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DESCRIÇÃO
Aplicações para as equações diferenciais em sistemas elétricos, mecânicos e físicos e para transformadas de Laplace.
PROPÓSITO
Apresentar aplicações das equações diferenciais de primeira ordem, de segunda ordem e da transformada de Laplace em
diversos sistemas.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 2
Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
MÓDULO 3
Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
MÓDULO 1
Identificar as aplicações das equações diferenciais de primeira ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE PRIMEIRA
ORDEM
As equações diferenciais de primeira ordem têm diversas aplicações na Ciência e na Engenharia.
Neste módulo, apresentaremos aplicações com alguns exemplos em sistemas elétricos, químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS DE POTÊNCIA
As equações diferenciais de primeira ordem podem ser utilizadas, em problemas de sistemas elétricos, para resolução de circuitos
elétricos do tipo RC e do tipo RL.
O circuito RC é o circuito que contém um resistor e um capacitor em série e o circuito RL é o que possui um resistor e um indutor
em série, como podemos ver nas imagens a seguir.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Circuito RC
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Circuito RL.
CIRCUITO RL
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, conhecendo a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtemos a função i(t), que fornece o valor da corrente
elétrica em cada instante de tempo. A equação é uma equação diferencial linear com coeficientes constantes e não homogênea.
Reescrevendo a equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a expressão de i(t), podemos obter a tensão no indutor pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CIRCUITO RC
Para o caso do circuito RC, usamos a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, podemos obter a dependência da tensão no capacitor
com o tempo, vc(t).
Reescrevendo a equação a ser resolvida:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obtermos a expressão de vc(t), pode ser obtida a corrente da malha i(t) pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 1
Seja um circuito RC em série com resistência de 200Ω e capacitor de 0,5 F. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua
de 50V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente e a tensão no capacitor após t segundos.
RESOLUÇÃO
O modelo do circuito RC será dado por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, e 
Agora temos que obter o fator integrante:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em
, então,
.
Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obtermos a corrente
, podemos fazer
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
(BALANCEAMENTO)
Vamos exemplificar, agora, a utilização de equações diferencial de primeira ordem na solução de problemas relacionados a
sistemas químicos.
O exemplo prático será relacionado a uma mistura de uma solução ou balanço de massa.
MISTURA DE SOLUÇÕES (BALANÇO DE MASSA)
Um problema de mistura de soluções está relacionado com um recipiente de capacidade fixa em que se mistura uma substância
em um líquido. A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa, e a mistura realizada no interior do tanque
sai dele também com uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada.
Imagem: Shutterstock.com
Seja um recipiente de volume VT contendo inicialmente um líquido com volume V e uma quantidade inicial de substância s0.
A taxa de variação da quantidade de substância no recipiente com o tempo será dada por . Essa taxa será dada pela diferença
entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, da substância no tanque:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas a substância entra no tanque misturada ao líquido, assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que:
 – concentração da substância na mistura de entrada.
 – Vazão de entrada (volume pelo tempo).
Isso é a taxa de entrada dada pela vazão de entrada do líquido, QE, que é volume pelo tempo vezes a concentração da
substância na mistura de entrada, medida em massa por volume.
Por exemplo, a mistura entra com uma vazão de 20L/min com uma concentração de substância de 10kg/L. Assim, a taxa de
entrada será de de substância por minuto.
De forma semelhante:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é a vazão de saída da mistura, também medida em volume por tempo.
Repare que a mistura que vai sair terá uma concentração da substância que se encontra no recipiente. Considere que a
substância misturada não muda o volume do líquido.
Por exemplo, no instante de saída encontramos 2.000kg de substância e 10.000L no recipiente, com uma vazão de saída de
20L/min. Assim, a taxa de saída da substância será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar o caso mais simples em que a vazão de entrada QE é igual à vazão de saída QS, assim, o volume do líquido V
não varia com o tempo.
EXEMPLO 2
Seja um recipiente com, inicialmente, 10.000L de água e 200kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água salgada), com
uma concentração de 0,5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. Essa solução é misturada completamente e tem
uma saída do tanque com uma taxa de 50L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo instante de tempo. Seja
a quantidade de sal, em kg, depois de
minutos. Para
, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial. Em nosso exemplo, 200kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por . Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada,
, e a taxa de saída,
do sal no tanque:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em nosso exemplo, a taxa de entrada seria dada por 0,5kg/L vezes 50L/min, então,
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, em nosso exemplo de 50L/min, o recipiente sempre fica com sua capacidade
fixa, de 10.000L. Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/10.000(kg/L), que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total vezes a
vazão de saída de 50L/min. Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilizea rolagem horizontal
Como
, temos
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que podemos obter a quantidade de sal para qualquer instante
. Além disso, podemos até determinar qual a máxima quantidade de sal haverá no recipiente.
Conforme t tende para infinito, a exponencial tende a zero, assim,
.
Vamos, agora, analisar o caso quando as vazões de entrada e de saída são diferentes.
Nesse caso, ocorre uma variação do volume do líquido no tanque dada pela diferença de vazão:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que e são as vazões de entrada e saída, respectivamente, do líquido no tanque, que está misturado com a
substância.
Se QE < QS, o líquido irá aumentar de volume no tanque até transbordar em determinado instante.
Assim, o volume do líquido usado na taxa de saída da substância varia com o tempo. Esse volume será solução da equação
diferencial .
De modo semelhante, a variação da quantidade da substância no recipiente será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a diferença que
varia com tempo.
Iremos ver o exemplo da solução desse tipo de problema no Teoria na Prática deste módulo.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS NEWTONIANOS
Em vários problemas da Física, encontramos soluções por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Iremos estudar
alguns a seguir.
Vamos iniciar por um problema da cinemática relacionado à queda livre com resistência do ar.
QUEDA LIVRE SUJEITA À RESISTÊNCIA DO AR
Na Física, estudamos a segunda Lei de Newton, que relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e sua
aceleração em m/s2, por meio da equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas lembre-se de que, enquanto a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, a aceleração é a primeira
derivada da velocidade em relação ao tempo. Desse modo, a aceleração será a segunda derivada da posição pelo tempo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao seu peso e a
aceleração será constante e igual à aceleração da gravidade, não necessitando de uma equação diferencial para modelar o
problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força proporcional a sua velocidade, assim,
,
é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente.
Um objeto em queda livre de massa m, medida em kg, estará sujeito ao peso empurrando o objeto para baixo e à resistência do
ar, contrário ao peso.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que é aceleração da gravidade.
Assim, conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo. Porém, temos uma equação diferencial de segunda
ordem, que não é objeto deste módulo.
Podemos, então, modelar a velocidade com o tempo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Organizando a equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a solução:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Um objeto com massa de 5kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência do ar é de
1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da
gravidade como 10m/s2.
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com
.
Então,
e
. 
Agora, temos que obter o fator integrante:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero e a velocidade chega ao seu valor máximo de 50m/s2. 
Como o objeto saiu do repouso:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a expressão da velocidade pelo tempo é obtida por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, tratar de um problema relacionado à temperatura, denominado Lei de Newton do Resfriamento.
LEI DE NEWTON DO RESFRIAMENTO
Imagine um sólido de determinado material a uma temperatura
colocado em um grande recipiente cujo líquido tem uma temperatura
. O líquido irá transmitir calor para a esfera, que aumentará a sua temperatura.
A equação que regerá a variação da temperatura do sólido será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com sendo a massa do sólido, sendo a área de contato do sólido com o líquido, o calor específico do sólido e o
coeficiente de transmissão de calor por convenção entre o líquido e o sólido.
O inverso de
é denominado de constante de tempo do aquecimento ou desaquecimento.
EXEMPLO 4
Uma esfera com 300 C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante de
tempo de aquecimento vale 10 seg., determine a temperatura da esfera após 30 seg.
RESOLUÇÃO
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para
, temos
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outros exemplos de aplicações podem ser encontrados nas obras listadas nas referências no fim do tema.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM CIRCUITO RL EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE 20Ω E INDUTOR DE 2H. A TENSÃO É
FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE CONTÍNUA DE 200V QUE É LIGADA EM T = 0S. DETERMINE
A CORRENTE LIMITE QUE OCORRERÁ NO CIRCUITO.
A) 5A
B) 10A
C) 15A
D) 20A
E) 25A
2. UM OBJETO COM MASSA DE 10KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE CUJA
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,5NS2/M. O OBJETO SAI DO
REPOUSO. DETERMINE A EXPRESSÃO DA VELOCIDADE, EM FUNÇÃO DO TEMPO, OBTIDA POR
ELE DURANTE SUA QUEDA. CONSIDERE A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10M/S2.
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. UMA ESFERA COM 500C DE TEMPERATURA É COLOCADA TOTALMENTE EM UM LÍQUIDO QUE
ESTÁ A 1000C. SABENDO QUE A CONSTANTE DE TEMPO DE AQUECIMENTO VALE 100SEG.,
DETERMINE A TEMPERATURA DA ESFERA, EM 0C, APÓS 1 SEG.
A) Entre 60 e 70
B) Entre 70 e 80
C) Entre 80 e 90
D) Entre 90 e 100
E) Entre 100 e 110
4. SEJA UM CIRCUITO
EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE
E CAPACITOR DE
, MEDIDO EM
. A TENSÃO É FORNECIDA POR MEIO DE UMA FONTE CONTÍNUA DE
LIGADA EM
. DETERMINE O VALOR DE
SABENDO QUE APÓS
A CORRENTE NO CAPACITOR VALE 
A) 0,5F
B) 0,4F
C) 0,3F
D) 0,2F
E) 0,1F
5. SEJA UM RECIPIENTE QUE CONTÉM, INICIALMENTE, 1000L DE ÁGUA E 20KG DE SAL. É
INSERIDA NO RECIPIENTE UMA SOLUÇÃO (ÁGUA SALGADA), COMUMA CONCENTRAÇÃO DE 5KG
DE SAL POR LITRO DE ÁGUA, A UMA TAXA FIXA DE 25L/MIN. ESSA SOLUÇÃO É MISTURADA
COMPLETAMENTE E TEM UMA SAÍDA DO TANQUE COM UMA TAXA DE 25L/MIN. DETERMINE A
QUANTIDADE DE SAL QUE PERMANECE NO RECIPIENTE APÓS 600S DO INÍCIO DO PROCESSO.
A) Entre 801 e 900kg
B) Entre 901 e 1000kg
C) Entre 1001 e 1100kg
D) Entre 1101 e 1200kg
E) Entre 1201 e 1300kg
6. EM UM PROBLEMA DE BALANÇO DE MASSA, A VAZÃO DE ENTRADA E DE SAÍDA É A MESMA.
UM RECIPIENTE CONTÉM 2.000L DE UM LÍQUIDO COM 100KG INICIAIS DE UMA SUBSTÂNCIA. A
CONCENTRAÇÃO DA ENTRADA É DE 10KG/L DE LÍQUIDO. SABE-SE QUE A CONCENTRAÇÃO DE
SUBSTÂNCIA NO RECIPIENTE, 500 MIN APÓS O INÍCIO DO PROCESSO, É DE 17.910,5KG.
DETERMINE A VAZÃO DE ENTRADA E DE SAÍDA.
A) Entre 9L/min e 10L/min
B) Entre 19L/min e 20L/min
C) Entre 29L/min e 30L/min
D) Entre 39L/min e 40L/min
E) Entre 49L/min e 50L/min
GABARITO
1. Seja um circuito RL em série com resistência de 20Ω e indutor de 2H. A tensão é fornecida através de uma fonte
contínua de 200V que é ligada em t = 0s. Determine a corrente limite que ocorrerá no circuito.
A alternativa "B " está correta.
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
e
.
Agora, temos que obter o fator integrante:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo, agora, a integral:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em
, então,
. Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 10kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da
resistência do ar é de 0,5Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a expressão da velocidade, em função do tempo,
obtida por ele durante sua queda. Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2.
Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
APLICAÇÃO DE EDO PRIMEIRA ORDEM EM SISTEMAS
FÍSICOS
3. Uma esfera com 500C de temperatura é colocada totalmente em um líquido que está a 1000C. Sabendo que a constante
de tempo de aquecimento vale 100seg., determine a temperatura da esfera, em 0C, após 1 seg.
A alternativa "C " está correta.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Simplificando,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas para
, temos
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja um circuito
em série com resistência de
e capacitor de
, medido em
. A tensão é fornecida por meio de uma fonte contínua de
ligada em
. Determine o valor de
sabendo que após
a corrente no capacitor vale 
A alternativa "E " está correta.
O modelo do circuito RC será dado por
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então Então e 
Agora tem que se obter o fator integrante
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo agora a integral
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em
então Desta forma
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para se obter a corrente
pode fazer 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja um recipiente que contém, inicialmente, 1000L de água e 20kg de sal. É inserida no recipiente uma solução (água
salgada), com uma concentração de 5kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 25L/min. Essa solução é misturada
completamente e tem uma saída do tanque com uma taxa de 25L/min. Determine a quantidade de sal que permanece no
recipiente após 600s do início do processo.
A alternativa "D " está correta.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 5kg/L vezes 25L/min, então,
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, sendo 25L/min, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 1.000L.
Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
Assim, a taxa de saída do sal será de s(t)/1000(kg/L), que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a
vazão de saída de 25 L/min. Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos solucionar a equação pelos métodos
estudados no módulo.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, temos
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
.
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Em um problema de balanço de massa, a vazão de entrada e de saída é a mesma. Um recipiente contém 2.000L de um
líquido com 100kg iniciais de uma substância. A concentração da entrada é de 10kg/L de líquido. Sabe-se que a
concentração de substância no recipiente, 500 min após o início do processo, é de 17.910,5kg. Determine a vazão de
entrada e de saída.
A alternativa "A " está correta.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada seria dada por 10kg/L vezes Q L/min, então,
.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 2.000L.
A taxa de saída da substância será de s(t)/2000 (kg/L) vezes a vazão de saída de Q L/min. Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear, assim, podemos solucionar a equação pelos métodos
estudados no módulo.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, temos
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
, temos
.
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um tanque com um volume máximo de 280L que contém inicialmente 10kg de uma substância dissolvida em um volume de
180L de um líquido. Suponha que a vazão de entrada no recipiente ocorra a uma taxa de 12L/min, contendo uma concentração de
0,25kg/L da substância. A mistura é retiradado líquido com uma taxa de 8L/min. Determine a quantidade de substância no
recipiente quando o líquido começar a transbordar.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO EDO PRIMEIRA ORDEM EM SISTEMAS
QUÍMICOS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA UM CIRCUITO
EM SÉRIE COM RESISTÊNCIA DE
E CAPACITOR DE
. A TENSÃO É FORNECIDA ATRAVÉS DE UMA FONTE CONTÍNUA DE
LIGADA EM
. DETERMINE A TENSÃO NO CAPACITOR APÓS
.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. UM OBJETO COM MASSA DE 2KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE CUJA CONSTANTE
DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 1NS2/M. O OBJETO SAI DO REPOUSO.
DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA ATINGIDA POR ELE DURANTE SUA QUEDA. CONSIDERE A
ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10M/S2.
A) 10m/s
B) 15m/s
C) 20m/s
D) 25m/s
E) 30m/s
GABARITO
1. Seja um circuito
em série com resistência de
e capacitor de
. A tensão é fornecida através de uma fonte contínua de
ligada em
. Determine a tensão no capacitor após
.
A alternativa "D " está correta.
O modelo do circuito RC será dado por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados do problema,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, temos que obter o fator integrante:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o circuito é ligado em
, então, . Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um objeto com massa de 2kg está em queda livre em um ambiente cuja constante de proporcionalidade da resistência
do ar é de 1Ns2/m. O objeto sai do repouso. Determine a velocidade máxima atingida por ele durante sua queda.
Considere a aceleração da gravidade como 10m/s2.
A alternativa "C " está correta.
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial linear com 
Então,
e
.
Agora, temos que obter o fator integrante:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto
tende ao infinito, a exponencial tende a zero e a velocidade chega em seu valor máximo de 20m/s.
MÓDULO 2
Identificar as aplicações das equações diferenciais de segunda ordem
APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA
ORDEM
As equações diferenciais de segunda ordem têm diversas aplicações na Ciência e na Engenharia.
Neste módulo, apresentaremos aplicações, com alguns exemplos, em sistemas elétricos, químicos e físicos.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS ELÉTRICOS
Estudamos a resolução de circuitos elétricos RC e RL por meio de equações diferenciais de primeira ordem. Quando surgem
problemas com circuitos RLC, ou seja, um resistor em série com capacitor e indutor, a solução irá requerer uma solução de uma
equação diferencial de segunda ordem.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Circuito RLC.
Considere que a carga do capacitor no instante t é representada por Q(t), assim, a corrente elétrica do circuito será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a equação de malha no circuito RLC, teremos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo o valor da derivada da corrente:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem de coeficientes constantes.
Para resolvermos esse problema de valor inicial, necessitamos de duas informações que normalmente serão o valor da corrente e
da carga do capacitor no instante
. Lembre-se de que
, assim, teremos
e
Se derivarmos a equação diferencial em ambos os lados:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma equação diferencial de segunda ordem relacionando a corrente ao tempo.
EXEMPLO 5
Determine o valor da carga de um capacitor
em um circuito
sabendo que 
e
Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para
são nulas.
RESOLUÇÃO
Montando o modelo para carga do capacitor:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, analisando o termo não homogêneo
, vamos tentar uma solução particular do tipo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO (Equação Diferencial Ordinária ) :
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
e
são números pertencente aos conjuntos dos números reais.
Mas 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que na expressão existem termos que tendem a zero quando o tempo tende ao infinito. Esses termos são os
multiplicados pelo exponencial.
Quando t tende ao infinito, teremos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que será a própria solução particular e será denominado de solução de estado ou regime permanente ou solução de
estado ou regime estacionário. A solução geral é denominada solução em estado ou regime transitório.
APLICAÇÕES EM SISTEMAS QUÍMICOS
Vamos estudar uma aplicação em Mecânica Quântica na solução da equação de Schrödinger independente do tempo.
A Mecânica Quântica surgiu para analisar o movimento das partículas que, por serem bastante pequenas, não atendiam à
mecânica de Newton, denominada Mecânica Clássica. Nessa linha, analisamos a equação de Schrödinger que determina a
função de onda de uma partícula.
A solução geral que depende do tempo é uma equação diferencial parcial, não sendo assunto de nosso estudo, assim, iremos
analisar a equação que depende apenas da posição x, independente do tempo, que é resolvida pela solução de uma EDO de
segunda ordem.
Seja
a função de onda que depende da posição
.
A equação unidimensional de Schrödinger é dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo:
 é a massa da partícula;
 é a energia total da partícula;
 é a energia potencial no ponto x;
 é a constante de Plank que vale aproximadamente 6,626 10-34
Vamos estudar o caso simples com
.
Assim, a equação se transforma:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Seja uma partícula de massa
. Determine sua função de onda unidimensional, sabendo que se encontra em uma região com energia potencial nula. Sabe-se,
também, que e .
RESOLUÇÃOTemos que resolver o seguinte modelo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para facilitar, vamos substituir
, assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
.
Como
Como
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES EM SISTEMAS FÍSICOS
Neste item de aplicação de equação do segundo grau em sistemas físicos, realizaremos um estudo sobre vibrações em um
sistema massa-mola.
Seja um objeto de massa m preso na extremidade de uma mola, com constante de elasticidade k > 0, na vertical. Na outra
extremidade, a mola é presa em um ponto fixo no teto. Vide a imagem ao lado.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Se não tivermos nenhum corpo preso na mola, ela não estará esticada ou comprimida, estará em seu estado natural. Quando
esticamos ou comprimimos a mola, por um espaçamento
medido em metros, ela apresentará uma força de resistência:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Consideremos
positivo quando se estica a mola e
negativo quando se comprime a mola. Vamos considerar o primeiro caso de não existir nenhuma resistência ou amortecimento ou
outra força qualquer além da força da mola e do peso do corpo. Esse caso será denominado de vibrações sem amortecimento.
VIBRAÇÕES SEM AMORTECIMENTO
Ao prendermos um corpo na extremidade da mola, ela estará em equilíbrio estático regido pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a mola estará parada, esticada por um espaçamento
.
Vamos, agora, causar um distúrbio, retirando essa mola do seu equilíbrio, esticando ou comprimindo-a, em relação ao ponto de
equilíbrio estático, de
.
Assim, a força da mola será, agora:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A lei de Newton nos indica que:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial ordinária de segunda ordem linear. O movimento a que o corpo estará sujeito nessas
condições será denominado de Movimento Harmônico Simples. Nesse caso, por não existir resistência ao movimento, a mola
fica comprimindo e esticando sempre com a mesma amplitude.
EXEMPLO 7
Seja um sistema massa-mola na vertical. A mola tem uma constante de elasticidade k = 128N/m. Um corpo de 6,4kg é preso em
sua extremidade. Ao se prender esse corpo, a mola fica em equilíbrio estático. Após esse equilíbrio, a mola é esticada para uma
distância total de 0,7m. Determine a equação do posicionamento da mola com o tempo. Considere g = 10m/s2.
RESOLUÇÃO
Repare que no estado de equilíbrio teremos: 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,7m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. Esse movimento será regido por uma
EDO de segunda ordem dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes m1 e m2. A primeira condição é que x(0) = 0,2 m. Em
outras palavras, em t = 0, a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de 0,7 – 0,5 = 0,2m. A segunda condição é que
largamos a mola em x = 0,2m do repouso, assim v(0) = x’(0) = 0.
Aplicando as condições de contorno:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o movimento harmônico de vibração acontecerá com uma amplitude de 0,2m, que é o esticamento extra que foi
aplicado.
Vamos, agora, analisar o caso com uma força de resistência ou amortecimento.
VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO
Considere o caso de se ter uma força de resistência, como o ar, ou um amortecimento por meio de um dispositivo externo. Essa
força de resistência é oposta ao movimento e proporcional à velocidade, assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A constante c é denominada de constante de amortecimento. Agora, seguindo a lei de Newton, a força resultante será dada pela
força da mola extra mais o amortecimento.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que apenas com o corpo
, a mola fica em equilíbrio estático em
, assim,
.
OU
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que também é uma equação diferencial linear de segunda ordem.
Esse movimento amortecido tem três tipos diferentes.
Veja!
A equação característica da EDO será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CASO 1
SUPERAMORTECIMENTO OU SOBREAMORTECIMENTO:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação dois números reais
e
.
Como
,
e
são positivos: .
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Serão número negativos. Nesse caso, o movimento
será regido pela equação
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá a zero quanto t tender ao infinito e não ocorrerá nenhuma oscilação.
CASO 2
AMORTECIMENTO CRÍTICO:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, teremos como raízes da equação um número real:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O movimento
será regido pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento tenderá também a zero quando
tende ao infinito, porém, em um tempo de amortecimento menor do que o caso anterior. Nesse caso, tampouco ocorrerá a
oscilação.
CASO 3
SUBAMORTECIMENTO:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teremos como raízes da equação dois números complexos
.
Com
e
Nesse caso, o movimento
será regido pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse movimento será um movimento oscilatório, porém, com as amplitudes diminuindo com o tempo. Assim, tenderá também a
zero quando t tende ao infinito.
O caso 3 é o único em que existirá oscilação antes da parada total do sistema massa-mola.
EXEMPLO 8
Considere o mesmo sistema massa-mola do exemplo anterior. O sistema agora é retirado do ar e colocado em um fluido que
contém uma constante de amortecimento
. Determine o movimento executado pelo sistema sabendo que sai da posição de equilíbrio
, porém, com uma velocidade inicial provocada de
.
RESOLUÇÃO
A equação que modelará o sistema será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os dados:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica da EDO será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, teremos um movimento sobreamortecido com equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando as condições de contorno
e
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESSES CASOS SÃO DENOMINADOS MOVIMENTOS LIVRES, POIS
NÃO EXISTE OUTRA FORÇAAGINDO NO SISTEMA.
Caso haja uma força externa, além da mola e peso, agindo no sistema, denominamos vibrações forçadas. As vibrações forçadas
resultarão em batimentos ou ressonâncias, conforme ocorrerem ou não amortecimentos. Esse tipo de vibração não será objeto de
estudo deste módulo, mas pode ser encontrado nas obras listadas nas referências no fim do conteúdo.
Outro ponto é que estudamos a mola na vertical, mas o estudo análogo pode ser feito para a mola na horizontal sobre uma
superfície. Outros exemplos de aplicações, além dos que aqui foram apresentados, também podem ser encontrados nas
referências no fim do conteúdo.
MÃO NA MASSA
1. SEJA UM SISTEMA MASSA-MOLA NA VERTICAL PRESO A UM AMORTECEDOR COM CONSTANTE
DE AMORTECIMENTO
. A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA DE
E O CORPO PRESO A ELA TEM MASSA DE 4KG. O SISTEMA ESTÁ EM EQUILÍBRIO COM UM
ESPAÇAMENTO DA MOLA DE 0,4M. APÓS ESTICAR O CORPO E LARGAR O SISTEMA EM UM
ESTICAMENTO DA MOLA TOTAL DE 0,8M, O SISTEMA ENTRARÁ EM MOVIMENTO.
MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA RELACIONADA A
SABENDO QUE O MOVIMENTO SERÁ DO TIPO SUBAMORTECIDO.
A) k = 32
B) k = 64
C) k > 64
D) k < 64
E) k < 32
2. SEJA UMA PARTÍCULA DE MASSA M TAL QUE . A PARTÍCULA SE ENCONTRA EM UMA
REGIÃO COM ENERGIA POTENCIAL NULA E UMA ENERGIA TOTAL EM TODOS OS PONTOS IGUAIS
A
. SABE-SE TAMBÉM QUE E . DETERMINE SUA FUNÇÃO DE ONDA
UNIDIMENSIONAL:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A CORRENTE ELÉTRICA DE UM
CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE SINAL DADA POR . SABE-SE QUE
E
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA ESTÁ PRESA A UM
CORPO DE MASSA 2KG E TEM UMA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE 200N/M. DETERMINE A
EQUAÇÃO QUE REGE O MOVIMENTO. O CORPO É LARGADO COM UMA VELOCIDADE INICIAL DE
1M/S NA POSIÇÃO DE 0,8M. CONSIDERE
.
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DETERMINE O VALOR DA CARGA DE UM CAPACITOR
EM UM CIRCUITO RLC, SABENDO QUE , ,
E
. SABE-SE QUE A CARGA E A CORRENTE ELÉTRICA PARA
SÃO NULAS.
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL QUE SE ENCONTRA DENTRO DE UM FLUIDO
COM CONSTANTE DE AMORTECIMENTO
O CORPO PENDURADO À MOLA TEM PESO DE 40N, E A CONSTANTE DA MOLA É DE 272N/M.
DETERMINE O MOVIMENTO EXECUTADO PELO SISTEMA SABENDO QUE SAI DA POSIÇÃO DE
PORÉM, COM UMA VELOCIDADE INICIAL PROVOCADA DE 4,6M/S. CONSIDERE
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Seja um sistema massa-mola na vertical preso a um amortecedor com constante de amortecimento
. A mola tem constante elástica de
e o corpo preso a ela tem massa de 4kg. O sistema está em equilíbrio com um espaçamento da mola de 0,4m. Após
esticar o corpo e largar o sistema em um esticamento da mola total de 0,8m, o sistema entrará em movimento.
Marque a alternativa verdadeira relacionada a
sabendo que o movimento será do tipo subamortecido.
A alternativa "C " está correta.
A equação que modelará o movimento será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o movimento ser subamortecido, a equação característica terá raízes complexas.
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
.
2. Seja uma partícula de massa m tal que . A partícula se encontra em uma região com energia potencial nula e
uma energia total em todos os pontos iguais a
. Sabe-se também que e . Determine sua função de onda unidimensional:
A alternativa "B " está correta.
Temos que resolver o seguinte modelo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica associada será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de sinal dada
por . Sabe-se que
e
A alternativa "E " está correta.
Montando o modelo apresentado na teoria:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular. Agora, analisando o termo não homogêneo
, vamos tentar uma solução particular do tipo 
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, e 
Portanto, e 
Assim, a solução particular será a solução em estado estacionário:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 2kg e tem uma constante
de elasticidade de 200N/m. Determine a equação que rege o movimento. O corpo é largado com uma velocidade inicial de
1m/s na posição de 0,8m. Considere
.
Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
No estado de equilíbrio, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola 0,8 m e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá a um movimento. O valor da posição inicial de
. Esse movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes
e
.
A primeira condição é que
Em outras palavras, em
a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de
A segunda condição é que largamos a mola em
com velocidade 1m/s, assim,
Aplicando as condições de contorno:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da carga de um capacitor
em um circuito RLC, sabendo que , ,
e
. Sabe-se que a carga e a corrente elétrica para
são nulas.
Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Montando o modelo, apresentado na teoria, para carga do capacitor
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com equação característica 
Então
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora analisando o termo não homogêneo (12), vamos tentar uma solução particular do tipo
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto
Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
6. Considere um sistema massa-mola vertical que se encontra dentro de um fluido com constante de amortecimento
O corpo pendurado à mola tem peso de 40N, e a constante da mola é de 272N/m. Determine o movimento executado pelo
sistema sabendo que sai da posição de
porém, com uma velocidade inicial provocada de 4,6m/s. Considere
Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
APLICAÇÃO DE EDO SEGUNDA ORDEM EM SISTEMAS
FÍSICOS
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Um pêndulo simples de comprimento
está preso em um ponto fixo no teto segurando um corpo de massa
. Esse pêndulo é levado a uma posição de α em relação à vertical e é largado seguindo um movimento de oscilação. Determine a
equação do movimento do pêndulo sabendo que ele é largado com velocidade nula em um ângulo
.
Utilize a aproximação de
para ângulos pequenos.
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO DA EDO SEGUNDA ORDEM NO ESTUDO DO
PÊNDULO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO EM ESTADO ESTACIONÁRIO PARA A CORRENTE ELÉTRICA DE UM
CIRCUITO RLC PARA UMA FONTE DE SINAL DADA POR . SABE-SE QUE
,
E
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. UM SISTEMA MASSA-MOLA VERTICAL SE ENCONTRA NO AR. A MOLA ESTÁ PRESA A UM
CORPO DE MASSA 1KG E TEM UMA CONSTANTE DE ELASTICIDADE DE 100N/M. DETERMINE A
EQUAÇÃO QUE REGE O MOVIMENTO SABENDO QUE O SISTEMA É LARGADO, SEM VELOCIDADE,
DE UMA POSIÇÃO 0,5M. CONSIDERE
.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine a solução em estado estacionário para a corrente elétrica de um circuito RLC para uma fonte de sinal dada
por . Sabe-se que
,
e
A alternativa "C " está correta.
Montando o modelo apresentado na teoria:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução do estado estacionário é a própria solução particular.
Agora analisando o termo não homogêneo
, vamos tentar uma solução particular do tipo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, e 
Portanto, e 
A solução particular será a solução em estado estacionário:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um sistema massa-mola vertical se encontra no ar. A mola está presa a um corpo de massa 1kg e tem uma constante
de elasticidade de 100N/m. Determine a equação que rege o movimento sabendo que o sistema é largado, sem
velocidade, de uma posição 0,5m. Considere
.
A alternativa "A " está correta.
No estado de equilíbrio, teremos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao esticarmos a mola
e largar, ela sairá do equilíbrio e atenderá um movimento.
O valor da posição inicial de
Esse movimento será regido por uma EDO de segunda ordem dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação característica será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Necessitamos de duas condições de contorno para calcular as constantes
e
.
A primeira condição é que
Em outras palavras, em
a mola estará fora do equilíbrio por um espaçamento de
A segunda condição é que largamos a mola em
do repouso, assim
Aplicando as condições de contorno:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
Identificar as aplicações das transformadas de Laplace
APLICAÇÕES DA TRANSFORMADAS DE LAPLACE
A transformada de Laplace tem diversas aplicações na análise de sistemas de controle, circuitos elétricos, vibrações mecânicas,
entre outras. As saídas desses sistemas apresentam dois tipos de regimes quanto à sua variação com o tempo: transitório e o
permanente. Neste módulo, apresentaremos aplicações da transformada de Laplace na análise de sistemas em regime transitório
e em regime permanente para sistemas de primeira e segunda ordem.
CONCEITOS INICIAIS
Na busca da melhor solução, usamos modelos que definem o funcionamento de um sistema. Assim, com o modelo, ao inserirmos
uma entrada, obteremos a resposta ou a saída desse sistema, isso é, o resultado que estamos estudando. Essa resposta, quando
analisada no tempo, consistirá em dois regimes distintos: transitório e permanente.
A RESPOSTA TRANSITÓRIA É AQUELA QUE VAI DO ESTADO
INICIAL ATÉ O ESTADO FINAL. A RESPOSTA PERMANENTE OU
ESTACIONÁRIA É AQUELA QUE PERMANECE QUANDO O VALOR
DO TEMPO TENDE AO INFINITO.
Na análise de um sistema, utilizamos como entrada alguns sinais de teste que vão examinar o comportamento desse sistema.
Esses sinais normalmente são função senoidal ou cossenoidal, função degrau unitário, função impulso e função rampa.
Considerando as transformadas de Laplace das funções seno e cosseno, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, examinar as transformadas de Laplace nas três outras entradas utilizadas para analisar o sistema.
FUNÇÃO DEGRAU UNITÁRIO EM
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de
FUNÇÃO IMPULSO UNITÁRIO EM
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Essa função pode ser analisada do seguinte modo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso de
A função impulso também é denominada de Delta de Dirac.
FUNÇÃO RAMPA
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ANÁLISE DE SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Vamos estudar sistemas de primeira ordem pela análise de um circuito elétrico. Considere um circuito RL, representado na
imagem a seguir. Esse circuito pode ser modelado por meio da seguinte equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Circuito RL modelado por uma EDO.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que variando a entrada, obtemos a saída, analisando, assim, o sistema. Veja os exemplos.
EXEMPLO 9
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em
por um degrau de amplitude
.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar que a entrada será um degrau de amplitude
centrado em
. Assim, se
é um degrau de amplitude
, temos
.
Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero e cresce exponencialmente até
Portanto, em regime permanente, a saída seria
EXEMPLO 10
Analise a resposta transitória e permanente de um circuito RL alimentado em
por uma rampa.
RESOLUÇÃO
Vamos, agora, realizar a análise considerando como entrada uma rampa em
.
Assim,
Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize arolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. Sua corrente inicia em zero e no regime permanente o sinal
tende a
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Analise a resposta de um circuito RC para uma entrada impulso de amplitude V centrada em
.
RESOLUÇÃO
Temos, agora, um circuito RC.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Circuito RC modelado por uma EDO.
Esse circuito é modelado pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabemos que
Nesse caso, a entrada será
e a saída
que permite calcular
.
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude
centrado em
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta em regime transitório do sistema.
Repare que
começa em
e quando
tende ao infinito
tenderá a zero.
Caso se deseje analisar a corrente do circuito:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui foram apresentados exemplos com circuitos elétricos de primeira ordem. Mas qualquer sistema que apresente um modelo de
primeira ordem pode seguir a mesma análise.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função que multiplica E(s) para se obter S(s) é denominada de função de transferência do sistema.
ANÁLISE DE SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Para analisar os sistemas de segunda ordem, vamos ver o exemplo de um sistema massa-mola presa no teto, ou seja, na vertical.
