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ApostilaCDI_2012_1

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0
= (0)0 ) 4y3 dy
dx
+ 3x dy
dx
+ 3y + 2 1
y
dy
dx
= 0
)
�
4y3 + 3x+ 2
y
�
dy
dx
= �3y ) dy
dx
= � 3y2
4y4+3xy+2
.
4. y7 + ln (sin (xy2)) = e2x
3+x.
Solução: Derivando ambos os membros com relação a x, temos que:
7y6y0 + (
sin(xy2))
0
sin(xy2)
= (6x2 + 1) e2x
3+x
) 7y6y0 + (xy
2)
0
cos(xy2)
sin(xy2)
= (6x2 + 1) e2x
3+x
) 7y6y0 + (y2 + 2xyy0)cotg(xy2) = (6x2 + 1) e2x3+x
) (7y6 + 2x cot (xy2)) y0 = (6x2 + 1) e2x3+x � y2cotg(xy2)
) y0 = (6x
2+1)e2x
3+x�y2 cot(xy2)
7y6+2x cot(xy2)
.
Exemplo 29: Determine o(s) ponto(s) em que a reta tangente à curva
C : x2 + xy + y2 � 3y = 9
é horizontal.
Solução:
� Interpretação geométrica:
Pela próxima …gura, note que existem dois pontos em que a reta tangente a
curva C é horizontal.
121
� Determinando analiticamente os pontos em que a reta tangente a curva C é hori-
zontal:
Sabemos que a reta tangente é horizontal nos pontos em que mt =
dy
dx
= 0:
Derivando implicitamente a equação que descreve C, temos que:
2x+ xy0 + y + 2yy0 � 3y0 = 0 ) dy
dx
= �2x�y
x+2y�3 . (�)
Se x+ 2y � 3 6= 0, então dy
dx
= 0 , y = �2x. (1)
Substituindo em C, temos que:
3x2 + 6x� 9 = 0 ) x2 + 2x� 3 = 0, ou seja, x = �3 ou x = 1.
Substituindo estes valores em (1), obtemos: P1 (�3; 6) e P2 (1;�2).
Portanto, a reta tangente é horizontal nos pontos P1 e P2, pois satisfazem a
condição (�).
Exemplo 30: Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual
a 2. Mostre que a tangente a C no ponto P
�
1;
p
3
�
é ortogonal a reta que passa pela
origem do sistema de coordenadas e pelo ponto P .
Solução:
Interpretação geométrica:
Equação da circunferência C cujo centro está na origem e cujo raio é igual a
2 :
C : x2 + y2 = 4: (1)
Sejam t e r, respectivamente, a reta tangente à C em P e a reta que passa
pela origem e polo ponto P .
Objetivo do exercício: mostrar que r ? t.
Sabemos que mr:mt = �1, mr:mt = �1:
* Coe…ciente angular da reta r: mr =
p
3�0
1�0 =
p
3:
* Para obter o coe…ciente angular da reta t deriva-se impliticamente a equação
(1) com relação a x, pois sabemos que o coe…ciente angular de uma reta tangente é:
mt =
dy
dx
����
P
= � x
y
����
P
) mt = � 1p
3
:
Portanto, mr:mt = �1.
122
Observação: A técnica utilizada na demonstração da derivada de uma
função exponencial composta também e a derivada implícita de uma função podem
ser usadas para facilitar a derivação de algumas funções que envolvam quocientes e
produtos. Isto pode ser observeado o próximo exemplo.
Exemplo 31: Obtenha a derivada da função y =
3
p
2x+ 1 5
p
sen3 (2x)
e3x7+x
:
Solução:
Antes de derivar, usando a regra do quociente, iremos reescrever a função
com a …nalidade de que sua derivada seja obtida mais facilmente.
Aplicando o logaritmo neperiano em ambos os lados, estamos que:
ln y = ln
 
3
p
2x+ 1 5
p
sen3 (2x)
e3x7+x
!
Aplicando as propriedades de logaritmo neperiano, temos que:
) ln y = ln
�
3
p
2x+ 1 5
p
sen3 (2x)
�
� ln
�
e3x
7+x
�
) ln y = ln (2x+ 1) 13 + ln (sen (2x)) 35 � (3x7 + x) ln e
) ln y = 1
3
ln (2x+ 1) + 3
5
ln (sen (2x))� (3x7 + x)
Derivando implicitamente com relação a x, temos que:
) d
dx
(ln y) = d
dx
�
1
3
ln (2x+ 1) + 3
5
ln (sen (2x))� (3x7 + x)�
) y
0
y
= 1
3
�
2
2x+ 1
�
+ 3
5
�
2 cos (2x)
sen (2x)
�
� 21x6 � 1
Multiplicando ambos os lados por y, obtém-se que:
) y0 = y
�
2
6x+ 3
+
6
5
cotg (2x)� 21x6 � 1
�
Susbtituindo a função y dada inicialmente segue que:
y0 =
3
p
2x+ 1 5
p
sen3 (2x)
e3x7+x
�
2
6x+ 3
+
6
5
cotg (2x)� 21x6 � 1
�
:
3.8 Derivada da função inversa
Exemplo 32: Considere a função y = f (x) = x
x+2
. Determine dy
dx
e dx
dy
.
