Análise Estatística - Distribuição Binomial e Normal

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Análise Estatística – Prof. André Breve 
 
Distribuição Binomial e Normal 
 
- Variável Aleatória 
- É uma variável (normalmente representada por x) que tem um único 
valor numérico, determinado pelo acaso, para cada resultado de um 
experimento. 
- Suponhamos um espaço amostral S e que a cada ponto amostral seja 
atribuído um número. Fica, então, definida uma função chamada variável 
aleatória, indicada por uma letra maiúscula, sendo seus valores 
indicados por letras minúsculas. 
Ex: Lançamento simultâneo de 2 moedas 
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca), (Co, Co)} 
Variável Aleatória X = Número de Caras (Ca) 
Ponto Amostral X 
(Ca, Ca) 2 
(Ca, Co) 1 
(Co, Ca) 1 
(Co, Co) 0 
 
- Distribuição de Probabilidade 
- Descrição que dá a probabilidade para cada valor da variável aleatória. 
- A distribuição de probabilidade é frequentemente expressa na forma de 
um gráfico, de uma tabela ou de uma fórmula. 
Ex: Considere a distribuição de freqüências relativa ao número de 
acidentes diários em um estacionamento: 
Nº Acidentes Frequências 
0 22 
1 5 
2 2 
3 1 
 Soma = 30 
 
 Em um dia, a probabilidade de: 
 - Não ocorrer acidente: p = 22/30 = 0,73 
 - Ocorrer 1 acidente: p = 5/30 = 0,17 
 - Ocorrer 2 acidentes: p = 2/30 = 0,07 
 - Ocorrer 3 acidentes: p = 1/30 = 0,03 
As probabilidades podem ser apresentadas numa tabela denominada 
distribuição de probabilidades: 
Nº Acidentes Probabilidades 
0 0,73 
1 0,17 
2 0,07 
3 0,03 
 Soma = 1 
 
- Seja X uma variável aleatória que assume os valores: x1, x2, x3, ..., xn. 
A cada valor xi correspondem pontos do espaço amostral. Associamos, 
então, a cada valor xi a probabilidade pi de ocorrência de tais pontos no 
espaço amostral. 
- A soma das probabilidade será igual a 1 
- Os valores x1, x2, ..., xn e seus correspondentes p1, p2, ..., pn definem 
uma distribuição de probabilidade. 
Ex: Retomando o lançamento simultâneo de duas moedas: 
Ponto Amostral X P(X) 
(Ca, Ca) 2 1/2 x 1/2 = 1/4 
(Ca, Co) 1 1/2 x 1/2 = 1/4 1/4 + 1/4 = 2/4 
(Co, Ca) 1 1/2 x 1/2 = 1/4 
(Co, Co) 0 1/2 x 1/2 = 1/4 
 Logo, a distribuição de probabilidades fica: 
Nº Caras (X) P(X) 
2 1/4 
1 2/4 
0 1/4 
 Soma = 1 
 
- Ao definir a distribuição de probabilidade, estabelece-se uma 
correspondência entre os valores da variável aleatória X e os valores da 
variável P. 
- Essa correspondência define uma função, cujo domínio são os valores 
de xi e o conjunto imagem é formado pelos valores de pi (i = 1, 2, ..., n). 
Essa função é denominada função probabilidade e representada por: 
 f(x) = P(X = xi) 
- A função P(x = xi) determina a distribuição de probabilidade da variável 
aleatória X. 
- Distribuição Binomial 
- Uma distribuição de probabilidade binomial resulta de um experimento 
que satisfaz os seguintes requisitos: 
1. O experimento tem um número fixo de tentativas 
2. As tentativas tem que ser independentes (O resultado de 
qualquer tentativa individual não afeta as probabilidades nas 
outras tentativas) 
3. Cada tentativa deve ter todos os resultados classificados em 
duas categorias (em geral, chamadas de sucesso e fracasso) 
4. A probabilidade de um sucesso permanece constante em todas 
as tentativas. 
- Se um experimento satisfaz esses quatro requisitos, a distribuição da 
variável aleatória X (número de sucessos) é chamada de distribuição de 
probabilidade binomial (ou distribuição binomial). 
- Os problemas do tipo: determinar a probabilidade de se obter k 
sucessos em n tentativas são característicos do uso de distribuição 
binomial. Ex: obtenção de caras em cinco lançamentos sucessivos e 
independentes de uma moeda. 
- Sabe-se que quando da realização de um experimento qualquer em 
uma única tentativa, se a probabilidade de realização de um evento 
(sucesso) é p, a probabilidade de não realização desse mesmo evento é 
q = 1 - p. 
- Suponha a realização de uma prova n vezes sucessivas e 
independentes. A probabilidade de que um evento se realize k vezes 
nas provas é dada pela função: 
 
 f(X) = P(X = k) = �����
����� 
 
Onde: 
P(X = k) é a probabilidade de que o evento se realize k vezes em 
n provas. 
p é a probabilidade que o evento se realize em uma só prova 
(sucesso). 
q é a probabilidade de que o evento não se realize no decurso 
dessa prova (insucesso ou fracasso) 
���� é o coeficiente binomial de n sobre k, igual a 
�!
�!	���
!
 
- Essa função, denominada lei binomial, define a distribuição binomial. 
Ex: Uma moeda é lançada cinco vezes seguidas e independentes. 
Calcule a probabilidade de serem obtidas três caras nessas cinco 
provas. 
- Distribuição Normal 
- Entre as distribuições teóricas de variáveis aleatórias contínuas, uma 
das mais empregadas é a distribuição normal. 
- Muitas das variáveis analisadas na pesquisa socioeconômica 
correspondem à distribuição normal ou dela se aproximam. 
- Aspecto gráfico de uma distribuição normal: 
 
- Para uma correta compreensão de uma distribuição normal deve-se 
levar em consideração as seguintes propriedades: 
1) A variável aleatória X pode assumir todo e qualquer valor real 
2) A representação gráfica de uma distribuição normal é uma 
curva em formato de sino, simétrica em torno da média, que 
recebe o nome de curva normal ou de Gauss. 
3) A área total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas é 
igual a 1, já que essa área corresponde à probabilidade de a 
variável aleatória X assumir qualquer valor real. 
4) A curva normal é assintótica em relação ao eixo das abscissas, 
isto é, aproxima-se indefinidamente do eixo das abscissas sem 
tocá-lo. 
5) Como a curva é simétrica em torno da média, a probabilidade 
de ocorrer valor maior do que a média é igual a probabilidade de 
ocorrer valor menor do que a média, isto é, ambas as 
probabilidades são iguais a 0,5. 
- Quando temos em mãos uma variável aleatória com distribuição 
normal, o principal interesse é obter a probabilidade de essa variável 
aleatória assumir um valor em um determinado intervalo. 
- Se X é uma variável aleatória com distribuição normal de média x̅ e 
desvio padrão s, então a variável z tem distribuição normal reduzida: 
 z = (x - x̅) / s 
- As probabilidades associadas à distribuição normal padronizada são 
encontradas em tabelas, não havendo a necessidade de serem 
calculadas. 
Ex: Seja X a variável aleatória que representa os diâmetros dos 
parafusos produzidos por certa máquina. Supondo-se que essa variável 
tenha distribuição normal com médica x̅ = 2 cm e desvio padrão s = 0,04 
cm, qual é a probabilidade de um parafuso ter um diâmetro com valor 
entre 2 e 2,05cm? 
P (2 < X < 2,05) 
z = (x - x̅) / s 
z = (2,05 - 2) / 0,04 
z = 0,05 / 0,04 => z = 1,25 
 
Na tabela: P (0 < Z < 1,25) = P (2 < X < 2,05) = 0,3944