A mola tem constante elástica
. Vamos considerar, no primeiro caso, um sistema sem amortecimento. Quando o sistema está em equilíbrio estático, o corpo
estará na posição
. Vide a imagem a seguir.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Sistema está em equilíbrio estático.
Para retirar esse sistema do equilíbrio, aplicamos uma força externa g(t) vertical, adicional, no corpo m. Assim, pela Lei de
Newton, podemos modelar a posição do corpo pela equação:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que começamos a aplicar g(t) em
, assim, para
, tanto a posição quanto a velocidade são nulas. Em outras palavras, 
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, nossa saída X(s) é determinada pela entrada G(s).
Vamos fazer um exemplo para uma função g(t).
EXEMPLO 12
Analise um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força
externa, agindo a partir de
Considere a força
um impulso unitário aplicado em
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função impulso unitário em
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, nesse caso, as respostas transitória e permanente serão as mesmas, sendo uma oscilação senoidal.
Vamos, agora, estudar um caso mais complexo, com o sistema apresentando um amortecimento contrário ao aumento da
velocidade. Com uma constante de amortecimento dada por c, o modelo agora será dado por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sistema apresentará sobremortecido, amortecimento crítico ou Subamortecimento, quando, respectivamente, ,
 ou 
Veja o exemplo.
EXEMPLO 13
Analise um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força
externa, agindo a partir de t = 0. Considere a força
um degrau unitário. Analise o caso quando, pelos valores de
e
, o sistema seja subamortecido.
RESOLUÇÃO
Vamos considerar a entrada como uma função degrau unitária em
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar o caso do subamortecimento, em que as raízes da equação do segundo grau serão números complexos
conjugados:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira inversa é simples:
Para o segundo termo, precisamos completar quadrados:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro termo é a inversa da função cosseno vezes uma exponencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos continuar com o segundo termo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, reunindo as informações:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é a resposta no regime transitório apresentando uma oscilação amortecida.
Para quando
tende ao infinito
sendo a resposta permanente.
Analisamos, neste módulo, os sistemas de segunda ordem relacionados a um sistema de vibração de molas. Mas qualquer
sistema que tenha uma função de transferência de segunda ordem, isso é:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podem ser analisados de forma análoga.
Exemplos diferentes dos aqui analisados podem ser encontrados nas obras listadas nas referências no fim do conteúdo.
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A RESPOSTA DE UM CIRCUITO RC PARA UMA ENTRADA DEGRAU DE AMPLITUDE
CENTRADA EM
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. DETERMINE A SAÍDA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA SEM AMORTECIMENTO E COM AÇÃO DE
UMA FORÇA
EXTERNA, AGINDO A PARTIR DE
A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA 50N/M E O CORPO PRESO A MESMA TEM MASSA DE 10KG.
CONSIDERE A FORÇA
UM IMPULSO DE AMPLITUDE 5.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
3. DETERMINE A SAÍDA DE UM CIRCUITO RL PARA UMA ENTRADA DADA POR UM IMPULSO DE
AMPLITUDE
EM
CONSIDERE
E
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
4. SEJA UM SISTEMA MODELADO PELA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM COM UMA
FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA DADA POR
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
ESSE SISTEMA É EXCITADO POR UMA ENTRADA
DEGRAU DE AMPLITUDE 2 A PARTIR DE
DETERMINE O VALOR DE
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
5. DETERMINE A RESPOSTA TRANSITÓRIA DE UM SISTEMA QUE APRESENTA UMA FUNÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA DADA PELA EQUAÇÃO . ESSE SISTEMA TEM COMO ENTRADA,
A PARTIR DE
, UMA FUNÇÃO
PARA
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
6. CONSIDERE UM SISTEMA MASSA-MOLA COM AMORTECIMENTO E COM AÇÃO DE UMA FORÇA
EXTERNA AGINDO A PARTIR DE
ESSE SISTEMA FOI MODELADO POR UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
CONSIDERE A FORÇA
, UM DEGRAU UNITÁRIO E QUE AS CONDIÇÕES DE CONTORNO SÃO
. DETERMINE A RESPOSTA TRANSITÓRIA DO SISTEMA:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine a resposta de um circuito RC para uma entrada degrau de amplitude
centrada em
A alternativa "B " está correta.
Já estudamos na teoria que para um circuito RC temos a função:
Atenção! Paravisualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um degrau de amplitude
centrado em
Assim, se
é um degrau de amplitude
, temos
Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa seria a resposta em regime transitório do sistema analisado. A tensão do capacitor inicia em zero e cresce exponencialmente
até
.
Portanto, em regime permanente, a saída seria
2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força
externa, agindo a partir de
A mola tem constante elástica 50N/m e o corpo preso a mesma tem massa de 10kg. Considere a força
um impulso de amplitude 5.
A alternativa "B " está correta.
Na teoria, já definimos que a função de transferência desse sistema será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores do enunciado:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar a entrada como uma função impulso de amplitude 2 em
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a saída de um circuito RL para uma entrada dada por um impulso de amplitude
em
Considere
e
A alternativa "E " está correta.
De acordo com a ED do circuito RL, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores do enunciado:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito, obtemos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude
centrado em
Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Seja um sistema modelado pela equação diferencial de segunda ordem com uma função de transferência dada por
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse sistema é excitado por uma entrada
degrau de amplitude 2 a partir de
Determine o valor de
A alternativa "A " está correta.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar a entrada como uma função degrau de amplitude 2 em
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo as raízes do denominador:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, será um sistema sobreamortecido.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a resposta transitória de um sistema que apresenta uma função de transferência dada pela equação
. Esse sistema tem como entrada, a partir de
, uma função
para
A alternativa "D " está correta.
APLICAÇÃO DE TRANSFORMADA LAPLACE EM SISTEMAS
DE PRIMEIRA ORDEM
6. Considere um sistema massa-mola com amortecimento e com ação de uma força
externa agindo a partir de
Esse sistema foi modelado por uma equação diferencial de segunda ordem
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considere a força
, um degrau unitário e que as condições de contorno são
. Determine a resposta transitória do sistema:
A alternativa "C " está correta.
APLICAÇÃO DE TRANSFORMADA LAPLACE EM SISTEMAS
DE SEGUNDA ORDEM
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um circuito RLC conforme a imagem abaixo.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Circuito RLC com Capacitor e Resistência em paralelo.
Deseja-se obter a tensão sobre o capacitor, tendo como entrada no sistema uma função
Após analisarmos o circuito, verificamos que a função de transferência será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a resposta do sistema, sabendo que
é uma função rampa que se inicia em
Dados:
,
e
RESOLUÇÃO
APLICAÇÃO DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SAÍDA DE UM CIRCUITO RL PARA UMA ENTRADA DADA POR UM IMPULSO DE
AMPLITUDE
EM
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. DETERMINE A SAÍDA DE UM SISTEMA MASSA-MOLA SEM AMORTECIMENTO E COM AÇÃO DE
UMA FORÇA
EXTERNA, AGINDO A PARTIR DE
. A MOLA TEM CONSTANTE ELÁSTICA
E O CORPO PRESO A ELA TEM MASSA DE
CONSIDERE A FORÇA
UM IMPULSO DE AMPLITUDE
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine a saída de um circuito RL para uma entrada dada por um impulso de amplitude
em
A alternativa "A " está correta.
Utilizando a EDO de modelagem do circuito RL, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace na modelagem do circuito obtemos, conforme estudamos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar que a entrada será um impulso de amplitude
centrado em
. Desse modo,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada inversa de Laplace:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a saída de um sistema massa-mola sem amortecimento e com ação de uma força
externa, agindo a partir de
. A mola tem constante elástica
e o corpo preso a ela tem massa de
Considere a força
um impulso de amplitude
A alternativa "C " está correta.
Na teoria, já definimos que a função de transferência desse sistema será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores do enunciado:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos considerar a entrada como uma função impulso de amplitude 2 em
Assim,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a transformada de Laplace inversa, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que, nesse caso, só teremos uma resposta permanente, que será uma oscilação senoidal.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste conteúdo, apresentamos as aplicações de equações diferenciais.
No primeiro módulo, analisamos a aplicação de equações diferenciais de primeira ordem em sistemas elétricos, químicos e físicos.
No segundo, estudamos as aplicações de equações diferenciais de segunda ordem nesses três tipos de sistemas. Por fim, vimos,
no terceiro módulo, as aplicações de Transformada de Laplace em regimes transitório e permanente para sistemas de primeira e
segunda ordem.
Assim, esperamos que, ao chegar ao fim deste assunto, você tenha a capacidade de aplicar as equações diferenciais de primeira
e segunda ordem e da Transformada de Laplace em diversos sistemas.
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012. 
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 4. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013. 
HALLET, H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. 
KREIDER, D. et al. Introdução à Análise Linear. Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1983. 
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
EXPLORE+
Pesquise Aplicações de Equações Diferenciais e da Transformada de Laplace nas obras listadas em nossas Referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
CURRÍCULO LATTES
DESCRIÇÃO
Aplicação do conceito de equações diferenciais.
PROPÓSITO
Definir as equações diferenciais e resolver as equações diferenciais de primeira ordem.
PREPARAÇÃOAntes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta, uma calculadora científica ou a calculadora de seu smartphone ou
computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
MÓDULO 2
Classificar as equações diferenciais
MÓDULO 3
Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÓDULO 4
Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais de uma equação diferencial
CONCEITOS INICIAIS DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Alguns problemas, em diversas áreas da Ciência e da Engenharia, podem ser modelados por uma equação que envolve uma variável e suas
taxas de variação representadas por suas derivadas. Essas equações são denominadas equações diferenciais e têm uma função
matemática como solução. As equações diferenciais representam um ramo importantíssimo da Matemática e tem diversas aplicações práticas.
Neste módulo, serão apresentados os conceitos iniciais da equação diferencial.
CONCEITOS INICIAIS
A busca pela solução de um problema, no ramo da Engenharia ou da Ciência, pode ser feita por meio da modelagem de uma equação
matemática. Em outras palavras, busca-se obter a solução do problema por meio da resolução de uma equação. Você já solucionou diversas
vezes equações algébricas que envolviam variáveis e suas funções. No entanto, grande variedade desses problemas serão modelados por
uma equação que representa o relacionamento entre a variável estudada e as suas taxas de variação.
EQUAÇÃO ALGÉBRICA VERSUS EQUAÇÃO DIFERENCIAL
AS EQUAÇÕES QUE RELACIONAM UMA VARIÁVEL E SUAS DERIVADAS SÃO DENOMINADAS
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS — EXPRESSÃO UTILIZADA DESDE 1676, QUANDO FOI CRIADA
PELO MATEMÁTICO LEIBNIZ.
A diferença entre uma equação algébrica e uma equação diferencial é que esta última envolve a(s) derivada(s) ou a(s) derivadas parciais de
determinada variável.
A VARIÁVEL PARA A QUAL SE BUSCA A SOLUÇÃO RECEBE O NOME DE VARIÁVEL
DEPENDENTE OU INCÓGNITA DA EQUAÇÃO.
As derivadas são obtidas pela taxa de variação da variável dependente em relação a uma ou mais variáveis independentes da equação.
Lembre-se de que:
Variável Independente:
Entrada da equação
Variável Dependente:
Saída da equação, isto é, a solução desejada a ser obtida
A solução de uma equação diferencial, caso exista, será uma função matemática que representa de que modo a variável estudada —
dependente — irá depender de uma ou mais variáveis independentes.
VARIÁVEL INDEPENDENTE
VOCÊ SE LEMBRA DE QUANDO ESTUDOU CINEMÁTICA NA DISCIPLINA DE FÍSICA?
Na ocasião, os problemas para os quais se desejava obter a posição de um objeto — representada pela variável s — em relação a uma
variável independente — o tempo (t). Desse modo, era preciso obter a função s(t), que seria uma função matemática que solucionaria o
modelo estudado. Em outras palavras, s(t) representa como a posição varia em função do tempo.
Relacionávamos, para isso, a posição do objeto com as suas taxas de variação com o tempo (t), que eram a velocidade (v) — primeira
derivada de s em função de t — e a aceleração (a) — segunda derivada de s em função de t. Portanto, modelávamos o problema por uma
equação diferencial.
EXEMPLO
Poderia ser uma equação do tipo:
s(t) = m + n v(t) + p a(t)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
No entanto,
v(t) =
ds
dt
(t) = s ′(t)
e
a(t) =
dv
dt
(t) = v ′(t) = s′′(t)
, de forma que:
s(t) = m + n s ′(t) + p s ′′(t)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com m, n e p sendo números reais.
Repare que a equação envolve a variável independente s e suas derivadas s’ e s’’, constituindo uma equação diferencial.
Vejamos, a seguir, um exemplo com números. Nesse caso, um problema poderia ser modelado por:
S(T) = 2 + S′(T) + 4 S′′(T)
, PARA
T ≥ 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na equação apresentada, os coeficientes m, n e p são constantes reais. No entanto, os coeficientes de uma equação diferencial também
podem ser uma função matemática que dependa da variável independente. Por exemplo:
S(T) = E −T + 2S′(T) −
1
T + 1
S′′(T)
, PARA
T ≥ 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vimos, até aqui, que a equação diferencial envolve a variável e suas derivadas, e apresenta os seguintes elementos:
Uma variável dependente
Uma ou mais variáveis independentes
E seus coeficientes
TIPOS DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Existem dois tipos de equações diferenciais — as equações diferenciais ordinárias (EDO) e as equações diferenciais parciais (EDP).
Vamos conhecê-las a seguir:
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS – EDO
As equações diferenciais podem envolver uma variável dependente que dependa apenas de uma variável independente, por exemplo
f(x) + 2f ′(x) = 4x
.
Observe que f é a variável dependente ou incógnita, x é a variável independente e os coeficientes dessa equação serão o 1, 2 e 4x. A variável
dependente é normalmente representada por um símbolo, e não por uma função. Vejamos:
y + 2y ′ = 4x
Na qual y = f(x).
Tal equação terá como solução uma função f(x) que depende apenas da variável x. Esse tipo de equação diferencial é denominado de
equação diferencial ordinária ou (EDO).
Vejamos outro exemplo de EDO já estudada em Física.
Lembre-se da Mecânica e das Leis de Newton. Você estudou que a aceleração de um objeto, de massa m, dependia da força aplicada nele.
Vamos imaginar uma força h conhecida que depende do tempo(t) aplicado a esse objeto. Com isso, teremos:
h(t) = ma(t)
como
a(t) = s ′′(t)
s′′(t) =
1
m
h(t)
Conhecendo-se a função h(t), pode-se obter a função s(t), que representa a posição do objeto de massa m em relação ao tempo. Dessa
forma, resolve-se a equação diferencial dada, por exemplo:
s′′ = 4cos(2t)
,
t ≥ 0
Repare que, na equação, aparece derivada de segunda ordem da variável s, constituindo uma equação diferencial. Além disso, existe apenas
uma variável independente — a variável t —, de modo que se trata de uma EDO.
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS (EDP)
Outro tipo de equação diferencial é quando a variável dependente depende de mais de uma variável independente. Nesse caso, na equação,
aparecerão derivadas parciais de diversas ordens. A solução da equação será uma função escalar que dependerá das variáveis envolvidas.
A equação, a seguir, muito utilizada no eletromagnetismo, exemplifica esse tipo de equação:
∂2f
∂x2
(x, y, z) +
∂2f
∂y2
(x, y, z) +
∂2f
∂z2
(x, y, z) = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a variável f depende das variáveis x,y e z. A solução, então, será uma função f(x,y,z), que apresenta a dependência de f com as
variáveis independentes. Trata-se do tipo de equação denominada equação diferencial parcial ou EDP.
Nos próximos módulos, estudaremos apenas as equações do tipo ordinárias (EDO). Porém, é fundamental saber reconhecer se uma equação
é diferencial ou não, e de que tipo.
CLASSIFIQUE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, A SEGUIR, EM ALGÉBRICA, EDP
OU EDO:
A)
3Y + Y′ − 2COS(X) = 4
B)
3Y + X2– COS(X) = 2
C)
Z − 2
∂Z
∂X
+
∂2Z
∂X∂Y
= X + Y
D)
D2M
DT2
= 4 + 2T −
DM
DT
RESOLUÇÃO
A equação da letra A é uma equação diferencial ordinária (EDO), pois apresenta a variável y relacionada com as suas derivadas e com a
variável x. Por isso, y é a variável dependente que depende apenas de uma variável independente x.
A equação da letra B é uma equação algébrica, pois não apresenta nenhuma derivada. Nessa equação, definimos y dependendo de x, ou x
dependendo de y. Depende de qual das duas é conhecida no problema.
A equação da letra C é uma equação diferencial, pois envolve derivadas em seus termos. Como as derivadas que aparecem são derivadas
parciais, será uma equação diferencial parcial (EDP). Nesse caso, z será a variáveldependente, e x e y serão as variáveis independentes.
A equação da letra D, por fim, também é uma EDO, pois relaciona as derivadas da variável dependente m com a variável independente t.
SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
COMO OBTER A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL?
RESPOSTA
Não existe um método único para resolver todos os tipos de equações diferenciais. Há, no entanto, alguns métodos de grande abrangência,
isto é, que resolvem grande número de equações (veremos esses métodos em módulos posteriores).
LEMBRE-SE DE QUE A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL, SE EXISTIR, SERÁ UMA
FUNÇÃO QUE ATENDE A EQUAÇÃO APRESENTADA.
A solução será uma ou mais famílias de funções. A família de funções que atende a equação diferencial é denominada solução geral da
equação diferencial. Para determinar uma função específica, isto é, uma solução particular, são necessárias algumas informações
adicionais, que denominaremos condições iniciais ou condições de contorno. A descoberta de uma solução particular, às vezes, é
denominada problema de valor inicial.
EXEMPLO
Seja a equação
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
Para essa equação, uma possível solução seria s(t) = cos (2t). Ainda iremos aprender a determinar a solução dessa equação, mas já podemos
verificar se a função s(t) apresentada é ou não solução da equação diferencial.
Como sabemos, a solução será a função que satisfará a equação dada, de modo que:
Se, então
s(t) = cos(2t)
, então
s′(t) = − 2sen(2t)
e
s ′′(t) = − 4 cos(2t)
Substituindo, verifica-se que
s ′′ = s ′ + 2 sen(2t) − 4cos(2t)
, satisfazendo a EDO apresentada. Dessa maneira, s(t) = cos (2t) é solução da equação diferencial.
REPARE QUE NÃO APENAS COS (2T) SERÁ SOLUÇÃO, MAS TODA FAMÍLIA DE FUNÇÃO DO
TIPO
S(T) = COS(2T) + K
, COM K REAL. OBTENHA A PRIMEIRA E SEGUNDA DERIVADAS E VEJA QUE A FAMÍLIA DE
FUNÇÕES SATISFAZ A EQUAÇÃO. ESSA FAMÍLIA DE FUNÇÕES SERÁ DENOMINADA
SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL.
Para um valor de k, por exemplo k = 3, tendo-se s(t) = cos (2t) + 3, temos uma solução particular. A própria função s(t) = cos (2t) é uma outra
solução particular. Vamos testar, agora, se a função
s(t) = t2 + 2
é ou não solução da equação diferencial dada. Se
s(t) = t2 + 2
, então
s ′(t) = 2t
e
s ′′(t) = 2
. Assim, não satisfaz a equação, já que:
S′′ ≠ S′ + 2 SEN(2T) − 4COS(2T)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, não é a solução da equação dada.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO
Y = COSX(SENX − K)
, COM K REAL, É UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
.
RESOLUÇÃO
Usando as regras de derivação, temos: se
y = cosx(senx − k)
, então:
Y′ = ( − SENX)(SENX − K) + COSX(COSX) = − SEN2X + KSENX + COS2X
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
Y′ + TG(X)Y − COS2X = − SEN2X + KSENX + COS2X + TGX COSX(SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SENX (SENX − K) − COS2X =
= − SEN2X + KSENX + COS2X + SEN2X − KSENX − COS2X = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comprovando que
y = cosx(senx − k)
é solução geral para equação diferencial dada.
DETERMINE A SOLUÇÃO PARTICULAR QUE ATENDE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Y′ + TG(X)Y − COS2X = 0
E A CONDIÇÃO INICIAL DE
Y = – 1
PARA
X = 0
.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, vimos que a solução geral da equação será
y = cosx(senx − k)
, com k real. Quando
x = 0 → y = cos0(sen0 − k) = 1(0 − k) = − k
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, para x = 0 temos y = – 1, portanto – 1 = – k, de modo que k = 1.
Assim, a solução particular será
y = cosx(senx − 1)
.
VERIFIQUE SE A FUNÇÃO ESCALAR
U(X, T) = E − 4TCOS(2X)
É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T
= 0
.
RESOLUÇÃO
Precisamos testar se a função u(x,t) dada satisfaz a equação. Repare que, agora, temos uma EDP.
Precisamos lembrar de como fazer derivadas parciais. Derivamos em função da variável mantendo todas as demais como constantes.
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂T
= ( − 4)E − 4TCOS (2X)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, obteremos a derivada parcial de segunda ordem
∂2u
∂x2
SE
U(X, T) = E − 4TCOS (2X) →
∂U
∂X
= ( − 2)E − 4TSEN (2X)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SE
∂U
∂X
= ( − 2)E − 4TSEN (2X) →
∂2U
∂X2
= ( − 2)(2)E − 4TCOS (2X) = ( − 4)E − 4TCOS (2X)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, temos:
SE
∂2U
∂X2
−
∂U
∂T
= ( − 4)E − 4TCOS (2X) − ( − 4)E − 4TCOS (2X) = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, satisfaz a equação, provando que
(x, t) = e − 4tcos(2x)
é uma solução da equação diferencial.
TEORIA NA PRÁTICA
Seja um objeto de massa m, medida em kg, presa na extremidade de uma mola com constante elástica k, medida em N/m. Considere que o
ponto de equilíbrio da mola se encontre na origem, isto é, x = 0.
Quando comprimimos ou esticamos a mola de x, medido em metros, o objeto ficará sujeito a uma força elástica dada por
→
F = − kx.
Pela Lei de Newton, essa força será igual à massa do objeto vezes a aceleração. Com isso, teremos:
SE
→
F = M→A = M
D2X
DT2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
m
d2x
dt2
= − kx
Verifique se a função
x(t) = sen √80 t + C
, C real, é solução da equação diferencial que representa o movimento de um objeto de 5kg preso em uma mola de constante elástica 400
N/m.
Determine a solução particular sabendo que para t = 0 a posição do objeto vale x = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
Classificar as equações diferenciais
CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
( )
TIPOS DE CLASSIFICAÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
No módulo anterior, vimos os conceitos iniciais da equação diferencial, e conhecemos as equações diferenciais ordinária e parcial. Neste
módulo, veremos que as equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas, e conheceremos algumas delas, principalmente a
classificação quanto à ordem e ao grau.
VOCÊ JÁ SABE DISTINGUIR UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL ORDINÁRIA DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL PARCIAL, CERTO?
Equação ordinária
A incógnita depende apenas de uma variável independente, e aparecem, na equação, as derivadas dessa incógnita em relação à variável
independente, em suas diversas ordens.
Equação parcial
A incógnita a ser descoberta depende de duas ou mais variáveis independentes e, na equação, aparecem derivadas parciais dessa incógnita
em relação às variáveis independentes.
ATENÇÃO
Lembre-se de que a solução da EDO — caso exista — é uma função real, e solução da EDP — caso exista — é uma função escalar.
As equações diferenciais podem ser classificadas de diversas formas. A seguir, veremos a classificação da equação diferencial quanto à
ordem, ao grau e à linearidade.
ORDEM DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
As derivadas ou derivadas parciais que aparecem na equação diferencial podem ser de diversas ordens:
DERIVAÇÃO DE ORDEM SUPERIOR
A derivada de uma função também é uma função. Dessa forma, a função derivada também pode possuir uma derivada. Nesse sentido, a
derivação de uma função derivada é denominada derivação de ordem superior. A ordem de uma derivada corresponde ao número de vezes
que derivamos a função.
Suponha a função
y = x6 + 5
A primeira derivada de y, ou derivada de primeira ordem, será
y ′ =
dy
dx
= 6x5.
A segunda derivada de y, ou derivada de segunda ordem, será a derivada da primeira derivada, de modo que:
y ′′ =
dy ′
dx
=
d2y
dx2
= 30x4
, e assim sucessivamente.
A derivada de ordem n, portanto, será a derivada da derivada de ordem n – 1 da função. Representamos a derivada de ordem superior n – n
inteiro positivo – por f(n)(x) ou D(n)f(x).
Utilizando a notação de Leibniz, representaremos a derivada de ordemn por:
DNY
DXN
=
D
D
DN− 1Y
DXN− 1
=
D
DX
D
DX
DN− 2Y
DXN− 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As derivadas parciais de ordem superior seguem raciocínio semelhante.
DERIVAÇÃO PARCIAL DE ORDEM SUPERIOR
A derivada parcial de uma função escalar também é uma função escalar. Por serem funções escalares, também podemos determinar as suas
derivadas parciais em relação às variáveis independentes.
A derivada parcial de uma função que já é derivada parcial de uma função é denominada derivada parcial de segunda ordem. Se repetirmos
o processo, teremos as derivadas parciais de terceira, quarta, quinta, até a enésima ordem. Essas derivadas parciais são conhecidas como
derivadas parciais de ordem superior.
Por exemplo, seja
f(x, y) = 8x2y3
, então:
FX(X, Y) = 16XY
3
E
FY(X, Y) = 24X
2Y2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, determinar as derivadas parciais de segunda ordem, isto é, a derivada parcial da função escalar
fx(x, y) = 16xy
3
( ) ( ( ))
FX(X, Y) = 16XY
3 →
∂FX
∂X
= 16Y3
FX(X, Y) = 16XY
3 →
∂FX
∂Y
= 48XY2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relembre a notação:
∂FX
∂X
=
∂
∂X
∂F
∂X
=
∂2F
∂X2
= 16Y3
OU
FX X
= FXX = 16Y
3
∂FX
∂Y
=
∂
∂Y
∂F
∂X
=
∂2F
∂Y∂X
= 48XY2
OU
FX Y
= FXY = 48XY
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções
fx(x, y)
e
fy(x, y)
são denominadas derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x, y)
( )
( )
( )
( )
. Já as funções
fxx(x, y)
,
fxy(x, y)
,
fyx(x, y)
e
fyy(x, y)
são as derivadas de segunda ordem da função f(x,y). Podemos repetir esse processo sucessivamente.
SAIBA MAIS
A ordem de uma equação diferencial será a ordem da mais alta derivada ou da derivada parcial da função incógnita que aparece na equação.
Para entender o conceito na prática, vamos estudar os seguintes exemplos:
DETERMINE A ORDEM DAS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS:
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
Z2 −
D3Y
DZ
− 4 =
D2Y
DZ2
− LN(Z)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
UVW −
∂U
∂V
=
∂2U
∂V∂W
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
s′ − 2s + 5x4 = cosx
Temos, aqui, uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita s — ou variável dependente — está relacionada apenas com uma
variável dependente x. Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a primeira derivada, de forma que a ordem
dessa EDO é 1.
b)
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z)
Nesse caso, temos uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y está relacionada apenas com uma variável dependente z. A
equação apresenta mais de uma derivada, mas a derivada de mais alta ordem é a terceira derivada de y em função de z. Com isso, a ordem
dessa EDO é 3.
c)
∂3m
∂z3
− xyz = 2
Aqui temos uma equação diferencial parcial, na qual a variável dependente m depende das variáveis x,y e z. Observe que a equação e a
derivada parcial de mais alta ordem é uma derivada parcial de terceira ordem. Desse modo, essa EDP apresenta ordem 3
d)
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
A equação da letra D é novamente uma equação diferencial parcial em que a variável u depende das variáveis v e w. Nessa equação, temos
uma derivada parcial de primeira ordem e uma derivada parcial de ordem 2. Desse modo, a EDP terá ordem 2.
FORMA PADRÃO
Toda vez que o coeficiente que multiplica a derivada de mais alta ordem da equação diferencial for um, dizemos que a equação diferencial está
na sua forma padrão.
No exemplo anterior, as equações diferenciais da letra A e da letra C estão na forma padrão. Já as equações da letra B e D não estão, mas
podem ser colocadas. Vejamos:
z2 −
d3y
dz
− 4 =
d2y
dz2
− ln(z) → −z2 +
d3y
dz
+ 4 = −
d2y
dz2
+ ln(z)
, multiplicando-se todos os coeficientes por ( – 1).
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
uvw − 6
∂u
∂v
= 3
∂2u
∂v∂w
→
1
3
uvw − 2
∂u
∂v
=
∂2u
∂v∂w
, dividindo-se todos os coeficientes por 3.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AS EDOS SEMPRE PODEM SER COLOCADAS NA SUA FORMA PADRÃO.
GRAU DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
Uma equação diferencial também é classificada quanto ao seu grau. Nesse caso, o grau será o expoente da derivada mais alta que existe na
equação diferencial.
ATENÇÃO
É preciso observar a derivada de mais alta ordem para definir a ordem da equação diferencial. Para isso, basta analisar essa derivada e ver o
expoente a que ela está submetida. Dessa forma, iremos definir seu grau.
Se olharmos o exemplo anterior, veremos que todas as equações diferenciais apresentadas têm grau 1, já que as derivadas de maior ordem
estão sempre elevadas ao expoente um. Para entender melhor, vamos estudar alguns exemplos.
DETERMINE A ORDEM E O GRAU DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APRESENTADAS
A)
Y′ − 3X Y′′
3
− X4 = 3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
DS
DU
3
−
D3S
DU3
2
= S5
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3Z
∂U∂V∂W
2
+
∂2Z
∂W2
= 3
( )
( ) ( )
( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y′ − 3x y ′′
3
− x4 = 3
A equação diferencial apresentada é uma equação diferencial ordinária na qual a função incógnita y depende da variável dependente x.
Analisando a equação, observa-se que a derivada de mais alta ordem é a de segunda derivada, de modo que a ordem dessa EDO é 2. A
derivada está elevada ao expoente três, portanto, o grau dessa EDO vale 3.
b)
ds
du
3
−
d3s
du3
2
= s5
Nesse caso, também temos uma equação diferencial ordinária, cuja variável dependente s depende da variável u. Observe que derivada de
mais alta ordem é uma derivada de terceira ordem e está elevada ao expoente 2. Com isso, essa EDO é de ordem 3 e grau 2.
c)
∂3z
∂u∂v∂w
2
+
∂2z
∂w2
= 3
Por fim, temos uma equação diferencial parcial, com a incógnita z dependendo das variáveis independentes u,v e w. A derivada de maior grau
é a derivada de ordem 3. Como o termo está elevado ao expoente 2, a EDP tem ordem 3 e grau 2.
LINEARIDADE DA EQUAÇÃO DIFERENCIALO
Outra classificação para as equações diferenciais diz respeito à sua linearidade, isto é, se a equação diferencial é linear ou não linear.
A equação diferencial linear ocorre nos seguintes casos:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.
Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem depender da(s) variável(is)
independente(s) ou serem números reais.
Já a equação diferencial não linear ocorre nas seguintes situações:
A variável dependente e suas derivadas aparecerem elevadas a um expoente numérico diferente de 1.
Se aparecer algum produto entre a variável dependente e suas derivadas, ou das derivadas das incógnitas entre si.
Se aparecer, como coeficiente, uma função da variável dependente ou de suas derivadas.
É importante enfatizar que as variáveis independentes, nas equações diferenciais lineares, podem aparecer como funções ou com expoentes
diferentes da unidade.
( )
( ) ( )
( )
ATENÇÃO
Como a incógnita e suas derivadas estão sempre elevadas ao expoente 1, toda equação diferencial linear, obrigatoriamente, apresentará um
grau 1.
Vamos estudar os exemplos a seguir para compreender melhor.
DETERMINE SE AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A SEGUIR SÃO OU NÃO LINEARES.
A)
Y′ − 3X Y′′
3
− X4 = 3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2 = 0
Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
C)
∂3M
∂Z3
− XYZ = 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
YY′ − LNU = Y′′
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
a)
y′ − 3x y ′′
3
− x4 = 3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar de os coeficientes dependerem apenas da variável independente x ou serem número, na equação,
( )
( )
tem-se uma derivada da incógnita y com expoente 3. Desse modo, a equação é não linear.
b)
sen(u)v − 3v′ + 4u2 = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Os coeficientes dependem apenas da variável independente u ou são números. O expoente da incógnita v
e de suas derivadas vale 1, de forma que a equação diferencial é linear.
c)
8z
∂3m
∂z3
− xyz = 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDP. Os coeficientes dependem apenas das variáveis independentes x,y e z. O expoente da derivada parcial da
variável m, que existe na equação, é a unidade. Com isso, a EDP é linear.
d)
yy ′ − lnu = y′′
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial é uma EDO. Apesar da incógnita y e de suas derivadas estarem elevadas ao expoente 1, existe um produto entre y e a
derivada de y. Logo, a equação é não linear.
EXPRESSÃO DAS EDO LINEARES
As equações diferenciais ordinárias lineares de ordem n podem e sempre serão expressas da forma
FN(U)S
(N ) + FN− 1(U)S
(N− 1 ) + FN− 2(U)S
(N− 2 ) + … + F1(U)S
′ + FO(U)S = G(U)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nesse caso, a função incógnita s depende da variável independente
u
e
fj(u)
, com 0 ≤ j ≤ n, são os coeficientes da equação. Se for impossível transformar uma EDO na forma apresentada, ela não será uma equação
diferencial linear. Isso também é verdade para as equações diferenciais parciais.
ELAS SERÃO LINEARES SE FOR POSSÍVEL COLOCAR DA FORMA SEMELHANTE A UM
POLINÔMIO.
Vejamos o exemplo, a seguir, para uma EDP de segunda ordem, em que a variável z depende das variáveis x e y:
F(X, Y)ZXX + G(X, Y)ZXY + H(X, Y)ZYY + P(X, Y)ZX + Q(X, Y)ZY + M(X, Y)Z = W(X, Y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
HOMOGENEIDADE E COEFICIENTES
Uma equação linear pode ser classificada como:
HOMOGÊNEA
NÃO HOMOGÊNEA
AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS SÃO AQUELAS QUE NÃO APRESENTAM TERMOS SEM A
VARIÁVEL DEPENDENTE OU SEM UMA DE SUAS DERIVADAS. NOS EXEMPLOS ANTERIORES,
AS EQUAÇÕES HOMOGÊNEAS APRESENTAM
G(U)
OU
W(X, Y)
IGUAIS A ZERO. CASO CONTRÁRIO, A EQUAÇÃO SERÁ NÃO HOMOGÊNEA, E O TERMO
G(U)
OU
W(X, Y)
SERÁ DENOMINADO TERMO NÃO HOMOGÊNEO
ATENÇÃO
SE OS COEFICIENTES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE MULTIPLICAM A VARIÁVEL
DEPENDENTE OU SUAS DERIVADAS FOREM TODOS NÚMEROS REAIS, DIZEMOS QUE A
EQUAÇÃO TEM COEFICIENTES CONSTANTES. A EQUAÇÃO DIFERENCIAL SERÁ DE
COEFICIENTES VARIÁVEIS CASO ALGUM DESSES TERMOS DEPENDA DA(S)
VARIÁVEL(IS) INDEPENDENTE(S).
Classifique as equações diferenciais lineares, a seguir, quanto à homogeneidade e indique se são ou não de coeficientes constantes.
