y x y
0,2 11,98 0,2 7,10 1.960 75.767
0,4 10,95 0,4 7,61 1.970 141.193
0,6 9,57 0,6 5,38 1.980 206.073
0,8 8,52 0,8 5,74 1.990 271.244
1,0 7,62 1,0 5,48 2.000 335.815
1,2 6,96 1,2 3,68
1,4 5,90 1,4 4,29
Coeficiente de determinação R2.
O coeficiente de determinação é um número que determina quão bom é o ajuste, e é dado por:
R2=
[∑i=1
n
xi yi−
1
n∑i=1
n
xi∑
i=1
n
yi ]
2
[∑i=1n xi2−1n ∑i=1n xi
2]⋅[∑i=1n yi2−1n ∑i=1n yi
2]
.
Quanto mais próximo de 1 estiver R2, melhor é o ajuste da curva.
Exemplo 27: A curva ajustada no exemplo anterior tem um coeficiente de determinação dado por
R2=
1200,9− 40,4⋅1496 
2
346,46− 40,426 ⋅4311−14926 
=0,859 .
Exercício 37: Calcular R2 para o exercício 36.
34
Ajuste da curva exponencial.
Uma curva exponencial, do tipo f  x=a eb x , pode ser ajustada usando regressão linear,
desde que seja aplicado o logaritmo em ambos os lados da expressão. Assim, 
ln [ f  x ]=ln a eb x=ln a b x
Se for feita a substituição F(x) = ln[f(x)] e A = ln(a) reduzimos a expressão da exponencial a uma
função do 2º grau, F(x) = A + b x. 
Então, para ajustar uma exponencial a um conjunto de dados fornecidos na forma de uma tabela
{xn, fn}, criamos uma segunda tabela com {xn, ln(fn)} e ajustamos uma reta a estes dados, obtendo A e b;
e a = eA.
Exemplo 28: Dada a tabela abaixo, ajustar uma exponencial a estes valores.
x f(x) y(x) = ln(f)
0,0 5,309 1,669
0,2 5,753 1,750
0,4 5,897 1,774
0,6 7,068 1,956
0,8 6,977 1,943
1,0 7,634 2,033
1,2 7,014 1,948
1,4 8,949 2,192
1,6 9,157 2,215
Desta tabela cria-se a tabela à direita da original, onde y = ln(f) e dela tiramos os parâmetros
n = 9 S xi = 7,2 S xi2 = 8,16 S yi = 17,5751 S xi yi = 14,6578 
A9b 7,2=17,5751
A7,2b8,16=14,6578Resolvendo agora este sistema, 
A = 1,6801 b = 0,3275 e a = eA = 5,3659 . Então f(x) = 5,3659 e0,3275 x .
Exercício 38: Ajustar curvas exponenciais aos dados tabelados abaixo.
35
a-) b-) c-)
x f(x) x f(x) x f(x)
0,0 1,123 0,2 14,003 0,0 14,287
0,1 1,267 0,5 15,082 1,5 15,047
0,2 1,252 0,8 15,796 3,0 21,927
0,3 1,575 1,1 15,982 4,5 25,006
0,4 1,511 1,4 15,552 6,0 26,957
0,5 2,006 1,7 15,888 7,5 34,215
0,6 1,882 2,0 16,421 9,0 51,601
2,3 19,626 10,5 59,343
2,6 17,920
Ajuste da curva potencial.
Uma curva exponencial, do tipo f  x =a xb , pode ser ajustada usando regressão linear, também
aplicando o logaritmo em ambos os lados da expressão. Assim, 
ln [ f  x ]=ln a b ln  x  ou
y=Ab X
onde y = ln[f(x)], A = ln(a) e X = ln(x)
Então, para ajustar uma potencial a um conjunto de dados fornecidos na forma de uma tabela
{xn, fn}, criamos uma segunda tabela com {ln(xn), ln(fn)} e ajustamos uma reta a estes dados, obtendo A
e b; e a = eA.
