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GABARITO DA 1ª Lista de Exercícios
Uma matriz quadrada A se diz simétrica se At = A e anti-simétrica se At = - A.
Mostre que a soma de duas matrizes simétricas é também simétrica e que o mesmo ocorre para matrizes anti-simétricas.
O produto de duas matrizes simétricas de ordem n é também uma matriz simétrica?
Solução.
Sejam A e B duas matrizes simétricas de mesma ordem n. desse modo AT = A e BT =B.
(A + B)T = AT + BT = - A + (-B) = -(A + B), logo A + B é também anti- simétrica.
Analogamente, sejam A e B matrizes anti-simétricas de ordem n.
Temos, assim:
(A + B)T = AT + BT = A + B, logo A + B é uma matriz simétrica de ordem n.
Não. Vamos exibir um exemplo:
	
.
Determine a e b para que a matriz A = 
 seja simétrica.
Solução. AT = 
.
Para que A seja simétrica, 
 = 
.
Daí, 
 ou 
.
Encontre todas as matrizes 2 x 2 tal que X2 = I, em que I é a matriz identidade de ordem 2.	
Solução.
Seja A = 
. A2 = AA = 
Assim, temos que resolver o sistema de equações:
Vamos considerar três casos:
1º caso: b = c = 0. Substituindo no sistema anterior, teremos a =
 e d=
.
2º caso: d = - a. Isso nos leva a:
bc = 1 – a2; para b 
 0 teremos c = 
.
3º caso: c = 0. Desse modo, teremos:
a2 = 1 e d2 = 1, o que nos dará a =
 e d=
.
As soluções serão as matrizes 
 e as matrizes da forma 
 e 
Se A e B são matrizes reais de ordem 2 que comutam com a matriz 
, mostre que AB = BA.
Solução:
	Sejam A = 
 e B = 
 matrizes que comutam com a matriz dada anteriormente, podemos escrever:
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 e 
�� EMBED Equation.3 =
�� EMBED Equation.3 ou, fazendo as multiplicações em cada membro da igualdade:
 e B = 
.
Desse modo:
AB = 
�� EMBED Equation.3 = 
 = BA.
Verdadeiro ou falso?
(-A)t = -(At).
Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0.
Se AB = 0, então B.A = 0.
Se podemos efetuar o produto A.A, então A é uma matriz quadrada.
Solução.
Verdadeiro, pois,
	(-A)T + (AT) = [(-A) + A] T = 0.
(b) Falso. Por exemplo,
.
© Falso. Por exemplo,
, mas 
(d) Verdadeiro, pois,
	Se A é uma matriz m x n e se podemos efetuar A x A 
 m = n.
Seja A uma matriz arbitrária. Sob quais condições o produto AAt é definido?
Solução. Suponha que A é uma matriz m x n; então, AT é n x m. Assim, o produto AAT é sempre definido. Observe que ATA é também definido, AAT é uma matriz m x m e ATA é uma matriz n x n.
7. Nos problemas 1, 2 e 3, sejam 
 A = 
, B = 
, C= 
, D = 
.
Encontre, se possível,
A + B, A + C, 3A – 4B, AB, AC, AD, BC, BD, CD, AT, AT C, BTA, DTAT , DDT.
Sejam A = 
 e B =
. Encontre AB e BA, se possível.
Solução. A + B = 
, A + C não definido, 3 A – 4B = 
, AB não definido, AC = 
, AD =
 , BC = 
, BD = 
, CD = não definido, AT = 
, ATC = não definido, BTA = 
, DTAT = 
, DDT = 
.
Se A é uma matriz simétrica, calcule A – At.
Solução. Supondo A uma matriz simétrica, A = AT. Então, A – AT é uma matriz nula.
Se A é uma matriz diagonal, calcule At.
Solução. Se A é uma matriz diagonal ela é simétrica. Logo, pelo exercício anterior AT = A.
Prove que (AB)t= BtAt.
Solução. Sejam A = (aij) e B = (bij). Então, o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna da matriz AB é ai1b1j + ai2b2j + ... + aimbmj. Este é o elemento que aparece na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz transposta (AB)T. Por outro lado, a j-ésima linha de BTconsiste nos elementos da j-ésima coluna de B (b1jb2j ... bmj).
Além disso, a i-ésima coluna de AT consiste nos elementos da i-ésima linha de A 
. Conseqüentemente, o elemento que aparece na j-ésima linha e i-ésima coluna da matriz BTAT é o produto de (b1jb2j ... bmj) por 
 que nos dá ai1b1j + ai2b2j + ... + aimbmj. Assim, (AB)T = BTAT.
Dada a matriz 
, calcular MMt e concluir que M é ortogonal. 
Solução.
 
, 
=
. Portanto, a matriz M é ortogonal.
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