Teoria do Portfólio

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A Teoria Moderna do Portfólio e o Modelo de Markowitz 
 
 A Teoria Moderna do Portfólio nos mostra como os investidores devem usar o princípio da 
diversificação do investimento para otimizarem suas carteiras e como um ativo arriscado 
deve ser precificado. 
 Essa teoria tem como base o artigo publicado por Harry Markowitz em 1952, chamado 
“Portfolio Selection”. Onde, segundo ele: 
 “Na tentativa de reduzir a variância, investir em diversos ativos não é o suficiente. É preciso 
evitar que o investimento seja feito em ativos com alta covariância entre si. Devemos 
diversificar entre indústrias, especialmente indústrias com diferentes características 
econômicas, porque empresas de diferentes indústrias tem covariâncias menores que 
empresas da mesma indústria.” 
 A Teoria de Markowitz nos apresenta o termo “Fronteira Eficiente”. Que pode ser 
representada como um gráfico em curva, que mostra as combinações possíveis de risco e 
retorno no investimento. Markowitz avaliou que todo investimento tem seu risco e 
consequentemente o seu retorno. Assim, o importante é não centrar as ações em riscos 
individuais, mas analisá-las em coletivo. Assim as carteiras que seguem esse padrão se 
tornam eficientes ao atingir a valorização, proteção contra a inflação e melhor preparo para 
eventuais quedas. 
 Em resumo, na Teoria Moderna do Portfólio, quando novos ativos são incluídos na carteira 
de investimentos, o risco total é reduzido significativamente. Enquanto isso, o retorno da 
carteira é determinado pela média de retornos de ativos individuais. 
 O modelo básico é composto pelas seguintes equações: 
 
 
 Onde: 
 E = Retorno esperado da carteira; 
 V = Variância da carteira; 
 Xi = Participação de cada ativo; 
 i = Retorno esperado de cada ativo; 
 ij = Covariância entre o par de ativos se (i) é diferente de (j) e variância se (i) é igual a (j). 
 
 Vamos agora utilizar o Modelo de Markowitz para tentar chegar a uma carteira a qual a 
taxa de risco apresente um retorno alto com um risco baixo, de maneira aceitável para o 
investidor (chamada de carteira ótima). Mostraremos que o resultado que queremos pode 
ser facilmente encontrado. Neste exemplo, comporemos uma carteira com base nos 
retornos mensais de dez (10) grandes empresas de diversos setores do Índice BOVESPA 
(IBOVESPA) de janeiro de 2009 a dezembro de 2010, utilizando o Microsoft Excel (MSE) 
para criar as planilhas e aplicar as fórmulas necessárias. 
 As rentabilidades reais das ações selecionadas são: 
 BRKM5 BRTO4 GGBR4 NATU3 NETC4 PETR4 RENT3 SBSB3 USIM5 Vale5 
Janeiro 
2009 
0,03 -0,13 0 0,05 0,11 0,1 0,17 -0,05 0,07 0,17 
Fevereiro -0,06 -0,02 -0,016 0,09 0,03 0,05 -0,02 -0,09 -0,1 -0,04 
Março -0,11 0,1 0,02 0,04 0,13 0,08 0,01 0,07 0,14 0 
Abril 0,28 0,05 0,22 0,15 0,05 0,03 0,21 0,21 0,09 0,14 
Maio 0,16 0,03 0,31 0 0,11 0,17 0,26 0,04 0,23 0,07 
Junho 0 -0,07 -0,01 0 -0,04 -0,06 -0,02 -0,1 0,05 -0,08 
Julho 0,16 0,03 0,07 0,06 0 -0,03 0,25 0,08 0,06 0,09 
Agosto 0,26 0,02 0,01 0,11 0,04 0 0,11 0,11 0 0,02 
Setembro 0,08 0,15 0,08 0,05 0,04 0,12 0,05 -0,02 0,05 0,11 
Outubro 0,04 -0,04 0,11 -0,01 0,07 0 0,04 -0,02 -0,02 0,08 
Novembro -0,02 0,13 0,07 0,06 0,1 0,11 0,06 -0,02 0,11 0,07 
Dezembro 0,22 -0,01 0,04 0,08 -0,01 -0,06 -0,01 0,05 -0,03 0 
Janeiro 
2010 
-0,06 -0,22 -0,14 -0,07 -0,09 -0,07 0,02 -0,09 0 0 
Fevereiro -0,04 -0,05 0,04 -0,02 0,02 0,01 0 -0,03 0,03 0,05 
Março 0,02 -0,08 0,09 0,08 0,05 0,02 -0,05 0,05 0,1 0,11 
Abril -0,04 -0,02 -0,02 0,02 -0,12 -0,04 0,04 0,05 -0,01 -0,06 
Maio -0,14 0,07 -0,12 0,03 -0,1 -0,19 -0,02 0,05 -0,18 -0,08 
Junho 0,16 0,02 -0,06 0,06 -0,08 -0,03 0,1 0,07 0,05 -0,12 
Julho 0,05 -0,04 0,08 0,07 0,11 0,04 0,16 -0,06 0,03 0,13 
Agosto 0,17 -0,04 -0,02 -0,01 0,18 -0,06 0,01 -0,05 -0,11 -0,03 
Setembro 0,11 0 -0,08 0,08 -0,01 0,05 0,16 0,13 0,02 0,12 
Outubro 0,02 0,13 -0,03 0,07 0,04 -0,05 -0,01 0,01 -0,53 0,03 
Novembro 0,04 -0,05 -0,03 -0,05 0 -0,05 0 0 -0,12 0,01 
Dezembro 0,12 0,04 0,06 0,03 -0,01 0,05 -0,04 0,17 0,01 0,01 
 