Exemplo 29: Dada a tabela abaixo, ajustar uma potencial a estes valores.
x f(x) X = ln(x) y = ln(f)
1,2 1,669 0,182 0,512
2,2 5,965 0,788 1,786
3,2 10,886 1,163 2,387
4,2 18,474 1,435 2,916
5,2 35,047 1,649 3,557
6,2 41,724 1,825 3,731
7,2 61,693 1,974 4,122
8,2 82,936 2,104 4,418
9,2 103,514 2,219 4,640
Da tabela à direita tem-se
36
n = 9 S xi = 13,34 S xi2 = 23,364 S yi = 28,070 S xi yi = 48,865 
e A9b13,34=28,070A13,34b 23,364=48,865 .
Resolvendo este sistema, tem-se
A = 0,1225; a = eA = 1,1303; b = 2,022.
Então f(x) = 1,1303 x2,022 .
Exercício 39: Ajustar curvas potenciais aos dados tabelados abaixo.
a-) b-) c-)
x f(x) x f(x) x f(x)
0,5 0,102 0,5 10,563 0,3 0,346
1,0 0,357 1,0 13,593 0,6 1,616
1,5 0,768 1,5 14,811 0,9 4,597
2,0 1,307 2,0 16,277 1,2 7,958
2,5 1,973 2,5 18,922 1,5 14,619
3,0 2,524 3,0 16,571 1,8 24,092
3,5 3,837 2,1 36,200
4,0 3,867 2,4 48,384
2,7 55,081
37
Integração Numérica
a b
f(x)
Interpretação geométrica da integral: o valor
numérico da integral ∫
a
b
f  x dx é igual à área
entre a função e o eixo x no intervalo [a, b]. Para
calcular a integral divide-se o intervalo [a, b] em N
sub-intervalos iguais 
 x=b−a 
N
e escreve-se
∫
a
b
f  x dx= lim
 x0
N ∞
∑
n=1
N
f xn x .
Numericamente, toma-se x pequeno o suficiente para que o erro do cálculo seja inferior a um
certo valor pré-determinado, então
∫
a
b
f x dx=∑
n=1
N
f  xn x= x  f 0 f 1 f 2⋯ f n−1
o que é equivalente à soma de áreas de retângulos, como diagramado na figura abaixo.
a b
f(x)
É evidente na figura que, a não ser que
tomemos x muito pequeno, os erros serão grandes
(as “quinas” que sobram do retângulo). 
O erro pode ser minimizado, sem diminuir o
tamanho de x, escolhendo uma figura geométrica
mais adequada para calcular a área sob a função,
como um trapézio, por exemplo.
É interessante observar que aproximar a
área sob a função pela soma de áreas de trapézios é
o equivalente a realizar interpolação linear de f(x),
ou seja, ligar os pontos {xn, yn) com retas.
Método dos trapézios.
Este método de integração numérica consiste em dividir a área sob a função em trapézios e
somar a área dos trapézios individuais. Então, para intervalos x iguais, 
38
∫
a
b
f x dx=
f 0 f 1
2
 x
f 1 f 2
2
 x
f 2 f 3
2
 x⋯
f n−1 f n
2
 x
∫
a
b
f  x dx=[ f 02 f 12 f 22 f 3⋯2 f n−1 f n ]
 x
2
Exemplo 30: Calcular I=∫
0
2 dx
1x
 usando o método dos trapézios, usando 5 sub-intervalos.
A função a ser integrada é, então, f  x = 11x . Um possível procedimento é o indicado na tabela
abaixo.
x f(x) p p f(x)
0,00 1,0000 1 1,0000
0,40 0,7143 2 1,4286
0,80 0,5556 2 1,1111
1,20 0,4545 2 0,9091
1,60 0,3846 2 0,7692
2,00 0,3333 1 0,3333
Σ p f(x) = 5,5513
Nesta tabela,  x= 2−05 =0,4 ; p é o número pelo qual f(xn) é multiplicada na expressão da integral e
Σ p f(x) indica a soma dos termos entre colchetes, na mesma expressão. Logo, 
I=∑ p f  x   x2 =5,5513⋅
0,4
2
=1,1103 .
