Parte 10 Calc 2B - Regra da Cadeia
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PARTE 10
REGRA DA CADEIA
10.1 Introduc¸a\u2dco
Em Ca´lculo 1A, quando quer´\u131amos derivar a func¸a\u2dco h(x) = (x2 \u2212 3x + 2)37, faz´\u131amos
uso da regra da cadeia, que e´ uma das mais importantes regras de derivac¸a\u2dco e nos
ensina como calcular a derivada de func¸o\u2dces compostas, que e´ o caso acima. De fato,
podemos dizer que
h(x) = f(g(x)),
onde
f(x) = x37 e g(x) = x2 \u2212 3x+ 2.
Vamos aproveitar a oportunidade e enunciar nossa conhecida regra da cadeia vista em
Ca´lculo 1A.
TEOREMA 10.12.1: (Regra da Cadeia - Func¸o\u2dces da Reta na Reta - Ca´lculo
1A) Suponha que Img \u2286 Dom(f) e seja x0 \u2208 I(aberto) \u2286 Dom(g). Neste caso, se
g : Dom(g) \u2286 R\u2192 R e´ uma func¸a\u2dco diferencia´vel em x0 e f : Dom(f) \u2286 R\u2192 R e´ uma
func¸a\u2dco diferencia´vel em g(x0), enta\u2dco a func¸a\u2dco f \u25e6 g : Dom(g) \u2286 R\u2192 R e´ diferencia´vel
em x0 e
(f \u25e6 g)\u2032(x0) = f \u2032(g(x0))g\u2032(x0).
Em se tratando de va´rias varia´veis, tambe´m encontramos func¸o\u2dces composta e tambe´m
estaremos interessados em deriva´-las. Um exemplo bem simples em que encontramos
composta pode ser visto quando queremos avaliar o comportamento de uma dada
func¸a\u2dco f : Dom(f) \u2286 R2 \u2192 R em uma dada curva C contida no gra´fico da func¸a\u2dco
f . Neste caso, se C for parametrizada pela func¸a\u2dco \u3b3 : [a, b] \u2192 R2, dada por \u3b3(t) =
(x(t), y(t)), estamos de fato interessados em avaliar a composta f \u25e6 \u3b3, que e´ dada por
f(\u3b3(t)) = f(x(t), y(t)). Vamos portanto aprender a regra da cadeia para func¸o\u2dces veto-
riais de va´rias varia´veis.
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10.2 Regra da Cadeia
Para nossa satisfac¸a\u2dco, a regra da cadeia para func¸o\u2dces vetoriais de va´rias varia´veis,
preserva o mesmo enunciado simples que vimos em Ca´lculo 1A, onde o produto sim-
ples e´ substituido por um produto matricial. Entretanto, e´ importante ressaltar que
devemos tomar cuidado com as dimenso\u2dces.
TEOREMA 10.2.1: (Regra da Cadeia - Func¸o\u2dces Vetoriais de Va´rias Varia´veis)
Suponha que ImG \u2286 Dom(F ) e seja X0 \u2208 A(aberto) \u2286 Dom(G). Neste caso, se
G : Dom(G) \u2286 Rn \u2192 Rp e´ uma func¸a\u2dco diferencia´vel em X0 e F : Dom(F ) \u2286 Rp \u2192 Rm
e´ uma func¸a\u2dco diferencia´vel em G(X0), enta\u2dco a func¸a\u2dco F \u25e6G : Dom(G) \u2286 Rn \u2192 Rm e´
diferencia´vel em X0 e
(F \u25e6G)\u2032(X0) = F \u2032(G(X0)).G\u2032(X0),
onde (.) e´ um produto entre matrizes.
Observac¸a\u2dco 10.2.1: Observe que F \u2032(G(X0)) \u2208 Mm×p, G\u2032(X0) \u2208 Mp×n e (F \u25e6
G)\u2032(X0) \u2208Mm×n.
Vamos comec¸ar os exemplos enquadrando-os primeiro em casos particulares. Iniciare-
mos com o exemplo visto na introduc¸a\u2dco.
10.3 Primeiro Caso Particular: n = 1 e m = 1
Neste caso, temos que f e G sa\u2dco as seguintes func¸o\u2dces:
f : Dom(f) \u2286 Rp \u2212\u2192 R
X = (x1, x2, ..., xp) 7\u2192 f(X) = f(x1, x2, ..., xp)
e
G : Dom(G) \u2286 R \u2212\u2192 Rp
t 7\u2192 G(t) = (g1(t), g2(t), ..., gp(t)) .