A)
S′ − 2S + 5X4 = COSX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ
− 4Y =
D2Y
DZ2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ M = 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A)S′ − 2S + 5X4 = COSX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que os coeficientes que multiplicam a variável dependente e suas derivadas são numéricos, de modo que a equação diferencial é de
coeficientes constantes. O termo independente vale cos x, logo, é diferente de zero, e a equação não homogênea. Podemos reescrever a
equação na forma:
s′ − 2s = cosx − 5x4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
D3Y
DZ
− 4Y =
D2Y
DZ2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear tem todos os coeficientes numéricos e não tem nenhum termo que independe de y e de suas derivadas. Portanto, trata-se de
uma equação diferencial de coeficientes constantes e homogênea. Podemos reescrever a equação na forma:
y ′′′ − y ′′ − 4y = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
2Z
∂3M
∂Z3
+ SEN W −
∂M
∂W
= 2M
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação diferencial linear é uma EDP com coeficientes que dependem das variáveis independentes z e w. Além disso, apresenta um termo
que independe da variável dependente m, de modo que é uma equação de coeficientes variáveis e não homogênea. Reescrevendo a equação
na forma polinomial, temos:
2z
∂3m
∂z3
−
∂m
∂w
− 2m = − sen w
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
SEN(X)Y − 3Y′ + 4X2Y = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A EDO linear apresenta coeficientes que são funções da variável independente x, de forma que constitui uma equação de coeficientes
variáveis. Não existe termo que independa da variável y e de suas derivadas, logo, é uma equação homogênea. Ordenando a equação,
ficamos com:
3y ′ − (sen(x) + 4x2)y = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As equações diferenciais lineares, assim como as equações algébricas, são mais fáceis de serem resolvidas do que as não lineares. No
próximo módulo, analisaremos a resolução de alguns tipos de equações diferenciais de primeira ordem.
TEORIA NA PRÁTICA
Sabemos que não existe um método único para solucionar qualquer equação diferencial. Existem métodos que são apropriados para grupos
de equações diferenciais. Desse modo, é importante classificar uma equação para definir o método de solução que pode ser utilizado na
prática.
Escolha o método para solucionar a equação apresentada a seguir: Classifique quanto à ordem e ao grau, indique se são lineares ou não
lineares, homogênea ou não homogênea e, por fim, se têm coeficientes constantes ou variáveis.
Y′′ + 2X Y′ − 3, 4 Y = X3 + EX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
CLASSIFICAÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
Calcular equações diferenciais de primeira ordem
MÉTODOS DE RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
SOLUÇÃO DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Nos módulos anteriores, estudamos os conceitos iniciais das equações diferenciais e analisamos como verificar se uma função é ou não
solução de uma equação diferencial. Vimos que não existe um método geral para resolver todos os tipos de equação diferencial. Existem, no
entanto, alguns métodos com grande abrangência que resolvem alguns tipos de equações diferenciais.
Neste módulo, estudaremos alguns dos métodos para resolução de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Vale lembrar que a
solução de uma equação diferencial ordinária será uma função real que satisfaz a equação dada.
PROBLEMA DE VALOR INICIAL
CHAMAREMOS DE SOLUÇÃO GERAL A FAMÍLIA DE FUNÇÕES QUE SATISFAZ A EQUAÇÃO,
E DE SOLUÇÃO PARTICULAR UMA FUNÇÃO QUE FAZ PARTE DESSA SOLUÇÃO GERAL E
ATENDE ÀS CONDIÇÕES INICIAIS FORNECIDAS. ESSE TIPO DE PROBLEMA SERÁ
DENOMINADO PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
Veremos, aqui, a solução de equações diferenciais de primeira ordem, portanto a derivada de maior ordem que aparecerá será a derivada de
primeira ordem, elevada ao expoente 1.
A EDO de primeira ordem será do tipo:
Y′ + A(X, Y)Y = B(X, Y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalMesmo para o caso das EDOs de primeira ordem, não existe um método único que abrange uma solução para todas as EDOs. Analisaremos
alguns métodos de resolução, e todos os que serão apresentados se aplicam para equações diferenciais de primeira ordem que podem ser
colocadas na forma:
Y′ = F(X, Y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função f(x,y) será uma função que pode depender da variável independente y e/ou da variável dependente x.
MÉTODO DIRETO
O primeiro método é denominado de método direto e sua solução é mais simples. Ela ocorrerá quando for possível isolar a derivada de y em
um lado e, do outro, uma função que dependa apenas da variável independente x.
Para a solução direta, basta usar, depois, a integração direta para obter a solução. Em outras palavras, quando
f(x, y) = f(x)
.
Y′ = F(X) → DY = F(X)DX → Y = ∫F(X)DX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos o exemplo:
OBTENHA A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0.
RESOLUÇÃO
Para obter o valor da função incógnita y, devemos tentar isolar e obter o valor da derivada da variável
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0 → Y′ = 4X3 − 2X2 + 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
DY
DX
= 4X3 − 2X2 + 1
DY = 4X3 − 2X2 + 1 DX
∫DY = ∫(4X3 − 2X2 + 1)DX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Basta, agora, integrar ambos os lados, de forma que a solução geral da equação diferencial será
y = x4 −
2
3
x3 + x + k
( )
, com k número real.
OBTENHA UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
4X3 − Y′ − 2X2 + 1 = 0
, TAL QUE, PARA ATENDER A CONDIÇÃO X = 1, O VALOR DE Y VALE 2.
RESOLUÇÃO
Obtivemos a solução geral
y = x4 −
2
3
x3 + x + k
, com k número real. Agora, iremos substituir a condição inicial e obter a solução particular:
Para x = 1 →
y = 14 −
2
3
13 + 1 + k =
4
3
+ k
No entanto, y = 2 para x = 1, de forma que
4
3
+ k = 2 → k =
2
3
A solução particular será
= x4 −
2
3
x3 + x +
2
3
SOLUÇÃO PARTICULAR
Infelizmente, nem sempre será possível realizar a solução da equação geral por meio de uma manipulação matemática, como apresentado no
exemplo. Por isso, torna-se necessário definir métodos que podem ser empregados na obtenção da solução de um conjunto específico de
equações. Analisaremos três métodos:
EQUAÇÕES SEPARÁVEIS
EQUAÇÃO EXATA
EQUAÇÕES LINEARES
ANTES DE ANALISARMOS TAIS MÉTODOS, PRECISAMOS NOS PERGUNTAR: COMO
GARANTIR QUE UMA EDO DE PRIMEIRA ORDEM TENHA SEMPRE UMA SOLUÇÃO
PARTICULAR PARA O PROBLEMA E, QUANDO ESSA SOLUÇÃO EXISTIR, QUE ELA SEJA
ÚNICA?
RESPOSTA
Vejamos o teorema: Seja uma EDO do tipo
y ′ = f(x, y)
, em que f(x,y) é contínua em um retângulo R contendo o ponto (x0,y0), com y(x0) = y0. Essa EDO terá sempre uma solução no retângulo R
que contém (x0,y0) e essa solução será única, sempre que
∂f
∂y
for contínua em R.
Retornando ao nosso exemplo, para EDO
y′ = 4x3 − 2x2 + 1
, repare que
f(x, y) = 4x3 − 2x2 + 1
é contínua para todo (x,y) em
R2
. Além disso,
∂f
∂y
= 0
é contínua em todo
R2
. Portanto, essa EDO terá sempre uma solução para todos os problemas de valor inicial, e a solução será única em cada caso.
Nos tópicos seguintes, estaremos focados em determinar a solução de uma EDO de primeira ordem para alguns tipos de EDOs de primeira
ordem.
EDO SEPARÁVEIS DE PRIMEIRA ORDEM
Estamos estudando a EDO de primeira ordem:
Y′ = F(X, Y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação será do tipo separável quando for possível transformar a função f(x,y) em um produto h(x)g(y), isto é, em um produto de uma
função, que só depende da variável independente, por outra que só depende da variável dependentes.
Y′ = H(X)G(Y)
Resolvendo, temos:
Y′ = H(X)G(Y) →
DY
DX
= H(X)G(Y) →
DY
G(Y)
= H(X)DX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A equação é possível para um intervalo onde g(y) é diferente de zero. Desse modo, para solucionar a equação vamos aplicar a integral
definida em ambos os lados e obter a solução geral:
∫
1
G(Y)
DY = ∫H(X)DX + K, COM K REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Apesar de cada integral definida apresentar uma constante de integração, as duas constantes podem ser substituídas apenas por uma
constante de integração k.
RELEMBRANDO
Atenção às regras de integração, já que elas serão bastante usadas na solução de equações diferenciais. A solução geral pode ser uma
função implícita relacionado y com o x, não sendo possível, por vezes, explicitar a função.
Vejamos alguns exemplos desse método a seguir:
UMA POPULAÇÃO DE BACTÉRIA P, MEDIDA EM MILHÕES, CRESCE EM RELAÇÃO
AO TEMPO T, MEDIDO EM HORAS, POR MEIO DO SEGUINTE MODELO
DP
DT
= 2(P − 1)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a quantidade de bactérias que haverá após 5 horas, sabendo que, para t = 0, o valor de p é de 2 milhão de bactérias.
RESOLUÇÃO
Precisamos, inicialmente, solucionar a equação diferencial de primeira ordem para descobrir como p varia com o tempo. Repare que temos
uma EDO separável, uma vez que:
dp
dt
= 2(p − 1) →
1
p − 1
dp = 2 dt
, para
p ≠ 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫
1
p − 1
dp = ∫2 dt → ln|p − 1| = 2t + k
, com
k ∈ 𝑅
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como p é maior ou igual a 2, então, p – 1 é positivo, de modo que
|p − 1| = p − 1
ln|p − 1| = ln(p − 1) = 2t + k → p − 1 = exp(2t + k)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral da EDO será
p = 1 + exp(2t + k)
, com k real, mas para t = 0, p = 2.
p = 1 + exp(2.0 + k) = 2
exp(k) = 2 − 1 = 1 → k = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já a solução particular será
p = 1 + exp(2t)
.
Para obter a população para t = 5 horas, temos:
p(5) = 1 + exp(2.5) = 1 + exp(10) ≈ 22.028 milhões
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, no exemplo, a expressão obtida no método levava em conta que
p ≠ 1
. Como, no exemplo, o valor de p ≥ 2, não se perdeu nenhuma solução possível.
Pode acontecer em alguns casos, no entanto, que g(y) = 0 forneça solução para equação diferencial analisada. Nesse caso, diz-se que as
soluções são singulares, já que não podem ser obtidas pelo método empregado.
Vejamos o exemplo:
Obtenha a solução da equação
y ′ = x3y2
RESOLUÇÃO
Trata-se de uma EDO de primeira ordem. A EDO é do tipo separável, uma vez que:
y ′ = x3y2 →
dy
dx
= x3y2 →
1
y2
dy = x3dx
, com
≠ 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira:
∫
1
y2
dy = ∫x3dx + k → −
1
y
=
1
4
x4 + k
, com real.
y = −
1
1
4
x4 + k
= −
4
x4 + 4k
, com k real e para
y ≠ 0
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vemos, com isso, que essa solução geral não engloba o caso de y = 0.
Se fizermos y = 0 na EDO, observaremos que é solução para a EDO, pois
y ′ = x3y2
é atendida para a função y = 0. A função y = 0 seria uma solução singular para a EDO. Assim, a solução da EDO seria
y = −
1
1
4
x4 + k
= −
4
x4 + 4k
, com k real , ou y = 0.
ATENÇÃO
Às vezes, com uma substituição de variável, podemos transformar uma EDO que não é do tipo separável para uma EDO separável.
Vejamos um exemplo desse caso:
DETERMINE A FUNÇÃO U, QUE É SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
U′ = 2V + 2U + V2 + U2 + 4V + 4U + 2UV + 8
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
E QUE PARA V = 0 TENHA U = 1.
RESOLUÇÃO
Temos uma EDO de primeira ordem que relaciona a incógnita u com a variável independente v. Inicialmente, não é possível se transformar a
EDO para uma EDO separável, isto é:
u′ = f(u)g(v)
Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Manipulando a equação, no entanto, teremos:
u′ = 2v + 2u + v2 + u2 + 4v + 4u + 2uv + 8
u ′ = (2v + 2u + 4) + (v2 + u2 + 4 + 4v + 4u + 2uv)
u′ = 2(v + u + 2) + (v + u + 2)2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se fizemos
w = v + u + 2
,
u′ = 2(v + u + 2) + (v + u + 2)2 → u ′ = 2w + w2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando w em relação à variável independente v, teremos:
w = v + u + 2 → w ′ = 1 + u′
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo
w ′ − 1 = u′ = 2w + w2
Então
w ′ = 1 + 2w + w2
, que é uma EDO separável. Com isso:
w ′ =
dw
dv
= 1 + 2w + w2 →
1
1 + 2w + w2
dw = dv
∫
1
1 + 2w + w2
dw = ∫dv + k
∫
1
(1 + w)2
dw = ∫dv + k
−
1
1 + w
= v + k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando a variável original, podemos obter uma equação implícita, que relaciona u com v da seguinte forma:
−
1
1 + (v + u + 2)
= v + k → v +
1
v + u + 3
= − k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para v = 0, temos u = 1
0 +
1
0 + 1 + 3
= − k → k = −
1
4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim sendo, a função u que atende às condições do problema, em relação a variável v, é obtida pela equação:
v +
1
v + u + 3
=
1
4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EDO EXATAS DE PRIMEIRA ORDEM
Uma equação diferencial de primeira ordem será considerada exata em um domínio S se puder ser colocada na seguinte forma:
U(X, Y) + V(X, Y)Y′ = 0
e existir uma função M(x,y), definida em S tal que:
∂M
∂X
(X, Y) = U(X, Y)
E
∂M
∂Y
(X, Y) = V(X, Y)
para todos os pontos (x,y) da região S.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que u(x,y) e v(x,y) são duas funções escalares de x e y, e serão dadas pela equação diferencial. Uma forma de verificar se a equação
é exata é analisando:
∂U
∂Y
=
∂V
∂X
=
∂2M
∂X∂Y
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vejamos:
VERIFICAÇÃO DE EQUAÇÃO EXATA
OBSERVE SE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 X2 + Y Y′ = − 4XY − X2
É UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL EXATA.
RESOLUÇÃO
Colocando a equação na forma
u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
2 x2 + y y ′ = − 4xy − x2 → 2 x2 + y y′ + 4xy + x2 = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
u(x, y) = 4xy + x2
e
v(x, y) = 2 x2 + y
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo
∂u
∂y
(x, y) = 4x
e
∂v
∂x
(x, y) = 4x
Retornando a solução da equação de primeira ordem exata, vamos definir a sua solução.
Se a equação diferencial
u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
for exata, então a solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
M(x, y) = k
, com k real. Sendo a função
M(x, y)
a função tal que
∂M
∂x
(x, yt) = u(x, y)e
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos provar essa afirmativa:
M(x, y) = k →
dM
dx
= 0
Lembrando de o estudo da função escalar, temos:
dM
dx
=
∂M
∂x
dx
dx
+
∂M
∂y
dy
dx
= 0
( )
( ) ( ) ( )
( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo, teremos:
∂M
∂x
dx
dx
+
∂M
∂y
dy
dx
= 0 →
∂M
∂x
+
∂M
∂y
y′ = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
∂M
∂x
(x, y) = u(x, y)
e
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y)
, então:
∂M
∂x
+
∂M
∂y
y′ = 0 → u(x, y) + v(x, y)y ′ = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, satisfazemos a equação diferencial apresentada.
Precisamos obter a função M(x,y) para solucionar a equação diferencial exata. A função M(x,y) pode ser obtida por meio da integração. Isso
significa que, se desejarmos obter a função M(x,y), basta resolvermos:
∂M
∂X
(X, Y) = U(X, Y)
E
∂M
∂Y
(X, Y) = V(X, Y)
Logo, obtemos:
∂M
∂X
(X, Y) = U(X, Y) → M = ∫U(X, Y)DX + G(Y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que, como estamos integrando em relação a x, e M(x,y) é uma função escalar que depende de x e y, a constante de integração
será uma função de y, representada por g(y).
Derivando, parcialmente, M(x,y) em relação a y, teremos:
∂M
∂Y
(X, Y) =
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX + G(Y) =
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX + G′(Y)
G′(Y) =
∂M
∂Y
(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX
No entanto:
∂M
∂Y
(X, Y) = V(X, Y) → G′(Y) = V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX
De modo que:
G(Y) = ∫ V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX DY
Substituindo, obtemos:
M(X, Y) = ∫U(X, Y)DX + ∫ V(X, Y) −
∂
∂Y ∫U(X, Y)DX DY
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O equacionamento parece complicado, mas basta seguir os passos para obter a solução. Repare que a solução da equação será,
normalmente, uma equação implícita. Veja:
EXEMPLO
DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
2 X2 + Y Y′ = − 4XY − X2
( ) ( )
( )
( )
[ ( )]
[ ( )]
( )
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, provamos que se trata de uma equação diferencial exata de primeira ordem, com:
u(x, y) = 4xy + x2
e
v(x, y) = 2 x2 + y
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∂M
∂x
(x, y) = u(x, y) = 4xy + x2 → M = ∫ 4xy + x2 dx + g(y) = 2x2y +
1
3
x
3
+ g(y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, obter a derivada parcial de M em relação a y:
∂M
∂y
(x, y) =
∂
∂y
2x2y +
1
3
x
3
+ g(y) = 2x2 + g′(y)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
∂M
∂y
(x, y) = v(x, y) = 2 x2 + y
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
2x2 + g′(y) = 2x2 + g ′(y) → g ′(y) = 2y → g(y) = ∫2ydy = y2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, substituindo:
M = 2x2y +
1
3
x
3
+ g(y) = 2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução da equação diferencial será dada pela equação implícita
2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2 = k
, k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor de k será obtido por uma condição inicial. Por exemplo, considere que y(0) = 2, de modo que:
2.02.2 +
1
3
.0
3
22 + 22 = k → k = 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será
2x2y +
1
3
x
3
y2 + y2 = 4
.
( )
( )
( )
( )
EDO LINEAR DE PRIMEIRA ORDEM
O terceiro método que estudaremos neste módulo é apropriado para as equações diferenciais lineares. A equação ordinária linear de primeira
ordem pode ser sempre expressa na forma:
Y′ + U(X)Y = V(X)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual u(x) e v(x) são duas funções da variável independente x, dadas na equação diferencial.
Vamos considerar uma função auxiliar dada por P(x) y. Derivando essa função por meio da regra do produto, teremos:
[P(X)Y]′ = P′(X)Y + P(X)Y′
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos partir da equação diferencial linear e multiplicar os dois lados pela função P(x):
P(X)Y′ + P(X)U(X)Y = P(X)V(X)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Compare as duas equações. Se fizemos
P ′(x) = P(x)u(x)
, igualaremos o lado esquerdo da segunda equação com a primeira. Isto é, se
P ′(x) = P(x)u(x)
, então
[P(x)y]′ = P(x)v(x)
.
Integrando ambos os lados, teremos:
∫ [P(X)Y]′DX = ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
P(X)Y = ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
Y =
1
P(X) ∫P(X)V(X)DX + K , K REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguiremos, então, obter a solução da equação diferencial linear de primeira ordem se escolhermos corretamente a funçãoP(x). A função
P(x) é denominada fator integrante.
CÁLCULO DE P(X)
Vamos, agora, ver como calculamos P(X).
Retornando,
P ′(x) = P(x)u(x)
, então:
P′(X)
P(X)
= U(X) → ∫
DP
P
= ∫U(X)DX
Assim:
LN|P(X)| = ∫U(X)DX + C, C REAL
logo:
P(X) = EXP ∫U(X)DX + C , C REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como necessitamos apenas de um P(x) que atenda à condição, não precisamos incluir a constante de integração. Portanto, para obter o fator
integrante, basta resolver:
( )
( )
P(X) = EXP ∫U(X)DX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter P(x), devemos obter a equação geral da EDO linear de primeira ordem:
Y =
1
P(X) ∫P(X)V(X)DX + K
, K REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPAS
Agora que já entendemos o procedimento, vamos listar o passo a passo para não esquecermos nenhuma etapa do processo:
ETAPA A
Colocar a equação diferencial linear na sua forma padrão, isto é, o coeficiente que multiplica y’ deve ser um.
ETAPA B
Obter o fator integrante, usando o valor de u(x) da equação, pela fórmula:
P(x) = exp ∫u(x)dx
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA C
c) Obter o valor da integral a seguir, usando v(x) da equação diferencial dada:
∫P(x)v(x)dx
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ETAPA D
Determinar a solução geral da equação diferencial pela fórmula:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k , k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A SOLUÇÃO PARTICULAR SERÁ OBTIDA ACHANDO-SE O VALOR DE K REAL POR MEIO DA
CONDIÇÃO INICIAL.
Vejamos um exemplo a seguir:
Vamos obter a equação geral da equação diferencial
2y ′ − 2y − 4ex = 0
( )
( )
( )
( )
.
RESOLUÇÃO
Vamos colocar a equação diferencial linear na forma padrão:
y ′ − y = 2ex
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
u(x) = – 1ev(x) = 2ex
.
Agora, devemos obter o fator integrante:
P(x) = exp ∫u(x)dx = exp ∫ ( − 1)dx = exp( − x)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
∫P(x)v(x)dx = ∫e −x 2ex dx = ∫2 dx = 2x
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma que:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k =
1
e −x
(2x + k ) = ex(2x + k)
, k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, a solução geral será:
y = ex(2x + k)
, k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos obter a solução que atenda à equação diferencial
2y ′ − 2y − 4ex = 0
e que, para x = 0, tenhamos y = 1.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a equação geral
y = ex(2x + k)
, k real, fazendo
x = 0 → y = e0(2.0 + k) = 1(0 + k) = k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, pela condição fornecida no enunciado, y = 1 = k. Logo, a solução particular será:
y = ex(2x + 1)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso em que u(x) e v(x) forem número reais, isto é, a equação diferencial linear seja de coeficientes constantes, a resolução da
equação vai ser um pouco mais simplificada.
( ) ( )
( )
Vamos supor que u(x) = a e v(x) = b, com a e b reais. Então, teremos
y ′ + ay = b
Assim:
P(x) = exp ∫u(x)dx = exp ∫a dx = eax
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
y =
1
P(x) ∫P(x)v(x)dx + k =
1
eax
∫b eaxdx + k
y =
1
eax
b∫ eaxdx + k =
1
eax
b
a
eax + k
y =
b
a
+ ke −ax
, k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, se as funções u(x) e v(x) forem contínuas em um domínio S, podemos garantir que a solução obtida pelo procedimento descrito
sempre existirá e será única.
TEORIA NA PRÁTICA
O modelo logístico é mais sofisticado do que o modelo de crescimento exponencial para se trabalhar com crescimentos populacionais. Seja
P(t) o tamanho de uma população em um instante t. Define-se a equação diferencial logística como:
dP
dt
= CP 1 −
P
K
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual C e K são constante reais. A constante K é denominada de capacidade de suporte. Use o método da equação diferencial separável
para obter a solução da equação diferencial logística:
dP
dt
= 0, 05 P 1 −
P
1000
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a condição inicial de que P(0) = 200.
RESOLUÇÃO
Precisamos resolver a equação:
dP
dt
= 0, 05P 1 −
P
1000
→
dP
P 1 −
P
1000
= 0, 05 dt
1000
P(1000 − P)
dP =
1
P
+
1
1000 − P
dP = 0, 05dt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal equação vale para todo P diferente de zero e de 1000.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫
1
P
dP + ∫
1
1000 − P
dP = ∫0, 05 dt
ln|P| − ln|1000 − P| = 0, 05t + k, k real
ln
P
1000 − P
= 0, 05t + k
P
1000 − P
= exp(0, 05t + k) = exp(0, 05t)exp(k)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo que:
P
1000 − P
= Be0 , 05t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
em que
B = ± ek
, com k real.
Resolvendo, teremos:
P = 1000Be0 , 05t − BPe0 , 05t
P(t) =
1000Be0 , 05t
1 + Be0 , 05t
=
1000B
B + e − 0 , 05t
, com B real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
P(0) =
1000B
B + e − 0 , 05.0
=
1000B
B + 1
= 200 → 1000B = 200B + 200 → B =
200
800
=
1
4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será:
P(t) =
250
1
4
+ e − 0 , 05t
=
1000
1 + 4e − 0 , 05t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 4
Reconhecer situações possíveis de serem modeladas por equações diferenciais de primeira ordem
| |
| |
MODELAGEM POR MEIO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE
PRIMEIRA ORDEM
MODELAGEM POR EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA
ORDEM
Diversas são as situações — seja nas Ciências, seja na Engenharia — que envolvem uma incógnita e suas taxas de variação representadas
por suas derivadas. Esses problemas podem ser modelados por uma equação diferencial. Estudaremos, neste módulo, algumas situações que
podem ser modeladas por uma equação diferencial de primeira ordem. Ao analisarmos uma situação prática, buscamos modelar o problema
com os dados e as observações realizadas, de forma a equacionar um modelo para buscar a solução.
APÓS O LEVANTAMENTO DOS DADOS E DO RELACIONAMENTO ENTRE ELES, MONTAMOS
UMA OU MAIS EQUAÇÕES, QUE DEVEM SER RESOLVIDAS. AS EQUAÇÕES DE
MODELAMENTO, EM GERAL, SERÃO EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, QUANDO AS RELAÇÕES
DEPENDEM DA INCÓGNITA A SER OBTIDA E DE SUAS TAXAS DE VARIAÇÃO.
Vejamos algumas situações que podem ser modeladas por meio de uma equação diferencial de primeira ordem.
QUEDA LIVRE DE UM OBJETO SUJEITO À RESISTÊNCIA DO AR
A segunda Lei de Newton relaciona a força, em N, que age em um objeto de massa m, em kg, e sua aceleração em m/s², da seguinte
forma:
→
F = M→A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando uma trajetória retilínea, podemos retirar os vetores e trabalhar apenas com os módulos. Devemos lembrar, no entanto, que a
velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo, já a aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao
tempo. Dessa forma, a aceleração será a segunda derivada da posição pelo tempo:
A =
DV
DT
=
D2S
DT2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso de um objeto em queda livre, se desprezarmos a resistência do ar, o objeto estará sujeito apenas ao seu peso, e a aceleração será
constante e igual à aceleração da gravidade. Nesse caso, não será necessáriauma equação diferencial para modelar o problema.
Na prática, o ar resiste ao movimento de queda livre, com uma força que é proporcional à sua velocidade, de modo que
FAR = KV = K
DS
DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
K é uma constante de proporcionalidade determinada experimentalmente. Com isso, um objeto em queda livre de massa m, medida em kg,
estará sujeito ao peso, que empurra o objeto para baixo, e à resistência do ar, contrária ao peso.
Vejamos:
FR = P − FAR = MA
MG − K
DS
DT
= M
D2S
DT2
em que g é aceleração da gravidade.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conseguimos modelar o problema da posição em relação ao tempo dessa forma. Porém, temos uma equação diferencial de segunda ordem,
que ainda não sabemos resolver. Nesse caso, podemos modelar a velocidade com o tempo:
MG − KV = M
DV
DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, agora, uma equação diferencial linear de primeira ordem, que já sabemos resolver.
Resolvendo a equação diferencial da velocidade pelo método para equação linear, obteremos a seguinte solução:
V(T) =
MG
K
1 − E −
K
M
T M /S
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter a velocidade, usamos a relação:
V =
DS
DT
→ S = ∫
T
0
V DT
De forma que:
S(T) = ∫
T
0
MG
K
1 − E −
K
M
T DT
Então:
S(T) =
MG
K
T −
M
K
(1 − E −
K
M
T) M
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
UM OBJETO COM MASSA DE 1 KG ESTÁ EM QUEDA LIVRE EM UM AMBIENTE NO QUAL A
CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE DA RESISTÊNCIA DO AR É DE 0,8 NS²/M. O OBJETO
SAI DO REPOUSO. DETERMINE A VELOCIDADE MÁXIMA OBTIDA PELO OBJETO,
CONSIDERANDO A ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE COMO 10 M/S².
RESOLUÇÃO
O modelo de queda livre será dado pela equação que relaciona a velocidade com o tempo:
mg − Kv = m
dv
dt
→
dv
dt
+ 0, 8v = 10
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear com
( )
( )
[ ]
dv
dt
+ a(t)v = b(t)
. Então a(t) = 0,8 e b(t) = 10.
Agora, temos de obter o fator integrante:
P(t) = exp ∫a(t)dt = exp ∫0, 8 dt = e0 , 8t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, teremos:
∫P(t)b(t)dt = ∫e0 , 8t10 dt =
100
8
e0 , 8t = 12, 5e0 , 8t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
v(t) =
1
P(t) ∫P(t)b(t)dt + k =
1
e0 , 8t
12, 5e0 , 8t + k
v(t) = 12, 5 + ke − 0 , 8tm /s , k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
v(0) = 0 → 0 = 12, 5 + ke − 0 → k = − 12, 5
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
v(t) = 12, 5 ( 1 − e − 0 , 8t)m /s
, k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando t tende ao infinito, a exponencial tenderá a zero, e a velocidade chega no seu valor máximo de 12,5 m/s².
TAXA DE CRESCIMENTO POPULACIONAL EXPONENCIAL
A modelagem do crescimento de uma população — por exemplo, de insetos ou bactérias — é necessária, muitas vezes, em Biologia. Uma
forma simples de modelar o crescimento de uma população é utilizando um modelo exponencial, no qual a taxa de variação da população com
o tempo é proporcional ao tamanho da população.
Desse modo, seja P(t) a população em um instante de tempo t:
DP
DT
= KP
em que k é a taxa líquida de aumento da população.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O modelo pode ser empregado para o decrescimento exponencial se k for negativa. Se observarmos a equação do modelo, trata-se de uma
equação diferencial linear, de coeficientes constantes e homogênea.
( ) ( )
( ) ( )
Podemos resolver a equação pelo método estudado no módulo anterior. Assim, a solução do modelo será obtida pela resolução dessa
equação diferencial linear. Para isso, use o método e você obterá a solução geral:
P(T) = CEKT
, C REAL
Para obter o C, é preciso conhecer uma condição de contorno. Se conhecermos o valor da polução P para t = 0, denominando P0, teremos:
P(T) = P0E
KT
Se conhecermos o valor da polução P para t = T, denominando PT, teremos:
P(T) = PTE
K (T−T )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ATENÇÃO
O modelo de crescimento populacional na forma exponencial é chamado de Lei de Malthus. Vale saber que esse modelo se torna menos
preciso para valores grandes de tempo.
DECAIMENTO EXPONENCIAL
Vejamos, agora, um modelo para um decaimento exponencial, aplicado em um decaimento radioativo, por exemplo. Considere m(t) a massa
remanescente de uma substância radioativa em um instante t. Nesse caso, a taxa de decaimento será dada por:
DM
DT
(T) = K M
em que k é a constante negativa denominada constante de decaimento.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vida média de um material é definida como o tempo necessário para que metade da massa do material radioativo decaia.
Determine a vida média de um material sabendo que a constante de decaimento é de 1,4 10-4 por ano. Considere o decaimento exponencial
RESOLUÇÃO
A equação diferencial que modela o problema será:
dm
dt
(t) = k m
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação
1
m
dm = kdt → ∫
′
m
dm = ∫kdt → lnm = kt + C, C real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teremos:
m = exp(kt + C) = exp(kt)exp(C) = Aekt , A real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desejamos calcular a vida média do material, que seria o instante em que sua massa chega à metade.
Considerando A0 como t = 0 e tv o tempo vida média, temos:
t = 0 → m = A0
t = tv → m =
A0
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
A0
2
= A0e
ktv → ektv =
1
2
→ ktv = ln2 → tv =
1
k
ln2 =
1
1, 4 104
ln2 = 4951 anos
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MISTURA DE SOLUÇÕES
Vamos conhecer agora um problema de química modelado por uma equação diferencial. Um problema de mistura de soluções — por exemplo,
a salmoura — está relacionado com um recipiente de capacidade fixa no qual se mistura uma substância, como o sal, em um líquido, como a
água.
A solução, em dada concentração, entra no recipiente a uma taxa fixa. A mistura, bem agitada no tanque, sai do recipiente também com uma
taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por
ds
dt
. Essa taxa será determinada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, do sal no tanque, ou seja:
DS
DT
= TE − TS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos entender esse processo por meio de um exemplo numérico:
Seja um recipiente com 5000L de água e 20 kg de sal, inicialmente. Insere-se, no recipiente, uma solução (água salgada) com uma
concentração de 0,05 kg de sal por litro de água, a uma taxa fixa de 50L/min. A solução é misturada completamente e tem uma saída do
tanque com uma taxa de 50 L/min. Determine a quantidade máxima de sal que permanece no recipiente.
RESOLUÇÃO
Nosso problema é calcular quanto de sal permanece no tanque depois de certo tempo. Seja s(t) a quantidade de sal, em kg, depois de t
minutos. Para t = 0, teremos apenas a quantidade de sal na solução inicial – 20 kg.
A taxa de variação do sal com o tempo será dada por
ds
dt
. Essa taxa será dada pela diferença entre a taxa de entrada, TE, e a taxa de saída, TS, do sal no tanque, ou seja:
DS
DT
= TE − TS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A taxa de entrada, em nosso exemplo, seria dada por 0,05 kg/L vezes 50L/min, de modo que TE = 2,50 kg/min.
Como a taxa de saída é similar à taxa de entrada — no exemplo,de 50L/min —, o recipiente sempre fica com sua capacidade fixa, de 5000L.
Considera-se que o sal não aumenta o volume da água.
A taxa de saída do sal será de s(t)/5000 kg/L, que mede a quantidade de sal no recipiente pelo volume total, vezes a vazão de saída de
50L/min. Assim, TS = s(t)/100 kg/min
DS
DT
= 2, 50 −
S
100
=
250 − S
100
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que se trata de uma equação diferencial separável e linear. Com isso, podemos solucionar a equação pelos métodos estudados no
módulo anterior:
DS
250 − S
=
1
100
DT → ∫
DS
250 − S
= ∫
1
100
DT + C, C REAL
−LN|250 − S| =
T
100
+ C
, C REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como t = 0, temos s = 20 kg
−LN|250 − 20| =
0
100
+ C → C = − LN230
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De modo que:
−LN|250 − S| =
T
100
− LN230
250 − S = EXP LN230 −
T
100
= 230EXP −
T
100
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
S(T) = 250 − 230EXP −
T
100
, COM T EM MINUTOS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VEJA QUE PODEMOS OBTER A QUANTIDADE DE SAL PARA QUALQUER INSTANTE T. ALÉM
DISSO, PODEMOS DETERMINAR A MÁXIMA QUANTIDADE DE SAL NO RECIPIENTE.
CONFORME T TENDE PARA INFINITO, A EXPONENCIAL TENDE A ZERO, DE FORMA QUE
SMAX = 250KG.
CIRCUITOS ELÉTRICOS RL OU RC
A resolução de circuitos elétricos com uma resistência e um capacitor em série, denominado RC, ou de um resistor e um indutor em série,
denominado RL, podem ser solucionados por meio de uma equação diferencial de primeira ordem. Vejamos:
Usando a lei das malhas para o circuito RL, podemos escrever a seguinte equação diferencial:
V(T) − RI(T) − L
DI(T)
DT
= 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conhecendo-se a tensão da fonte v(t) e os componentes do circuito, obtém-se a função i(t), que fornece a corrente elétrica com o tempo.
Trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes e não homogênea:
( ) ( )
( )
DI(T)
DT
+
R
L
I(T) =
1
L
V(T)
A tensão no indutor pode ser obtida por
vL(t) = L
di(t)
dt
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o caso do circuito RC, usa-se a lei dos nós do circuito elétrico. O modelo do circuito é obtido pela equação:
V(T) − VC(T)
R
= C
DVC(T)
DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esse modelo, dada a tensão da fonte v(t) e os elementos do circuito, obtém-se a dependência da tensão no capacitor com o tempo, vc(t).
Para se obter a corrente i(t), pode-se fazer
i(t) = C
dvc(t)
dt
.
Seja um circuito RL em série com resistência de 15 Ω e indutor de 5 H. A tensão é fornecida por uma fonte contínua de 50 V, que é ligada em t
= 0s. Determine a corrente após 1 s e a corrente limite do circuito.
RESOLUÇÃO
Conforme estudamos, o modelo utilizado será dado pela equação diferencial:
di(t)
dt
+
R
L
i(t) =
1
L
v(t)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema, temos:
di(t)
dt
+
15
5
i(t) =
1
5
50 →
di(t)
dt
+ 3i(t) = 10
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação diferencial linear do tipo
di(t)
dt
+ a(t)i(t) = b(t)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a(t) = 3 e b(t) = 10.
Iremos, agora, obter o fator integrante:
P(t) = exp ∫a(t)dt = exp ∫3 dt = e3t( ) ( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a integral, temos:
∫P(t)b(t)dt = ∫e3t10 dt =
10
3
e3t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
i(t) =
1
P(t) ∫P(t)b(t)dt + k =
1
e3t
10
3
e
3t
+ k
, k real
i(t) =
10
3
+ ke − 3tA , k real
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como circuito é ligado em t = 0s, então i(0) = 0, de modo que:
0 =
10
3
+ k → k = −
10
3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
i(t) =
10
3
1 − e − 3t A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando
i(1) =
10
3
1 − e − 3.1 = 3, 16 A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando
t → ∞
temos:
lim
t→ ∞
(t) =
10
3
(1 − 0) =
10
3
A
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
JUROS COMPOSTOS CONTINUAMENTE
A modelagem também pode ser aplicada na matemática financeira. Considere uma aplicação financeira com um valor inicial A0 aplicado a
uma taxa de juros anuais representada por r. O juro do investimento será composto n vezes ao ano. Assim, em cada período de composição, a
taxa de juros será dada por uma taxa de
r
n
. Após período de n vezes o período de composição t, teremos um capital calculado por:
( ) ( )
( )
( )
A = A0 1 +
R
N
NT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por exemplo, seja um investimento inicial de R$ 1.000,00 com uma taxa de 5% ao ano, mas composto de diversas formas. Após 2 anos de
investimento, o capital será:
COMPOSIÇÃO ANUAL
Em um período de dois anos, teremos dois instantes de composição de juros com uma taxa de 5%:
A = 1.000 1 +
0, 05
1
2
= 1.102, 50
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COMPOSIÇÃO SEMESTRAL
Em um período de dois anos, teremos quatro instantes de composição de juros com taxa de
1
2
5% = 2, 5%
:
A = 1.000 1 +
0, 05
2
4
= 1.103, 81
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COMPOSIÇÃO MENSAL
Em um período de dois anos, teremos 24 instantes de composição de juros com taxa de
1
12
5%
:
A = 1.000 1 +
0, 05
12
24
= 1.104, 94
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, agora, considerar que n tende ao infinito. Nesse caso, seria denominado juro composto continuamente da seguinte forma:
A = LIM
N→ ∞
A0 1 +
R
N
NT
= A0 LIM
N→ ∞
1 +
R
N
N
R
RT
= A0 LIM
N→ ∞
1 +
R
N
N
R
RT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O limite dentro dos colchetes é um limite fundamental que vale e, de modo que:
( )
( )
( )
( )
( ) [( ) ] [ ( ) ]
A = A0E
RT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando ambos os lados, em relação ao tempo, obtemos um modelo com taxas de juros compostas continuamente:
DA
DT
= A0RE
RT = RA(T)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o modelo é uma equação do primeiro grau que diz que a taxa de crescimento do investimento é proporcional ao seu valor.
Um capital de R$ 10.000,00 é investido em uma aplicação com taxa de juros de 5% ao ano composta continuamente. Determine a equação
que modele o problema e o valor de capital, após dois anos de aplicação.
RESOLUÇÃO
Conforme estudado o modelo será dado por:
DA
DT
= A0RE
RT = RA(T)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema, temos:
DA
DT
= 0, 05 A(T)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação, teremos
DA
DT
= 0, 05 A →
DA
A
= 0, 05 DT → LNA = 0, 05T + K → A(T) = EXP(0, 05T)EXP(K)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, A(0) = 10.000 = exp (k)
A(T) = 10.000E0 , 05T
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma que:
A(2) = 10.000E0 , 05.2 = 10.000E0 , 1 = 11.051, 71
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRAJETÓRIAS ORTOGONAIS A UMA FAMÍLIA DE CURVAS
Considere uma família de curvas no R2. Nesse caso, podemos obter uma trajetória ortogonal, em qualquer ponto
x0, y0
pertencentea essas curvas, seguindo o seguinte conceito:
Por meio das equações das curvas, obtemos a relação entre y e x
Derivamos y em relação a x, obtendo o coeficiente angular, isto é, a inclinação da reta tangente às curvas em qualquer ponto.
A inclinação da trajetória ortogonal é obtida pela troca do sinal e pela inversão do coeficiente angular da reta tangente, obtendo-se uma
equação diferencial a ser solucionada.
Vejamos a situação a seguir:
Considere uma família de curvas dadas pela equação
y = kx2
, k real. Determine as trajetórias ortogonais a essa família de curvas dadas.
RESOLUÇÃO
A equação da família de curvas fornece a relação entre y e x, isto é,
y = kx2
. Derivando em relação a x, ambos os lados, usando a derivação implícita, temos:
DY
DX
= 2KX
( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos de obter uma inclinação que independa de k. Como
y = kx2 → k =
y
x2
, temos:
DY
DX
= 2
Y
X2
X = 2
Y
X
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então
MT =
DY
DX
= 2
Y
X
→ MORT =
DY
DX
= −
X
2Y
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Precisamos, agora, resolver a equação diferencial
Y′ = −
X
2Y
→ 2YY ′ = − X → 2Y DY = − XDX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando o método da equação separável, teremos:
∫2Y DY = ∫−X DX → Y2 = −
1
2
X2 + C →
X2
2
+ Y2 = C
, C REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que são equações de uma família de elipses centradas na origem.
TEORIA NA PRÁTICA
Você deseja fazer uma aplicação bancária com um capital de R$ 1.000,00. Seu gerente ofereceu um investimento novo que fornecia uma taxa
de juros anual de 5% com composição contínua.
Para ajudar na sua decisão, o gerente informou que se você investisse com uma composição continua, após dez anos, seu capital seria dez
por cento maior, se a composição fosse mensal. Use seus conhecimentos de cálculo para verificar a veracidade da informação dada pelo
gerente.
RESOLUÇÃO
Temos, portanto, um investimento de juros anual de 5%. Se aplicarmos com composição de juros mensal durante cinco anos, teremos 10 x 12
= 120 instantes de composição com juros de
1
12
5%
:
A = 1.000 1 +
0, 05
12
120
= 1.647, 00
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para uma aplicação de juros contínua, deve-se calcular uma equação diferencial do tipo:
dA
dt
= rA(t)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os dados do problema:
dA
dt
= 0, 05 A(t)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo a equação:
dA
dt
= 0, 05 A →
dA
A
= 0, 05 dt → lnA = 0, 05t + k → A(t) = exp(0, 05t)exp(k)
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, A(0) = 1.000 = exp (k)
A(t) = 1.000e0 , 05t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, após dez anos, teremos
A(10) = 1.000e0 , 05.10 = 1.000e0 , 5 = 1.648, 72
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O valor obtido não é 10% maior do que a composição mensal, que obteve um capital de 1.647,00.
MÃO NA MASSA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
( )
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Neste tema, conhecermos e aplicamos o conceito das equações diferenciais de primeira ordem. Estudamos, inicialmente, os conceitos iniciais
e a classificação da equação diferencial, principalmente quanto ao grau e à ordem.
Vimos, em seguida, alguns métodos de resolução de equações diferenciais de primeira ordem. Por fim, aplicamos a resolução das equações
diferenciais de primeira ordem na modelagem de alguns problemas em diversas áreas.
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo. Vol. 4. 5 ed. São Paulo: LTC, 2013.
STEWART, J. Cálculo. Vol. 2. 5 ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008.
THOMAS, G. B. Cálculo. Vol. 1. 12 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Técnicas de solução de sistemas de equações diferenciais e algébricas: aplicação em sistemas de energia elétrica
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
CURRÍCULO LATTES
DESCRIÇÃO
Resolução de equações diferenciais de segunda ordem.
PROPÓSITO
Identificar, classificar e solucionar equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as soluções gerais para resolução de uma EDO de segunda ordem
MÓDULO 2
Solucionar as equações lineares de segunda ordem homogêneas
MÓDULO 3
Solucionar as equações lineares de segunda ordem não homogêneas
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
MÓDULO 1
Reconhecer as soluções gerais para resolução de uma EDO de segunda ordem
SOLUÇÃO GERAL DA EDO DE SEGUNDA ORDEM
INTRODUÇÃO
Em nossa vida prática, iremos nos deparar com problemas que serão modelados por uma equação diferencial de segunda ordem.
Não existe um método único que resolva qualquer equação diferencial de segunda ordem. Assim, precisamos definir algumas ferramentas que
nos permitam garantir a existência e a unicidade de uma solução e, até mesmo, um caminho de como obtê-las.
Neste módulo, analisaremos alguns teoremas que nos garantirão a obtenção de soluções para uma equação diferencial linear de segunda ordem.
TEOREMA DE SOLUÇÕES GERAIS
Neste tema, estamos tratando de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem.
Inicialmente, vamos lembrar os conceitos de equações diferenciais quanto as suas classificações.
Uma equação diferencial será ordinária se apresentar apenas uma variável independente. Em outras palavras, na equação aparecerão apenas as
derivadas da incógnita, em suas diversas ordens, em relação a uma única variável independente. Por exemplo:
Onde a incógnita só depende da variável independente .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A ORDEM SERÁ DADA PELA DERIVADA DE MAIS ALTA ORDEM QUE
APARECE NA EQUAÇÃO. COMO ESTAMOS TRABALHANDO COM
EQUAÇÕES DE SEGUNDA ORDEM, OBRIGATORIAMENTE TEREMOS UMA
DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM E NENHUMA DERIVADA DE ORDEM
SUPERIOR À SEGUNDA.
A equação diferencial será linear se:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.
Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem apenas depender da variável
independente ou serem números reais.
Por exemplo:
A equação diferencial é linear.
A equação não é linear por dois motivos: aparece um coeficiente, que multiplica a derivada de segunda ordem, que
depende da incógnita y, e a derivada de primeira ordem aparece elevada ao quadrado.
Desta forma, pode-se dizer que uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem terá a forma:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde são funções que dependem apenas da variável independente. O primeiro teorema que analisaremos para este tipo de
equação será o teorema da existência e unicidade.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA E UNICIDADE
Seja a equação linear de segunda ordem:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se as funções forem contínuas em um intervalo pertence a este intervalo, a equação diferencial terá
solução, e somente uma solução, neste intervalo que atenda às duas condições iniciais de e .
ESTE TEOREMA É IMPORTANTE, POIS GARANTE A EXISTÊNCIA DA
SOLUÇÃO E, APÓS OBTÊ-LA, INDEPENDENTEMENTE DO MÉTODO, ELE
GARANTE QUE NÃO EXISTIRÁ OUTRA QUE ATENDA ÀS CONDIÇÕES
INICIAIS.
Em outras palavras, mesmo que consigamos obter a soluçãosimplesmente por observação e substituição, você garante que ela será única.
EXEMPLO 1
Mostre que é possível resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial que atenda as condições
. Determine o intervalo dessa solução.
Observe que as funções de x que são os coeficientes da equação diferencial serão:
 que é contínua para todo com .
 que é contínua para todo .
 que é contínua para todo .
Assim, pelo teorema da unicidade e existência, sempre teremos uma única solução no intervalo que os coeficientes forem contínuos. Desta forma,
podemos garantir a existência e a unicidade da solução para os intervalos ou .
Como , que é o ponto do problema de valor inicial, pertence a um deste intervalos, vai existir a solução do problema que atende às duas
condições iniciais , e ela será única.
EXEMPLO 2
Determine a solução da equação diferencial e que atenda ao problema de valor inicial .
Não estudamos ainda nenhum método para resolução de equação diferencial de segunda ordem, mas já conhecemos o teorema da existência e
unicidade.
Repare que todos os coeficientes da equação diferencial são contínuos para todos os valores de . Assim, podemos garantir que sempre existirá
uma solução única para o problema de valor inicial, sendo o caso, portanto, para , que é dado no enunciado.
Observando a equação pode se verificar que a função é uma solução da equação. Veja que, se , e 
A solução atende às condições iniciais. Desta forma, pelo teorema da existência e unicidade, esta será a única solução possível para este
problema inicial dado no enunciado.
A solução do exemplo anterior é denominada por alguns autores como solução zero. Fica claro que se conseguimos determinar a solução por
observação, podemos usar o teorema estudado e garantir que ela é única.
O fato é que, na maioria das vezes, não é simples obter a solução apenas pela observação, faz-se necessário o estudo de outros métodos de
resolução, como veremos nos próximos módulos.
ATENÇÃO
A solução para o problema de valor inicial e , atendendo a continuidade das funções que estão nos coeficientes, existe e
é única, mas uma condição do tipo e , com , pode não existir ou até mesmo não ser única.
Quando as duas condições iniciais envolvem e para o mesmo ponto , diz-se que é um problema de valor inicial. Se
as duas condições envolverem dados de pontos diferentes, dizemos que se trata de um problema de valor de contorno.
ASSIM, O TEOREMA GARANTE A EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL, MAS NÃO GARANTE A EXISTÊNCIA E
UNICIDADE DE PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO.
ATENÇÃO
Uma outra observação importante: como a equação diferencial de segunda ordem tem uma derivada segunda, a sua solução geral dependerá
sempre de duas constantes, necessitando, portanto, de duas condições para se obter uma solução particular.
A resolução de uma equação diferencial de segunda ordem começa, na maioria das vezes, pelo cálculo da equação diferencial homogênea, isto
é, com . Portanto, vamos iniciar nossos estudos pela equação homogênea.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Esse teorema permite obter uma solução da equação diferencial baseada no conhecimento de pelo menos duas soluções particulares.
SE SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR DE
SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA E SÃO CONSTANTES REAIS,
ENTÃO A SEGUINTE EQUAÇÃO TAMBÉM SERÁ SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos demonstrar juntos este teorema.
Suponha que conhecemos a solução da equação diferencial, assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora testar se a função será solução. Usando as propriedades da diferenciação, se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como são soluções, as equações dentro dos parênteses serão nulas. Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, será também solução da equação diferencial dada.
O TEOREMA NOS MOSTRA SE CONHECEMOS DUAS SOLUÇÕES
PARTICULARES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. PODEMOS CRIAR UMA
FAMÍLIA DE SOLUÇÕES FAZENDO UMA COMBINAÇÃO LINEAR ENTRE
AS SOLUÇÕES CONHECIDAS.
EXEMPLO
Seja a equação diferencial . Descubra algumas soluções para esta equação diferencial sabendo que e e 
são soluções da equação diferencial.
Vamos inicialmente verificar se as funções dadas são realmente solução da equação diferencial.
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo solução:
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo solução.
Pelo teorema estudado, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim:
, com e reais.
Assim:
 é uma possível solução.
 também é uma possível solução, pois
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SAIBA MAIS
O princípio da superposição só é válido para equações diferenciais lineares homogêneas. No caso de uma equação linear não homogênea, ou até
mesmo de uma equação diferencial não linear, o teorema pode falhar.
TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
LINEAR HOMOGÊNEA
Agora vamos ver um teorema mais poderoso ainda. A demonstração deste teorema é bastante complexa e não será objeto deste módulo.
O TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
HOMOGÊNEA NOS DIZ QUE A SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL LINEAR DE SEGUNDA ORDEM PODE SER OBTIDA ATRAVÉS
DE UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE DUAS SOLUÇÕES LINEARMENTE
INDEPENDENTES.
Este teorema é mais poderoso, pois nos permite não obter apenas um conjunto de soluções, mas definir uma solução geral para equação
diferencial, isso é, uma solução que englobe todas as soluções possíveis.
Inicialmente, vamos definir o que são soluções linearmente independentes. Duas soluções são linearmente independentes se uma não pode ser
obtida através da outra por uma multiplicação por um número real.
Por exemplo, e são linearmente dependentes, pois, a partir de uma solução, obtemos a outra multiplicando apenas por um
número real. Agora e são linearmente independentes, uma vez que não existe nenhum número real que possamos multiplicar
na primeira para obter a segunda e vice-versa.
ATENÇÃO
Uma equação diferencial linear de segunda ordem sempre terá duas funções linearmente independentes que serão solução da equação. Estas
soluções são denominadas de funções ou soluções fundamentais.
Vamos agora descrever o teorema de uma forma precisa.
SE E SÃO SOLUÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES DA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENTÃO, COM E REAIS, SERÁ A SOLUÇÃO GERAL DESTA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se que sempre vão existir. Temos apenas que descobrir quem elas são. As funções serão as funções fundamentais desta
equação e, através delas, será definida uma solução geral que contém todas as soluções da equação diferencial fornecida.
EXEMPLO
Seja a equação diferencial . Sabendo que e são soluções da equação, determine uma solução particular que atenda
 e .
A EDO fornecida é linear e homogênea.
Repare que as soluções dadas são linearmente independentes. Assim, podemos montar a solução geral na forma:
, e reais
Como os coeficientes são constantes, podemos garantir pelo teorema da existência e unicidade que o problema de valor inicial sempre terá
solução única.
Substituindo as duas condições:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalSe 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim , então .
A solução particular será .
Neste módulo, estudamos teoremas que nos garantem e nos mostram como definir soluções gerais para equação diferencial linear de segunda
ordem. No próximo módulo, vamos estudar métodos que nos permitam resolver e obter a solução de equações diferenciais de segunda ordem
homogêneas.
Agora, você está pronto para fixar o conteúdo através dos exercícios.
TEORIA NA PRÁTICA
Um determinado problema prático foi modelado através de uma equação diferencial denominada de equação de Euler de segunda ordem:
Determine:
a) Para que intervalo podemos garantir que sempre existirá uma solução única para um problema de valor inicial para esta equação.
b) Sabendo que e são solução desta EDO, determine a solução geral da equação dada.
c) Determine uma solução particular que atenda e .
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDA ORDEM
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O INTERVALO NO QUAL PODEMOS GARANTIR QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
 TENHA SOLUÇÃO ÚNICA PARA UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
A) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA DUAS FUNÇÕES QUE SÃO LINEARMENTE INDEPENDENTES.
A) e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM, PARA
QUAL PODE-SE GARANTIR A EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DE VALOR INICIAL
NO INTERVALO ONDE SEUS COEFICIENTES SÃO CONTÍNUOS.
A) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
² ²
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM . CONSIDERE QUE 
SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DADA. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA.
A) Não podemos garantir que é solução da equação diferencial.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) Podemos garantir que sempre existirá uma solução única para o problema de valor inicial o intervalo 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) Trata-se de uma equação não linear.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) Só podemos garantir que são soluções da equação dada se forem linearmente independentes.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) Todas as alternativas anteriores são falsas.
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5. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL . SABE-SE QUE E SÃO SOLUÇÕES
DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL.
A) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL COM . SABE-SE QUE AS FUNÇÕES E 
SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DADA. DETERMINE UMA SOLUÇÃO QUE ATENDA A CONDIÇÃO DE E 
.
A) 
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B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Determine o intervalo no qual podemos garantir que a equação diferencial tenha solução única para
um problema de valor inicial.
A alternativa "B " está correta.
Pelo teorema da existência e unicidade, o problema de valor inicial terá solução única para o intervalo no qual os coeficientes da equação sejam
contínuos.
Em sua forma padrão:
Observando os coeficientes se verifica que:
 é contínua para todo .
 será contínua para todo x diferente de zero.
 será contínua para todo onde .
Portanto, é possível garantir que terá solução única para .
Sendo alternativa correta a letra b.
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2. Marque a alternativa que apresenta duas funções que são linearmente independentes.
A alternativa "D " está correta.
Duas funções serão linearmente dependentes se conseguirmos sair de uma e chegar à outra apenas pela multiplicação por um número real.
Na letra a, basta multiplicarmos a primeira função por – 3 para obtermos a segunda.
Na letra b, lembre-se que . Assim, basta multiplicar a primeira função por 3 que se obtém a segunda.
Na letra C, lembre-se que . Basta, portanto, multiplicar a primeira por 6 que se obtém a segunda.
A letra d é a resposta, pois não existe nenhum número que conseguimos multiplicar a primeira função para obter a segunda.
Na letra e, lembre-se que . Sendo, portanto, a mesma função.
Portanto as letras a, b, c e e são funções linearmente dependentes e a letra d apresenta o único conjunto linearmente independente.
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3. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de segunda ordem, para qual pode-se garantir a existência de uma única
solução para o problema de valor inicial no intervalo onde seus coeficientes são contínuos.
A alternativa "D " está correta.
Pelo teorema da existência e unicidade, pode-se garantir a existência da solução única para os problemas de valor inicial no intervalo em que
seus coeficientes são contínuos quando a equação for linear e homogênea.
As equações das letras a e c não são homogêneas.
As equações das letras b e e não são lineares.
Assim, a única alternativa que apresenta uma EDO linear e homogênea é a alternativa d que é a resposta correta.
4. Seja a equação diferencial de segunda ordem . Considere que são soluções da equação dada.
Marque a alternativa verdadeira.
A alternativa "E " está correta.
Letra a
Trata-se de uma equação linear homogênea. Como são soluções da equação, pelo teorema da superposição, qualquer combinação linear
entre estas funções também é solução da equação. Assim, podemos garantir que é uma solução.
Letra b
Pelo teorema da existência e unicidade, garantimos uma solução única para os problemas de valor inicial no intervalo em que os coeficientes são
contínuos. Analisando os coeficientes, verifica-se que não são contínuos para . Como o intervalo possui o zero, não
podemos garantir que sempre existirá uma solução única para o problema.
Letra c
Todos os coeficientes independem de . Além disso, como suas derivadas estão com expoente unitário. Assim, é uma equação linear.
Letra d
Trata-se de uma equação linear homogênea. Como são soluções da equação, pelo teorema da superposição, qualquer combinação linear
entre estas funções também é soluçãoda equação. Assim, podemos garantir que é uma solução. A necessidade de serem
independentes é para que a combinação linear entre as duas seja uma solução geral, que não é o caso.
Assim como as afirmativas da letra a, b, c e d são falsas, a alternativa correta é a da letra e.
5. Seja a equação diferencial . Sabe-se que e são soluções da equação diferencial. Marque a
alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial.
A alternativa "C " está correta.
Pelo teorema da superposição, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim:
, com e reais.
Analisando as alternativas, apenas a alternativa da letra c pode ser colocada na forma acima.
Sendo alternativa correta a letra c.
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6. Seja a equação diferencial com . Sabe-se que as funções e são soluções da equação dada.
Determine uma solução que atenda a condição de e .
A alternativa "A " está correta.
Solução geral da equação diferencial segunda ordem
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE QUAIS OS INTERVALOS NO QUAL PODEMOS GARANTIR QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL
 TENHA SOLUÇÃO ÚNICA PARA UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
2. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL . SABE-SE QUE E SÃO SOLUÇÕES DA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL:
A) 
B) 
C) 
D) 
E) 
GABARITO
1. Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial tenha solução única
para um problema de valor inicial.
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito do teorema da existência e unicidade.
Pelo teorema da existência e unicidade, o problema de valor inicial terá solução única para o intervalo no qual os coeficientes da equação sejam
contínuos.
Em sua forma padrão:
Observando os coeficientes, se verifica que:
 é contínua para todo x maior que zero. Lembre-se que só existe raiz para , mas como x está no denominador não pode assumir
o valor zero;
 será contínua para todo .
Portanto, é possível garantir que terá solução única para .
Assim, a resposta correta é a letra A.
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2. Seja a equação diferencial . Sabe-se que e são soluções da equação diferencial. Marque a
alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial:
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito do teorema da superposição.
Pelo teorema da superposição, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim:
, com e reais.
Analisando as alternativas, apenas a alternativa b pode ser colocada na forma acima.
Assim, a resposta correta é a letra b
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MÓDULO 2
Solucionar as equações lineares de segunda ordem homogêneas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM
HOMOGÊNEA
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, apontamos alguns teoremas que garantem a existência e unicidade de uma solução para equação diferencial linear de
segunda ordem. Também obtivemos uma solução geral a partir do conhecimento de soluções particulares da equação.
Neste módulo, apresentaremos métodos de resolução da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES HOMOGÊNEAS DE
COEFICIENTES CONSTANTES
O primeiro passo é a revisão dos conceitos de coeficientes constantes e de coeficientes variáveis de uma equação diferencial para
reconhecermos em que caso está a equação estudada.
Os coeficientes da equação diferencial são as funções que multiplicam a variável independente e/ou suas derivadas. Se os coeficientes são todos
números reais, a equação tem coeficientes constantes. Caso algum destes termos dependa da variável independente, a equação diferencial
será de coeficientes variáveis.
Veja os exemplos:
 é uma equação linear de coeficientes constantes.
 é uma equação linear de coeficientes constantes.
 é uma equação linear de coeficientes variáveis.
 é uma equação linear de coeficientes variáveis.
Neste item, o método que estudaremos é aplicado em uma equação linear de coeficientes constantes homogênea. Estas equações serão do tipo
, com reais.
Pelo teorema da existência e unicidade, como as funções coeficientes serão constantes, sendo contínuas para todo , as soluções da EDO serão
sempre válidas, e não é necessário definir o intervalo de sua solução.
Da mesma forma, podemos concluir que:
UMA EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA DE
COEFICIENTES CONSTANTES SEMPRE TERÁ DUAS SOLUÇÕES
LINEARMENTE INDEPENDENTES , APLICÁVEIS EM QUALQUER
INTERVALO. SUA SOLUÇÃO GERAL PODERÁ SER EXPRESSA COMO
, COM E REAIS.
O problema agora se restringe a obter as soluções para uma equação do tipo:
, COM , E REAIS
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Se analisarmos os possíveis candidatos, acharemos alguns tipos de funções que atendem à equação. Repare que estamos procurando uma
função em que uma constante vezes sua segunda derivada, mais uma outra constante vezes sua primeira derivada, mais uma constante vezes a
função resulte em zero.
Uma função que atende a este caso é a função exponencial
,
real.
Veja, se
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Portanto, substituindo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim a função será solução se e somente se:
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ESTA EQUAÇÃO É DENOMINADA DE EQUAÇÃO AUXILIAR OU
EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA.
Será uma equação do segundo grau que pode obter três possibilidades quanto as suas raízes: duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais
iguais ou duas raízes complexas conjugadas.
Assim, são obtidas duas raízes reais e diferentes obtidas pela equação:
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Vamos analisar cada caso. Observe que, obtendo estas duas soluções, elas serão linearmente independentes e poderão definir a solução geral
da equação diferencial.
Caso 1: raízes reais e diferentes
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for maior ou igual a zero:
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Para este caso, as duas funções fundamentais soluções da equação serão as funções e , onde
são as raízes reais da equação característica.
Estas funções serão linearmente independentes. Assim, a solução geral da equação diferencial será dada por:
, COM
REAIS
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Caso 2: raízes reais e iguais
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for igual a zero:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para este caso, as duas soluções fundamentais serão e , onde
é a raiz real da equação característica. As duas funções serão linearmente independentes. A solução geral da equação diferencial será dada por:
, COM E REAIS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Caso 3: raízes complexas 
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for menor que zero:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, as duas raízes serão números complexos conjugados e .
Neste caso, as duas funções fundamentais serão e , onde são as raízes complexas da equação característica.
As duas funções serão linearmente independentes. A solução geral da equação diferencial será dada por:
 e , com e reais
Para o caso particular em que as raízes são imaginários puros, isto é, , a solução geral será dada por:
, com e reais
Vamos ver um exemplo para cada caso:
EXEMPLO 1
Determine a solução geral da equação diferencial .
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientesconstantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
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O discriminante da equação será
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, terá duas raízes reais e distintas.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções fundamentais serão e .
Portanto, a solução geral será dada por:
EXEMPLO 2
Determine a solução geral da equação diferencial .
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante da equação será .
Logo, terá uma raiz real dupla.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções fundamentais serão e .
Portanto, a solução geral será dada por:
Uma observação importante: as condições iniciais ou as condições de contorno devem ser aplicadas à solução geral da EDO, isso é, à solução
homogênea mais solução particular.
EXEMPLO 3
Determine a solução da equação diferencial que atenda às condições 
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante da equação será
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Logo, terá duas raízes complexas.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As funções fundamentais serão e . Veja que e 
Portanto, a solução geral será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando as condições para obter a solução particular:
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Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, então
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Portanto, a solução particular será
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA COEFICIENTES VARIÁVEIS NÃO EXISTE MÉTODOS SIMPLES DE
RESOLUÇÃO, A NÃO SER EM CASOS PARTICULARES.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES HOMOGÊNEAS DE
COEFICIENTES VARIÁVEIS
Como já informado, não existe um método simples para obtenção de solução de uma equação linear homogênea de coeficientes variáveis.
Uma primeira forma é tentar verificar por observação duas soluções independentes da equação diferencial. Se são soluções
independentes da equação diferencial, a solução geral será dada por , com reais.
Neste tópico, veremos o caso de algumas equações particulares. O primeiro caso será para equação do tipo , isto é, não existe
termo .
Faremos uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será . Assim:
Então:
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, ONDE É UM NÚMERO REAL
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como , então:
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação , para .
Faremos uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y’. Assim:
Então:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim 
Dessa forma:
, onde é um número real
Como , então:
, e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Outro método estudado será para um tipo de equação diferencial ordinária linear homogênea com constante variáveis denominada equação de
Euler.
A equação de Euler terá a forma .
Em sua forma padrão, , para x diferente de zero.
Limitaremos o intervalo de solução da equação de Euler para ou para . Escolheremos o intervalo .
Para resolver a esta equação, vamos usar uma mudança de variável de forma que . Portanto, 
Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ATENÇÃO
Repare que foi transformada em uma equação de coeficientes constantes, e pode ser resolvida pelo método estudado anteriormente.
EXEMPLO
Determine a solução da equação diferencial para .
Observando a equação, podemos verificar que trata-se de equação de Euler.
Colocando na forma padrão 
Fazendo a substituição de variável 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformou-se em uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes.
A equação característica será
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é uma raiz real dupla.
Assim, 
Mas 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
, e reais
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o movimento de uma mola com um corpo de massa m preso em sua extremidade que está sujeita a uma força de atrito. Esta força de
resistência é denominada força de amortecimento.
Pode-se modelar o movimento através da equação: 
K é a constante da mola e p é a constante de amortecimento. O movimento foi modelado através da seguinte equação:
Determine a equação do movimento da mola.
RESOLUÇÃO
EDO LINEAR HOMOGÊNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES
MÃO NA MASSA
1. QUAL DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A SEGUIR TERÁ COMO SOLUÇÃO GERAL UMA FUNÇÃO DO TIPO
, COM A, B E K REAIS. .
A) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , com e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL QUE ATENDA ÀS CONDIÇÕES
INICIAIS .
A) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO .
A) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARA X > 0.
A) reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Qual das equações diferenciais a seguir terá como solução geral uma função do tipo , com a, b e k reais. .
A alternativa "C " está correta.
As equações que se encontram nas alternativas são equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
A equação que apresenta uma solução geral do tipo é aquela que apresenta uma equação caraterística com uma raiz real
dupla, isto é, com discriminante igual a zero.
A única alternativa que apresenta este tipo de equação é da letra c, as demais apresentam o discriminante positivo ou negativo.
Portanto, a alternativa correta é da letra c.
2. Determine a solução geral da equação diferencial .
A alternativa "A " está correta.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Assim, precisamos achar as raízes da equação característica.
O discriminante da equação será .
Logo, terá duas raízes reais e distintas.
As funções fundamentais serão e .
Portanto, a solução geral será dada por , que está na letra a.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a solução da equação diferencial .
A alternativa "C " está correta.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Assim, precisamos achar as raízes da equação característica.
O discriminante da equação será .
Logo, terá duas raízes complexas.
As funções fundamentais serão e . Veja que e .
Portanto, a solução geral será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a solução da equação diferencial que atenda às condições iniciais .
A alternativa "D " está correta.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Assim, precisamos achar as raízes da equação característica.
O discriminante da equação será .
Logo, terá uma raiz real dupla.
As funções fundamentais serão e .
Portanto, a solução geral será dada por:
Aplicando as condições para obter a solução particular:
Se , então:
Como então .
Então, a solução particular será , sendo a alternativa correta da letra d.
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5. Determine a solução da equação .
A alternativa "B " está correta.
Vamos fazer uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será , assim:
Então:
Resolvendo a integral 
Fazendo 
Como então 
Dessa forma:
Assim 
Então: , onde é um número real.
Como , então .
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6. Determine a solução da equação diferencial para x > 0.
A alternativa "A " está correta.
EDO Linear Homogênea de Coeficientes Variáveis
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) , com e reais.
B) , com e reais.
C) , com e reais.
D) , com e reais.
E) , com e reais.
2. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO , PARA .
A) , e reais.
B) , e reais.
C) , e reais.
D) , real.
E) , real.
GABARITO
1. Determine a solução geral da equação diferencial .
A alternativa "C " está correta.
Você entendeu o conceito da resolução da EDO linear homogênea de coeficiente constante. Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de
coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
O discriminante da equação será .
Logo, terá duas raízes reais e distintas.
As funções fundamentais serão e .
Portanto, a solução geral será dada por .
Assim, a resposta correta é a letra c.
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2. Determine a solução geral da equação , para .
A alternativa "B " está correta.
Você entendeu o conceito da resolução da EDO linear homogênea de coeficiente variáveis.
Vamos fazer uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será , assim:
Então:
Assim: .
Então:
, onde é um número real
Como , então:
, e reais
Logo, a resposta correta é a letra b.
MÓDULO 3
Solucionar as equações lineares de segunda ordem não homogêneas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM NÃO
HOMOGÊNEA
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, estudamos o método de resolução de equações lineares homogêneas.
Neste módulo, estudaremos o método para resolução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares não homogêneas.
A solução geral da equação não homogênea é definida pela soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Neste módulo, também abordaremos dois métodos para obter a equação particular para uma equação diferencial não homogênea: método dos
parâmetros a serem determinados e o método das variações dos parâmetros.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS
O primeiro ponto importante é que a solução da equação não homogênea está diretamente relacionada à solução da equação homogênea
correspondente, que denominamos equação homogênea associada.
