Oscilador Harmônico Amortecido

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1 Prof. Diogo Eduardo - Física 
Keith R. Symon 
 
OSCILADOR HARMÔNICO AMORTECIDO 
 
O problema mais importante no movimento unidimensional e felizmente um 
dos mais fáceis de resolver é o do oscilador harmônico ou linear. 
Equação completa e geral de oscilador harmônico: 
𝑚�̈� = −𝑏�̇� − 𝑘𝑥 + 𝐹(𝑡) 
Nesta equação temos, os termos da Força da segunda Lei de Newton, Força 
de Atrito, Força da Mola e Força Externa. 
O movimento é uma oscilação senoidal simples em torno do ponto de 
equilíbrio. Em todos os casos físicos, existe uma força de atrito agindo sobre 
o corpo, embora ela seja frequentemente muito pequena. Quando a força 
de atrito é muito pequena na força de atrito é proporcional a velocidade. 
Como é quase que a única força de atrito para qual o problema é resolvido 
facilmente, é melhor restringir a atenção a este caso. Usando-se a equação 
𝐹𝑎𝑡 = 𝑏. 𝑣
𝑛 com 𝑛 = 1 para a força de atrito, a equação do movimento se 
torna, 
𝑚
𝑑2𝑥
𝑑𝑡2
+ 𝑏
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑥 = 0 
Esta equação descreve o oscilador harmônico amortecido. O seu 
movimento, pelo menos no caso de amortecimentos pequenos, consiste 
numa oscilação senoidal cuja amplitude decresce gradualmente. 
A equação de movimento para partículas submetidas a uma força linear 
restauradora e a uma força de atrito proporcional a sua velocidade é: 
𝑚�̈� + 𝑏�̇� + 𝑘𝑥 = 0 
A equação homogênea e linear de n-ézima ordem com coeficientes 
constantes também pode ser resolvido por este método, fazendo a 
substituição. 
 
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𝑥(𝑡) = 𝐴. 𝑒𝑝𝑡 �̇�(𝑡) = 𝐴. 𝑝. 𝑒𝑝𝑡 �̈�(𝑡) = 𝐴. 𝑝2. 𝑒𝑝𝑡 
Substituindo na equação do movimento, teremos, 
𝑚. 𝐴. 𝑝2. 𝑒𝑝𝑡 + 𝑏. 𝐴. 𝑝. 𝑒𝑝𝑡 + 𝑘. 𝐴. 𝑒𝑝𝑡 = 0 
𝐴. 𝑒𝑝𝑡(𝑚𝑝2 + 𝑏𝑝 + 𝑘) = 0 𝑚𝑝2 + 𝑏𝑝 + 𝑘 = 0 
Definindo 𝑝: 
𝑝2 +
𝑏
𝑚
𝑝 +
𝑘
𝑚
= 0 
Vemos que é uma equação de segundo grau, então, aplicando a formula de 
Bhaskara encontramos a equação de 𝑝 
𝑝1,2 =
−
𝑏
𝑚
±√
𝑏2
𝑚2
−4
𝑘
𝑚
2
 𝑝1,2 = −
𝑏
2𝑚
± √
𝑏2
4𝑚2
−
𝑘
𝑚
 
Pode se distinguir três casos, 
𝑖) 
𝑘
𝑚
>
𝑏2
4𝑚2
 
𝑖𝑖) 
𝑘
𝑚
<
𝑏2
4𝑚2
 
𝑖𝑖𝑖) ) 
𝑘
𝑚
=
𝑏2
4𝑚2
 
Para que o movimento seja real, o valor da raiz quadrada não pode ser 
imaginário, então teremos que tratar cada caso com atenção para que o 
movimento não seja imaginário, sendo assim, teremos que trabalhar 
matematicamente restringindo a parte imaginária. 
Vamos definir alguns termos: 
𝜔0 = √
𝑘
𝑚
 - Frequência angular natural do oscilador sem amortecimento 
𝛾 =
𝑏
2𝑚
 - Coeficiente de amortecimento 
Consideramos: 𝜔1 = (𝛾
2 − 𝜔0
2)
1
2 
Então: 
𝑝 = −𝛾 ± 𝑖𝜔1 
Reescrevendo os 3 casos novamente, 
 