Exercício 40: Calcular a integral da função tabelada abaixo, no intervalo [1; 3], usando o método dos
trapézios..
x f(x)
1,0 2,00
1,2 2,16
1,4 2,24
1,6 2,24
1,8 2,16
2,0 2,00
2,2 1,76
2,4 1,44
2,6 1,04
2,8 0,56
3,0 0,00
39
Exercício 41: Calcular a integral ∫
2
5
x e−2 x dx com 10 sub-intervalos.
Exercício 42: Calcular a integral de f(x) = sen2(x) no intervalo [0; π/4], com 5 intervalos.
Estimativa de incertezas no método dos trapézios.
Há duas maneiras de estimar incertezas no uso do método dos trapézios: 
a-) quando se conhece f(x): =b−a12
 x 2 f ' '  , 
onde  é o valor para o qual a derivada segunda de f(x) é máxima no intervalo a≤≤b . 
b-) quando não se conhece f(x) (mas pode ser aplicado também quando f(x) é conhecida):
 =b−a12 ∣
2 f ∣
onde ∣2 f ∣ é o módulo do valor médio de 2 f n e 
 f n= f n− f n−1 e 
2 f n= f n− f n−1 .
Exemplo 31: Tomando o exemplo anterior, 
x f(x) ∆f ∆2f 2 f
0,0 1,0000
0,4 0,7143 -0,2857
0,8 0,5556 -0,1587 0,1270
1,2 0,4545 -0,1011 0,0576
1,6 0,3846 -0,0699 0,0312
2,0 0,3333 -0,0513 0,0186 0,0586
Então =b−a12 ∣
2 f ∣=2,0−0,012 0,0586≈0,01 .
Daí que a maneira correta de expressar o resultado da integração numércia do exemplo 30 é 
I = 1,11  0,01.
40
Exemplo 32: Calcular ∫
0
3
e−x dx , com uma incerteza estimada menor que 0,01.
Como f(x) = e-x ; f ''(x) = e-x ; e o maior valor de f '' no intervalo é f '' (0) = 1. Daí,
=b−a
12
 x 2 f ' ' 0,01
3−0
12
 x 2 10,01
 x20,04 e
 x0,2
Tomando então x = 0,15 , tem-se
x f(x) p p f(x)
0,00 1,0000 1 1,0000
0,15 0,8607 2 1,7214
0,30 0,7408 2 1,4816
0,45 0,6376 2 1,2753
0,60 0,5488 2 1,0976
0,75 0,4724 2 0,9447
0,90 0,4066 2 0,8131
1,05 0,3499 2 0,6999
1,20 0,3012 2 0,6024
1,35 0,2592 2 0,5185
1,50 0,2231 2 0,4463
1,65 0,1920 2 0,3841
1,80 0,1653 2 0,3306
1,95 0,1423 2 0,2845
2,10 0,1225 2 0,2449
2,25 0,1054 2 0,2108
2,40 0,0907 2 0,1814
2,55 0,0781 2 0,1562
2,70 0,0672 2 0,1344
2,85 0,0578 2 0,1157
3,00 0,0498 2 0,0996
S p f(x)= 12,7430
I = 0,9557
e I = 0,956  0,002 .
41
Exercício 43: Calcular a integral da função tabelada abaixo, usando o método dos trapézios, e estimar a
incerteza.
x f(x)
0,0 0,000
0,2 0,164
0,4 0,268
0,6 0,329
0,8 0,359
1,0 0,368
Método de Simpson.
O método de Simpson consiste em interpolar uma equação do 2º grau separando sub-intervalos
de 2 em 2, integrar (eq. 3º grau) e tomar esta integral como a integral correspondente a estes 2 sub-
intervalos. 
x0 x1 x2
Tomando a tabela ao lado, monta-se a tabela dos dados
correspondentes aos 3 primeiros pontos, porém subtraindo deles o
valor de f(x0) = f0.
x g(x) = f(x) - f0
0 0
x f1 – f0 
2 x f2 – f0 
Com esta tabela monta-se um sistema linear para resolver a equação g(x) = a + b x + c x2. 