Para solução da equação não homogênea, o primeiro passo é resolver a equação associada . Esta solução, que
pode ser obtida pelos métodos estudados no módulo anterior, é denominada solução homogênea ou complementar.
Para complementar esta solução de forma que atenda à equação diferencial não homogênea utilizaremos o teorema da solução geral da EDO
linear não homogênea.
TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EDO LINEAR NÃO
HOMOGÊNEA
SE É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
NÃO HOMOGÊNEA
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COM , AS FUNÇÕES CONTÍNUAS EM UM INTERVALO
 COMPÕEM A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA ASSOCIADA, ENTÃO, A SOLUÇÃO GERAL PARA ESSA
EQUAÇÃO NÃO HOMOGÊNEA NESTE INTERVALO É:
 , REAIS
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ONDE SÃO SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DA EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA.
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Desta forma, basta obter uma solução particular, mesmo por inspeção e juntar à solução homogênea associada para chegar à solução geral para
equação não homogênea.
ATENÇÃO
Um ponto importante: existem várias soluções particulares, qualquer uma pode ser usada na composição da solução geral
EXEMPLO
Determinar a solução da equação .
Necessitamos resolver inicialmente a equação homogênea associada.
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Temos a equação característica
 OU 
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Tem-se duas raízes reais e diferentes. Portanto, a solução da equação homogênea será:
, E REAIS
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Agora, é necessário definir uma solução particular que atendaa EDO não homogênea.
Por inspeção, necessitamos de uma função em que a diferença da segunda e primeira derivadas resulte no número 8. Vamos tentar a função
, , e reais.
Para tentar encontrar os valores da constante, substituiremos na EDO.
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na comparação termo a termo, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim: 
Repare que se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto: , satisfazendo a EDO não homogênea.
Obtivemos a solução geral da equação não homogênea:
, E REAIS
ATENÇÃO
Outro ponto importante é que, quando o termo não homogêneo for uma combinação de vários termos, podemos usar o princípio da superposição,
determinar uma solução particular para cada termo e usar a soma deles como a solução particular a ser utilizada.
Em outras palavras, se é a solução particular para equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E se é a solução particular para equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então é solução particular para equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usaremos este teorema na resolução de um exemplo do próximo item.
A obtenção da solução particular por inspeção nem sempre é simples. Existem métodos que ajudam a obtenção de uma solução particular para a
equação não homogênea, os quais veremos a seguir.
MÉTODO DOS PARÂMETROS A SEREM DETERMINADOS
Como estudado, a solução geral de uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem combina a solução geral da equação
homogênea associada a uma solução particular.
A solução particular pode, às vezes, ser obtida por pura inspeção, mas este procedimento nem sempre é simples. Existe um método denominado
parâmetros a serem determinados, ou parâmetros indeterminados, que permite obter a solução particular para alguns tipos de equações não
homogêneas.
O PRIMEIRO PASSO DESTE MÉTODO É FAZER UMA HIPÓTESE INICIAL
COMO SOLUÇÃO PARTICULAR. ESTA SOLUÇÃO PARTICULAR ENVOLVE
ALGUNS PARÂMETROS NUMÉRICOS A SEREM DETERMINADOS. TAIS
PARÂMETROS SERÃO DETERMINADOS DE FORMA QUE A SOLUÇÃO
ATENDA À SOLUÇÃO NÃO HOMOGÊNEA.
Este método deve ser utilizado para uma equação do tipo quando for do tipo ou um produto finito das
seguintes funções:
UMA CONSTANTE REAL
UM POLINÔMIO
UMA EXPONENCIAL
UMA FUNÇÃO DO TIPO COS(KX) OU SEN(KX)
Repare que é bem semelhante à forma por intuição no exemplo do item anterior.
Pode-se definir uma forma geral para o termo não homogêneo no qual podemos usar este método e/ou ,
onde é um polinômio de grau n, k e p números reais e n é um inteiro não negativo.
O método, portanto, consiste em substituir o termo em sua forma geral na equação diferencial e obter os valores dos parâmetros. Veja os
exemplos a seguir.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação .
Inicialmente, necessitamos achar a solução para equação homogênea associada:
Trata-se de uma EDO linear de coeficientes constantes. Resolvendo a equação característica:
Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução da equação homogênea será:
, e reais
Agora necessitamos de uma solução particular para atender a equação diferencial não homogênea.
A forma geral a ser utilizada será .
Observe que no termo não homogêneo só temos um polinômio. Assim, tanto a parte exponencial como a parte do podem ser retiradas.
Como o termo homogêneo é um polinômio, , vamos tentar como solução particular um polinômio também. Por hipótese tentaremos
, reais
No caso, quando o termo não homogêneo é um polinômio, devemos nos preocupar em não definirmos com número insuficiente de termo.
De forma contrária, ter número excedente de termo não representa problema, pois o próprio processo matemático irá zerar os termos em excesso,
como pode ser visto no exemplo realizado no item anterior.
Para tentar encontrar os valores da constante, substituiremos na EDO.
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na comparação termo a termo, temos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O polinômio obtido foi .
Teste novamente na equação diferencial e chegará ao resultado será .
Portanto, a solução geral da equação diferencial não homogênea será:
, E REAIS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o termo não homogêneo for uma soma de funções, devemos usar o princípio da superposição estudado no item anterior. Vide o exemplo
a seguir.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação .
A equação homogênea associada é 
A solução da equação homogênea foi calculada no exemplo anterior dada por:
, e reais
Agora o termo não homogêneo é composto por duas funções, e .
A solução particular que atende a parte do também já foi calculada no exemplo anterior.
Precisamos obter a solução particular que atende ao termo não homogêneo 
Analisando o termo geral e como só se tem termo em , vamos tentar a função , e reais.
Se:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teste novamente na equação diferencial e verá que o resultado será .
De acordo com o teorema da superposição:
, E REAIS
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O método dos parâmetros a serem determinados terá uma limitação quando a função for uma solução da equação homogênea associada.
Neste caso, o método sofre uma alteração: a forma da solução particular deve ser multiplicada por . Caso também seja solução da
equação homogênea, devemos multiplicar por .
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação diferencial .
Agora veremos o método denominado método das variações dos parâmetros.
MÉTODO DAS VARIAÇÕES DOS PARÂMETROS
O método anterior geralmente é utilizado no caso de uma equação linear de coeficientes constantes e quando os termos não homogêneos tiverem
a forma ou .
Um outro método que pode ser empregado é o método das variações dos parâmetros. Este método também é denominado método de Lagrange,
que pode ser empregado em equações com coeficientes constantes ou variáveis.
ENTRETANTO, A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA ASSOCIADA À
EDO NÃO HOMOGÊNEA ANALISADA DEVE SER CONHECIDA
PREVIAMENTE.
No caso das equações de coeficientes constantes, já conhecemos método para obter a solução da equação homogênea. Para o caso das
equações lineares com coeficientes variáveis, o conhecimento desta solução homogênea pode ser mais complexo.
Retornando à EDO linear não homogênea:
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Com , e como funções contínuas no intervalo de interesse.
Considere a equação homogênea associada , com e duas soluções linearmente independentes desta
equação. Assim a solução da equaçãohomogênea será dada por:
, COM E REAIS
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A solução particular será do tipo:
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Onde e são duas funções arbitrárias.
Como as funções são arbitrárias, impomos às funções duas condições:
Atender a equação diferencial.
Atender uma solução imposta pelo método de .
Assim:
Se
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Com a segunda condição, teremos .
Calculando a segunda derivada, .
Substituindo na equação diferencial:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando:
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Mas, como e são soluções da equação complementar, os dois primeiros parênteses são nulos. Dessa forma:
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Assim, teremos que resolver o seguinte sistema para obter as funções arbitrárias:
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Após obter e , basta integrar para obter e e, então, obter a solução particular desejada.
EXEMPLO
Determine a solução geral para equação diferencial , com .
A solução da parte homogênea será dada pela função , e reais.
Você já sabe calcular esta solução da homogênea associada? Faça como exercício.
Vamos agora nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo 
Pelo método, necessitamos resolver o sistema a seguir para obter as funções auxiliares e .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
 E 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso
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Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
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Da primeira equação .
Substituindo na segunda:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
 E 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução particular será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
, E REAIS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
A corrente elétrica em um circuito RLC da figura a seguir pode ser obtida através de uma equação diferencial de segunda ordem.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
O modelo utilizado é:
Determine a função geral para corrente elétrica do circuito com os seguintes dados:
R=40Ω
C=1600 μF
L = 1 H
v(t)=100 cos(10t)
Sabendo que t = 0, temos i = 0 e t = πs se tem i = 10 A.
RESOLUÇÃO
EDO LINEAR NÃO HOMOGÊNEA
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. RESOLVA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR NÃO HOMOGÊNEA .
A) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. DETERMINE A SOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL , COM PERTENCENTE AO
INTERVALO .
A) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. RESOLVA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR NÃO HOMOGÊNEA .
A) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Determine a solução geral da equação diferencial .
A alternativa "D " está correta.
Precisamos inicialmente calcular a solução da equação homogênea associada.
Resolvendo a equação característica, se obtém as raízes como sendo – 1 e 2. Assim, a solução da equação homogênea será:
Necessitamos agora definir uma solução particular. Como o termo não homogêneo vale 4 por inspeção, se fizermos u = – 2, atenderemos a EDO
não homogênea, pois:
Se 
Assim, a solução geral será:
, e reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a solução geral da equação diferencial .
A alternativa "A " está correta.
Inicialmente, vamos resolver a equação homogênea:
Assim, as soluções homogêneas são , e reais.
Para a solução particular, analisando o termo não homogêneo, vamos tentar a função . Substituindo na EDO:
Se 
Assim 
Portanto, , e reais.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Resolva a equação diferencial linear não homogênea .
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, necessitamos achar a solução para equação homogênea associada:
Trata-se de uma EDO linear de coeficientes constantes. Resolvendo a equação característica:
Assim:
Portanto, a solução da equação homogênea será:
, e reais
Agora necessitamos de uma solução particular para atender a equação diferencial não homogênea.
Por hipótese, tentaremos , , e reais.
Vamos substituir na EDO e tentar achar os valores da constante.
Se 
Então:
Vamos comparar termo a termo:
Assim, o polinômio obtido foi .
Portanto, a solução geral da equação diferencial não homogênea será:
, e reais
Dessa forma, a alternativa correta é da letra d.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a solução geral da equação diferencial .
A alternativa "D " está correta.
Trata-se de uma equação diferencial de Euler não homogênea.
Resolvendoinicialmente a equação homogênea associada:
Para resolver a esta equação, vamos usar uma mudança de variável de forma que .
Portanto, .
Assim:
Substituindo na EDO:
Repare que foi transformada em uma equação de coeficientes constantes, podendo ser resolvida pelo método da equação característica.
Portanto, a solução geral homogênea será .
Mas 
, e reais
Para resolver a parte não homogênea, usaremos o método das variações dos parâmetros.
Pelo método, necessitamos resolver o sistema abaixo para obter as funções auxiliares .
Mas e . Além disso .
Pela primeira equação, .
Então:
Assim, 
Resolvendo por integração por partes:
Portanto, a solução particular será:
Desta forma:
, e reais
Assim, a resposta correta é a letra D.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a solução para equação diferencial , com pertencente ao intervalo .
A alternativa "C " está correta.
Resolvendo a equação homogênea:
Com equação característica com raízes iguais a ±j.
A solução da parte homogênea será dada pela função , e reais.
Vamos agora nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo .
Pelo método, necessitamos resolver o sistema abaixo para obter as funções auxiliares e .
Mas e . Além disso .
Pela primeira equação, .
Então, .
Resolvendo:
Fazendo :
Portanto, a solução particular será:
Desta forma:
, e reais
Assim, a resposta correta é a letra C.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Resolva a equação diferencial linear não homogênea .
A alternativa "C " está correta.
EDO Linear Não Homogênea
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL .
A) , e reais.
B) , e reais.
C) , e reais.
D) , e reais.
E) , e reais.
2. DETERMINE A SOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL , COM .
A) , e reais.
B) , e reais.
C) , e reais.
D) , e reais.
E) , e reais.
GABARITO
1. Determine a solução geral da equação diferencial .
A alternativa "A " está correta.
Você entendeu o conceito da resolução de EDO linear não homogênea.
Precisamos calcular a solução da equação homogênea associada.
Resolvendo a equação característica, se obtém as raízes como sendo – 2 e 5. Assim, a solução da equação homogênea será:
, e reais.
Necessitamos definir uma solução particular.
Como o termo não homogêneo vale 40 por inspeção, se fizermos atenderemos a EDO não homogênea, pois:
Se 
Assim, a solução geral será:
, e reais
Dessa forma, a resposta correta é a letra A.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a solução para equação diferencial , com .
A alternativa "D " está correta.
Você entendeu o conceito da resolução de EDO linear não homogênea.
Resolvendo a equação homogênea:
Com equação característica com raiz igual a 2.
A solução da parte homogênea será dada pela função , e reais.
Vamos, agora, nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo .
Pelo método, necessitamos resolver o sistema abaixo para obter as funções auxiliares e .
Mas e . Além disso: 
Da primeira equação 
Substituindo na segunda:
Se e 
Portanto, a solução particular será:
Desta forma:
, e reais
Assim, a resposta correta é a letra D.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou e aplicou o conceito das equações diferenciais de segunda ordem.
No primeiro módulo, estudamos os principais teoremas relacionados à resolução de equações diferenciais de segunda ordem, como o teorema de
soluções gerais, o teorema da existência e unicidade. o teorema da superposição e o teorema da solução geral da equação diferencial linear
homogênea.
Em seguida, apresentamos métodos de resolução de equações diferenciais lineares de segunda ordem homogêneas de coeficientes constantes e
variáveis.
Por fim, no terceiro módulo, abordamos os métodos para equações não homogêneas como teorema da solução geral da EDO linear não
homogênea e os métodos dos parâmetros a serem determinados e das variações dos parâmetros.
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012. cap. 3, p. 99-186.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 11, p. 226-277, cap.13, p.335-362.
STEWART, J. Cálculo, Volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 17, p. 1137-1163.
EXPLORE+
Para compreender um pouco mais sobre as aplicações das equações diferenciais ordinárias de segunda ordem, leia o artigo científico
Determinação de funções aproximadas para a solução numérica de uma equação diferencial ordinária.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
CURRÍCULO LATTES
DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos de séries.
PROPÓSITO
Definir séries, utilizar os testes de convergência e apresentar algumas séries importantes.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo desse tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone ou computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Definir os conceitos iniciais de uma série numérica
MÓDULO 2
Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série
MÓDULO 3
Definir as séries de potências e as séries trigonométricas
SÉRIES
MÓDULO 1
Definir os conceitos iniciais de uma série numérica
CONCEITOS INICIAIS DE SÉRIES NUMÉRICAS
INTRODUÇÃO
Em diversos momentos de nossa vida, lidamos com uma lista de números que seguem uma determinada ordem. Essa lista é
denominada matematicamente uma sequência numérica.
AGORA, SE ESSA LISTA DE NÚMEROS FOR ORIGINADA DAS SOMAS
PARCIAIS DOS TERMOS DE UMA DETERMINADA SEQUÊNCIA DADA,
SE DÁ O NOME DE SÉRIE NUMÉRICA A ESSA SEQUÊNCIA.
Neste módulo, definiremos sequências e série numéricas, abordando algumas de suas propriedades.
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Antes de definirmos uma série numérica, necessitamos definir a sequência numérica.
Imagine uma lista de números que obedece a uma determinada ordem. Em outras palavras, cada posição é ocupada por um número
obtido por uma função que depende da sua posição.
EXEMPLO
2, 4, 8, 16, ....: é uma sequência numérica crescente em que o valor do número é calculado como o número dois elevado à sua
posição. Se n é a posição, o valor do número vale 2n.
: é uma sequência decrescente de números em que o valor do número é o inverso de sua posição. Se n é a posição do número,
então o valor vale
.
Vamos definir agora com uma linguagem matemática.
Uma sequência (sucessão numérica) é uma função cujo domínio é um subconjunto dos números naturais, que seria a posição do
número, e a imagem são números reais, sendo o valor do número na sequência.
Usaremos a notação para sequência como
. Assim .
Em outras palavras, a entrada da função é um número inteiro positivo, a posição na lista, e a saída é um número real que será obtida
por uma função que relaciona o valor com a posição do número.
A notação
também é usada para representar o termo geral da equação, que representa o valor do enésimo termo.
Às vezes se tem a sequência de números, a lista numérica, mas não é simples obter a função que relaciona os valores das posições,
isto é, não é simples se definir o termo geral.
EXEMPLO
Seja a sequência de números que apresenta as médias de chuva dos últimos meses da cidade A, medida em mmhg.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Diríamos até que o trabalho dos cientistas é tentar modelar algumas sequências para se obter uma fórmula para seu termo geral. No
nosso exemplo, se obtivermos o termo geral, podemos estimar a média de chuva em um determinado mês.
Em alguns casos, o termo geral da sequência é obtido por uma fórmula de recorrência que envolve termos antecessores. Por exemplo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se obter
,
, e assim sucessivamente.
ATENÇÃONão necessariamente a sequência tem que iniciar com
ou
. Dessa forma, podemos definir como domínio da sequência um valor de
tal que
.
Vamos analisar os exemplos a seguir.
EXEMPLO 1
Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por
, para
.
RESOLUÇÃO
Para os três primeiros termos basta substituirmos o valor de
que representa a posição. Repare que a primeira posição é obtida para
, assim, a segunda e terceira serão dados por
e
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Liste os três primeiros números da sequência cujo termo geral é dado por
, para
.
RESOLUÇÃO
Para os três primeiros termos, basta substituirmos o valor de n que representa a posição. Repare que a primeira posição é obtida para
. Assim, a segunda e terceira serão dados por
e
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Encontre uma fórmula para o termo geral da sequência
.
RESOLUÇÃO
Analisando a lógica da sequência, se verifica que o termo geral pode ser definido como:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma sequência será alternante se, de um termo para outro, o sinal dela mudar, isto é,
, por exemplo.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SEQUÊNCIAS FINITAS OU INFINITAS
Uma sequência pode ser classificada como finita ou infinita. Uma sequência finita é aquela que apresenta um número finito de termos.
A sequência infinita apresenta um número infinito.
As sequências infinitas podem ser convergentes ou divergentes. Vamos analisar o que acontece com uma sequência infinita quando seu
valor de n tende ao infinito.
CONVERGENTE
DIVERGENTE
CONVERGENTE
Se , se diz que a sequência tem como limite um número real
. Em outras palavras, podemos fazer os termos ficarem tão pertos de
quanto desejarmos, ao fazermos n suficientemente grande. Nesse caso, se diz que a sequência é CONVERGENTE e que converge
para
.
DIVERGENTE
Quando o não existir ou for
se diz que a sequência é DIVERGENTE.
Para ajudar no cálculo do limite de uma sequência, podemos usar o seguinte teorema:
Sendo
uma função real definida no domínio
, considere o termo geral de uma sequência:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, , se existir o limite da função
.
EXEMPLO 4
Verifique se a sequência definida pelo termo geral
, para
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Determinando o limite da sequência:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Relembrando o teorema de Leibniz, o polinômio tende ao termo de maior grau quando sua variável tende ao infinito. Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite deu um número real, a série é convergente.
EXEMPLO 5
Verifique se a sequência definida pelo termo geral
para
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Determinando o limite da sequência:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o limite deu diferente de um número real, a série é divergente.
Uma sequência pode ser classificada entre crescente ou decrescente.
CRESCENTE
Uma sequência será crescente se e somente se para qualquer m e n naturais:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DECRESCENTE
Uma sequência será decrescente se e somente se para qualquer
e
naturais:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dizemos que uma sequência é monótona se for crescente ou decrescente.
TIPOS DE LIMITAÇÕES DA SEQUÊNCIA
Limitada superiormente
Uma sequência será limitada superiormente se existir um número real
tal que, para todo
do domínio da sequência,
.
Limitada inferiormente
Uma sequência será limitada inferiormente se existir um número real
tal que, para todo
do domínio da sequência,
.
UMA SEQUÊNCIA SERÁ LIMITADA SE EXISTIREM NÚMEROS REAIS
E
TAL QUE, PARA TODO N DO DOMÍNIO DA SEQUÊNCIA,
. EM OUTRAS PALAVRAS, SE A SEQUÊNCIA FOR LIMITADA, ELA SERÁ
LIMITADA SUPERIORMENTE E LIMITADA INFERIORMENTE.
EXEMPLO 6
Verifique se a sequência
, para
, é crescente ou decrescente. Verifique também se a sequência é limitada.
RESOLUÇÃO
Dado o termo
teremos o termo
.
Observe que, se
,
, assim, para todo
.
Dessa forma, a sequência é monótona decrescente.
Vamos agora analisar quanto a ser limitada.
O primeiro termo é obtido para
, assim
.
Como a sequência é decrescente, todos os valores serão menores do que
. Assim, a sequência é limitada superiormente pelo valor
.
Quando n tende ao infinito:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, essa sequência também é limitada inferiormente pelo valor 0. Temos uma sequência limitada.
EXEMPLO 7
Verifique se a sequência
é crescente ou decrescente. Verifique também se a sequência é limitada.
RESOLUÇÃO
Analisando os termos, verificamos que, às vezes,
e, às vezes, . Dessa forma, essa sequência não será crescente nem decrescente.
Vamos agora analisar quanto a ser limitada.
Observe que não existe nenhum termo da sequência maior do que 1, e nenhum termo da sequência menor do que – 1.
Assim, essa sequência é limitada inferiormente e superiormente, sendo uma sequência limitada.
TEOREMA DE ANÁLISE DA CONVERGÊNCIA DE UMA SEQUÊNCIA
Existe um teorema importante para usarmos na análise da convergência de uma sequência.
Teorema para sequência crescente
Seja an uma sequência crescente:
Se a sequência for limitada superiormente, an será convergente.
Se an não for limitada superiormente, an será divergente. 
Podemos também relatar o mesmo teorema para uma sequência decrescente.
Teorema para sequência decrescente
Seja an uma sequência decrescente:
Se a sequência for limitada inferiormente, an será convergente.
Se an não for limitada inferiormente, an será divergente.
DICA
A demonstração desse teorema é bem intuitiva e pode ser encontrada nas referências do tema.
EXEMPLO 8
Verifique se a sequência
, para
, é convergente.
RESOLUÇÃO
Como já analisamos no exemplo 7, que é uma sequência decrescente e limitada inferiormente, ela será obrigatoriamente convergente.
Podemos confirmar isso com o cálculo do limite.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora definir a série numérica.
SÉRIES NUMÉRICAS
Seja uma sequência definida pelo seu termo geral an, com n natural e n ≥ p.
A SÉRIE NUMÉRICA ASSOCIADA À SEQUÊNCIA DADA SERÁ DEFINIDA COMO
A SEQUÊNCIA CUJO TERMO GERAL É OBTIDO POR:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O elemento da série sn será a soma parcial de ordem n dos elementos da sequência, isto é, a soma desde o primeiro termo até o termo
n. A notação sn também será denominada de enésimo termo da série.
Por exemplo, seja a sequência 2, 4, 8, 16, 32, ..., definimos os seguintes termos da série associada a ela:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ATENÇÃO
A fórmula para o sn foi obtida pela soma de uma progressão geométrica (PG) finita. Nem sempre é possível obter um termo geral para
os elementos da série.
No ensino médio, estudamos duas sequências: progressão aritmética (PA) e progressão geométrica (PG). Essas sequências
apresentavam fórmulas para suas somas parciais e totais. Vale a pena uma pesquisa para relembrar a definição da PA e PG e de suas
fórmulas.
As séries associadas a uma sequência PA ou PG são denominadas, respectivamente, de série aritmética e série geométrica.
EXEMPLO 9
Determine os três primeiros termos da série associada a uma sequência de termo geral
.
RESOLUÇÃO
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cuidado: O primeiro termo da série, representado no somatório, pode ser um número diferente de zero ou de 1.
Repare
, o somatório começa para
. Assim, o primeiro termo da série será
eo segundo termo será
.
SÉRIE INFINITA X SÉRIE FINITA
Uma série de infinitos termos é denominada de série infinita. Uma série com um número finito de termos é definida como série finita.
Se define a soma da série como o limite da série, isto é:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa soma pode ter valor finito ou infinito.
Se a soma for finita, se diz que a série é convergente. Se o limite não existir ou for
, a série será divergente.
Muitas vezes, usamos a mesma notação
para representar a própria série infinita.
EXEMPLO 10
Determine a soma da série cujo termo vale
. Verifique se essa série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que trata de uma série geométrica, os termos da soma são soma de uma progressão geométrica (PG), pois cada termo é obtido
pela multiplicação do termo anterior por uma razão.
Repare que o primeiro termo vale 3 e a razão vale
.
A soma de uma PG infinita para quando o módulo da razão for menor do que 1 vale:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o valor de S foi um número real, a série é convergente.
EXEMPLO 11
Determine a soma da série cujo termo vale
Verifique se a série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O enunciado já representa a série como a soma de um termo de uma sequência
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que os termos da soma são soma de uma progressão aritmética (PA), pois cada termo é obtido pela soma do termo anterior com
uma razão.
Repare que o primeiro termo vale 8 e a razão vale
A soma de uma PA vale:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo geral da sequência vale
Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo enunciado:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, o valor de:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como
não é um número finito, então a série é divergente.
PROPRIEDADES DE UMA SÉRIE CONVERGENTE
Podemos citar algumas propriedades de uma série convergente:
A
Seja k um número real, se
for uma série convergente, então
com k real, também será convergente e pode ser obtida por
B
Sejam as séries convergentes
e
se
então
será convergente e pode ser obtida por
Por fim, podemos definir um critério necessário para que uma série seja convergente.
Se for convergente, então os termos
têm que tender para zero quando
tende ao infinito, isso é .
ATENÇÃO
Cuidado: Esse critério é necessário mas não suficiente; em outras palavras, pode existir uma série que e ela ser
divergente.
Podemos escrever o teorema de outra forma:
Se ou se não existir então a série será divergente.
EXEMPLO 12
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale
Determinando o limite desse termo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é divergente.
EXEMPLO 13
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale
Determinando o limite desse termo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à convergência.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a série é convergente.
ATENÇÃO
Essa soma em que os termos se cancelam, que usamos na solução do exemplo, é denominada de soma telescópica.
EXEMPLO 14
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
O termo geral da sequência associada vale
.
Determinando o limite desse termo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a condição necessária foi atendida, mas não podemos concluir nada quanto à convergência.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, tende ao infinito, sendo uma série divergente, mesmo atendendo à condição inicial.
Por fim, apenas uma definição. Uma série
será dita como absolutamente convergente se a série
for convergente.
Uma série é dita como condicionalmente convergente se for convergente, mas não absolutamente convergente. Um ponto é que toda
série absolutamente convergente será convergente, mas nem toda série convergente será absolutamente convergente.
No próximo módulo, analisaremos os testes de convergência para uma série.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Considere uma bola que é solta de uma altura 2H do solo. Toda vez que essa bola quica no chão, ela volta a subir 0,5 à altura anterior
que ela havia subido. Seja a série definida pela sequência do espaço percorrido pela bola entre dois quiques, após o primeiro quique no
chão, determine a soma dessa série e verifique se ela é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
SOMA DE UMA SÉRIE CONVERGENTE
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 2
Aplicar testes que permitam verificar a convergência de uma série
TESTE DE CONVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS
INTRODUÇÃO
Uma série numérica pode ser convergente, quando sua soma tende a um número real, ou divergente, quando a soma não tende a um
número fixo.
É importante verificamos se uma série é ou não convergente. Para isso, existem alguns testes denominados de teste de convergência.
Nesse módulo, estudaremos quatro testes: teste da comparação, teste da integral, teste da razão e teste da raiz.
No módulo anterior, estudamos a definição de uma série numérica e sua classificação quanto à convergência ou divergência.
UMA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE SE SUA SOMA TENDER A UM NÚMERO
REAL QUANDO O NÚMERO DE TERMOS TENDER AO INFINITO. ISSO É:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No módulo anterior, estudamos alguns teoremas e fizemos alguns exemplos para verificar a convergência de algumas séries numéricas.
Acontece que existem testes, denominados de testes de convergência, que podem ser utilizados para se verificar a convergência de
tipos determinados de séries numéricas.
Esses testes ganham importância quando, por exemplo, conhecemos os termos da série, mas não conseguimos determinar uma
fórmula para sua soma. Assim, não temos como ver diretamente se a série converge ou não.
Aqui os testes serão analisados de forma separada, mas caberá a você, na prática, verificar o melhor teste para aplicar na análise da
convergência de uma determinada série. As vezes mais de um teste é possível de ser aplicado na série analisada.
TESTE DA COMPARAÇÃO
O primeiro teste que vamos estudar é o teste da comparação.
A IDEIA DO TESTE DA COMPARAÇÃO É COMPARAR A SÉRIE ANALISADA
COM UMA SÉRIE QUE JÁ SABEMOS, PREVIAMENTE, SER UMA SÉRIE
CONVERGENTE OU DIVERGENTE.
Sejam as séries e com termos positivos.
Se for convergente e para todo
, então também será convergente.
Se for divergente para todo
, então também será divergente.
DICA
A demonstração matemática desse teorema pode ser estudada nas obras que constam na referência do tema.
Repare como é simples demonstrar essa afirmação:
Como as séries do teorema só possuem termos positivos, obrigatoriamente
e
são crescentes. Veja que, quando aumenta o valor de
, o somatório aumenta, pois os termos são positivos.
Se
for convergente, então .
real. Como cada termo
é menor do que
, a série , assim . Portanto, a série
é crescente e limitada; pelo teorema visto no módulo anterior, ela será, portanto, uma série convergente.
Da mesma forma, se for divergente, então . Como cada termo
é maior do que
, a série
, assim. Mas, se
tende ao infinito, então
tende ao infinito, e a série
também será divergente.
Para usar o teorema da comparação, precisamos conhecer algumas séries para serem usadas como comparativos. Na grande parte dos
problemas, usamos duas séries:
A
(séries harmônicas)
Essa série será convergente se
e divergente se
.
B
(séries geométricas)
Essa série será convergente se
e divergente se
.
Vamos ver agora alguns exemplos.
EXEMPLO 15
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Repare que
, portanto .
Para
no primeiro quadrante, isso é
, vale uma desigualdade:
.
Como ,
está no primeiro quadrante e .
Portanto, 
Sabemos que a série harmônica
é convergente.
Usando o teorema da comparação, como
é convergente e
para todo
, a série
ã
também será convergente.
EXEMPLO 16
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como , então
. Quer dizer que para
Assim
Sabemos que a série harmônica
é divergente.
Assim, pelo teorema da comparação, como
para todo
e
é divergente, então
é divergente.
Se
e divergente então
também é divergente.
Lembrando que: . Por isso, a comparação é feita com a base do logaritmo.
TESTE DA COMPARAÇÃO DO LIMITE
Existe um outro tipo de teste da comparação, denominado de teste da comparação do limite.
Ele obedece ao seguinte teorema:
Sejam as séries e com termos positivos. Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
real maior do que zero, ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.
Vamos entender a demonstração desse teorema.
Repare que, se
é positivo, ele está limitado entre dois números reais .
Para quando
tende ao infinito .
Assim, se
converge,
também converge. Pelo teorema da comparação anterior, como , também convergirá.
Da mesma forma, e
diverge, então
também diverge. Pelo teorema da comparação anterior, como
,
também irá divergir.
Vamos trabalhar com alguns exemplos.
EXEMPLO 17
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Usando o teorema da comparação do limite.
Nós sabemos que a série geométrica com termo
é convergente.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série
é convergente e então
também será convergente.
EXEMPLO 18
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Usando o teorema da comparação do limite.
Vamos pegar os maiores termos do numerador e denominador e estudar a série com termo
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como . Portanto, como o termo não tende a zero, a série é divergente.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, pelo teorema da comparação do limite, como a série
é divergente e então
também será divergente.
Temos ainda duas complementações para o teorema da comparação do limite.
Sejam as séries e com termos positivos. Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
e a série for convergente, a série também é convergente.
Se
e a série for divergente, a série também é divergente.
A demonstração é simples, se
então a série . Assim, se é convergente então também converge.
Da mesma forma, se então a série . Assim, se é divergente então também diverge.
Veja os exemplos.
EXEMPLO 19
Verifique se a série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos pegar a série harmônica com termo
. Sabemos que ela é divergente.
Fazendo agora:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando L´Hopital, derivando numerador e denominador:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pelo teorema da comparação, como e a série
diverge, então também diverge.
Vamos agora estudar o teste da integral.
TESTE DA INTEGRAL
O teste da integral, como o próprio nome sugere, usa a comparação entre a série analisada e uma integral de uma função f apropriada
para se concluir sobre a convergência ou não da série.
Ele se baseia no seguinte teorema:
SEJA UMA FUNÇÃO F CONTÍNUA, POSITIVA E DECRESCENTE NO INTERVALO
 E SEJA .
A SÉRIE SERÁ CONVERGENTE SE E SOMENTE SE A INTEGRAL
 FOR CONVERGENTE.
Repare que o teorema usa a expressão se e somente se; assim, ele quer dizer que, quando
for convergente,
também é convergente, e vice-versa.
Da mesma forma que
será divergente quando
for divergente, e vice-versa.
Outro ponto é que
é uma integral imprópria e será convergente quando seu valor for um número real. Se não for um número real, a integral
será divergente.
DICA
A demonstração do teorema se baseia em uma argumentação geométrica e pode ser estudada, se for o caso, nas referências desse
tema.
Veja os exemplos.
EXEMPLO 20
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Se
então
. Essa função
é contínua, decrescente e positiva, podendo ser usado o teste da integral.
A integral imprópria analisada será
Resolvendo a integral
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
, a integral será convergente, então a série
será convergente.
Agora vamos estudar o teste da razão.
TESTE DA RAZÃO
O teste da razão utilizará a ideia de comparar termos subsequentes da sequência associada à série analisada. Vamos diretamente para
seu enunciado.
Utilizaremos o seguinte critério.
Seja a série 
01
Se , então é absolutamente convergente.
02
Se ou , então é divergente.
03
Se , o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse teste
A demonstração desse teorema pode ser encontrada nas referências desse tema.
ATENÇÃO
Lembre-se de que, no primeiro caso, se a série for absolutamente convergente, ela será convergente também.
EXEMPLO 21
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o teste da razão.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série é absolutamente convergente, sendo, portanto, convergente.
EXEMPLO 22
Verifique se a série
é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o teste da razão.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o limite a seguir:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, como o limite foi maior do que 1, a série é divergente.
Agora vamos analisar o último teste desse módulo: o teste da raiz.
TESTE DA RAIZ
O teste da raiz utiliza um critério que leva em conta a raiz enésima do termo da sequência a que a série é associada. Esse teste é muito
utilizado quando os termos da série são associados a potências de n.
Seja a série com termos positivos.
01
Se , então é absolutamente convergente.
02
Se ou , então é divergente.
03
Se , o teste não é conclusivo, isso é, nada se pode concluir através desse teste
Vamos exemplificar a utilização desse teste.
EXEMPLO 23
Verifique se a série é convergente ou divergente.
RESOLUÇÃO
Como o termo é positivo, podemos usar o teste da raiz. O termo:
Se
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A série vai convergir absolutamente de acordo com o teste da raiz.