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𝑖) 𝛾2 > 𝜔0
2 – Superamortecido 
𝑖𝑖) 𝛾2 < 𝜔0
2 – Subamortecido 
𝑖𝑖𝑖) 𝛾2 = 𝜔0
2 – Criticamente Amortecido 
 
SUBAMORTECIDO ou AMORTECIMENTO FRACO 
𝛾2 < 𝜔0
2 
Analisando os possíveis valores de 𝑝; 
𝑝1,2 = −𝛾 ± √𝛾
2 − 𝜔0
2 
vemos que a raiz será negativa, logo, teremos valores imaginários, ou seja, 
iremos fazer algumas manipulações matemáticas, e a solução da equação 
diferencial será: 
Sabemos que; 𝜔1 = √𝛾
2 − 𝜔0
2 
𝑥 = 𝐶1𝑒
−𝛾𝑡+𝑖𝜔1𝑡 + 𝐶2𝑒
−𝛾𝑡−𝑖𝜔1𝑡 
Fazendo-se, 
𝐶1 =
1
2
𝐴𝑒𝑖𝜃 𝐶2 =
1
2
𝐴𝑒−𝑖𝜃 
Obtém-se 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑒−𝛾𝑡. cos(𝑤1𝑡 + 𝜃) 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾𝑡[𝐵1 . cos(𝑤1𝑡) + 𝐵2. sen(𝑤1𝑡)] 
A equação da trajetória encontrado corresponde a uma oscilação de 
frequência (
𝜔1
2𝜋⁄ ) com amplitude 𝐴𝑒
−𝛾𝑡, decrescendo exponencialmente 
com o tempo. As constantes 𝐴 e 𝜃depende das condições iniciais, aplicando 
as condições de contorno, onde: 𝑡 = 0 e 𝑥(0) = 𝑥0; 
Aplicando 𝑡 = 0: 
𝑥(0) = 𝑥0 = 𝑒
−𝛾.0(𝐵1. cos(𝑤1. 0) + 𝐵2. sen(𝑤1. 0) 
𝐵1 = 𝑥0 
Derivando �̇�(𝑡), onde �̇�(0) = 𝑣0 
 
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�̇�(𝑡) = −𝛾. 𝑒−𝛾𝑡[𝐵1. cos(𝑤1𝑡) + 𝐵2. sen(𝑤1𝑡)] + 𝑒
−𝛾𝑡[𝐵1. 𝑤1. sen(𝑤1𝑡) + 𝐵2. 𝑤1 cos(𝑤1𝑡)] 
*derivada pela regra da cadeia; 
�̇�(0) = 𝑣0 = −𝛾. 𝐵1 + 𝐵2. 𝑤1 
Sabemos que 𝐵1 = 𝑥0 então: 
𝐵2 =
𝑣0 + 𝛾. 𝑥0
𝑤1
 
Se 𝑣0 = 0 
𝐵2 =
𝛾. 𝑥0
𝑤1
 
Logo, a equação da trajetória será; 
𝑥(𝑡) = 𝑒−𝛾𝑡 [𝑥0. cos(𝑤1𝑡) +
𝛾. 𝑥0
𝑤1
. sen(𝑤1𝑡)] 
 