 
 Para calcular a variância, basta utilizar a ferramenta do MSE: 
 > Análise de Dados > Covariância. Com os dados recebidos, através do SOLVER do MSE, 
dá para averiguar o peso de cada ação na composição da carteira. 
 Usaremos as seguintes variáveis para otimizar nossa carteira: 
 Retorno esperado: calculado multiplicando o peso alocado em cada ação pela rentabilidade 
média dos 12 meses anteriores ao que estamos montando; 
 Variância: matriz do peso alocado em cada ação multiplicada pela matriz de covariância 
das rentabilidades das ações; 
 Desvio padrão: raiz quadrada da variância; 
 Risk Free: rendimento de um ativo considerado livre de risco (neste caso a caderneta de 
poupança de cada mês). 
 IS (Índice Sharpe): mostra a relação risco-retorno. Que será maximizada através do 
SOLVER. 
 
Carteira 
Retorno Esperado 0,05 
Variância 0 
Desvio padrão 0,03 
Risk Free 0,01 
IS 1,63 
 
 Aplicando a ferramenta SOLVER na seguinte tabela: 
 
Peso de cada 
ação 
BRKM5 0,1 
BRTO4 0,1 
GGBR4 0,1 
NATU3 0,1 
NETC4 0,1 
PETR4 0,1 
RENT3 0,1 
SBSB3 0,1 
USIM5 0,1 
Vale5 0,1 
 
 Temos esse resultado: 
 
Peso de cada ação 
após aplicação do 
Solver 
BRKM5 0,05 
BRTO4 0 
GGBR4 0 
NATU3 0,49 
NETC4 0,35 
PETR4 0 
RENT3 0,02 
SBSB3 0 
USIM5 0,09 
Vale5 0 
 Que nos representa a otimização da carteira pelo Modelo de Markowitz. Ou seja, a 
alocação das ações que nos dá a maior relação risco-retorno. 
 No quadro abaixo, vemos os retornos médios das ações, através dos dados históricos no 
período de janeiro a dezembro de 2009. 
 Retornos históricos de janeiro a dezembro de 2009 
Ação BRKM5 BRTO4 GGBR4 NATU3 NETC4 PETR4 RENT3 SBSB3 USIM5 Vale5 
Retorno 
Médio 
7,76% 1,74% 5,55% 5,40% 4,93% 3,94% 8,47% 1,78% 5,11% 4,74% 
 
 O qual a ação da RENT3 foi a que teve maior retorno médio nesse ano. Olhando apenas 
para esse dado, é possível que o investidor interessado coloque todo o seu dinheiro nessa 
ação em janeiro de 2010. Mas aqui o fator risco não é considerado. Para calculá-lo 
determina-se as Matriz Covariância das ações, como abaixo: 
 
 
 Matriz de Covariâncias 
BRKM5 BRTO4 GGBR4 NATU3 NETC4 PETR4 RENT3 SBSB3 USIM5 Vale5 
Janeiro 
de 
2010 
0,002148 0,000744 -0,000836 0,001891 -0,000227 -0,000365 0,000379 0,002 -0,000984 0,000437 
-0,002101 0,002078 0,002159 -0,00037 0,002608 0,004514 0,00187 -0,000335 0,002866 0,002166 
0,00606 0,002359 0,011033 -0,00084 0,00149 0,002159 0,006238 0,004671 0,006019 0,003755 
0,002451 0,000521 0,003755 0,000437 0,001619 0,002166 0,004354 0,002081 0,001964 0,004803 
0,006164 0,002316 0,004671 0,002 0,000596 -0,000335 0,003939 0,00666 0,001991 0,002081 
-0,000125 0,005932 0,002359 0,000744 0,000933 0,002078 0,000099 0,002316 0,002123 0,000521 
0,005407 0,000099 0,006238 0,000379 0,001266 0,00187 0,008184 0,003939 0,004047 0,004354 
-0,001601 0,000933 0,00149 -0,00023 0,002283 0,002608 0,001265 0,000596 0,001946 0,001619 
0,000314 0,002123 0,006019 -0,00098 0,001946 0,002866 0,004047 0,001991 0,006062 0,001964 
0,012545 -0,000125 0,00606 0,002148 -0,001601 -0,002101 0,005407 0,006164 0,000314 0,002451 
 
 
 
 A carteira formada através da Matriz de Covariância e dos pesos de cada uma das ações, 
nos devolve esses índices: 
Carteira para janeiro de 
2010 antes da otimização 
Retorno Esperado 0,05 
Variância 0 
Desvio Padrão 0,05 
Risk Free 0,01 
IS 0,9 
 
 Mas, temosum resultado diferente após o uso da ferramenta SOLVER, para otimização da 
carteira: 
Carteira para janeiro de 
2010 depois da 
otimização 
Retorno Esperado 0,05 
Variância 0 
Desvio Padrão 0,03 
Risk Free 0,01 
IS 1,63 
 
 Ou seja, para um retorno esperado de 5%, com risco de 5% com alocação igual em todas 
as ações, cai para um risco de 3% com a utilização otimizada do Modelo de Markowitz. E o 
resultado da aplicação do modelo para a otimização composta da carteira para janeiro de 
2010 pode ser visto aqui: 
 
 
Composição da carteira otimizada em janeiro de 2010 
BRKM5 BRTO4 GGBR4 NATU3 NETC4 PETR4 RENT3 SBSB3 USIM5 Vale 
Janeiro/2010 0,05 0 0 0,49 0,35 0 0,02 0 0,09 0 
 
 Olhando a próxima tabela, que nos mostra o os Índices Sharpe da carteira utilizando o 
Modelo de Markowitz e a carteira composta somente pelas ações da RENT3 (a que 
apresentou maior retorno médio em 2009, como visto antes), vemos que a otimizada pelo 
modelo é mais eficiente em relação ao risco-retorno. 
 
 
Carteira diversificada 
vs. ações da RENT3 
Markowitz RENT3 
Retorno Esperado 0,05 0,08 
Variância 0 0,01 
Desvio Padrão 0,03 0,09 
Risk Free 0,01 0,01 
IS 1,63 0,84 
 
 Veremos agora a composição da carteira e sua respectiva rentabilidade mensal em 2010 
através da aplicação do Modelo de Markowitz: 
 
 
 
 Composição da carteira 
BRKM5 BRTO4 GGBR4 NATU3 NETC4 PETR4 RENT3 SBSB3 USIM5 Vale5 TOTAL 
Janeiro 5,48% 48,79% 34,96% 1,99% 8,78% 100,00% 
Fevereiro 57,16% 24,01% 18,82% 100,00% 
Março 19,66% 4,76% 54,12% 21,46% 100,00% 
Abril 26,40% 40,62% 32,98% 100,00% 
Maio 11,46% 29,45% 12,63% 35,73% 10,72% 100,00% 
Junho 10,06% 14,80% 23,97% 51,18% 100,00% 
Julho 58,79% 33,10% 8,12% 100,00% 
Agosto 51,33% 40,99% 7,68% 100,00% 
Setembro 3,03% 48,22% 45,31% 3,44% 100,00% 
Outubro 2,12% 52,42% 45,46% 100,00% 
Novembro 70,87% 29,13% 100,00% 
Dezembro 12,82% 48,65% 38,53% 100,00% 
 
 
 
Rentabilidade da carteira 
BRKM5 BRTO4 GGBR4 NATU3 NETC4 PETR4 RENT3 SBSB3 USIM5 Vale5 TOTAL 
Janeiro -0,33% -3,29% -3,36% 0,04% -0,03% -6,97% 
Fevereiro -1,09% -0,05% 0,64% -0,50% 
Março 0,47% 0,38% 5,20% 2,33% 8,39% 
Abril -1,07% -0,28% -2,07% -3,43% 
Maio -1,75% 0,79% -0,26% -7,18% -0,88% -9,28% 
Junho 1,50% 0,80% 2,22% 2,41% 6,92% 
Julho 4,05% 4,94% 0,96% 9,94% 
Agosto -0,66% 0,30% -0,23% -0,59% 
Setembro 0,32% 3,52% 6,77% 0,38% 10,99% 
Outubro 0,03% 3,56% -0,48% 3,11% 
Novembro -3,92% 0,01% -3,91% 
Dezembro 1,45% 1,67% -1,76% 1,36% 
 
 Vendo as tabelas acima, percebemos que houve momentos em que a rentabilidade foi 
negativa, mas, elas poderiam ser muito piores caso os recursos fossem alocados de forma 
diferente. Não existe resultado perfeito, no entanto, esse é o melhor resultado possível dado 
as ações escolhidas e seus preços. Como provado abaixo, nesta comparação das 
rentabilidades e índices entre a carteira onde houve uma alocação de 10% em cada uma 
das ações, a carteira diversificada pelo Modelo de Markowitz a e taxa de poupança (onde 
o IS é zero, pois o consideramos como sendo o ativo livre de risco): 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rentabilidades mensais 
2010 10% em cada Markowitz Poupança 
Janeiro -7,5997% -6,9690% 0,5000% 
Fevereiro 0,1931% -0,4952% 0,5000% 
Março 3,8579% 8,3903% 0,5796% 
Abril -2,1634% -3,4255% 0,5000% 
Maio -7,4885% -9,2759% 0,5513% 
Junho 1,3377% 6,9241% 0,5592% 
Julho 5,2467% 9,9426% 0,6157% 
Agosto -0,1573% -0,5873% 0,5914% 
Setembro 5,3995% 10,9872% 0,5706% 
Outubro -5,7083% 3,1126% 0,5474% 
Novembro -2,6887% -3,9083% 0,5338% 
Dezembro 4,1322% 1,3581% 0,6413% 
 
Retorno médio -0,4699% 1,3378% 0,5575% 
Desvio padrão 4,7307% 6,6755% 0,0456% 
Retorno acumulado -6,6737% 14,5140% 6,8992% 
Índice de Sharpe -0,22 0,12 0 
 
 Como pode ser observado na última tabela apresentada, podemos concluir que o retorno 
médio, o acumulado e o Índice de Sharpe da carteira otimizada foram maiores que das 
outras duas carteiras. O que nos diz que o Modelo de Markowitz foi eficaz, e que as técnicas 
de otimização podem prover um auxílio importante para os investidores na hora de optarem 
diversificar um investimento, reduzindo seus riscos. A utilização do MSE nos ajudou com o 
trabalho de cálculo, facilitando e rapidamente nos dando o resultado para uma carteira 
ótima. Mostrando também que, até investidores “amadores”, com pouco conhecimento e 
pouca prática no mercado de capitais podem selecionar carteiras que cabem em suas 
demandas e exigências. 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
 “Seleção de carteiras através do modelo de Markowitz para pequenos investidores (com o 
uso de planilhas eletrônicas).” GONÇALVES JUNIOR, C.; MONTEVECHI, J. A. B.; 
PAMPLONA, E. O. 
 “A utilização da teoria de carteiras de Markowitz e do modelo de índice único de Sharpe no 
mercado de ações brasileiro em 1999.” FIGUEIREDO, A. C. et al. 
 Website: www.bmfbovespa.com.br