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
O depósito de rejeitos em um reservatório a cada dia segue uma série numérica dada pela fórmula
, em que n representa o tempo em dias e dn indica a quantidade de depósito de material em toneladas. Você está interessado em
estimar se a quantidade do depósito estará limitada a um determinado valor. Verifique o depósito do material para quando o número de
dias crescer infinitamente.
RESOLUÇÃO
TESTE DA COMPARAÇÃO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
MÓDULO 3
Definir as sériesde potências e as séries trigonométricas
SÉRIES DE POTÊNCIAS E SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS
INTRODUÇÃO
Nesse módulo, introduziremos o conceito da série de funções.
Dentre as séries de funções existem alguns tipos de grande aplicação, principalmente na aproximação de funções matemáticas.
Nesse módulo, estudaremos as séries de potência e as séries trigonométricas.
SÉRIES DE FUNÇÕES
Nos módulos anteriores estudamos as séries numéricas, em que se obtinha uma série associada a uma sequência de números. Vamos
agora ampliar este conceito.
Vamos criar uma série que dependa do valor de uma variável independente x, ou seja, uma série que, variando o valor de x, origina em
séries numéricas diferentes. 
Seja uma sequência dada por funções fn(x), podemos definir uma série:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sua soma dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
REPARE QUE TANTO OS TERMOS DA SÉRIE (SN) COMO A SOMA (S) TERÃO
VALORES QUE VARIAM COM X. EM OUTRAS PALAVRAS, TEREMOS UMA
SÉRIE NUMÉRICA DIFERENTE PARA CADA VALOR DE X. ESSE TIPO DE SÉRIE
É DENOMINADO SÉRIE DE FUNÇÕES.
Um ponto importante é que a série pode convergir para certos valores de x e divergir para outros.
Por exemplo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que para cada valor de x as séries obtidas serão diferentes.
EXEMPLO
Vamos exemplificar para dois valores de x:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dentre essas séries de funções, algumas têm grande importância, pois são utilizadas para aproximação de funções matemáticas.
Estudaremos nesse módulo as séries de potências e as séries trigonométricas.
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Um tipo de série de grande aplicação são as séries de potências.
Diversas funções na matemática podem ser expressas, ou aproximadas, como uma série de potência; por isso, sua importância.
Seja an uma sequência e x0 um número real. A série de potências será uma série de funções do tipo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa série será denominada de série de potências com coeficientes an, ao redor ou centrada em x0.
ATENÇÃO
Repare que a série de potência é uma generalização de um polinômio.
A série de potência centrada no zero, isso é, x0 = 0, será dada por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os coeficientes podem ser números ou funções da posição, isso é, funções da variável n.
Por exemplo, seja a série de potências cujo coeficientes são dados por
, centrada no zero; assim, a série será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as séries de potência são generalizações de um polinômio, elas podem ser adicionadas, subtraídas, multiplicadas e divididas
entre si. Basta realizar as operações como se estivessem realizando a operação com polinômios.
A série de potência pode convergir para determinados valores de x e divergir para outros.
ATENÇÃO
O intervalo que contém os valores de x nos quais a série é convergente é denominado de intervalo de convergência.
Vamos agora estudar uma importante propriedade da série de potências que será útil na demonstração do teorema relacionado ao raio
de convergência da série.
TEOREMA AUXILIAR
SE A SÉRIE FOR CONVERGENTE PARA , COM , A
SÉRIE CONVERGIRÁ ABSOLUTAMENTE PARA TODOS OS VALORES DE
NO INTERVALO ABERTO 
Vamos ver um exemplo da aplicação desse teorema auxiliar.
Seja a série de potências:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
essa série será transformada em
Vamos provar que essa série converge. Para isso, vamos usar o teorema da convergência para uma série alternada.
TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
SEJA A SÉRIE ALTERNADA , COM
POSITIVO. SE E , ESTA SÉRIE SERÁ CONVERGENTE.
O entendimento desse teorema é simples. Se o termo posterior é sempre menor do que o anterior, cada vez mais, com o crescimento de
n, diminui a contribuição ao somatório. Como os termos tendem a zero, a partir de um certo momento, as contribuições das novas
parcelas tendem a zero, fazendo com que a série seja convergente a um valor real.
Se usarmos o teste de convergência para uma série alternada, podemos verificar que a série
será convergente, pois é uma série alternada com:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, podemos dizer que a série
é convergente para
. Assim, pelo teorema auxiliar, podemos concluir que se
é convergente para
. Então, será absolutamente convergente para
.
Assim, obtendo um ponto de convergência da série, podemos definir um intervalo em que a série é absolutamente convergente.
Agora, podemos enunciar um teorema importante relacionado ao intervalo de convergência da série de potência.
TEOREMA
Para uma dada série de potência centrada em x0:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Existem apenas três possibilidades:
01
Ou a série converge apenas para
;
02
Ou a série converge absolutamente para todo
real;
03
Ou existe um número real
tal que a série converge absolutamente para todo
no intervalo e diverge para todo
no intervalo .
Nos pontos
e
a série poderá convergir ou divergir. Assim, o caso (3) pode ser representado pela figura a seguir.
DICA
Caso você se interesse pela demonstração desse teorema, pode estudar as obras de referência desse tema.
O número
é denominado de raio de convergência da série de potências. Assim, no caso (1), o valor de
e, no caso (2), o valor de
.
O intervalo de convergência para o caso (1) será apenas o ponto
, no caso (2) será e no caso (3) será .
Os testes de convergência estudados no módulo anterior devem ser usados para se verificar o valor do raio de convergência e para se
checar a convergência ou não para
e
.
EXEMPLO 24
Verifique a convergência da série de potência
, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar .
Para , a série será absolutamente convergente;
Para , a série será divergente.
O raio de convergência será zero e o intervalo de convergência será
.
EXEMPLO 25
Verifique a convergência da série de potência
, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que para todos os valores de
o limite será menor do que
e, pelo teste da razão, será absolutamente convergente.
Assim, o raio de convergência será
e o intervalo de convergência será
.
EXEMPLO 26
Verifique a convergência da série de potência
, determine o raio e o intervalo de convergência para essa série.
RESOLUÇÃO
Usando o teste da razão:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos analisar 
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
no intervalo
, a série será convergente.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para
no intervalo
e
, a série será divergente.
Necessitamos analisar para
e
, pois para estes valores o teste da razão é não conclusivo pois o limite dará 1.
Fazendo
, que é uma série harmônica que já sabemos que é divergente.
Fazendo
, que é uma série alternada
Pelo critério da série alternada, será uma série convergente.
Assim o intervalo de convergência será .
O raio de convergência
será
, pois a série será convergente para .
PODEMOS REPRESENTAR ALGUMAS FUNÇÕES F(X) ATRAVÉS DE UMA SÉRIE
DE POTÊNCIAS, ISSO É:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalUma função expressa por uma série de potência centrada em x0 é dita função analítica em x0.
Nesse caso, o domínio da função f(x) será o intervalo de x, ao redor de x0, em que a série converge.
SAIBA MAIS
Uma função analítica será contínua no seu domínio e poderá ser derivável e integrável.
Vamos agora estudar dois casos particulares de séries de potência utilizados para aproximar funções, que são as séries de Taylor e de
Maclaurin.
SÉRIES DE TAYLOR E DE MACLAURIN
Vimos que algumas funções podem ser representadas por uma série de potências.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos obter os valores dos coeficientes em função do valor de
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo os passos:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo mais uma vez:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De forma análoga, seguindo os mesmos passos podemos obter que:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos colocar agora essa descoberta na forma de um teorema.
Se a função f(x) tiver uma representação através de uma série de potências em x0, isso é:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seus coeficientes an serão dadas pela fórmula:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo esses coeficientes na série, podemos representar a função f(x) por:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa série será denominada de série de Taylor da função f(x) centrada em x0.
Utilizamos a mesma para aproximar uma função ao redor de x0.
Para o caso de x0 = 0, a série de Taylor se torna:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ATENÇÃO
Esse caso particular aparece com frequência e recebe um nome especial: série de Maclaurin.
EXEMPLO 27
Represente a função
através de uma série de Taylor centrada em
.
RESOLUÇÃO
Necessitamos obter os valores dos coeficientes. Para isso, necessitamos das derivadas da função
e o valor de
.
E assim sucessivamente.
A série de Taylor será:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma função pode ter uma boa aproximação através da série de Taylor
ou não. Isso é medido por uma função denominada de resto
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DICA
Esse assunto não será abordado, mas pode ser estudado, se for o caso, nas referências que se encontram no fim desse tema.
Mas podemos adiantar que funções que são infinitamente deriváveis possuem uma aproximação através de séries de Taylor.
Agora, vamos estudar um outro tipo de séries de funções denominado séries trigonométricas.
SÉRIES TRIGONOMÉTRICAS
Outro tipo de série de grande aplicação são as séries trigonométricas. Elas serão a base das Séries de Fourier, de grande aplicação na
matemática para aproximação de funções.
Seja an uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do tipo:
e
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SAIBA MAIS
O nome “trigonométrica” vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série são funções trigonométricas em
seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno como a cosseno são periódicas, com um período
de
.
Em outras palavras, a série se repete a cada período de
. Assim,
e
, com
inteiro.
Agora, vamos recordar os conceitos de função par e função ímpar:
A função
será uma função par se e somente se
para todo
do seu domínio;
A função
será uma função ímpar se e somente se
para todo
do seu domínio.
Assim, vemos que
é uma função par e
é uma função ímpar. Dessa forma, representaremos:
Séries trigonométricas pares (bn = 0 para todo n): .
Séries trigonométricas ímpares (an = 0 para todo n): 
EXEMPLO
Como exemplo de série trigonométrica, podemos citar a série de Fourier. A série de Fourier pode ser usada para aproximar funções,
principalmente as funções que apresentam uma certa periodicidade.
Para a série de Fourier, sendo:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos os seguintes coeficientes:
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
TEORIA NA PRÁTICA
Seja
. Utilize a série de Taylor, até seu termo de quarta ordem, centrada no ponto
, para obter o valor de
nos pontos
e
.
RESOLUÇÃO
SÉRIE DE TAYLOR
VERIFICANDO O APRENDIZADO
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Esse tema apresentou o conceito das séries.
No primeiro módulo, apresentamos a definição e os conceitos iniciais da série numérica. No módulo dois, os testes de convergência que
permitem verificar se uma determinada série é ou não convergente. No último módulo, apresentamos duas séries de funções, séries de
potências e séries trigonométricas, de grande aplicação na aproximação de funções.
Assim, esperamos que, ao chegar ao fim desse tema, você tenha capacidade de resolver os problemas de séries.
REFERÊNCIAS
GUIDORIZZI, H.L. Cálculo. Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 2, p. 15-35, cap. 3, p. 36-65, cap.4, p. 66-74
HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 9, p.417-454
STEWART, J. Cálculo. Volume 2. 5. ed. São Paulo: Thomson Learning, 2008. cap. 11, p. 698-791.
EXPLORE+
Pesquise mais sobre equações diferenciais de segunda ordem e suas aplicações na internet e em nossas referências.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
CURRÍCULO LATTES
DESCRIÇÃO
Aplicação dos conceitos da Transformada de Laplace e da Transformada de Fourier.
PROPÓSITO
Compreender as Transformadas de Laplace e Fourier e algumas de suas aplicações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
MÓDULO 2
Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
MÓDULO 3
Aplicar a Transformada de Laplace
MÓDULO 4
Formular a série e a Transformada de Fourier
TRANSFORMADA DE LAPLACE E FOURIER
MÓDULO 1
Descrever os conceitos iniciais da Transformada de Laplace
CONCEITOS INICIAIS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Para resoluções de alguns problemas matemáticos, existem métodos que transformam os termos originais em outros que permitem
simplificar a solução.
POR EXEMPLO, A RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL É MUITO
MAIS COMPLEXA, NA GRANDE MAIORIA DOS CASOS, DO QUE UMA
EQUAÇÃO ALGÉBRICA. ASSIM, PODE SE BUSCAR UMA TRANSFORMAÇÃO
PARA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL ESTUDADA.
Existe uma metodologia, denominada de Transformadas Integrais, que utiliza uma transformação da equação diferencial em uma
equação algébrica, e após resolver essa equação algébrica, utiliza a transformação inversa para obter a equação da solução
diferencial.
VOCÊ SABIA
Essa transformação é obtida pela multiplicação de cada termo da equação diferencial por uma função, que denominamos de núcleo. A
integração desse termo em relação a variável independente da equação.
Analisando de outra forma, isso se assemelha a um procedimento de se obter uma substituição de variável, resolver, e de depois
obtera substituição inversa para alcançar a resposta no domínio da variável inicial.
Esse tipo de transformação é conhecida como Transformadas Integrais, sendo a Transformada de Laplace uma das integrais mais
utilizadas.
Vamos agora definir a Transformada de Laplace, cuja notação será ℒ.
DEFINIÇÃO
Seja uma função
f ( t )
definida para
t ≥ 0
. A Transformada de Laplace da função
f
será definida por:
F (S ) =L [F (T ) ] = ∫
∞
0E -STF (T )DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para uma função f(t) que atende algumas particularidades, essa integral imprópria convergirá para certos valores de s, caso em que
se definirá uma função em s chamada de Transformada de Laplace de f, com simbologia F(s).
REPARE QUE O NÚCLEO DA TRANSFORMADA INTEGRAL DE LAPLACE
SERÁ A FUNÇÃO
E−ST
. NÓS MULTIPLICAMOS A FUNÇÃO POR
E−ST
E POSTERIORMENTE INTEGRAMOS DE ZERO ATÉ O INFINITO.
Obs.: Vamos relembrar como se determina uma Integral Imprópria:
∫
∞
0E -STF (T )DT= LIM
Z→∞
∫
Z
0E -STF (T )DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, seu valor será dado pelo valor do limite e ela convergirá se tal valor for um número real.
EXEMPLO 1
Determine a Transformada de Laplace para a função
f ( t ) = t
, para
t ≥ 0
.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F ( s ) =L [ t ] = ∫
∞
0e - st t dt
∫
∞
0e - stt dt = lim
z → ∞
∫
z
0e - stt dt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫
z
0e − stt dt
Usando integração por partes:
u = t → du = dt
e
dv = e− stdt → v = −
1
s
e− st
Assim,
∫
z
0e - stt dt = -
1
s
t e - st
z
0 - ∫
z
0 -
1
s
e - st dt = -
1
s
t e - st
z
0 -
1
s2
e - st
z
0
∫
z
0e - stt dt = -
1
s
z e - sz + 0 -
1
s2
e - sz -
1
s2
=
1
s2
1 - e - sz - sze - sz
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
lim
z → ∞
∫
z
0e - stt dt = lim
z → ∞
1
s2
1 - e - sz - sze - sz =
1
s2
( 1 - 0 -0 ) =
1
s2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
[ ] ( ) [ ] [ ]
( ) ( ) ( )
( )
F ( s ) = L [ t ] =
1
s2
, s > 0 .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a Transformada de Laplace para a função
f ( t ) = ekt
, com
k
real.
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F ( s ) =L ekt = ∫
∞
0e - st ekt dt
∫
∞
0e ( k - s ) t dt = lim
z → ∞
∫
z
0e ( k - s ) t dt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫
z
0e ( k − s ) t dt
∫
z
0e ( k - s ) t dt =
1
k - s
e ( k - s ) t
z
0 =
1
k - s
e ( k - s ) z -
1
k - s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
z → ∞
∫
z
0e ( k - s ) t dtlim
z → ∞
1
k - s
e ( k - s ) z -
1
k - s
=
∞ , para k ≥ s
1
s - k
, para k < s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
F ( s ) =ℒ t =
1
s - k
, para s > k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Determine a Transformada de Laplace para a função
f ( t ) =
0 , 0 < t ≤ 4
e4t , t > 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ]
[ ]
[ ] {
[ ]
{
RESOLUÇÃO
Usando a definição
F ( s ) = L [ f ( t ) ] = ∫
∞
0 e - stf t dt = ∫
4
0 0 . e - stdt + ∫
∞
4 e4te - stdt
F ( s ) = ∫
∞
4 e ( 4 - s ) tdt = lim
z → ∞
∫
z
4e ( 4 - s ) t dt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫
z
4e ( 4 − s ) t dt
∫
z
4e ( 4 - s ) t dt =
1
4 - s
e ( 4 - s ) t
z
4 =
1
4 - s
e ( 4 - s ) z -
1
4 - s
e ( 4 - s ) 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
z → ∞
∫
z
0e ( 4 - s ) t dt =
∞ , para s ≤ 4
1
s - 4
e - 4 ( s - 4 ) , para s > 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
F ( s ) =
1
s - 4
e - 4 ( s - 4 ) , para s > 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PARA GARANTIR A EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE, UMA
CONDIÇÃO NECESSÁRIA É QUE A FUNÇÃO
F (T )
DEVE SEGUIR O COMPORTAMENTO: SER CONTÍNUA POR PARTES EM TODO
INTERVALO
[ 0 , ∞ )
.
RELEMBRANDO
Lembre-se de que ser contínua por partes é ser contínua no intervalo, a não ser, possivelmente, em alguns pontos finitos. Assim, ela
pode até conter, por exemplo, um número finito de salto de descontinuidade, que continuará ser contínua em cada uma de suas
partes.
O que a função não pode ter é um intervalo de descontinuidade dentro do seu domínio. Essa é apenas uma condição necessária, mas
( )
[ ]
{
não é suficiente. Para a Integral de Laplace existir, a Integral Imprópria além de existir, tem que convergir.
Se analisarmos o integrando, teremos e– st f t , assim a função
f ( t )
não pode divergir mais rápido do que a convergência da função e– st, para quando tende ao infinito. Se isso acontecer, o integrando
sempre convergirá.
Por isso, uma condição suficiente para existência da Transformada de Laplace é que | f ( t ) | < Ce - kt, em que
C
e
K
são números reais. A função será de ordem exponencial se atender a tal condição, garantindo, assim, a convergência nos intervalos
em que essa condição existe.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
SE A FUNÇÃO
F (T )
É CONTÍNUA POR PARTES PARA
T> 0
E DE ORDEM EXPONENCIAL À MEDIDA QUE
T→ ∞
, ENTÃO, EXISTIRÁ A TRANSFORMADA DE LAPLACE
L [F (T ) ]
.
São exemplos de funções que possuem Transformadas de Laplace: 1, ktn, sen ( kt ) , cos ( kt ) , ekt , entre outras.
PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Vamos, agora, citar algumas propriedades da Transformada de Laplace. Essas propriedades podem ser demonstradas pela definição
da Transformada. E caso seja do seu interesse, podem ser encontradas nas obras de referência deste conteúdo.
LINEARIDADE
( )
A Transformada de Laplace é uma transformação linear, assim, atende a propriedade da Linearidade.
L k1f1 ( t ) + k2f2 ( t ) = k1L f1 t + k2L f2 t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função
f ( t ) = senh ( kt )
, com
k
real.
Solução:
Lembre-se de que senh ( kt ) =
ekt - e - kt
2
Usando a propriedade da linearidade
L [ senh ( kt ) ] =L
ekt - e - kt
2
=
1
2
L ekt -
1
2
L e - kt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo anterior, já obtivemos a Transformada de Laplace da função
ekt
. Assim,
L [ senh ( kt ) ] =
1
2
1
s - k
-
1
2
1
s - ( - k )
L [ senh ( kt ) ] =
1
2
( s + k ) - ( s - k )
( s - k ) ( s + k )
=
k
s2 - k2
, s > k .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSLAÇÃO DA TRANSFORMADA
Se a Transformada da função
f ( t )
é conhecida,
F ( s )
, então, podemos obter facilmente a Transformada de Laplace da função
g ( t ) = ektf ( t )
, sendo
k
uma constante. Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
L ektf t = F s - k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função
[ ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ] [ ] [ ]
( ) ( )
( )
[ ( ) ] ( )
emtsenh ( kt )
, com
k
em reais.
Solução:
No exemplo anterior, obtivemos
L [ senh ( kt ) ] = F ( s ) =
k
s2 - k2
, para s > k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L emtsenh kt = F s – m =
k
( s - m ) 2 - k2
, para s - m > k → s > m + k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADE E MUDANÇA DE ESCALA
Se a Transformada da função
f ( t )
é conhecida,
F ( s )
, então, podemos obter facilmente a Transformada de Laplace da função
g ( t ) = f ( kt )
, sendo
k
uma constante.
Para isso, utilizaremos a propriedade da translação:
L f (kt ) =
1
k
F
s
k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Exemplo:
Obtenha a Transformada de Laplace da função
f ( t ) = 5t
.
Solução:
Em exemplos anteriores, obtivemos
F ( s ) =L [ t ] =
1
s2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala. Se
f ( t ) = 5t então L 5t =
1
5
F
s
5
=
1
5
1
s
5
2
=
5
s2
[ ( ) ] ( )
[ ] ( )
[ ] ( )
( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aqui também poderia ser utilizada a Linearidade
L 5t = 5 L t =
5
s2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA FUNÇÃO 𝑓൫𝑡൯
= 3.
A) 1𝑠+3
B) 3𝑠
C) 3𝑠+9
D) 𝑠
𝑠2+9
E) 𝑠𝑠2−9
2. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑓൫𝑡൯ VALE 𝑠
𝑠2+9𝑛+1
, SENDO $$N$$
UM NÚMERO INTEIRO, OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 𝑒5𝑡𝑓൫𝑡൯.
A) 𝑠
𝑠2−10𝑠+16𝑛+5
B) 𝑠
𝑠2−10𝑠+25𝑛+1
C) 𝑠−5
𝑠2−10𝑠+25𝑛+1
D) 𝑠
𝑠2−10𝑠+34𝑛+1
E) 𝑠−5
𝑠2−10𝑠+34𝑛+1
3. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$F(T)$$ VALE 𝑒
4𝑠
𝑠+1 , OBTENHA A
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE $$F(2T)$$.
A) 𝑒
4𝑠
𝑠+2
B) 𝑒
2𝑠
𝑠+1
C) 2𝑒
2𝑠
𝑠+2
[ ] [ ]
D) 𝑒
2𝑠
𝑠+2
E) 4𝑒
2𝑠
𝑠+1
4. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 0, 0 < 𝑡 ≤ 1𝑡, 𝑡 > 1
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 1𝑠2 +
1
𝑠
B) 1𝑠2 +
1
𝑠
C) 𝑒−𝑠 1𝑠2 +
1
𝑠
D) 1𝑠2 𝑒
−𝑠
E) 1𝑠 𝑒
−𝑠
5. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA FUNÇÃO 𝑓𝑡 = 𝑐
𝑜𝑠ℎ൫𝑘𝑡൯, COM $$K$$ REAL.
A) 𝑠
𝑠2−𝑘2
B) 1
𝑠2−𝑘2
C) 𝑠
𝑠2+𝑘2
D) 1
𝑠2+𝑘2
E) 1𝑠2
6. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA FUNÇÃO 𝑓𝑡 = 𝑐
𝑜𝑠 ൫𝑘𝑡൯, $$K$$ REAL.
A) 1
𝑠2−𝑘2
B) 1
s2+k2
C) k
s2+k2
D) s
s2+k2
E) s
s2−k2
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função 𝑓൫𝑡൯ = 3.
A alternativa "B " está correta.
Usando a definição
𝐹𝑠 = ℒ ൣ3൧ = ∫0
∞
3𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧→∞
∫0
𝑧
3𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral ∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = 1
−𝑠 𝑒
−𝑠𝑡
0
𝑧
= − 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑧 + 1𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
lim
𝑧→∞
∫0
𝑧
3𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧→∞
3
𝑠
൭1 − 𝑒−𝑠𝑧൱ =
−∞ , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 < 0
3
𝑠 , 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑠 > 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐹𝑠 = ℒൣ3൧ = 3𝑠 , para 𝑠 > 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabendo que a Transformada de Laplace da função 𝑓൫𝑡൯ vale 𝑠
𝑠2+9𝑛+1
, sendo $$n$$ um número inteiro, obtenha a
Transformada de Laplace de 𝑒5𝑡𝑓൫𝑡൯.
A alternativa "E " está correta.
Pelas propriedades da Transformada de Laplace, sabe-se que
ℒ ൣ 𝑒𝑘𝑡𝑓൫𝑡൯ ൧ = 𝐹 ൫ 𝑠 – 𝑘൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝐹𝑠 = 𝑠
𝑠2+9𝑛+1
 e 𝑘 = 5, teremos
ℒ 𝑒5𝑡𝑓𝑡 = 𝐹 𝑠 – 5 = 𝑠−5
൫𝑠−5൯2+9
𝑛+1 =
𝑠−5
𝑠2−10𝑠+34𝑛+1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Sabendo que a Transformada de Laplace da função $$f(t)$$ vale 
𝑒4𝑠
𝑠+1 , obtenha a Transformada de Laplace de $$f(2t)$$.
A alternativa "D " está correta.
Pelas propriedades da Transformada de Laplace, sabe-se que
ℒ ൣ 𝑓൫𝑘𝑡൯ ൧ = 1𝑘 F
𝑠
𝑘
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝐹𝑠 = 10 𝑒
4𝑠
𝑠+1 , então:
ℒ 𝑓2𝑡 = 1
2
𝐹 𝑠
2
= 1
2
𝑒4
𝑠
2
𝑠
2 +1
= 𝑒
2𝑠
2.
𝑠+2
2
= 𝑒
2𝑠
𝑠+2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função
𝑓𝑡 = 0, 0 < 𝑡 ≤ 1𝑡, 𝑡 > 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Usando a definição
𝐹𝑠 = ℒൣ𝑓൫𝑡൯൧ = ∫0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑓൫𝑡൯ 𝑑𝑡 = ∫0
1
0 . 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 + ∫1
∞ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑑𝑡
𝐹𝑠 = ∫1
∞ 𝑒−𝑠𝑡𝑡𝑑𝑡 = lim
𝑧→∞
∫1
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, calcular a integral ∫1
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡
Usando integração por partes:
𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
e
𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = − 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫1
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡
1
𝑧
− ∫1
𝑧
− 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡
1
𝑧
− 1
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡
1
𝑧
∫1
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑧 𝑒
−𝑠𝑧 + 1𝑠 𝑒
−𝑠 − 1
𝑠2
𝑒−𝑠𝑧 − 1
𝑠2
𝑒−𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
lim
𝑧→∞
∫1
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = 0 + 1𝑠 𝑒
−𝑠 − 0 + 1
𝑠2
𝑒−𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
𝐹𝑠 = ℒ ൣ𝑡൧ = 𝑒−𝑠 1
𝑠2
+ 1𝑠 , 𝑠 > 0 .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função 𝑓𝑡 = 𝑐𝑜𝑠ℎ൫𝑘𝑡൯, com $$k$$ real.
A alternativa "A " está correta.
Lembre-se de que
𝑐𝑜𝑠ℎ𝑘𝑡 = 𝑒
𝑘𝑡+𝑒−𝑘𝑡
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℒൣ𝑐𝑜𝑠ℎ൫𝑘𝑡൯൧ = ℒ 𝑒
𝑘𝑡+𝑒−𝑘𝑡
2
= 1
2
ℒ𝑒𝑘𝑡 + 1
2
ℒ𝑒−𝑘𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já obtivemos a Transformada de Laplace da função $$e^{kt}$$.
Assim,
ℒ ൣ 𝑐𝑜𝑠ℎ൫𝑘𝑡൯ ൧ = 1
2
1
𝑠−𝑘 +
1
2
1
𝑠−−𝑘
ℒ ൣ𝑐𝑜𝑠ℎ൫𝑘𝑡൯ ൧ = 1
2
𝑠+𝑘+൫𝑠−𝑘൯
൫𝑠−𝑘൯൫𝑠+𝑘൯
= 𝑠
𝑠2−𝑘2
, 𝑠 > 𝑘 .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace para função 𝑓𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 ൫𝑘𝑡൯, $$k$$ real.
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A função degrau unitário é definida por
u t - t0 =
0 , t < t0
1 , t ≥ t0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
t0
o ponto onde a função dá um salto de descontinuidade.
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
Vamos determinar a Transformada de Laplace de
u ( t − t0 )
e de
u ( t – 1 ) e2t
.
RESOLUÇÃO
TRANSFORMADA DE LAPLACE
( ) {
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$F(T)$$ VALE 1
𝑠2+42
, OBTENHA A
TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 𝑓 𝑡
2
.
A) 1
8𝑠2+12
B) 4
𝑠2+42
C) 16
𝑠2+12
D) 8
𝑠2+42
E) 𝑠
8𝑠2−42
2. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA A FUNÇÃO 𝑓൫𝑡൯ = 𝑡2.
A) 2𝑠
𝑠2+1
B) 1𝑠2
C) 2𝑠3
D) 1
൫𝑠+1൯2
E) 𝑠+1𝑠2
GABARITO
1. Sabendo que a Transformada de Laplace da função $$f(t)$$ vale 1
𝑠2+42
, obtenha a Transformada de Laplace de 𝑓 𝑡
2
.
A alternativa "A " está correta.
Sabe-se que
ℒ ൣ 𝑓൫𝑘𝑡൯ ൧ = 1𝑘 𝐹
𝑠
𝑘 → ℒ ൣ 𝑓൫0, 5𝑡൯ ൧ = 2𝐹2𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝐹2𝑠 = 2
൫2𝑠൯2+4
2 =
2
4𝑠2+42
= 2
16𝑠2+12
= 1
8𝑠2+12
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a Transformada de Laplace para a função 𝑓൫𝑡൯ = 𝑡2.
A alternativa "C " está correta.
Usando a definição
𝐹𝑠 = ℒ ൣ𝑡2൧ = ∫0
∞𝑒−𝑠𝑡 𝑡2 𝑑𝑡
∫0
∞𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = lim
𝑧→∞
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡2 𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, então, calcular a integral ∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡2 𝑑𝑡
Usando integração por partes: 𝑢 = 𝑡2 → 𝑑𝑢 = 2𝑡𝑑𝑡 e 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = − 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑡
Assim,
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡
2 𝑒−𝑠𝑡
0
𝑧
− ∫0
𝑧
− 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑡ቀ2𝑡ቁ 𝑑𝑡
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡
2 𝑒−𝑠𝑡
0
𝑧
+ 2𝑠 ∫0
𝑧 𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para resolver a integral ∫0
𝑧 𝑡𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡, vamos usar novamente a integração por partes:
Usando integração por partes: 𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 e 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡 → 𝑣 = − 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑡
Logo,
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡
0
𝑧
− ∫0
𝑧
− 1𝑠 𝑒
−𝑠𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡
0
𝑧
− 1
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡
0
𝑧
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo,
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡
2 𝑒−𝑠𝑡
0
𝑧
+ 2𝑠 −
1
𝑠 𝑡 𝑒
−𝑠𝑡
0
𝑧
− 2𝑠
1
𝑠2
𝑒−𝑠𝑡
0
𝑧
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡 𝑑𝑡 = − 1𝑠 𝑡
2 𝑒−𝑠𝑧 + 1𝑠 𝑧
2 − 2
𝑠2
𝑧 𝑒−𝑠𝑧 + 2
𝑠2
𝑧 − 2
𝑠3
𝑒−𝑠𝑧 + 2
𝑠3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
𝑙𝑖𝑚
𝑧→∞
∫0
𝑧𝑒−𝑠𝑡𝑡2 𝑑𝑡 = 0 − 0 + 0 − 0 + 0 + 2
𝑠3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos, então, 𝐹𝑠 = 2
𝑠3
, 𝑠 > 0.
MÓDULO 2
Formular a derivação e integração na Transformada de Laplace
DERIVAÇÃO E INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE
LAPLACE>
DERIVAÇÃO NA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Vamos estudar as propriedades da Transformada de Laplace que envolve a derivação e a integração. Iniciaremos com a
Transformada de Laplace da derivada de uma função, propriedade de grande aplicação na solução de equações diferenciais.
TRANSFORMADA DE LAPLACE DA DERIVADA DA FUNÇÃO
F (T )
:
Seja a função
f ( t )
com Transformada de Laplace
F ( s )
.
L [F ' (T ) ] = ∫
∞
0 F ' T E -STDT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes
U=E -ST→DU= -S E -STDT
DV=F' (T )DT→V=F (T )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫
∞
0f' t e - stdt = e - stf t
∞
0 - ∫
∞
0 - s e - stf t
∫
∞
0 f ' t e - stdt = - f ( 0 ) + s ∫
∞
0 e - stf t dt
ℒ [ f ' ] = - f ( 0 ) + sℒ [ f ] = sF ( s ) – f ( 0 )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo, sucessivamente, esse procedimento, obtemos
ℒ [ f ' ' ] = s2F ( s ) - sf ( 0 ) - f ' ( 0 )
ℒ [ f ' ' ' ] = s3F ( s ) - s2f ( 0 ) - sf ' ( 0 ) - f ' ' 0
. . .
ℒ f ( n ) = snF ( s ) - sn - 1f ( 0 ) -sn - 2f ' ( 0 ) - … - sf ( n - 2 ) 0 - f ( n ) 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa maneira, obtivemos a fórmula para a Transformada de Laplace da derivada de qualquer ordem para uma função. Vejamos
alguns exemplos:
EXEMPLO 4
Obtenha a Transformada de Laplace da função
t2
, sabendo que a Transformada de Laplace da função
t4
( )
( )
( ) [ ( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
( )
[ ] ( ) ( )
vale 
24
s5
:
RESOLUÇÃO
Seja a função
f ( t ) = t4
. Sabe-se que
f ′ ( t ) = 4t3
e
f ′ ( t ) =12t2
Assim,
L [ f ' ' ] = L 12 t2 = 12 L t2
L [ f ' ' ] = s2F ( s ) - sf ( 0 ) - f ' ( 0 ) = s2
24
s5
- s . 04 -4 . 03 =
24
s3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
12 L t2 =
24
s3
→L t2 =
2
s3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 5
Obtenha a equação na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial y’’ + 2 y’ + 3y = 0, sabendo que y ( 0 ) = a e
y’ ( 0 ) = b, com
a
e
b
reais:
RESOLUÇÃO
Usando a propriedade
L [ f ' ] = sF ( s ) – f ( 0 )
L [ f ' ' ] = s2F ( s ) - sf ( 0 ) - f ' 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Função
f ( t ) = y
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda, sabe-se que a Transformada de Laplace do termo da direita vale 0.
L [ y’’ + 2 y’ + y ] =L [ y’’ ] + 2 L [ y’ ] + L [ y ]
= s2Y ( s ) - s y ( 0 ) - y' ( 0 ) + 2 s Y s – 2y 0 + Y s = 0
[ ] [ ]
[ ] [ ]
( )
( ) ( ) ( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
s2 + 2s + 1 Y ( s ) = ( s + 2 ) y ( 0 ) + y' ( 0 )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
Y ( s ) =
( s + 2 ) y ( 0 ) + y' ( 0 )
s2 + 2s + 1
=
( s + 2 ) a + b
s2 + 2s + 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Estudaremos no próximo módulo a Transformada inversa que permitirá sair de
Y ( s )
e obter a solução da Equação Diferencial Ordinária — EDO.
ATENÇÃO
A Transformada de Laplace só permite solucionar problemas de valores iniciais, isto é, que forneçam as condições na origem. Caso
as condições forem dadas em outros pontos, devemos usar a substituição de variável para transformar nas condições na origem.
Vamos analisar, agora, o que acontece se derivarmos a Transformada de Laplace.
