Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
GABARITO DA 1ª Lista de Exercícios Uma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A e anti-simétrica se At = - A. Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes anti-simétricas. O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é também uma matriz simétrica? Solução. Sejam A e B duas matrizes simétricas de mesma ordem n. desse modo AT = A e BT =B. (A + B)T = AT + BT = - A + (-B) = -(A + B), logo A + B é também anti- simétrica. Analogamente, sejam A e B matrizes anti-simétricas de ordem n. Temos, assim: (A + B)T = AT + BT = A + B, logo A + B é uma matriz simétrica de ordem n. Não. Vamos exibir um exemplo: . Determine a e b para que a matriz A = seja simétrica. Solução. AT = . Para que A seja simétrica, = . Daí, ou . Encontre todas as matrizes 2 x 2 tal que X2 = I, em que I é a matriz identidade de ordem 2. Solução. Seja A = . A2 = AA = Assim, temos que resolver o sistema de equações: Vamos considerar três casos: 1º caso: b = c = 0. Substituindo no sistema anterior, teremos a = e d= . 2º caso: d = - a. Isso nos leva a: bc = 1 – a2; para b 0 teremos c = . 3º caso: c = 0. Desse modo, teremos: a2 = 1 e d2 = 1, o que nos dará a = e d= . As soluções serão as matrizes e as matrizes da forma e Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz , mostre que AB = BA. Solução: Sejam A = e B = matrizes que comutam com a matriz dada anteriormente, podemos escrever: �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 e �� EMBED Equation.3 = �� EMBED Equation.3 ou, fazendo as multiplicações em cada membro da igualdade: e B = . Desse modo: AB = �� EMBED Equation.3 = = BA. Verdadeiro ou falso? (-A)t = -(At). Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0. Se AB = 0, então B.A = 0. Se podemos efetuar o produto A.A, então A é uma matriz quadrada. Solução. Verdadeiro, pois, (-A)T + (AT) = [(-A) + A] T = 0. (b) Falso. Por exemplo, . © Falso. Por exemplo, , mas (d) Verdadeiro, pois, Se A é uma matriz m x n e se podemos efetuar A x A m = n. Seja A uma matriz arbitrária. Sob quais condições o produto AAt é definido? Solução. Suponha que A é uma matriz m x n; então, AT é n x m. Assim, o produto AAT é sempre definido. Observe que ATA é também definido, AAT é uma matriz m x m e ATA é uma matriz n x n. 7. Nos problemas 1, 2 e 3, sejam A = , B = , C= , D = . Encontre, se possível, A + B, A + C, 3A – 4B, AB, AC, AD, BC, BD, CD, AT, AT C, BTA, DTAT , DDT. Sejam A = e B = . Encontre AB e BA, se possível. Solução. A + B = , A + C não definido, 3 A – 4B = , AB não definido, AC = , AD = , BC = , BD = , CD = não definido, AT = , ATC = não definido, BTA = , DTAT = , DDT = . Se A é uma matriz simétrica, calcule A – At. Solução. Supondo A uma matriz simétrica, A = AT. Então, A – AT é uma matriz nula. Se A é uma matriz diagonal, calcule At. Solução. Se A é uma matriz diagonal ela é simétrica. Logo, pelo exercício anterior AT = A. Prove que (AB)t= BtAt. Solução. Sejam A = (aij) e B = (bij). Então, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz AB é ai1b1j + ai2b2j + ... + aimbmj. Este é o elemento que aparece na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz transposta (AB)T. Por outro lado, a j-ésima linha de BTconsiste nos elementos da j-ésima coluna de B (b1jb2j ... bmj). Além disso, a i-ésima coluna de AT consiste nos elementos da i-ésima linha de A . Conseqüentemente, o elemento que aparece na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz BTAT é o produto de (b1jb2j ... bmj) por que nos dá ai1b1j + ai2b2j + ... + aimbmj. Assim, (AB)T = BTAT. Dada a matriz , calcular MMt e concluir que M é ortogonal. Solução. , = . Portanto, a matriz M é ortogonal. _1154151665.unknown _1154154009.unknown _1154155490.unknown _1161511005.unknown _1161511339.unknown _1161515769.unknown _1161616158.unknown _1161616616.unknown _1161616638.unknown _1161616029.unknown _1161511585.unknown _1161511665.unknown _1161511498.unknown _1161511140.unknown _1161511251.unknown _1161511081.unknown _1161510230.unknown _1161510402.unknown _1161510125.unknown _1154155112.unknown _1154155322.unknown _1154155348.unknown _1154155229.unknown _1154154598.unknown _1154154766.unknown _1154152281.unknown _1154152349.unknown _1154152360.unknown _1154152343.unknown _1154151727.unknown _1154152145.unknown _1154151685.unknown _1154151501.unknown _1154151618.unknown _1154151257.unknown _1154151435.unknown _1154151453.unknown _1154151296.unknown _1154151022.unknown _1154151182.unknown _1154151198.unknown _1154150873.unknown _1154150967.unknown _1139997537.unknown _1154150743.unknown _1139997581.unknown _1139997079.unknown _1139997509.unknown _1139997026.unknown
Compartilhar