SUPERAMORTECIDO 
𝛾2 > 𝜔0
2 
 
Lembrando que 𝑝1,2 = −𝛾 ± √𝛾
2 − 𝜔0
2 vemos que a condição de 𝛾2 ser maior 
que 𝜔0
2 nos diz que o resultado será real, por que temos uma raiz quadrada 
com valores positivos. 
Sabemos que: 𝜔1 = √𝛾
2 − 𝜔0
2 e 𝛾1 = 𝛾 − 𝜔1 e 𝛾2 = 𝛾 + 𝜔1 
A solução da equação diferencial será: 
𝑥(𝑡) = 𝐴1𝑒
−𝛾1𝑡 + 𝐴2𝑒
−𝛾2𝑡 
Vemos que a solução é uma função que só decresce, não oscila – não tem 
função seno e cosseno. Aplicando as condições de contorno, teremos: 
𝑡 = 0 𝑥(0) = 𝑥0 �̇�(0) = 0 
Então 
𝑥(0) = 𝐴1𝑒
−𝛾10 + 𝐴2𝑒
−𝛾20 = 𝑥0 
𝐴1 + 𝐴2 = 𝑥0 
 
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𝐴1 = −𝐴2 + 𝑥0 
Se 
�̇�(𝑡) = −𝛾1. 𝐴1. 𝑒
−𝛾1𝑡 − 𝛾2 . 𝐴2. 𝑒
−𝛾2𝑡 
�̇�(0) = −𝛾1. 𝐴1. 𝑒
−𝛾10 − 𝛾2. 𝐴2. 𝑒
−𝛾20 = 0 
−𝛾1. 𝐴1 − 𝛾2. 𝐴2 = 0 −𝛾1. (−𝐴2 + 𝑥0) − 𝛾2. 𝐴2 = 0 
𝛾1. 𝐴2 − 𝛾1. 𝑥0 − 𝛾2. 𝐴2 = 0 −𝛾1. 𝑥0 + (𝛾1 − 𝛾2). 𝐴2 = 0 
𝐴2 =
𝛾1
𝛾1 − 𝛾2
𝑥0 
Logo, 
𝐴1 = −
𝛾1
𝛾1−𝛾2
𝑥0 + 𝑥0 𝐴1 =
−𝛾1.𝑥0+(𝛾1−𝛾2).𝑥0
𝛾1−𝛾2
 
𝐴1 = −
𝛾2
𝛾1 − 𝛾2
. 𝑥0 
 
Substituindo os valores de 𝐴1 e 𝐴2 na equação 𝑥(𝑡). Logo, a equação da 
trajetória será; 
𝑥(𝑡) = −
𝛾2
𝛾1 − 𝛾2
. 𝑥0. 𝑒
−𝛾1𝑡 +
𝛾1
𝛾1 − 𝛾2
𝑥0. 𝑒
−𝛾2𝑡 
 
CRITICAMENTE AMORTECIDO 
𝛾2 = 𝜔0
2 
 
Analisando a equação de 𝑝; 
𝑝1,2 = −𝛾 ± √𝛾
2 − 𝜔0
2 
A raiz será zero, logo, teremos um valor para a equação de 𝑝; 
𝑝 = −𝛾 
A equação geral que é a equação da trajetória para esta condição, será; 
𝑥(𝑡) = 𝐴1𝑒
−𝛾𝑡 + 𝐴2. 𝑡. 𝑒
−𝛾𝑡 
 
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Vemos que a solução é uma função que só decresce – decai 
exponencialmente, não oscila – não tem função seno e cosseno. Aplicando 
as condições de contorno, teremos: 
𝑡 = 0 𝑥(0) = 𝑥0 �̇�(0) = 0 
Fazendo as substituições das condições acimas, teremos: 
𝐴1 = 𝑥0 𝐴2 = 𝛾. 𝑥0 
Logo, a equação da trajetória será: 
𝑥(𝑡) = (1 + 𝛾𝑡). 𝑥0. 𝑒
−𝛾𝑡 
Este é a característica de um amortecedor de um carro – pois (o pneu tem 
o impacto de um buraco, aí ele volta ao seu ponto de equilíbrio, sem 
oscilar). 
 
Retorno de um oscilador para um equilíbrio. (a) Sub.amortecido. (b)Superamortecido. (c) Criticamente Amortecido. 
 
 
 
 
 
Espero ter ajudado