Então
 
ab0c 0=0
ab xc x2= f 1− f 0
ab 2 xc 4 x2= f 2− f 0
Resolvendo este sistema de equações tem-se
a=0
b= 1
 x 2 f 1−32 f 0− f 22 
c= 1
2 x2
 f 2−2 f 1 f 0 
Fazendo agora ∫
x0
x2
f  x = f 0∫
x0
x2
g  x dx=
 x
3
 f 04 f 1 f 2 .
42
Ser dividirmos a função em um número de 6 sub-intervalos, repetimos o procedimento indicado
acima agrupando os pontos 3 a 3, como indicado na figura abaixo, e somamos todas as integrais
parciais. 
x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 
f(x)
∫
x0
x6
f  x dx=
 x
3
 f 04 f 1 f 2
 x
3
 f 24 f 3 f 4
 x
3
 f 44 f 5 f 6=
=
 x
3
 f 04 f 12 f 24 f 32 f 44 f 5 f 6
Generalizando, o método de Simpson consiste em dividir o intervalo de integração [a, b] em um
número N par de sub-intervalos iguais e usar a relação
∫
a
b
f x dx=
 x
3
 f 04 f 12 f 24 f 32 f 4⋯4 f N−1 f N 
Exemplo33: Calcular ∫
1
5
ln  x dx com 10 sub-intervalos, usando o método de Simpson.
x f(x) = ln(x) p p f(x)
1,0 0,0000 1 0,0000
1,4 0,3365 4 1,3459
1,8 0,5878 2 1,1756
2,2 0,7885 4 3,1538
2,6 0,9555 2 1,9110
3,0 1,0986 4 4,3944
3,4 1,2238 2 2,4476
3,8 1,3350 4 5,3400
4,2 1,4351 2 2,8702
4,6 1,5261 4 6,1042
5,0 1,6094 1 1,6094
43
Σ p f(x) = 30,3522
I = 4,0470
Estimativa de incertezas no método de Simpson.
Como no caso do método dos trapézios, há duas maneiras de estimar incertezas no uso
do método de Simpson: 
a-) quando se conhece f(x): =
b−a
180
 x 4 f iv  , 
onde  é o valor para o qual a derivada de quarta ordem de f(x) é máxima no intervalo a≤≤b . 
b-) quando não se conhece f(x) (mas pode ser aplicado também quando f(x) é conhecida):
=b−a
180 ∣
4 f ∣ 
agora com 
4 f n=
3 f n−
3 f n−1 ; 
3 f n=
2 f n−
2 f n−1= ; 
2 f n= f n− f n−1 .
Exemplo 34: Calcular a integral de sen(x) de 0 a /2, usando o método de Simpson, com somente 2
intervalos e estimar a incerteza.
x f(x)
0 0
/4 2/2
/2 1
∫
0

2
sen  x dx≈1
3

4 0422 1=1,0023 .
Estimativa de erro: a derivada de 4ª ordem de sen(x) é o próprio sen(x) , e o maior no intervalo de
integração é sen(/2) = 1. Então, 
 =
/2−0
180
14≈0,009 , e 
∫
0

2
sen x dx=1,002±0,009 .
Exercício 44: Calcular ∫
0
6 dx
1x
com 10 sub-intervalos usando o método de Simpson.
Exercício 45: Como ∫
0
1 dx
1x2
=

4
, calcular o valor de  usando a integração de Simpson com 10
44
sub-intervalos.
Exercício 46: Calcular a integral da função tabelada abaixo usando o método de Simpson.
x f(x)
2,0 0,000
2,2 0,544
2,4 1,151
2,6 1,772
2,8 2,356
3,0 2,847
3,2 3,192
3,4 3,346
3,6 3,273
3,8 2,957
4,0 2,394
45