Desta forma, temos que
f \u2032(X) =
(
\u2202f
\u2202x1
(X)
\u2202f
\u2202x2
(X) . . .
\u2202f
\u2202xp
(X)
)
\u2208M1×p
e
G\u2032(t) =
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
g\u20321(t)
g\u20322(t)
:
g\u2032p(t)
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8 \u2208Mp×1.
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Vamos enta\u2dco considerar a composta f \u25e6G, que e´ dada por
(f \u25e6G)(t) = f(G(t)) = f(g1(t), g2(t), ..., gp(t)).
Vamos ainda definir a func¸a\u2dco h dada como
h(t) = (f \u25e6G)(t) = f(G(t)) = f(g1(t), g2(t), ..., gp(t)).
Observe que h e´ a func¸a\u2dco real de varia´vel real dada por
h : Dom(h) \u2286 R \u2212\u2192 R
t 7\u2192 h(t) = f(g1(t), g2(t), ..., gp(t)) ,
de modo que h\u2032(t) e´ um escalar (h\u2032(t) \u2208M1×1).
Para determinar h\u2032(t), aplicamos a regra da cadeia, e encontramos que
h\u2032(t) = f \u2032(G(t)).G\u2032(t) =
(
\u2202f
\u2202x1
(G(t))
\u2202f
\u2202x2
(G(t)) . . .
\u2202f
\u2202xp
(G(t))
)
.
\uf8eb\uf8ec\uf8ec\uf8ed
g\u20321(t)
g\u20322(t)
:
g\u2032p(t)
\uf8f6\uf8f7\uf8f7\uf8f8
=
\u2202f
\u2202x1
(G(t))g\u20321(t) +
\u2202f
\u2202x2
(G(t))g\u20322(t) + ...+
\u2202f
\u2202xp
(G(t))g\u2032p(t). (1)
Observac¸a\u2dco 10.3.1: Observe que para facilitar a memorizac¸a\u2dco, podemos expressar
em palavras o resultado obtido em (1) como:
h\u2019(t)= \u201cderivada parcial de f com respeito a sua primeira varia´vel (avaliada em G(t))
VEZES a derivada da func¸a\u2dco que ocupa a posic¸a\u2dco da primeira varia´vel MAIS derivada
parcial de f com respeito a sua segunda varia´vel (avaliada em G(t)) VEZES a derivada
da func¸a\u2dco que ocupa a posic¸a\u2dco da segunda varia´vel MAIS ... MAIS derivada parcial de
f com respeito a sua u´ltima varia´vel (avaliada em G(t)) VEZES a derivada da func¸a\u2dco
que ocupa a posic¸a\u2dco da u´ltima varia´vel.\u201d
Observac¸a\u2dco 10.3.2: Conforme ja´ vimos na aula de func¸o\u2dces vetoriais de varia´veis reais
e´ conveniente considerar a matriz coluna G\u2032(t) como um vetor ~G\u2032(t) no espac¸o espac¸o
imagem de G e desenha´-lo com sua origem no ponto imagem G(t). Pois, neste caso,
quando na\u2dco e´ nulo, ~G\u2032(t) fornece o vetor tangente a` curva imagem da func¸a\u2dco G no
ponto G(t). Procedendo enta\u2dco desta forma, observe que se escrevermos G\u2032(t) como um
vetor, i.e. ~G\u2032(t) = (g1(t), g2(t), ..., gp(t)) (conforme feito na aula de func¸o\u2dces vetoriais de
varia´veis reais), temos que
h\u2032(t) = f \u2032(G(t)).G\u2032(t) = \u2207f(G(t)) · ~G\u2032(t), (2)
onde o primeiro produto (·) e´ um produto entre matrizes e o segundo produto e´ o
produto escalar.
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Se particularizarmos mais ainda e fizermos p = 2, teremos que
f : Dom(f) \u2286 R2 \u2212\u2192 R
X = (x, y) 7\u2192 f(X) = f(x, y)
e
G : Dom(G) \u2286 R \u2212\u2192 R2
t 7\u2192 G(t) = (x(t), y(t)) .
Desta forma, segue que
f \u2032(x, y) =
(
\u2202f
\u2202x
(x, y)
\u2202f
\u2202y
(x, y)
)
\u2208M1×2
e
G\u2032(t) =
(
x\u2032(t)
y\u2032(t)
)
\u2208M2×1.
