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AD1-Q3-2021-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 3 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-2
Questão 3 (2,5 pontos) Considere verdadeiras as premissas abaixo:
(1) Se x ∈ C, então q(x) é verdadeira.
(2) Se p(x) é verdadeira, então q(x) é verdadeira
(3) Se x ∈ C, então x ∈ A
(4) Se x ∈ B, então p(x) é verdadeira.
(5) Se x ∈ A, então x ∈ B ou x ∈ C.
Denote as proposições das sentenças anteriores da seguinte forma:
p: p(x) é verdadeira
q: q(x) é verdadeira
a: x ∈ A
b: x ∈ B
c: x ∈ C
(a) Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribúıdas acima a cada sentença
(a, b, c, p e q) e os śımbolos da lógica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
(b) Se q(x) é falsa, baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que x ∈ A?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para
cada proposição para encurtar sua solução.
(c) Se p(x) é verdadeira, baseado nas premissas dadas, pode-se afirmar que x ∈ B ?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para
cada proposição para encurtar sua solução
Solução:
(a) Escrevendo as premissas com a notação dada, temos
(1) c ⇒ q
(2) p ⇒ q.
(3) c ⇒ a
(4) b ⇒ p
(5) a ⇒ b ∨ c
Métodos Determińısticos I Gabarito da Questão 3 da AD 1 – 2021-2 2
(b) Partindo da premissa de que q(x) não é verdadeiro, temos que q é falsa. Logo, pela premissa
(1), temos que c é falsa. Pela premissa (2), temos também que p é falsa, logo por (4), b é falsa.
Até aqui, conclúımos que b e c são falsas, logo b∨c é falsa. Assim, pela premissa (5), conclui-se
que a é falsa.
Assim, é falso que x ∈ A.
(c) Não se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposições p e q, e todas as demais falsas. Isto
não tornará falsas as premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇒ V
(2) V ⇒ V ,
(3) F ⇒ F
(4) F ⇒ V
(5) F ⇒ F ∨ F
que são implicações válidas (lembre-se de que F ⇒ V é válido, o que não seria válido seria
V ⇒ F ).
Por outro lado, podem todas as proposições serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam
sendo respeitadas, pois
(1) V ⇒ V
(2) V ⇒ V ,
(3) V ⇒ F
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ F ∨ F
Assim, é posśıvel p ser verdadeiro tanto em casos em que b é verdadeira como em casos em que
b é falsa.
Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ

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