Questão resolvida - Integral de (ln(x+1) - ln(x))_x(x+1) (substitutição) e Integral de (x_e^x)_(1+x)^2 (por partes) - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule as seguintes integrais:
 
a dx)∫ ln x+ 1 - ln x
x 1+ x
( ) ( )
( )
 
Resolução:
 
Primeiro, reescrevemos a integral da seguinte forma;
dx = ln x + 1 - ln x ⋅ dx∫ ln x + 1 - ln x
x 1 + x
( ) ( )
( )
∫( ( ) ( )) 1
x 1 + x( )
 
Agora, fazemos a substituição: , o m.m.c de u = ln x + 1 - ln x du = - dx( ) ( ) →
1
x + 1
1
x
 e é; , com isso du fica: x + 1 x x + 1 x( )
 
du = dx du = dx du = dx -du = dx
x - x + 1
x + 1 x
( )
( )
→
x - x - 1
x + 1 x
)
( )
→
-1
x + 1 x( )
→
1
x + 1 x( )
 
Substituindo os termos na integral e resolvendo:
ln x + 1 - ln x ⋅ dx = u ⋅ -du = - udu = - + c∫( ( ) ( )) 1
x 1 + x( )
∫ ( ) ∫ u
2
2
 
dx = - + c∫ ln x + 1 - ln x
x 1 + x
( ) ( )
( )
ln x+ 1 - ln x
2
2( ) ( )
2
 
b dx)∫ xe
x+ 1
x
( )2
 
Resolução:
Vamos usar a integral por partes, cuja fórmula é; udv = uv - udv ∫ ∫
 
Fazendo: u = xe du = 1 ⋅ e + e ⋅ x dx du = e 1 + x dx = e x + 1 dxx → x x → x( ) x( )
e dv = dx v = dx, usando a substituição : t = x + 1 dt = dx
1
x + 1( )2
→ ∫ 1
x + 1( )2
→
 
 
(Resposta)
v = dt v = t dt v = v = v = -∫ 1
t
2
→ ∫ -2 → t
-2+1( )
-2+1( )
→
t-1
-1
→
1
x+1
Substituindo na fórmula de ingarção por partes, fica;
xe ⋅ dx = xe ⋅ - - e x + 1 ⋅ - dx∫ x 1
x + 1( )2
x
1
x + 1( )
∫ x( ) 1
x + 1( )
 
= - + e ⋅ dx = - + e dx = - + e + c
xe
x + 1
x
( )
∫ x x + 1
x + 1
( )
( )
xe
x + 1
x
( )
∫ x xe
x + 1
x
( )
x
 
= + c = + c = + c
-xe + e x + 1
x + 1
x x( )
( )
-xe + e x + e
x + 1
x x x
( )
e
x+ 1
x
( )
 
 
 
 
(Resposta)