Sendo assim, a func¸a\u2dco h = f \u25e6G e´ dada por
h(t) = (f \u25e6G)(t) = f(G(t)) = f(x(t), y(t)).
Aplicando agora a regra da cadeia para determinar h\u2032(t), chegamos a
h\u2032(t) = f \u2032(G(t)).G\u2032(t) = f \u2032(x(t), y(t)).G\u2032(t) =
=
(
\u2202f
\u2202x
(x(t), y(t))
\u2202f
\u2202y
(x(t), y(t))
)
.
(
x\u2032(t)
y\u2032(t)
)
=
\u2202f
\u2202x
(x(t), y(t))x\u2032(t) +
\u2202f
\u2202y
(x(t), y(t))y\u2032(t) (3)
= \u2207f(x(t), y(t)) · (x\u2032(t), y\u2032(t))
= \u2207f(x(t), y(t)) · ~G\u2032(t), (4)
onde ~G\u2032(t) = (x\u2032(t), y\u2032(t)). Na primeira linha observe que o produto (.) e´ um produto
matricial enquanto que nas duas u´ltimas linhas o produto (.) e´ o produto escalar.
Observac¸a\u2dco 10.3.3: Mais uma vez, para facilitar a memorizac¸a\u2dco, podemos expressar
em palavras o resultado obtido em (3) como:
h\u2019(t)= \u201cderivada parcial de f com respeito a sua primeira varia´vel (avaliada em G(t))
VEZES a derivada da func¸a\u2dco que ocupa a posic¸a\u2dco da primeira varia´vel MAIS derivada
parcial de f com respeito a sua segunda varia´vel (avaliada em G(t)) VEZES a derivada
da func¸a\u2dco que ocupa a posic¸a\u2dco da segunda varia´vel.\u201d
Exemplo 10.3.1: Sejam f(x, y) =
x2 + y2
5
, (x, y) \u2208 R2 e \u3b3(t) = (t, 2t), t \u2208 R. Con-
sidere a composta h(t) = f(\u3b3(t)).
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a) Determine h(t).
b) Calcule h\u2032(t) diretamente da func¸a\u2dco h encontrada no item (a) e verifique que de fato
h\u2032(t) = f \u2032(\u3b3(t)).\u3b3\u2032(t).
c) Mostre que h(t) e´ a imagem da func¸a\u2dco f dos pontos pertencentes a` reta y = 2x,
x \u2208 R.
d) Esboce a curva C, imagem da func¸a\u2dco \u3b2(t) = (t, 2t, h(t)), t \u2208 R.
e) Determine a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva C no ponto (1, 2, 1).
Soluc¸a\u2dco:
a) Como h(t) = f(\u3b3(t)), temos que
h(t) = f(t, 2t) =
t2 + 4t2
5
= t2.
b) Calculando h\u2032(t) a partir da func¸a\u2dco encontrada no item (a), temos que
h\u2032(t) = 2t.
Observe que f \u2032(x, y) =
(
2x
5
2x
5
)
, de modo que f \u2032(\u3b3(t)) =
(
2t
5
4t
5
)
. Ale´m disso,
\u3b3\u2032(t) =
(
1
2
)
, de modo que e´ fa´cil verificar que
h\u2032(t) = f \u2032(\u3b3(t)) · \u3b3\u2032(t)
=
(
2t
5
4t
5
)
.
(
1
2
)
=
10t
5
= 2t.
c) A reta y = 2x, x \u2208 R, e´ dada na forma parame´trica por
(x, y) = (t, 2t), t \u2208 R.
Desta forma, como h(t) = f(\u3b3(t)) = f(t, 2t), t \u2208 R, segue diretamente que h(t) e´ a
imagem da func¸a\u2dco f dos pontos pertencentes a reta y = 2x, x \u2208 R.
d) Pelo item anterior, temos que a curva C e´ a curva contida no gra´fico da func¸a\u2dco f
dada pela intersec¸a\u2dco do gra´fico da func¸a\u2dco f com o plano y = 2x, esboc¸ada abaixo.
yx
z
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e) Observe que o ponto (1, 2, 1) corresponde a t0 = 1, pois \u3b2(t0) = (t0, 2t0, h(t0)) =
(1, 2, 1) se e so´ se t0 = 1. Desta forma, temos que a equac¸a\u2dco da reta tangente a` curva
C no ponto \u3b2(1) e´ dada por
(x, y, z) = \u3b2(1) + \u3bb\u3b2\u2032(1), \u3bb \u2208 R.
Observe que \u3b2\u2032(t) =