Seja a Transformada de Laplace
F ( s )
da função
f ( t )
:
F (S ) =ℒ F T = ∫
∞
0E -ST F (T ) DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos derivar ambos os lados em relação a variável
s
:
DF
DS
(S ) =
D
DS
∫
∞
0E -STF T DT = ∫
∞
0
D
DS
E -ST F T DT
( )
( ) ( )
[ ( ) ]
( ( ) ) ( ) ( )
DF
DS
(S ) = ∫
∞
0 - 1 T E -ST F T DT= ∫
∞
0 - 1 TF T E -ST DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
DF
DS
(S ) = L ( - 1 ) 1T F T
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivando mais uma vez,
D2F
DS2
(S ) =
DF
DS
∫
∞
0 ( - 1 )E -STTF T DT = ∫
∞
0
DF
DS
E -ST ( - 1 )TF T DT
D2F
DS2
(S ) = ∫
∞
0 ( - 1 )T E -ST ( - 1 )TF T DT
D2F
DS2
(S ) = ∫
∞
0 ( - 1 ) 2T2 E -ST F T DT
D2F
DS2
(S ) =ℒ ( - 1 ) 2T2 F T
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repetindo-se os passos, prova-se que
DNF
DSN
(S ) =L ( - 1 )NTN F T
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode-se, então, dizer que
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ]
( ( ) ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]
L TNF T = ( - 1 )N
DNF
DSN
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PORTANTO, SE MULTIPLICARMOS A FUNÇÃO PELA FUNÇÃO
TN
, DERIVAMOS A TRANSFORMADA DE LAPLACE EM UMA ORDEM
N
.
Vamos analisar os exemplos a seguir:
EXEMPLO 6
Obtenha a Transformada de Laplace da função
f ( t ) = t3 :
RESOLUÇÃO
Poderíamos achar essa Transformada por meio da definição da Transformada de Laplace. Nessa solução, usaríamos várias vezes a
integração por partes, mas existe um caminho mais simples:
Poderemos considerar a função
f ( t ) = t3 = t3.1
e obter a Transformada de Laplace de
f ( t ) = 1
.
Usando a definição
F ( s ) = L 1 = ∫
∞
0 e - st dt
∫
∞
0e - st dt = lim
z → ∞
∫
z
0e - st dt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos, portanto, calcular a integral
∫
z
0e− st dt :
∫
z
0e - st dt =
1
- s
e - st
z
0 = -
1
s
e - sz +
1
s
[ ( ) ]
[ ]
[ ]
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
lim
z → ∞
∫
z
0e - st dt = lim
z → ∞
1
s
1 - e - sz =
- ∞ , para s < 0
1
s
, para s > 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, vamos usar a propriedade:
L tnf t = ( - 1 ) n
dnF
dsn
L t3 . 1 = ( - 1 ) 3
d3F
ds3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
F ( s ) =
1
s
→ F' ( s ) = -
1
s2
→ F'' ( s ) =
2
s3
→ F''' ( s ) = -
6
s3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L t3 . 1 = ( - 1 ) 3
d3F
ds3
=
6
s3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAÇÃO NA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Aqui, faremos um raciocínio análogo para as propriedades envolvendo a integração, iniciando com a integração da Transformada de
Laplace.
Seja a Transformada de Laplace
F ( s )
da função
f ( t )
:
F (S ) =ℒ F T = ∫
∞
0E -ST F (T ) DT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos integrar ambos os lados em relação a variável
s
( ) {
[ ( ) ]
[ ]
[ ]
[ ( ) ]
∫
∞
SF (S )DS= ∫
∞
S ∫
∞0E -ST F (T ) DTDS
∫
∞
SF (S )DS= ∫
∞
0F (T ) ∫
∞
SE -ST DS DT
∫
∞
SF (S )DS= ∫
∞
0F (T )
1
T
E -STDT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
∫
∞
SF (S )DS=L
1
T
F T
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma, pode se dizer que
L
1
T
F T = ∫
∞
SF (S )DS
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
POR ISSO, SE CONHECERMOS A TRANSFORMADA DE
F (T )
PODEMOS OBTER A TRANSFORMADA DE 
1
T
F T POR MEIO DE UMA
INTEGRAÇÃO DE
F (S )
. SE DESEJARMOS A TRANSFORMADA DE 
1
T2
F (T ) , INTEGRAREMOS DUAS
VEZES E, ASSIM, SUCESSIVAMENTE.
[ ]
[ ( ) ]
[ ( ) ]
( )
Confira os exemplos a seguir:
EXEMPLO 7
Obtenha a Transformada de Laplace da função g t =
1
t
:
RESOLUÇÃO
Já calculamos a Transformada de Laplace de
f ( t ) = 1
.
F s =
1
s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo
g ( t ) =
1
t
=
1
t
. 1 ,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
L
1
t
f t = ∫
∞
s F ( s ) ds
ℒ
1
t
=ℒ
1
t
1 = ∫
∞
s
1
s
ds = [ lns ]
∞
s = ∞ - lns = ∞
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, essa Integral Imprópria não existe, pois não deu como resultado um número real.
Desse modo, não existe Transformada de Laplace da função
g ( t ) =
1
t
.
Por fim, vamos aproveitar e ver uma propriedade que ainda não foi vista, que determina a Transformada de Laplace da integração de
uma função
f ( t )
. Assim:
ℒ ∫
t
0f ( w ) dw = ∫
∞
0 ∫
t
0f ( w ) dw e - stdt
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando integração por partes:
u = ∫
t
0f ( v ) dv → du = f t dt
dv = e - stdt → v = -
1
s
e - st
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
( )
( )
[ ( ) ]
[ ] [ ]
[ ] ( )
( )
∫
∞
0 ∫
t
0f ( w ) dw e - stdt = -
1
s
e - st ∫
t
0f ( v ) dv
∞
0 - ∫
∞
0 -
1
s
e - st f t dt
∫
∞
0 ∫
t
0f ( w ) dw e - stdt = 0 +
1
s
∫
∞
0e - stf ( t ) dt =
1
s
F s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a propriedade nos diz que
L ∫
t
0f ( w ) dw =
1
s
F s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare, portanto, que basta dividir a Transformada de Laplace de
F ( s )
por
s
que se obtém a Transformada da integral de uma função.
EXEMPLO 8
Sabendo que a Transformada de Laplace de f ( t ) = cos ( 2t ) vale F ( s ) =
s
s2 + 4
. Determine a Transformada da função
f ( t ) = sen ( 2t ) .
RESOLUÇÃO
Sabe-se que
∫
t
0cos ( 2t ) dt =
1
2
sen 2t
t
0 =
1
2
sen ( 2t )
L ∫
t
0cos (2t ) dt =
1
s
F ( s ) ,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo
F ( s )
a Transformada de
cos ( 2t )
L ∫
t
0cos (2t ) dt = L
1
2
sen 2t =
1
2
L [ sen ( 2t ) ] =
1
s
.
s
s2 + 4
=
1
s2 + 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L [ sen ( 2t ) ] =
2
s2 + 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) [ ] ( ) ( )
( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
[ ]
[ ] [ ( ) ]
MÃO NA MASSA
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$T^3$$,
SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO $$T^5$$ VALE 120𝑠6 .
A) 3𝑠3
B) 2𝑠5
C) 6𝑠3
D) 9𝑠3
E) 6𝑠4
2. DETERMINE A EQUAÇÃO ALGÉBRICA NA VARIÁVEL DE LAPLACE QUE AUXILIARÁ NO CÁLCULO
DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 𝑦’’ − 3𝑦’ + 5𝑦 = 0, SABENDO QUE 𝑦൫0൯ = 5 E 𝑦’൫0൯ = 1.
A) 5𝑠+14𝑠2−3𝑠+5
B) 5𝑠−14𝑠2−3𝑠+5
C) 5𝑠𝑠2−3𝑠+5
D) 5𝑠+14𝑠2+3𝑠−5
E) 𝑠𝑠2+3𝑠+5
3. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑔൫𝑡൯ = 𝑡 COS 𝑡, SABENDO QUE ℒ ൣ𝑐𝑜𝑠 𝑡൧
= 𝑠
𝑠2+1
.
A) 2𝑠
2−1
𝑠2−12
B) 𝑠−1𝑠+1
C) 1−𝑠
2
𝑠2+12
D) 𝑠
2−1
𝑠2+12
E) 𝑠
2
𝑠2+12
4. USANDO A TRANSFORMADA DA INTEGRAL DE $$F(T)$$, OBTENHA A TRANSFORMADA DE
LAPLACE DE 𝑓൫𝑡൯ = 𝑐𝑜𝑠 ൫4𝑡൯, SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE 𝑠𝑒𝑛 ൫4𝑡൯ VALE 𝐹𝑠 = 4
𝑠2+16
.
A) 𝑠
𝑠2+16
B) 𝑠+1
𝑠2−16
C) 2𝑠𝑠2−16
D) 4𝑠2+16
E) 𝑠
2
𝑠2+16
5. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO ℎ𝑡 = 𝑡2𝑒𝑡COS 𝑡.
A) 
𝑠2−2𝑠−2൫2+2𝑠൯
𝑠2−2𝑠+22
B) 
𝑠2+2𝑠+2൫2−2𝑠൯
𝑠2−2𝑠+23
C) 
−𝑠2+2𝑠+2൫2−2𝑠൯
𝑠2−2𝑠+23
D) 
−𝑠2+2𝑠+2൫2+2𝑠൯
𝑠2−2𝑠+23
E) −𝑠
2−2𝑠−2
𝑠2−2𝑠+23
6. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑔𝑡 =
𝑠𝑒𝑛൫𝑡൯
𝑡 .
A) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔൫𝑠൯
B) 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑠 + 𝜋
2
C) 𝜋
2
D) 𝜋
2
− 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔൫𝑠൯
E) 𝑙𝑛൫𝑠൯
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace da função $$t^3$$, sabendo que a Transformada de
Laplace da função $$t^5$$ vale 
120
𝑠6
.
A alternativa "E " está correta.
Seja a função 𝑓൫𝑡൯ = 𝑡5.
Sabe-se que𝑓’൫𝑡൯ = 5 𝑡4 e 𝑓’’൫𝑡൯ = 20 𝑡3
Assim,
ℒ 𝑓'' = ℒ 20 𝑡3 = 20 ℒ 𝑡3
ℒ 𝑓'' = 𝑠2𝐹𝑠 − 𝑠𝑓0 − 𝑓 '0 = 𝑠2 120
𝑠6
− 𝑠 . 05 − 5 . 04 = 120
𝑠4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
20ℒ 𝑡3 = 120
𝑠4
→ ℒ 𝑡3 = 6
𝑠4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a equação algébrica na variável de Laplace que auxiliará no cálculo da equação diferencial 𝑦’’ − 3𝑦’ + 5𝑦 = 0,
sabendo que 𝑦൫0൯ = 5 e 𝑦’൫0൯ = 1.
A alternativa "B " está correta.
Usando a propriedade
ℒ 𝑓' = 𝑠𝐹൫𝑠൯ – 𝑓൫0൯
ℒ 𝑓'' = 𝑠2𝐹𝑠 − 𝑠𝑓0 − 𝑓'൫0൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A função 𝑓൫𝑡൯ = 𝑦
Aplicando a Transformada de Laplace nos termos da esquerda; Sabe-se que a Transformada de Laplace do termo da direita vale 0.
ℒ ൣ 𝑦’’ − 3𝑦’ + 5𝑦൧ = ℒൣ𝑦’’൧ − 3ℒൣ𝑦’൧ + 5 ℒ ൣ𝑦൧
= 𝑠2𝑌𝑠 − 𝑠 𝑦0 − 𝑦 '0 – 3𝑠 𝑌൫𝑠൯ + 3 𝑦൫0൯ + 5 𝑌൫𝑠൯ = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando em uma equação algébrica
𝑠2 − 3𝑠 + 5𝑌𝑠 = 𝑠 − 3𝑦0 + 𝑦 '0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
𝑌𝑠 = 𝑠−3𝑦0+𝑦
'0
𝑠2−3𝑠+5
= 𝑠−35+1
𝑠2−3𝑠+5
= 5𝑠−14
𝑠2−3𝑠+5
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a Transformada de Laplace da função 𝑔൫𝑡൯ = 𝑡 cos 𝑡, sabendo que ℒ ൣ𝑐𝑜𝑠 𝑡൧ = 𝑠
𝑠2+1
.
A alternativa "D " está correta.
Sabemos pela propriedade que
ℒ 𝑡𝑛𝑓൫𝑡൯ = ൫ − 1൯𝑛 𝑑
𝑛𝐹
𝑑𝑠𝑛
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℒ 𝑔൫𝑡൯ = ℒ𝑡𝑓൫𝑡൯ = ൫ − 1൯1 𝑑𝐹𝑑𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como 𝐹𝑠 = 𝑠
𝑠2+1
:
𝐹’𝑠 =
1.𝑠2+1−𝑠ቀ2𝑠ቁ
𝑠2+12
= 1−𝑠
2
𝑠2+12
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
ℒ 𝑔൫𝑡൯ = – 1 1−𝑠
2
𝑠2+12
= 𝑠
2−1
𝑠2+12
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Usando a Transformada da integral de $$f(t)$$, obtenha a Transformada de Laplace de 𝑓൫𝑡൯ = 𝑐𝑜𝑠 ൫4𝑡൯, sabendo que a
Transformada de 𝑠𝑒𝑛 ൫4𝑡൯ vale 𝐹𝑠 = 4
𝑠2+16
.
A alternativa "A " está correta.
Sabe-se que
∫0
𝑡 𝑠𝑒𝑛 4𝑡 𝑑𝑡 = − 1
4
𝑐𝑜𝑠 4𝑡
0
𝑡
= 1
4
− 1
4
𝑐𝑜𝑠 4𝑡
ℒ∫0
𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 1𝑠 𝐹𝑠,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo $$F(s)$$ a Transformada de 𝑠𝑒𝑛 ൫4𝑡൯
ℒ∫0
𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡 = 1𝑠 .
4
𝑠2+16
= 4
𝑠𝑠2+16
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℒ∫0
𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡 = ℒ 1
4
− 1
4
𝑐𝑜𝑠 4𝑡 = 1
4
ℒ 1 − 1
4
ℒ 𝑐𝑜𝑠൫4𝑡൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
ℒ𝑐𝑜𝑠൫4𝑡൯ = ℒ1 − 4ℒ ∫0
𝑡 𝑠𝑒𝑛4𝑡𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que ℒൣ1൧ = 1𝑠
Portanto,
ℒ𝑐𝑜𝑠൫4𝑡൯ = 1𝑠 − 4
4
𝑠𝑠2+16
= 𝑠
2+16−16
𝑠𝑠2+16
= 𝑠
2
𝑠𝑠2+16
= 𝑠
𝑠2+16
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Obtenha a Transformada de Laplaceda função ℎ𝑡 = 𝑡2𝑒𝑡cos 𝑡.
A alternativa "C " está correta.
6. Obtenha a Transformada de Laplace da função 𝑔𝑡 =
𝑠𝑒𝑛൫𝑡൯
𝑡 .
A alternativa "D " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos obter a solução do problema de valor inicial dado pela equação y’ – y = 0 com y ( 0 ) = 1 .
RESOLUÇÃO
Aplicando a transformada de Laplace em ambos os lados e usando a propriedade da derivada, isto é, L [ f' ] = s F ( s ) – f ( 0 )
L [ y’ – y ] = L [ 0 ] = 0
sY ( s ) - y ( 0 ) - Y ( s ) = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
Y ( s ) =
y ( 0 )
s - 1
=
1
s - 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Já sabemos que 
1
s - 1
 é a transformada de Laplace da função
et
Assim,
y ( t ) = et
.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡
2
COS2𝑡,
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
SABENDO QUE É A TRANSFORMADA DE LAPLACE DE 𝑡
4
𝑠𝑒𝑛൫2𝑡൯ VALE 𝑠
𝑠2+42
.
A) 𝑠
𝑠2+42
B) 𝑠
2
𝑠2+42
C) 𝑠
2
𝑠2+4
D) 𝑠
2
𝑠2−42
E) 2𝑠
2
𝑠2+𝑠2
2. OBTENHA A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO 𝑔𝑡 = 𝑒
𝑡−1
𝑡 .
A) 𝑠𝑠−1
B) 𝑠𝑠+1
C) 𝑙𝑛 𝑠𝑠−1
D) lnൣ𝑠𝑠 − 1൧
E) 𝑒𝑠 + 1
GABARITO
1. Marque a alternativa que apresenta a Transformada de Laplace da função
𝑓𝑡 = 1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡
2
cos2𝑡,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sabendo que é a Transformada de Laplace de 𝑡
4
𝑠𝑒𝑛൫2𝑡൯ vale 𝑠
𝑠2+42
.
A alternativa "B " está correta.
Seja a função
𝑔𝑡 = 𝑡
4
𝑠𝑒𝑛൫2𝑡൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sabe-se que
𝑔 '𝑡 = 1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑡 + 𝑡
2
cos൫2𝑡൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é a função desejada.
Assim,
ℒ 𝑔' = 𝑠𝐺𝑠 – 𝑔0 = 𝑠 𝑠
𝑠2+42
− 0
4
𝑠𝑒𝑛0 = 𝑠
2
𝑠2+42
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Obtenha a Transformada de Laplace da função 𝑔𝑡 = 𝑒
𝑡−1
𝑡 .
A alternativa "C " está correta.
Pela propriedade
ℒ 1𝑡 𝑓ቀ𝑡ቁ = ∫𝑠
∞𝐹𝑠𝑑𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Precisamos descobrir a Transformada de Laplace de 𝑓𝑡 = 𝑒𝑡 − 1
ℒ ൣ 𝑒𝑡 – 1൧ = 𝐿ൣ𝑒𝑡൧ – 𝐿ൣ1൧ = 1𝑠−1 −
1
𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
ℒ 1𝑡 𝑒
𝑡 − 1 = ∫𝑠
∞ 1
𝑠−1 −
1
𝑠 𝑑𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma integral imediata
ℒ 1𝑡 𝑒
𝑡 − 1 = ln𝑠 − 1𝑠
∞ − ln 𝑠𝑠
∞ = 0 − ln𝑠 − 1 − 0 + ln 𝑠
ℒ 1𝑡 𝑒
𝑡 − 1 = ln 𝑠 − ln𝑠 − 1 = 𝑙𝑛 𝑠𝑠−1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
Aplicar a Transformada de Laplace
TABELA DA TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE E SUAS
APLICAÇÕES
TABELA DA TRANSFORMADA DE LAPLACE
Até aqui, definimos a Transformada de Laplace e aprendemos a obter as Transformadas de diversas funções. No entanto, existem, na
literatura, tabelas que já apresentam as Transformadas das principais funções matemáticas, não sendo necessário, às vezes, calculá-
las. Neste módulo, vamos analisar como aplicar a Tabela das Transformadas, bem como definiremos a Transformada Inversa de
Laplace.
FUNÇÃO TRANSFORMADA
1
1
s
tn
n !
sn + 1
ekt
1
s - k
sen ( kt )
k
s2 + k2
cos ( kt )
s
s2 + k2
senh ( kt )
k
s2 - k2
cosh ( kt )
s
s2 - k2
ewtsen kt
k
( s - w ) 2 + k2
t sen ( kt )
2ks
s2 + k2
ewtcos kt
s
( s - w ) 2 + k2
t cos ( kt )
s2 - k2
s2 + k2
tn - 1ekt
( n - 1 ) !
1
( s - k ) n
n ≥ 1
1
2k3
sen ( kt ) - ktcos ( kt )
1
s2 + k2 2
t
2k
sen ( kt )
s
s2 + k2 2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
∫
t
0
t
2n
L - 1
1
s2 + k2 n
dt
1
s2 + k2 n + 1
t
2n
L - 1
1
s2 + k2 n
s
s2 + k2 n + 1
u t – t0
e - t0s
s
u t – t0 f t – t0 e - t0s F s
u t – t0 f t e - t0s F s + t0
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Tabela - Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
FUNÇÃO TRANSFORMADA
k1f ( t ) + k2g ( t ) k1F ( s ) + k2G ( s )
f ’ ( t ) sF ( s ) – f ( 0 )
f ’ ’ ( t ) s2F ( s ) - sf ( 0 ) - f' ( 0 )
f ( n ) t s2F ( s ) - sn - 1f ( 0 ) - … - f ( n - 1 ) ( 0 )
∫
t
of ( t ) dt
F ( s )
s
∫
t
kf ( t ) dt
F ( s )
s
-
1
s
∫
k
of ( t ) dt
ektf t F ( s – k )
tnf ( t ) ( - 1 ) n
dnF
dsn
( s )
Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Tabela - Propriedades das Transformadas de Laplace / Elaborada por Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
Vejamos alguns exemplos:
EXEMPLO 9
[
( )
]
( )
[
( )
]
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
Obtenha a Transformada de Laplace de:
h t = 4 cos 3t + 8 e2t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L cos kt =
s
s2 + k2
eL ekt =
1
s - k
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto,
L cos 3t =
s
s2 + 9
eL e2t =
1
s - 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
L 4 cos 3t + 8 e2t = 4L cos 3t + 8L e2t =
= 4
s
s2 + 9
+ 8
1
s - 2
=
4s ( s - 2 ) + 8 s2 + 9
s2 + 9 s - 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 10
Obtenha a Transformada de Laplace de:
g ( t ) = ∫
t
0 ∫
t
0cosh ( t ) dtdt :
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
O enunciado pede a Transformada da função, que é obtida integrando-se duas vezes a função
cosh ( t )
.
Visualizando a tabela das Transformadas de Laplace, observamos que
L cosh kt =
s
s2 - k2
→L cosh t =
s
s2 - 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L ∫
t
of ( t ) dt =
F ( s )
s
,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
então
L ∫
t
0 ∫
t
0f ( t ) dtdt =
1
s
F ( s )
s
=
F ( s )
s2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( )
[ ( ) ] [ ]
[ ( ) ] [ ]
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ]
( )
( ) ( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ]
[ ]
Mas F ( s ) =
s
s2 - 1
Assim,
L ∫
t
0 ∫
t
0f ( t ) dtdt =
F ( s )
s2
=
1
s s2 - 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 11
Determine a Transformada de Laplace para a função
f ( t ) =
0 , t < 2
t4 , t ≥ 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em
t = 2
.
Analisando a tabela, obtemos
L tn =
n !
sn + 1
→ L t4 =
4 !
s4 + 1
=
24
s5
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L u t – t0 f t = e - t0s F s + t0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
L u t – 2 f t = e - 2s
24
( s + 2 ) 5
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TRANSFORMADA INVERSA
Como já analisamos, a Transformada de Laplace permite transformar uma variável, usando uma transformação integral. A pergunta é:
COMO FAZER A TRANSFORMAÇÃO INVERSA PARA QUE, APÓS A
RESOLUÇÃO DO PROBLEMA, OBTENHAMOS A RESPOSTA NA
VARIÁVEL ORIGINAL?
[ ]
( )
{
[ ] [ ]
[ ( ) ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ]
Existem algumas formas de se fazer isso. Neste módulo, analisaremos juntos o procedimento, por meio da observação da tabela de
Transformadas de Laplace, se for o caso, com o método das frações parciais.
Representaremos a Transformada inversa pelo símbolo ℒ - 1.
Logo,
L - 1 F S = F T
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Antes de aplicarmos a teoria nos exemplos, vamos ver algumas propriedades da Transformada Inversa, que podem ser úteis:
A
LINEARIDADE:
L - 1 k1 F1 s + k2 F2 s = k1 L - 1 F1 s + k2 L - 1 F2 sB
DESLOCAMENTO:
L - 1 F s – k = ekt L - 1 F s
C
L - 1 s F s =
d
dt
L - 1 F s
D
L - 1
F ( s )
s
= ∫
t
0L - 1 [ F ( s ) ] dt
As propriedades das letras C e D garantem que, ao se verificar a inversa, podemos desconsiderar os termos s que multiplicam ou
dividem, para depois apenas derivar ou integrar, respectivamente, a função inversa obtida:
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ]
E
L - 1 [ F ( ks ) ] =
1
k
f
t
k
F
L - 1
dnF
dsn
s = ( - t ) nL - 1 F ( s )
Assim, para determinarmos a inversa de uma derivada devemos obter a inversa da função e depois multiplicar pelo fator
( − t ) n
. As demonstrações dessas propriedades podem ser analisadas nas referências deste conteúdo.
Vejamos, agora, um exemplo de aplicação direta da tabela:
EXEMPLO 12
Determine a função
f ( t )
, sabendo que
F ( s ) =
5s
s2 + 64
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, verifica-se que existe uma função que tem Transformada 
s
s2 + 64
, que é a função
cos ( 8t )
.
Pela linearidade
L - 1 5 F1 s = 5 L - 1 F1 s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
f ( t )
será 5 cos ( 8t )
Poderíamos também fazer por outro caminho
F ( s ) =
5s
s2 + 64
= 5 s
1
s2 + 64
=
5
8
s
8
s2 + 64
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que
( )
[ ( ) ] [ ]
[ ( ) ] [ ( ) ]
L - 1
8
s2 + 64
= sen 8t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
L - 1 sF s =
d
dt
L - 1 F s
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
L - 1
8s
s2 + 64
=
d
dt
sen ( 8t ) = 8cos ( 8t )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela linearidade
L - 1
5
8
F1 s =
5
8
L - 1 F1 s = 5cos 8t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nem sempre esses termos são a resposta que procuramos, necessitando, às vezes, de uma manipulação matemática.
EXEMPLO 13
Determine a função
f ( t )
, sabendo que
F ( s ) =
( s - 1 )
s2 - 2s + 2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
Observando o numerador, verifica-se que existe um descolamento
s – 1
.
Assim, vamos ver se o denominador aparece também com esse fator:
s2 - 2s + 2 = s2 - 2s + 1 + 1 = ( s - 1 ) 2 + 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
F ( s ) = G ( s – 1 ) =
( s - 1 )
( s - 1 ) 2 + 1
L– 1 G s – k = ekt L– 1 G s
L– 1 G s – 1 = et L– 1 G s = et L - 1
s
s2 + 1
= et cos t
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
[ ] ( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ]
[ ( ) ] [ ( ) ] ( )
( )
[ ( ) ] [ ( ) ]
[ ( ) ] [ ( ) ] [ ] ( )
ATENÇÃO
Nos problemas mais complexos, necessitaremos usar o método das frações parciais, que já aprendemos quando estudamos métodos
de integração. Por meio das frações parciais, podemos transformar uma fração em várias parcelas e depois tentar associar cada uma
à Transformada Inversa que se encontra na tabela.
FRAÇÕES PARCIAIS
O método de frações parciais é um método de fatoração de polinômios que transforma um polinômio de certo grau, em uma sucessão
de multiplicações de polinômios de menor grau.
O MÉTODO SE INICIA FATORANDO O POLINÔMIO DO
DENOMINADOR,
Q (X )
, EM FATORES LINEARES DO TIPO (X -P ) , P REAL , E FATORES
QUADRÁTICOS IRREDUTÍVEIS DO TIPO
AX2 +BX+C
, SENDO
A
,
B
E
C
REAIS E A2 - 4BC< 0.
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os fatores lineares correspondem às
raízes reais do polinômio
Q ( x )
e os fatores quadráticos irredutíveis às raízes complexas conjugadas do polinômio
( )
Q ( x )
.
Dividiremos o método em quatro casos:
Q(X) APENAS COM RAÍZES REAIS SEM MULTIPLICIDADE
Seja o polinômio
Q ( x )
de grau
n
, que apresenta apenas n raízes reais sem multiplicidade. Para esse caso, após a fatoração de
Q ( x )
, ele será transformado em um produto de fatores lineares diferentes entre si:
Q ( x ) = k x - α1 x - α2 … x - αn ,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
k
real e
α1
,
α2
,
…
,
αn
raízes reais.
Assim, a função
f ( x ) =
P ( x )
Q ( x )
=
P ( x )
k x - α1 x - α2 … x - αn
=
A1
x - α1
+
A2
x - α2
+ … +
An
x - αn
,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
A1
,
A2
,
. . .
,
An
reais.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Cada raiz real
αj
corresponderá a uma parcela do tipo 
Aj
x - αj
.
Os valores de
A1
,
A2
,
. . .
,
An
serão obtidos colocando-se o lado direito com o mesmo denominador e igualando-se
P ( x )
com o numerador que se obterá na direita.
Veja o exemplo a seguir:
5x + 2
x2 - 2x - 3
=
5x + 2
( x + 1 ) ( x - 3 )
=
A
( x + 1 )
+
B
( x - 3 )
=
A ( x - 3 ) + B ( x + 1)
( x + 1 ) ( x - 3 )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos, então, escrever
5x + 2
( x + 1 ) ( x - 3 )
=
A ( x - 3 ) + B ( x + 1)
( x + 1 ) ( x - 3 )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma vez que os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores
5x + 2 = A ( x - 3 ) + B ( x + 1 )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos reescrever da seguinte forma
5x + 2 = ( A + B ) x - 3A + B
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando os fatores, temos
5x = ( A + B ) x
2 = - 3A + B
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Solucionando o sistema, temos: A =
3
4
 e
B = 6
Q(X) APRESENTA RAÍZES REAIS COM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio
Q ( x )
( )
{
de grau n terá apenas raízes reais, porém, algumas sem e outras com multiplicidade. Lembre-se de que multiplicidade é o número
de vezes que a mesma raiz aparece no polinômio.
Após a fatoração de
Q ( x )
, ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua multiplicidade.
Q ( x ) = k x - α1 r1 x - α2 r2 … x - αn rn ,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
k
real,
α1
,
α2
,
…
,
αn
, reais e
r1
,
r2
,
…
,
rn
naturais diferentes de zero. O número
rj
corresponde à multiplicidade da raiz
α j
.
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real
αj
sem multiplicidade, ou que seria sinônimo, de multiplicidade
1 ( r = 1 )
, será transformada em uma parcela do tipo 
Aj
x - αj
.
Toda raiz real
( ) ( ) ( )
( )
αi
com multiplicidade
( r ≠ 1 )
será transformada em r termos do tipo:
B1
x - αj
+
B2
x - αj 2
+ … +
Br
x - αj r
, com B1 , B2 , … , Br reais
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação de f ( x ) =
P ( x )
Q ( x )
 na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os mesmos passos do primeiro
caso.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS SEM MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio
Q ( x )
de grau n terá pelo menos um par de raízes complexas sem multiplicidade. Lembre-se de que na álgebra as raízes complexas
aparecem em pares (complexos conjugados).
Assim,
Q ( x )
, após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um termo do tipo
( ax2 + bx + c )
, com
b2 − 4ac
, que são fatores quadrados irredutíveis, isto é, não podem ser transformados no produto de dois fatores lineares.
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo 
Ax + B
ax2 + bx + c
 com
A , B
,
a , b
e
c
reais.
As raízes reais com ou sem multiplicidade, que podem aparecer, seguem o raciocínio dos itens anteriores. Os demais passos são
idênticos aos casos apresentados.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS COM MULTIPLICIDADE
( ) ( ) ( )
( )
Neste caso, o polinômio
Q (x )
de grau n terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com multiplicidade
r
. Desse modo,
Q ( x )
, após a fatoração, apresentará para cada par de raízes complexas com multiplicidade
r
um termo quadrático irredutível elevado a sua multiplicidade, ou seja,
( ax2 + bx + c ) r
, com
a
,
b
e
c
reais e
r
natural maior do que
1
.
Cada par de raízes complexas com multiplicidade
r
estará associada a uma soma de parcelas do tipo
Ax + B
ax2 + bx + c
+
Cx + D
ax2 + bx + c 2
+ … +
Ex + F
ax2 + bx + c r
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
r
a multiplicidade do par de raízes.
As demais raízes reais e complexas que aparecerem sem multiplicidade seguem os termos vistos nos casos anteriores. Os demais
passos são idênticos aos apresentados.
Vejamos um exemplo de Transformada Inversa usando frações parciais:
EXEMPLO 14
( ) ( ) ( )
Determine a função cuja Transformada de Laplace vale 
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
.
RESOLUÇÃO
Vamos usar o método de frações parciais para desenvolver melhor o quociente
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtendo as raízes do denominado
Q x = s3 + s2 + 4s + 4 = s + 1 s2 + 4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, usando o método das frações parciais
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
=
A
s + 1
+
Bs + C
s2 + 4
3s – 2 ≡ A s2 + 4 + ( Bs + C ) (s + 1 ) = As2 + 4A + Bs2 + Bs + Cs + C
3s – 2 ≡ A + B s2 + ( B + C ) s + 4A + C
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo,
A + B = 0
B + C = 3
4A + C = - 2
→ 4A + ( 3 + A ) = - 2 → A = - 1 → B = 1 → C = 2
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
=
-1
s + 1
+
s + 2
s2 + 4
=
- 1
s + 1
+
s
s2 + 4
+
2
s2 + 4
L– 1
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
=L– 1
- 1
s + 1
+L– 1
s
s2 + 4
+L– 1
2
s2 + 4
L– 1
3s - 2
s3 + s2 + 4s + 4
= - e - t + sen ( 2t ) +cos ( 2t )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE, USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA
FUNÇÃO
𝑓൫𝑡൯ = 9 𝑐𝑜𝑠ℎ൫3𝑡൯ .
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 9𝑠2−9
B) 9𝑠𝑠2−9
C) 𝑠𝑠2−9
( ) ( ) ( )
( )
( )
{
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
D) 9𝑠𝑠2+9
E) 𝑠𝑠2+9
2. DETERMINE A FUNÇÃO $$G(T)$$, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 1
൫𝑠−2൯
3.
A) 𝑡
2𝑒𝑡
4
B) 𝑡
2𝑒2𝑡
4
C) 𝑡
2𝑒𝑡
2
D) 𝑡𝑒
2𝑡
2
E) 𝑡
2𝑒2𝑡
2
3. USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA FUNÇÃO
𝑓൫𝑡൯ = 6𝑡 𝑒3𝑡𝑠𝑒𝑛൫2𝑡൯
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
É IGUAL A:
A) 
4൫𝑠−3൯
𝑠2+6𝑠+132
B) 
൫𝑠+3൯
𝑠2−6𝑠+32
C) 
24൫𝑠−3൯
𝑠2−6𝑠+132
D) 
24൫𝑠+3൯
𝑠2−6𝑠+92
E) 
൫𝑠+3൯
𝑠2−6𝑠+132
4. DETERMINE A FUNÇÃO $$F(T)$$, SABENDO QUE
𝐹𝑠 = 𝑠+8
𝑠2+16𝑠
.