Solução:
Como y = x
x+2
, derivando pela regra do quociente, obtemos que
dy
dx
=
2
(x+ 2)2
.
Para determinar dx
dy
, iremos escrever x em função de y e, a seguir, derivar x
com relação a y.
Se x = g (y) = 2y
1�y , então
dx
dy
= 2
(y�1)2 .
Lembrando que y = x
x+2
, temos que:
dx
dy
=
(x+ 2)2
2
.
123
Observe que,
dx
dy
=
1
dy
dx
.
Neste exemplo, veri…camos uma aparente relação que existe entre a derivada
de uma função e a derivada de sua inversa.
Para determinarmos um relação entre as derivadas de f e f�1, suponha que
ambas as funções são diferenciáveis, e seja
y = f�1 (x) . (#)
Reescrevendo esta equação como
x = f (y) ,
e diferenciando implicitamente com relação a x, resulta que
d(x)
dx
= d
dx
(f (y)) ) 1 = f 0 (y) dy
dx
) dy
dx
= 1
f 0(y) .
A partir de (#) obtemos a seguinte fórmula que relaciona a derivada de f�1
com a derivada de f .
d
dx
�
f�1 (x)
�
=
1
f 0 (f�1 (x))
.
Podemos enunciar este resultado como:
Teorema: Seja y = f (x) uma função de…nida em um intervalo aberto (a; b).
Suponhamos que f (x) admite uma função inversa x = g (y) contínua. Se f 0 (x) existe e
é diferente de zero para qualquer x 2 (a; b), então g = f�1 é derivável e
g0 (y) =
1
f 0 (x)
=
1
f 0 (g (y))
.
Em outras palavras, se y = f (x) admita uma função inversa então
dy
dx
=
1
dx
dy
.
Derivada das funções trigonométricas inversas
1. Derivada da função Arco Seno: Seja f : [�1; 1] ! ���
2
; �
2
�
de…nida por
f (x) = arcsinx. Então, y = f (x) é derivável em (�1; 1) e y0 = 1p
1�x2 .
Demostração: Sabemos a função arco seno é a inversa da função seno, ou seja,
y = arcsinx , x = sin y.
Como (sin y)0 existe e é diferente de zero 8y 2 ���
2
; �
2
�
, pelo teorema da derivada
da função inversa, temos que:
124
y 0=
1
(sin y)0
=
1
cos y
.
Pela identidade trigonométrica, temos que: cos y =
p
1� sin2 y. Assim,
y0 =
1p
1� sin2 y
=
1p
1� x2 .
Portanto,
y0 =
1p
1� x2 .
2. Derivada da função Arco Cosseno: Seja f : [�1; 1] ! [0; �] de…nida por
f (x) = arccos x. Então, y = f (x) é derivável em (�1; 1) e y0 = � 1p
1�x2 .
Demostração: Sabemos a função arco cosseno é a inversa da função cosseno, ou
seja,
y = arccosx , x = cos y.
Como (cos y)0 existe e é diferente de zero 8y 2 (0; �), pelo teorema da derivada da
função inversa, temos que:
y 0=
1
(cos y)0
= � 1
sin y
.
Pela identidade trigonométrica, temos que: sin y =
p
1� cos2 y. Assim,
y0 = � 1p
1� cos2 y = �
1p
1� x2 .
Portanto,
y0 = � 1p
1� x2 .
3. Derivada da função Arco Tangente: Seja f : R ! ���
2
; �
2
�
de…nida por
f (x) =arctg(x). Então, y = f (x) é derivável e y0 = 1
1+x2
.
Demostração: Sabemos a função arco tangente é a inversa da função tangente, ou
seja,
y = arctg (x) , x = tg (y) .
Como (tg (y))0 existe e é diferente de zero 8y 2 ���
2
; �
2
�
, pelo teorema da derivada
da função inversa, temos que:
y 0=
1
(tg (y))0
=
1
sec2 y
.
125
Pela identidade trigonométrica, temos que: sec2 y = tg2 (y) + 1. Assim,
y0 =
1
tg2 (y) + 1
=
1
x2 + 1
.
Portanto,
y0 =
1
1 + x2
.
4. Derivada da função Arco Cotangente: Seja f : R ! (0; �) de…nida por
f (x) =arccotg(x). Então, y = f (x) é derivável e y0 = � 1
1+x2
.
Demostração: Sabemos a função arco cotangente é a inversa da função cotangente,
ou seja,
y = arccotg (x) , x = cotg (y) .
Como (cotg (y))0 existe e é diferente de zero 8y 2 (0; �), pelo teorema da derivada
da função inversa, temos que:
y 0=
1
(cotg (y))0
= � 1
cossec2y
.
Pela identidade trigonométrica, temos que: cossec2y = cotg2 (y) + 1. Assim,
y0 = � 1
cotg2 (y) + 1
= � 1
x2 + 1
.
Portanto,
y0 = � 1
1 + x2
.
5. Derivada da função Arco Secante: Seja f (x) = arcsec (x), de…nida para
jxj � 1. Então, y = f (x) é derivável para jxj > 1 e y0 = 1jxjpx2�1 .
Demostração: