Exercícios Análise de Arcos - Teoria das Estruturas

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UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ 
DEPARTAMENTO ACADÊMICO DE ENGENHARIA CIVIL 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
 
 
 
FLÁVIA RIVOLLI DA SILVA 
MATHEO ARAÚJO 
 
 
 
 
 
 
 
TRABALHO COMPUTACIONAL - ANÁLISE DE ARCOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
GUARAPUAVA-PR 
2018 
EXERCÍCIO 1 - ARCO TRIARTICULADO COM CARREGAMENTO SIMÉTRICO 
 
Considere o dimensionamento de um arco triarticulado, de vão L = 24 m e flecha 
f = 5 m, com rigidez à flexão EI constante em toda a extensão; representado na 
figura a seguir: 
 
 
 
a) Analisar os esforços atuantes no arco, considerando-o de eixo parabólico, com 
a rótula posicionada na seção S1. (Considerar seções a cada 1m) 
 
• Gh = 1 
 
• Utilizando o software Ftool obteve-se a viga projetada e os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor 
 
 
Figura 1 - Viga projetada 
 
 
Figura 2 - Diagrama esforço cortante 
 
 
Figura 3 - Diagrama momento fletor 
 
• Cálculo da flecha y 
y =
4 × f × x × (l − x)
l2
 
 
y =
4 × 5 × 8 × (24 − 8)
242
 
 
y = 4,44 m 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
Mr (p)
y
 
 
H =
676
4,44
 
 
H = 151,1 kN 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
N = −Vp × sin α + cos α × H 
 
V = Vp × cos α + sen α × H 
 
M = Mp + y × H 
 
 
 
 
Figura 4 - Tabela do excel 
 
 
Figura 5 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 6 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 7 - Diagrama obtido no excel 
 
b) Analisar os esforços atuantes no arco, considerando-o de eixo circular, com 
a rótula posicionada na seção S2. (Dividir o arco em 20 seções) 
 
• Cálculo do raio circular utilizando o teorema de Pitágoras 
 
 
Figura 11 - Viga em arco com eixo circular 
 
x = R × sin θ 
 
y = R × cos(θ − 1) + f 
 
R2 = (R − f)2 + (
L
2
)
2
 
 
R2 = (R − 5)2 + (
24
2
)
2
 
 
R = 16,9 m 
 
θf = sin
−1 (
12
16,9
) 
 
θf = 0,78958 rad 
 
θ0 = − θf → θ0 = − 0,78958 rad 
 
• Cálculo da flecha y 
 
y =
4 × f × x × (l − x)
l2
 
 
y =
4 × 5 × 12 × (24 − 12)
242
 
 
y = 5 m 
 
• Cálculo do hiperestático H 
 
H =
Mr (p)
y
 
 
H =
798
5
 
 
H = 159,6 kN 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
 
N = −Vp × sin α + cos α × H 
 
V = Vp × cos α + sen α × H 
 
M = Mp + y × H 
 
 
Figura 8 - Tabela do excel 
 
 
Figura 9 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 10 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 11 - Diagrama obtido no excel 
 
 
EXERCÍCIO 2 – ARCO BIAPOIADO NÃO SIMETRICAMENTE CARREGADO 
 
Considere o dimensionamento de um arco biapoiado, de vão L = 36 m, flecha f 
= 6 m, com rigidez à flexão EI constante em toda a extensão; representado na 
figura a seguir: 
 
 
 
a) Analisar os esforços atuantes no arco, considerando-o de eixo parabólico; 
avaliando seções a cada 1m. 
 
• Gh = 1 
 
• Utilizando o software Ftool obteve-se a viga projetada e os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor 
 
 
Figura 12 - Viga projetada 
 
 
Figura 13 - Diagrama esforço cortante 
 
 
Figura 14 - Diagrama momento fletor 
 
• Cálculo da flecha y 
y =
4 × f × x × (l − x)
l2
 
 
y =
4 × 6 × x × (36 − x)
362
 
 
y = −
𝑥2
54
+
2𝑥
3
 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
∫ Mp y dy
∫ y2 dy
 
 
H = 234,775 kN 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
N = −Vp × sin α + cos α × H 
 
V = Vp × cos α + sen α × H 
 
M = Mp + y × H 
 
 
 
Figura 15 - Tabela do excel 
 
 
Figura 16 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 17 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 18 - Diagrama obtido no excel 
 
b) Analisar os esforços atuantes no arco, considerando-o de eixo circular. 
(Avaliar o arco em um número de seções superior a 10. Dar atenção especial à 
seção de aplicação da carga de 40 kN) 
 
• Cálculo do raio circular utilizando o teorema de Pitágoras 
 
R2 = (R − f)2 + (
L
2
)
2
 
 
R2 = (R − 6)2 + (
36
2
)
2
 
 
R = 30 m 
θf = sin
−1 (
L
R
) 
 
θf = sin
−1 (
36
30
) 
 
θf = 0,30469 rad 
 
θ0 = − θf → θ0 = − 0,30469 rad 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
− ∫ Mp y dθ
∫ y2 dθ
 
 
H = 230,813 𝑘𝑁 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
N𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = −V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × sin ∝ − cos ∝ × H 
 
V𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × cos ∝ − sen α × H 
 
M𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = M𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) − y × H 
 
 
Figura 19 - Tabela do excel 
 
 
Figura 20 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 21 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 22 - Diagrama obtido no excel 
 
 
EXERCÍCIO 3 – ARCO BIAPOIADO NÃO SIMÉTRICO 
 
Considere o dimensionamento de um arco biapoiado, de vão L = 45 m e flecha f 
= 10 m, com rigidez à flexão EI constante em toda a extensão; representado na 
figura a seguir: 
 
 
 
a) Analisar os esforços atuantes no arco, considerando-o de eixo parabólico; 
avaliando seções a cada 1m. 
 
• Gh = 1 
 
• Utilizando o software Ftool obteve-se a viga projetada e os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor 
 
 
Figura 23 - Viga projetada 
 
 
Figura 24 - Diagrama esforço cortante 
 
 
Figura 25 - Diagrama momento fletor 
 
• Cálculo da flecha y 
y = ax2 + bx + c 
 
{
y(0) = 0
y(30) = 10
y(45) = 7,697
} → {
a = −0,108
b = 0,6579
c = 0
} 
 
y = −0,108x2 + 0,6579x 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
− ∫ Mp y dθ
∫ y2 dθ
 
 
H = 134,511 𝑘𝑁 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
 
N𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = −V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × sin ∝ − cos ∝ × H 
 
V𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × cos ∝ − sen α × H 
 
M𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = M𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) − y × H 
 
 
 
Figura 26 - Tabela do excel 
 
 
 
Figura 27 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 28 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 29 - Diagrama obtido no excel 
b) Analisar os esforços atuantes no arco, considerando-o de eixo circular. (Dividir 
o arco em um número de seções superior a 10. Dar atenção especial à seção de 
aplicação da carga de 50 kN à esquerda) 
 
• Cálculo do raio circular 
R2 = (R − f)2 + (
L
2
)
2
 
 
R2 = (R − 10)2 + (
30
2
)
2
 
 
R = 50 m 
 
θf = sin
−1 (
L
R
) 
 
θf = sin
−1 (
30
50
) 
 
θf = 0,6435 rad 
 
θf = − 
θ0
2
 → θ0 = − 0,32175 rad 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
− ∫ Mp y dθ
∫ y2 dθ
 
 
H = 112,2653 𝑘𝑁 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
 
N𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = −V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × sin ∝ − cos ∝ × H 
 
V𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × cos ∝ − sen α × H 
 
M𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = M𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) − y × H 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 30 - Tabela do excel 
 
 
Figura 31 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 32 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 33 - Diagrama obtido no excel 
 
 
EXERCÍCIO 4 – ARCO ATIRANTADO 
Considere o dimensionamento de um arco atirantado, de vão L = 40 m e flecha 
f = 8 m, com rigidez à flexão EI constante em toda a extensão. Para o 
posicionamento do tirante serão consideradas duas alternativas em estudo, 
representadas na figura a seguir: 
 
DADOS/INFORMAÇÕES ADICIONAIS 
O arco será composto de perfil I metálico, com momento de inércia à flexão igual 
a 6572,4175 cm4, de aço ASTM-A36 (E = 205000MPa). 
 
O tirante será composto de uma barra redonda, com 2,87cm de diâmetro. 
 
 
 
a) Analisar os esforços atuantes no arco, para as alternativas 1 e 2, 
considerando-o de eixo parabólico; avaliando seções a cada 2 m. 
 
• Gh = 1 
 
• Utilizando o software Ftool obteve-se a viga projetada e os diagramas de 
esforço cortante e momento fletor 
 
 
Figura 34 - Viga projetada 
 
 
Figura 35 - Diagrama esforço cortante 
 
 
Figura 36 - Diagrama momento fletor 
 
PARA ALTERNATIVA 1 
 
• Cálculo da flecha y 
 
y =
4 × f × x × (l − x)
l2
 
 
y =
4 × 8 × x × (40 − x)
402
 
 
y = 0,04x + 0,8 
 
• Cálculo do hiperestático H 
 
H =
− ∫
Mp y
cos 𝛼 dx
∫
y2
cos 𝛼 dx
+ 
𝐿𝑡
𝐸𝐴𝑡H = 162,877 𝑘𝑁 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
N𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = −V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × sin ∝ − cos ∝ × H 
 
V𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × cos ∝ − sen α × H 
 
M𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = M𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) − y × H 
 
 
Figura 37 - Tabela do excel 
 
 
Figura 38 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 39 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 40 - Diagrama obtido no excel 
 
PARA ALTERNATIVA 2 
 
• Cálculo da flecha y 
y = 0,02x2 + 0,8x − 4 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
− ∫
Mp y
cos 𝛼 dx
∫
y2
cos 𝛼 dx
+ 
𝐿𝑡
𝐸𝐴𝑡
 
 
H = 368,297 𝑘𝑁 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
 
 
N𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = −V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × sin ∝ − cos ∝ × H 
 
V𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × cos ∝ − sen α × H 
 
M𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = M𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) − y × H 
 
 
Figura 41 - Tabela do excel 
 
 
Figura 42 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 43 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 44 - Diagrama obtido no excel 
 
b) Analisar os esforços atuantes no arco, para as alternativas 1 e 2, 
considerando-o de eixo circular. (Dividir o arco em um número de seções 
superior a 10. Dar atenção especial à seção de aplicação da carga de 50 kN à 
esquerda) 
 
PARA ALTERNATIVA 1 
 
• Cálculo do raio circular 
R2 = (R − f)2 + (
L
2
)
2
 
 
R2 = (R − 8)2 + (
40
2
)
2
 
 
R = 29 m 
 
θf = 0,7610 rad 
 
θ0 = − 0,7610 rad 
 
• Cálculo do hiperestático H 
H =
− ∫ Mp y Rdθ
∫ y2 Rdθ +
𝐿
𝐸𝐴
 
 
H = 159,015 𝑘𝑁 
 
 
Figura 45 - Tabela do excel 
 
 
Figura 46 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 47 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 48 - Diagrama obtido no excel 
PARA ALTERNATIVA 2 
 
• Cálculo do raio circular 
 
θf = 0,7610 rad 
 
θ0 = − 0,7610 rad 
 
• Cálculo do hiperestático H 
 
𝐻 =
− ∫ 𝑀𝑝 𝑦 𝑅𝑑𝜃
∫ 𝑦2 𝑅𝑑𝜃 +
𝐿
𝐸𝐴
 
 
𝐻 = 363,638 𝑘𝑁 
 
• Equações para o cálculo do esforço normal, cortante e momento fletor 
realizados no Excel 
 
N𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = −V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × sin ∝ − cos ∝ × H 
 
V𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = V𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) × cos ∝ − sen α × H 
 
M𝑉𝐶 (𝑠𝑒çã𝑜) = M𝑃 (𝑠𝑒çã𝑜) − y × H 
 
 
Figura 49 - Tabela do excel 
 
Figura 50 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 51 - Diagrama obtido no excel 
 
 
Figura 52 - Diagrama obtido no excel