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 𝑒 –8𝑡 cos൫8𝑡൯
B) 𝑒 –8𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ൫8𝑡൯
C) 𝑒 –4𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ൫4𝑡൯
D) 𝑒 –4𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ൫8𝑡൯
E) 𝑒8𝑡𝑐𝑜𝑠ℎ൫8𝑡൯
5. DETERMINE A TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA A FUNÇÃO
𝑓𝑡 =
0, 𝑡 < 3
COS൫2𝑡൯, 𝑡 ≥ 3
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 𝑒−𝑠
൫𝑠+3൯
𝑠2+6𝑠+13
B) 𝑒−3𝑠
൫𝑠−3൯
𝑠2−6𝑠+13
C) 𝑒+3𝑠
൫𝑠−3൯
𝑠2−6𝑠+13
D) 𝑒−3𝑠
൫𝑠+3൯
𝑠2+6𝑠+13
E) 𝑒3𝑠 𝑠𝑠2+6𝑠+13
6. DETERMINE A FUNÇÃO, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 2𝑠
2+1
𝑠3+2𝑠2
A) 1
2
− 3
2
cos൫ 2√ 𝑡൯
B) 1
2
+ 3
2
sen൫ 2√ 𝑡൯
C) 1
2
+ 3
2
cos൫2𝑡൯
D) 1
2
− 3
2
sen൫2𝑡൯
E) 1
2
+ 3
2
cos൫ 2√ 𝑡൯
GABARITO
1. Determine, usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
𝑓൫𝑡൯ = 9 𝑐𝑜𝑠ℎ൫3𝑡൯ .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Analisando as tabelas, verificamos que
ℒ ൣ𝑐𝑜𝑠ℎ ൫𝑘𝑡൯൧ = 𝑠
𝑠2−𝑘2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
ℒ ൣ 𝑐𝑜𝑠ℎ ൫3𝑡൯ ൧ = 𝑠
𝑠2−9
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
ℒ ൣ9𝑐𝑜𝑠ℎ ൫3𝑡൯൧ = 9 ℒ 𝑐𝑜𝑠ℎ 3𝑡 = 9𝑠
𝑠2−9
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função $$g(t)$$, cuja Transformada de Laplace vale 1
൫𝑠−2൯3
.
A alternativa "E " está correta.
Analisando a tabela, temos
ℒ 𝑡
𝑛−1𝑒𝑘𝑡
𝑛−1! =
1
൫𝑠−𝑘൯𝑛
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com o enunciado ℒ –1 1
൫𝑠−2൯3
, isso é $$n=3$$ e $$k=2$$.
Portanto,
ℒ – 1 1
൫𝑠−2൯3
= 𝑡
3−1𝑒2𝑡
3−1!
= 𝑡
2𝑒2𝑡
2!
= 𝑡
2𝑒2𝑡
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Usando a tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
𝑓൫𝑡൯ = 6𝑡 𝑒3𝑡𝑠𝑒𝑛൫2𝑡൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
é igual a:
A alternativa "C " está correta.
Analisando as tabelas, verificamos que
ℒ ൣ𝑠𝑒𝑛 2𝑡൧ = 2
𝑠2+4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℒ ൣ𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡൧ = 𝐺𝑠 = 𝐹𝑠 – 3 = 2
൫𝑠−3൯2+4
= 2
𝑠2−6𝑠+13
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma forma que
ℒ ൣ𝑡 𝑔𝑡൧ = – 11𝐺’𝑠 = –
2൫6−2𝑠൯
𝑠2−6𝑠+132
=
2൫2𝑠−6൯
𝑠2−6𝑠+132
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
ℒ ൣ 6𝑡 𝑒3𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡൧ = 6
4൫𝑠−3൯
𝑠2−6𝑠+132
=
24൫𝑠−3൯
𝑠2−6𝑠+132
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a função $$f(t)$$, sabendo que
𝐹𝑠 = 𝑠+8
𝑠2+16𝑠
.
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Observando o numerador, vemos que existe um descolamento $$s+8$$.
Então, vamos verificar se o denominador aparece também com esse fator.
𝑠2 + 16𝑠 = 𝑠2 + 16𝑠 + 64 − 64 = 𝑠 + 82 − 64
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐹𝑠 = 𝐺൫𝑠 + 8൯ =
൫𝑠+8൯
𝑠+82−64
𝐿 – 1ൣ𝐺൫𝑠 – 𝑘൯൧ = 𝑒𝑘𝑡 𝐿 – 1ൣ𝐺൫𝑠൯൧
ℒ – 1 ൣ𝐺 ൫𝑠 + 8൯൧ = 𝑒 –8𝑡 ℒ –1 ൣ𝐺൫𝑠൯൧ = 𝑒 – 8𝑡 ℒ−1 𝑠
𝑠2−64
= 𝑒 – 8𝑡 𝑐𝑜𝑠ℎ൫8𝑡൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a Transformada de Laplace para a função
𝑓𝑡 =
0, 𝑡 < 3
cos൫2𝑡൯, 𝑡 ≥ 3
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
A função representa uma função multiplicada por um degrau que inicia em $$t = 3$$.
Analisando a tabela Transformadas de Laplace, obtém-se
ℒ ൣ𝑐𝑜𝑠൫𝑘𝑡൯൧ = 𝑠
𝑠2+𝑘2
→ ℒ ൣ𝑐𝑜𝑠൫2𝑡൯൧ = 𝑠
𝑠2+4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℒ ൣ𝑢൫𝑡 – 𝑡0൯𝑓൫𝑡൯൧ = 𝑒−𝑡0𝑠 𝐹𝑠 + 𝑡0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então,
ℒ ൣ 𝑢൫𝑡 – 3൯ 𝑓൫ 𝑡 ൯ ൧ = 𝑒−3𝑠
൫𝑠+3൯
൫𝑠+3൯2+4
= 𝑒−3𝑠
൫𝑠+3൯
𝑠2+6𝑠+13
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a função, cuja Transformada de Laplace vale 2𝑠
2+1
𝑠3+2𝑠2
A alternativa "E " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Obtenha a solução da equação diferencial y’’ + 2y’ + y = et ou y ( 0 ) = y’ ( 0 ) = 0.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE, USANDO A TABELA DAS TRANSFORMADAS, A TRANSFORMADA DE LAPLACE DA
FUNÇÃO
𝑓൫𝑡൯ = COS ℎ൫4𝑡൯ – 2 𝑠𝑒𝑛ℎ൫2𝑡൯ .
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 𝑠
3+4𝑠2+4𝑠+64
൫𝑠−4൯൫𝑠+4൯൫𝑠−2൯൫𝑠+2൯
B) 𝑠
3−4𝑠2−4𝑠+64
൫𝑠−4൯൫𝑠+4൯൫𝑠−1൯൫𝑠+1൯
C) 𝑠
3−4𝑠2−4𝑠+64
൫𝑠−4൯൫𝑠+4൯൫𝑠−16൯൫𝑠+16൯
D) 𝑠
3−4𝑠2−4𝑠+64
൫𝑠−4൯൫𝑠+4൯൫𝑠−2൯൫𝑠+2൯
E) 𝑠
3−64
൫𝑠−4൯൫𝑠+4൯൫𝑠−2൯൫𝑠+2൯
2. DETERMINE A FUNÇÃO $$G(T)$$, CUJA TRANSFORMADA DE LAPLACE VALE 1
൫𝑠−4൯
5.
A) 𝑡
4𝑒4𝑡
24
B) t
2e2t
4
C) t
4e4t
6
D) te
2t
2
E) t
2e2t
2
GABARITO
1. Determine, usandoa tabela das Transformadas, a Transformada de Laplace da função
𝑓൫𝑡൯ = cos ℎ൫4𝑡൯ – 2 𝑠𝑒𝑛ℎ൫2𝑡൯ .
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
verificamos que
ℒൣ𝑐𝑜𝑠ℎ൫𝑘𝑡൯൧ = 𝑠
𝑠2−𝑘2
𝑒ℒൣ𝑠𝑒𝑛ℎ൫𝑘𝑡൯൧ = 𝑘
𝑠2−𝑘2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
ℒൣ𝑐𝑜𝑠ℎ൫4𝑡൯൧ = 𝑠
𝑠2−16
ℒൣ𝑠𝑒𝑛ℎ൫2𝑡൯൧ = 2
𝑠2−4
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a linearidade
ℒൣ𝑐𝑜𝑠ℎ൫4𝑡൯ – 2𝑠𝑒𝑛ℎ൫2𝑡൯൧ = ℒ 𝑐𝑜𝑠ℎ 4𝑡 − 2 ℒ 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑡 = 𝑠
𝑠2−16
− 2 2
𝑠2−4
ℒൣ𝑐𝑜𝑠ℎ൫4𝑡൯ – 2𝑠𝑒𝑛ℎ൫2𝑡൯൧ = 𝑠
3−4𝑠2−4𝑠+64
൫𝑠−4൯൫𝑠+4൯൫𝑠−2൯൫𝑠+2൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função $$g(t)$$, cuja Transformada de Laplace vale 1
൫𝑠−4൯5
.
A alternativa "A " está correta.
Temos
ℒ 𝑡
𝑛−1𝑒𝑘𝑡
𝑛−1! =
1
൫𝑠−𝑘൯𝑛
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Comparando com o enunciado ℒ−1 1
൫𝑠−4൯5
, ou seja, $$n = 5$$ e $$k = 4$$.
Portanto,
ℒ−1 1
൫𝑠−4൯5
= 𝑡
5−1𝑒4𝑡
5−1!
= 𝑡
4𝑒4𝑡
4!
= 𝑡
4𝑒4𝑡
24
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
Formular a série e a Transformada de Fourier
SÉRIE E TRANSFORMADA DE FOURIER
SÉRIES DE FOURIER
A série de Fourier é uma série trigonométrica e de grande aplicação na aproximação de funções periódicas. Neste módulo,
estudaremos como calcular os termos da série e como aproximar uma função por meio da série de Fourier.
VOCÊ SABIA
Para funções não periódicas, a série de Fourier se torna uma Transformada Integral denominada de Transformada de Fourier, que
pode ser utilizada nas soluções de problemas em várias áreas da Ciência e da Engenharia.
VOCÊ JÁ CONHECE A SÉRIE TRIGONOMÉTRICA?
Seja
an
uma sequência e x um número real. A série trigonométrica será uma série de funções do tipo
SN (X ) = ∑
N
0ANCOS (NX ) +BNSEN NX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com sua soma dada por
S (X ) = ∑
∞
0ANCOS (NX ) +BNSEN NX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
SAIBA MAIS
O nome trigonométrica vem do fato de que as funções de x que se encontram nos termos da série são funções trigonométricas em
seno e cosseno.
Repare que a série trigonométrica será uma série periódica, pois tanto a função seno quanto a função cosseno são periódicas.
Vamos, agora, definir uma série trigonométrica que convergirá para funções definidas no domínio
[ – π , π ]
. Esta será a série de Fourier.
F (X ) = ∑
∞
0ANCOS (NX ) +BNSEN NX =
A0
2
+ ∑
∞
1ANCOS (NX ) +BNSEN NX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Seus coeficientes, denominados de coeficientes de Fourier, são determinados pelas seguintes equações:
A0 =
1
Π
∫
Π
-ΠF (X )DX
AN=
1
Π
∫
Π
-ΠF (X ) COS (NX )DX , N ≥ 1
BN=
1
Π
∫
Π
-ΠF (X ) SEN (NX )DX , N ≥ 1
( )
( )
( ) ( )
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESSALTA-SE QUE ESSA SÉRIE CONVERGIRÁ PARA UMA FUNÇÃO
F (X )
NO INTERVALO
[ – Π , Π ]
, DESDE QUE ESSA FUNÇÃO SEJA CONTÍNUA POR PARTES ATÉ A SUA
SEGUNDA DERIVADA. REPARE QUE ESSA SÉRIE SE REPETE A CADA
PERÍODO DE
X= 2 Π
. ASSIM,
SN (X ) =SN (X+ 2KΠ )
E
S (X ) =S (X+ 2KΠ )
, COM
K
INTEIRO.
As equações dos coeficientes de Fourier podem ser encontradas nas obras de referência deste conteúdo.
EXEMPLO 15
Seja a função
f ( x ) = x
no intervalo de
[ – π , π ]
. Determine a série de Fourier para essa função
f ( x )
.
RESOLUÇÃO
Determinando os coeficientes
a0 =
1
π
∫
π
- πf ( x ) dx =
1
π
∫
π
- πxdx =
1
π
x2
2
π
- π = 0
an =
1
π
∫
π
- πf ( x ) cos ( nx ) dx =
1
π
∫
π
- πxcos ( nx ) dx = 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que o integrando é uma função ímpar, por isso, as duas integrais resultaram no valor zero
bn =
1
π
∫
π
- πf ( x ) sen ( nx ) dx =
1
π
∫
π
- πxsen ( nx ) dx =
2
π
∫
π
0xsen ( nx ) dx
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo por integração por partes
u =
2
π
x → du =
2
π
dx
dv = sen ( nx ) dx → v = -
1
n
cos nx
bn =
2
π
∫
π
0xsen ( nx ) dx =
2
π
x -
1
n
cos nx
π
0 -
2
π
∫
π
0 -
1
n
cos nx dx
bn =
2
π
-
x
n
cos nx
π
0 +
2
π
- 1
n2
sen nx
π
0
bn = -
2
π
π
n
cos ( nπ ) = -
2
n
cos nπ
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O cos(nπ) terá valor de
1
para
n
par e
– 1
para
n
ímpar. Então, podemos colocar na seguinte fórmula:
bn = ( - 1 ) n + 1
2
n
, para n ≥ 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a série de Fourier será:
f ( x ) = ∑
∞
1 ( - 1 ) n + 1
2
n
sen nx
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que é uma série ímpar, pois
f ( x ) = x
também é ímpar.
No entanto, podemos definir uma série de Fourier para qualquer outro intervalo de convergência diferente de
[ ]
( )
[ ( ) ( ) ] ( ) ( )
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ]
( )
( )
[ – π , π ]
. Considere uma função definida agora no período
T0
, assim, iremos criar uma série de Fourier para o domínio de -
T0
2
,
T0
2
. Vamos definir a frequência
f
como o inverso do período f =
1
T0
 e
w = 2 π f
.
Assim, a série de Fourier será dada por
F (X ) = ∑
∞
0ANCOS (NWX ) +BNSEN NWX =
A0
2
+ ∑
∞
1ANCOS (NWX ) +BNSEN NWX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com coeficientes de Fourier dados por
A0 =
2
T0
∫
T0 / 2
-T0 / 2F (X )DX
AN=
2
T0
∫
T0 / 2
-T0 / 2F (X ) COS (NWX )DX , N ≥ 1
BN=
2
T0
∫
T0 / 2
-T0 / 2F (X ) SEN (NWX )DX , N ≥ 1
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se usarmos a definição de seno e cosseno pelas exponenciais:
COS (NWX ) =
EJNWX+E -JNWX
2
E SEN (NWX ) =
EJNWX -E -JNWX
2J
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo
[ ]
( ) ( )
j
a unidade imaginária
j2 = – 1
.
Podemos, então, representar a série, substituindo as expressões acima, obtendo
F (X ) =
A0
2
+
1
2
∑
∞
1 AN -JBN EJNWX+
1
2
∑
∞
1 AN+JBN E -JNWX
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tal série será igual a cada período de
T0
, sendo, por isso, utilizada para aproximar funções periódicas, pois, a cada período, a série dará os mesmos valores.
ATENÇÃO
Um ponto importante: os coeficientes representam as amplitudes dos senos e dos cossenos, enquanto o valor de w representa as
frequências ou períodos dos senos e dos cossenos.
Observe que para
T0 = 2 π
, temos
w = 1
e a série geral se transforma na série para uma função no período de
[ – π , π ] .
O QUE ACONTECE SE O PERÍODO
T0
TENDER AO INFINITO?
Teremos uma função de período infinito, o que significa se tratar de uma função não periódica. Neste caso, a série de Fourier vai se
tornar a Transformada de Fourier. Podemos, portanto, dizer que a série é um caso particular da Transformada de Fourier quando
f ( t )
for periódica, desde que a função
f ( t )
atenda determinadas condições.
( ) ( )
POR ISSO, DIZ-SE QUE A SÉRIE É EMPREGADA EM FUNÇÕES PERIÓDICAS
E A TRANSFORMADA SERÁ EMPREGADA PARA QUALQUER FUNÇÃO,
MESMO AS NÃO PERIÓDICAS.
Vamos estudar agora a Transformada de Fourier.
TRANSFORMADAS DE FOURIER
Assim como a Transformada de Laplace, a Transformada de Fourier é uma Transformada integral.
EXEMPLO
Ela permite tornar uma equação diferencial lineares de coeficientes constantes em equações algébricas. Enquanto a série de Fourier
é bastante utilizada para sinais periódicos, a Transformada de Fourier pode ser aplicada em um grupo de funções, não periódicas,
bem amplo.
A Transformada de Fourier irá decompor uma função em um somatório de senos e cossenos de diferentes amplitudes, frequência e
fases.
Seja uma função
f ( t )contínua, a Transformada de Fourier de
f ( t )
será definida por
ℱ F T =F W = ∫
∞
- ∞F (T )E -JWTDT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a Transformada inversa de Fourier definida por
ℱ – 1 F W =F T =
1
2Π
∫
∞
- ∞F (W )EJWTDW
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LEMBRE-SE DE QUE
[ ( ) ] ( )
[ ( ) ] ( )
E -JWT= COS (WT ) -JSEN WT
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 16
Determine a Transformada de Fourier para a função
f ( t ) =
e - kt , t ≥ 0
0 , t < 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
com
k > 0.
RESOLUÇÃO
ℱ f t = F w = ∫
∞
- ∞ f ( t ) e - jwtdt
F ( w ) = ∫
∞
0e - kte - jwtdt = ∫
∞
0e - ( k + jw ) tdt = -
1
k + jw
e - jwt
∞
0 =
1
k + jw
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de analisar, é que a Transformada de Fourier transforma uma função
f ( t )
no domínio do tempo, para uma função
F ( w )
no domínio da frequência. Não iremos apresentar matematicamente como a série se torna a Transformada, ou vice-versa.
FICA O CONCEITO DE QUE QUANDO O PERÍODO
T0
TENDE AO INFINITO E O NÚMERO DE TERMOS N DA SÉRIE CRESCE
INFINITAMENTE, O SOMATÓRIO VIRA UMA INTEGRAL E A SÉRIE SE
CONVERTE NA TRANSFORMADA DE FOURIER.
Para se existir uma Transformada de Fourier, basta que a integral imprópria que a define apresente como valor um número real, isto é,
seja convergente.
Vejamos algumas propriedades da série de Fourier (Considere que
F ( w ) = ℱ [ f ( t ) ] )
:
LINEARIDADE
( )
{
[ ( ) ] ( )
[ ]
DESLOCAMENTO NO TEMPO
MUDANÇA DE ESCALA
LINEARIDADE
ℱ𝑘1𝑓𝑡 + 𝑘2𝑔൫𝑡൯ = 𝑘1𝐹൫𝑤൯ + 𝑘2𝐺൫𝑤൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESLOCAMENTO NO TEMPO
ℱ𝑓𝑡 − 𝑘 = 𝑒− 𝑗𝑘𝑤𝐹൫𝑤൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MUDANÇA DE ESCALA
ℱ𝑘𝑓𝑡 = 1𝑘 F
𝑤
𝑘
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 17
Determine a Transformada de Fourier para a função g൫t൯ = e−kt, com k > 0.
RESOLUÇÃO
No exemplo anterior, obtivemos a Transformada da função
𝐹𝑡 = 𝑒
−𝑘𝑡, 𝑡 ≥ 0
0, 𝑡 < 0
→ 𝐹𝑤 = 1𝑘+ 𝑗𝑤
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que podemos definir a função g(t) desse exemplo em função da função f(t)
𝑔𝑡 = 𝑒
−𝑘𝑡, 𝑡 ≥ 0
𝑒𝑘𝑡, 𝑡 < 0
→ 𝑔𝑡 = 𝑓𝑡 + 𝑓−𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as propriedades linearidade
ℱ ൣ 𝑔൫𝑡൯ ൧ = ℱ ൣ 𝑓൫𝑡൯൧ + ℱ ൣ 𝑓൫ – 1൯൧
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da mudança de escala para ℱ ൣ 𝑓൫ – 1൯൧ = 𝐹൫ – 1 ൯
ℱ ൣ 𝑔൫𝑡൯ ൧ = 𝐺൫𝑤൯ = 𝐹൫𝑤൯ + 𝐹൫ – 𝑤൯ = 1𝑘+ 𝑗𝑤 +
1
𝑘− 𝑗𝑤 =
2𝑘
𝑘2+𝑤2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Derivada:
ℱ𝑓'𝑡 = 𝑗𝑤ℱf 𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a Transformada da derivada é a Transformada da função multiplicada pelo fator jw.
Para sucessivas derivadas
ℱ𝑓൫𝑛൯𝑡 = 𝑗𝑤𝑛ℱ𝑓𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. SEJA A FUNÇÃO
𝑓𝑥 = 0 , − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 2 + ∑1
∞ 2
𝜋𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
B) 4 + ∑1
∞ 4
𝜋𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
C) 1 + ∑1
∞ 1
𝜋𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
D) 4 + ∑1
∞ 4
𝜋𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
E) 2 + ∑1
∞ 2
𝜋𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
2. DETERMINE A TRANSFORMADA DE FOURIER PARA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 2 , − 𝑘 ≤ 𝑡 ≤ 𝑘
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 ,
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
QUE É UM PULSO RETANGULAR DE AMPLITUDE 2 E ABERTURA 2K CENTRADO NA ORIGEM.
A) 
𝑠𝑒𝑛൫𝑘𝑤൯
8𝑤𝑗
B) 
2𝑐𝑜𝑠൫𝑘𝑤൯
𝑤𝑗
C) 
𝑠𝑒𝑛൫𝑘𝑤൯
𝑤𝑗
D) 
4𝑠𝑒𝑛൫𝑘𝑤൯
𝑤
E) 
2𝑐𝑜𝑠൫𝑘𝑤൯
𝑤
3. OBTENHA A SÉRIE DE FOURIER PARA A FUNÇÃO
𝑔𝑡 = 𝜋 − 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
−𝜋 − 𝑡, − 𝜋 ≤ 𝑡 < 0
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) ∑1
∞ 2
𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
B) ∑1
∞ 2𝜋
𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
C) ∑1
∞ 2𝜋
𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
D) ∑1
∞ 1
𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
E) ∑1
∞ 2
𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
4. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO 𝑓𝑡 = 𝑒 𝑗𝑤0𝑡 VALE 𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿൫𝑤 − 𝑤0൯,
SENDO 𝛿 A FUNÇÃO IMPULSO, DETERMINE, POR MEIO DAS PROPRIEDADES, A TRANSFORMADA DE
FOURIER DA FUNÇÃO 𝑔൫𝑡൯ = 𝑐𝑜𝑠൫𝑤0𝑡൯.
A) 2𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0൧
B) 𝑗𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 + 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
C) 𝑗𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 − 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
D) 𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 + 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
E) 2𝜋ൣ𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯൧
5. SEJA A FUNÇÃO 𝑓൫𝑥൯ = 2𝑥2 NO INTERVALO DE $$[– Π, Π]$$. DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER
PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 𝜋
2
3
+ ∑1
∞൫ − 1൯
𝑛 8
𝑛2 𝑐𝑜𝑠
൬𝑛𝑥൰
B) 2𝜋
2
3
+ ∑1
∞൫ − 1൯
𝑛+1 8
𝑛2 𝑠𝑒𝑛
൬𝑛𝑥൰
C) 4𝜋
2
3
+ ∑1
∞൫ − 1൯
𝑛 8
𝑛2 𝑐𝑜𝑠
൬𝑛𝑥൰
D) 4𝜋
2
3
+ ∑1
∞൫ − 1൯
𝑛 8
𝑛2 𝑠𝑒𝑛
൬𝑛𝑥൰
E) 4𝜋
2
3
+ ∑1
∞൫ − 1൯
𝑛+1 4
𝑛2 𝑐𝑜𝑠
൬𝑛𝑥൰
6. DETERMINE A TRANSFORMADA DE FOURIER PARA A FUNÇÃO TRIANGULAR
𝑓𝑡 = 1 − 𝑡, − 1 ≤ 1 ≤ 1
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) 
2−2cos൫𝑤൯
𝑗𝑤2
B) 
2−2cos൫𝑤൯
𝑤2
C) 
2+2sen൫𝑤൯
𝑤2
D) 
2−2𝑠𝑒𝑛൫𝑤൯
𝑤2
E) 
2+2cos൫𝑤൯
𝑤2
GABARITO
1. Seja a função
𝑓𝑥 = 0 , − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
2, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "B " está correta.
Determinando os coeficientes
𝑎0 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑥𝑑𝑥 = 1𝜋∫−𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1𝜋∫0
𝜋
2𝑑𝑥 = 2𝜋 2𝑥0
𝜋 = 4
𝑎𝑛 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1𝜋∫−𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1𝜋∫0
𝜋
2cos𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑎𝑛 =
2
𝜋
1
𝑛 𝑠𝑒𝑛ቀ𝑛𝑥ቁ0
𝜋
= 0
𝑏𝑛 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑥 sen𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1𝜋∫−𝜋
0
0 . sen𝑛𝑥𝑑𝑥 + 1𝜋∫0
𝜋
2sen𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑏𝑛 =
2
𝜋 −
1
𝑛 𝑐𝑜𝑠ቀ𝑛𝑥ቁ0
𝜋
= 4𝜋𝑛
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desse modo, a série de Fourier será
𝑓𝑥 = 4 + ∑1
∞ 4
𝜋𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a Transformada de Fourier para função
𝑓𝑡 = 2 , − 𝑘 ≤ 𝑡 ≤ 𝑘
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 ,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que é um pulso retangular de amplitude 2 e abertura 2k centrado na origem.
A alternativa "D " está correta.
ℱൣ𝑓൫𝑡൯൧ = 𝐹൫𝑤൯ = ∫− ∞
∞ 𝑓൫𝑡൯𝑒− 𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡
𝐹𝑤 = ∫−𝑘
𝑘
2 𝑒− 𝑗𝑤𝑡𝑑𝑡 = − 2𝑗𝑤 𝑒
− 𝑗𝑤𝑡
−𝑘
𝑘
= 2𝑗𝑤 𝑒
𝑗𝑤𝑘 − 𝑒− 𝑗𝑤𝑘
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
𝑠𝑒𝑛𝑤𝑘 = 𝑒
𝑗𝑤𝑘−𝑒− 𝑗𝑤𝑘
2𝑗
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim,
𝐹𝑤 =
4𝑠𝑒𝑛൫𝑘𝑤൯
𝑤
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Obtenha a série de Fourier para a função
𝑔𝑡 = 𝜋 − 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
−𝜋 − 𝑡, − 𝜋 ≤ 𝑡 < 0
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "E " está correta.
Determinando os coeficientes:
Repare que a função $$g(t)$$ é ímpar, ou seja, $$g(t) = – g(– t)$$ , assim, os termos a0 e an serão nulos. Se você resolver as
integrais dos coeficientes, verificará que se anulam.
Calculando bn
𝑏𝑛 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑡 sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = 2𝜋∫0
𝜋𝑓𝑡 sen𝑛𝑡𝑑𝑡,
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
pois o integrando será uma função par
𝑏𝑛 =
2
𝜋∫0
𝜋
൫𝜋 − 𝑡൯sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = 2𝜋∫0
𝜋𝜋 sen𝑛𝑡𝑑𝑡 − 2𝜋∫0
𝜋𝑡 sen𝑛𝑡𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo as integrais
𝑎൯ ∫0
𝜋𝜋 sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = − 𝜋𝑛 cosቀ𝑛𝑡ቁ0
𝜋
= 𝜋𝑛൫1 + cos𝑛𝜋൯
𝑏൯ ∫0
𝜋𝑡 sen𝑛𝑡𝑑𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo por integração por partes𝑢 = 𝑡 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡
𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡𝑑𝑥 → 𝑣 = − 1𝑛 cos൫𝑛𝑡൯
∫0
𝜋𝑡 sen𝑛𝑡𝑑𝑡 = 𝑡− 1𝑛cosቀ𝑛𝑡ቁ0
𝜋
− ∫0
𝜋
− 1𝑛cosቀ𝑛𝑡ቁ𝑑𝑡
= − 𝑡𝑛cosቀ𝑛𝑡ቁ0
𝜋
+ −1
𝑛2
senቀ𝑛𝑡ቁ
0
𝜋
= − 𝜋𝑛 cos𝑛𝜋
𝑏𝑛 =
2
𝜋∫0
𝜋𝜋 − 𝑡𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡𝑑𝑡 = 2𝜋
𝜋
𝑛 1 + cos𝑛𝜋 +
2
𝜋 −
𝜋
𝑛 cos𝑛𝜋
𝑏𝑛 =
2
𝑛 +
2
𝑛 cos𝑛𝜋 −
2
𝑛 cos𝑛𝜋 =
2
𝑛
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, a série de Fourier será:
𝑓𝑥 = ∑1
∞ 2
𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Sabendo que a Transformada de Fourier da função 𝑓𝑡 = 𝑒 𝑗𝑤0𝑡 vale 𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿൫𝑤 − 𝑤0൯, sendo 𝛿 a função impulso, determine,
por meio das propriedades, a Transformada de Fourier da função 𝑔൫𝑡൯ = 𝑐𝑜𝑠൫𝑤0𝑡൯.
A alternativa "D " está correta.
Sabemos que
cos𝑤0𝑡 =
𝑒 𝑗𝑤0𝑡+𝑒− 𝑗𝑤0𝑡
2
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℱൣ𝑐𝑜𝑠൫𝑤0𝑡൯൧ =
1
2
ℱ 𝑒𝑗𝑤0𝑡 + 1
2
ℱ 𝑒− 𝑗𝑤0𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℱ𝑒− 𝑗𝑤0𝑡 = 𝐹−𝑤0 = 2𝜋𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℱൣ𝑐𝑜𝑠൫𝑤0𝑡൯൧ =
1
2
ℱ 𝑒𝑗𝑤0𝑡 + 1
2
ℱ 𝑒− 𝑗𝑤0𝑡 = 1
2
2𝜋𝛿𝑤 − 𝑤0 +
1
2
2𝜋𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
ℱൣ𝑐𝑜𝑠൫𝑤0𝑡൯൧ = 𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 + 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯൧
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Seja a função 𝑓൫𝑥൯ = 2𝑥2 no intervalo de $$[– π, π]$$. Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "C " está correta.
6. Determine a Transformada de Fourier para a função triangular
𝑓𝑡 = 1 − 𝑡, − 1 ≤ 1 ≤ 1
0, 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Vamos resolver a equação diferencial 𝑦’’ – 𝑦 = 𝑒−𝑡, utilizando a Transformada de Fourier:
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO EQUAÇÃO DIFERENCIAL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA A FUNÇÃO
𝑓𝑥 = 0 , − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE A SÉRIE DE FOURIER PARA ESSA FUNÇÃO $$F(X)$$.
A) 2 + ∑1
∞ 2
𝜋𝑛 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥
B) 4 + ∑1
∞ 4
πn
cosnx
C) 1 + ∑1
∞ 1
πn
cosnx
D) 4 + ∑1
∞ 4
πn
sennx
E) 2 + ∑1
∞ 2
πn
cosnx
2. SABENDO QUE A TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO
𝑓𝑡 = 𝑒 𝑗𝑤0𝑡
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
VALE
𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿൫𝑤 − 𝑤0൯
ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
SENDO $$\DELTA$$ A FUNÇÃO IMPULSO, DETERMINE, POR MEIO DAS PROPRIEDADES, A
TRANSFORMADA DE FOURIER DA FUNÇÃO $$G(T) = SEN(W_0T)$$.
A) 2𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0൧
B) 𝑗𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 + 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
C) 𝑗𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 − 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
D) 𝜋ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 + 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
E) 2𝜋ൣ𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯൧
GABARITO
1. Seja a função
𝑓𝑥 = 0 , − 𝜋 ≤ 𝑥 < 0
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine a série de Fourier para essa função $$f(x)$$.
A alternativa "E " está correta.
Determinando os coeficientes
𝑎0 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑥𝑑𝑥 = 1𝜋∫−𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1𝜋∫0
𝜋𝑑𝑥 = 2𝜋 𝑥0
𝜋 = 2
𝑎𝑛 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑥 cos𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1𝜋∫−𝜋
0
0𝑑𝑥 + 1𝜋∫0
𝜋
cos𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑎𝑛 =
1
𝜋
1
𝑛 𝑠𝑒𝑛ቀ𝑛𝑥ቁ0
𝜋
= 0
𝑏𝑛 =
1
𝜋∫−𝜋
𝜋 𝑓𝑥 sen𝑛𝑥𝑑𝑥 = 1𝜋∫−𝜋
0
0 . sen𝑛𝑥𝑑𝑥 + 1𝜋∫0
𝜋
sen𝑛𝑥𝑑𝑥
𝑏𝑛 =
1
𝜋 −
1
𝑛 𝑐𝑜𝑠ቀ𝑛𝑥ቁ0
𝜋
= 2𝜋𝑛
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, a série de Fourier será
𝑓𝑥 = 2 + ∑1
∞ 2
𝜋𝑛 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Sabendo que a Transformada de Fourier da função
𝑓𝑡 = 𝑒 𝑗𝑤0𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
vale
𝐹𝑤 = 2𝜋𝛿൫𝑤 − 𝑤0൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo $$\delta$$ a função impulso, determine, por meio das propriedades, a Transformada de Fourier da função $$g(t) =
sen(w_0t)$$.
A alternativa "C " está correta.
Sabemos que
sen𝑤0𝑡 =
𝑒 𝑗𝑤0𝑡−𝑒− 𝑗𝑤0𝑡
2𝑗
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a propriedade da linearidade
ℱൣ𝑠𝑒𝑛൫𝑤0𝑡൯൧ =
1
2𝑗 ℱ 𝑒
𝑗𝑤0𝑡 − 1
2𝑗 ℱ 𝑒
− 𝑗𝑤0𝑡
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
ℱ𝑒− 𝑗𝑤0𝑡 = 𝐹−𝑤0 =
2𝜋
𝑗 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo,
ℱൣ𝑠𝑒𝑛൫𝑤0𝑡൯൧ =
1
2𝑗 ℱ 𝑒
𝑗𝑤0𝑡 − 1
2𝑗 ℱ 𝑒
− 𝑗𝑤0𝑡 = 1
2𝑗 2𝜋𝛿𝑤 − 𝑤0 −
1
2𝑗 2𝜋𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯
ℱൣ𝑠𝑒𝑛൫𝑤0𝑡൯൧ =
𝜋
𝑗
ൣ𝛿𝑤 − 𝑤0 − 𝛿൫𝑤 + 𝑤0൯൧
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas 1𝑗 = − 𝑗
ℱൣ𝑠𝑒𝑛൫𝑤0𝑡൯൧ = 𝑗𝜋ൣ𝛿𝑤 + 𝑤0 − 𝛿൫𝑤 − 𝑤0൯൧
Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Apresentamos o conceito das Transformadas Integrais, denominadas de Laplace e Fourier. Vimos a definição e os conceitos iniciais
da Transformada de Laplace, bem como as propriedades da Transformada de Laplace relacionadas à derivação e integração.
Além disso, vimos a Transformada de Laplace inversa e a utilização das tabelas das Transformadas e, por fim, a série e a
Transformada de Fourier, com algumas aplicações. Após adquirir tais conhecimentos, você está apto a resolver os problemas de
Transformada de Laplace e de Fourier.
REFERÊNCIAS
ÇENGEL, Y.; PAUL III, W. J. Equações Diferenciais. Porto Alegre: Mc Graw Hill Education, 2012.
cap. 8, p. 440-507.
GUIDORIZZI, H. L. Cálculo, Volume 4. 5. ed. São Paulo: LTC, 2013. cap. 9, p. 149-173.
HALLET H. et al. Cálculo, a uma e a várias variáveis. 5. ed. São Paulo: LTC, 2011. cap. 10, p.478-490
KREIDER, D.; OSTBERG, D.; KULLER, R. Introdução a Análise Linear – Equações Diferenciais. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico,
1983. Cap 5., p. 204-263.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, pesquise:
Transformadas de Laplace e Transformadas de Fourier e suas aplicações.
CONTEUDISTA
Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira
CURRÍCULO LATTES